Unit 13 數形關係、等差數列與級數 能力指標：◎（N-4-03）能在日常生活中，觀察有次序的數列，並理解其規則性。 ◎（N-4-04）能觀察出等差數列的規則性。 ◎（N-4-04）能利用首項、公差計算出等差數列的每一項。 ◎（N-4-05）能由觀察和推演，導出等差級數的公式，從理解公式到 解題，並能活用於日常生活。 能力一：數的規律與數型關係 一、奇、偶數的規律 （一）偶數（even number）：係指在整數中能夠被 2 整除，或等於 2n（n 為整數） 的數，偶數可形成無窮數列 2、4、6、8、10、…。 （二）奇數（odd number）：係指在整數中不能夠被 2 整除，亦即可被 2 除餘 1 的數，可寫成 2n+1 的形式，奇數可形成無窮數列 1、3、5、7、9、…。 二、奇、偶數的和、積 （一）兩正整數之和為【偶數】此兩數必同時為【奇數】或【偶數】。 （二）兩正整數之和為【奇數】此兩數必為【奇數】和【偶數】之和。 （三）幾個正整數的乘積為【偶數】其中必有【偶數】。 奇奇偶 偶偶偶 奇偶奇 奇× 奇奇 偶× 偶偶 奇× 偶偶 三、數型關係 在有規律排列的型體中，形體與排列的數量呈現規律的變化，此規律變化 可使用通式來連結，以便做計算與歸納。 類型一 有 n 個三角形，需要 2n+1 根火柴棒 類型二 有 n 層，需要 2 n 個小方格 類型三 （三角數） 有 n 層，需要
(
1+n)
n 2 個黑點類型四 （四角數） 有 n 層，需要 2 n 個黑點 【奇、偶數的規律】 講解一： 奇鼎國中一年28班共有30個學生，分成甲、乙兩組，今將偶數個糖果分給甲組同 學每人3個，乙組同學每人4個，全部分完，請問甲、乙兩組人數是奇數還是偶數 ，或者一組奇數、一組偶數呢？ Sol)因為班上總人數是偶數，所以一定是【奇數+奇數=偶數】或【偶數+偶數= 偶數】 3 +4 = + = 3 +4 = + = 奇數 奇數 奇數 偶數 奇數 偶數 偶數 偶數 偶數 偶數 甲、乙兩組人數皆為偶數。 練習一： （1）試問下列四個敘述，何者正確？甲：奇數＋偶數＝奇數；乙：奇數＋奇數 ＝偶數；丙：偶數＋奇數＝偶數；丁：偶數＋偶數＝奇數 （2）如果m代表一個正整數，則下列哪一個數可以代表一個正奇數？ (A)m＋1ˉ(B)m＋2ˉ(C)2m－1ˉ(D)2m＋2 Sol) （1）甲、乙 （2）（C） 【數型關係】 講解一： 如圖，第一個五邊形中的「‧」個數是5個，第二個五邊形中的「‧」個數是9 個，以此類推，請問第八個五邊形中的「‧」個數有多少個呢？ sol) 找出規律性：一個五邊形由1個點加上4個點構成，第二個五邊形在多加4個點構 成，所以可以導出通式為：（4n+1），n代表五邊形個數。 第八個五邊形有
(
4 8 +1=33)
點 練習一： 觀察下圖，請按照分割情形，寫出適當的等式：sol) 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝n =82 2=64 【十分鐘即時練習】 （C）1.若a為任意一個正整數，則下列哪一個形式必為奇數？ (A)2aˉ(B)2(a－1)ˉ(C)2a＋1ˉ(D)3a （D）2.甲數為整數，則下列何者一定正確？ (A)「5×甲數」為奇數，(B)「2×甲數+7」為偶數，(C)「2×甲數+8」為 奇數，(D)「2×甲數+11」為奇數 （B）3.已知甲數＋乙數所得的和是偶數，而乙數＋丙數所得的和是奇數，如果 丙數是6，則下列哪一個選項是正確的？(A)甲數可能是4ˉ (B)甲數可能 是7(C)乙數可能是10ˉ(D)乙數可能是8 （C）4.華西街靠近西邊的房子門牌號碼為1、3、5、7、9、…，連續奇數號；靠 近東邊的房子門牌號碼為2、4、6、8、10…，連續偶數號，則下列何者 正確？(A)靠近東邊第50間房子為102號，(B)靠近東邊第61間房子為120 號，(C)靠近西邊第60間房子為119號，(D)靠近西邊第51間房子為103號 （D）5.小麟老師將120位同學全部加以編號，並依下圖的排列方式分為A、B、C 、D、E五組，則117號同學會編在哪一組呢？(A)A組ˉ(B)B組ˉ(C)C組ˉ(D)D 組 能力二：等差數列與級數 一、數列：依序排列的一串數稱為數列（a , a , 1 2 L ,an），其中第一個項數稱為【首 項a1】，最後一個數稱為【末項an】，共有 n 項。 二、等差數列：在一個數列中，任何相鄰的兩項，當後項減前項所的差都相同時 此數列稱為等差數列，這個差稱為等差數列的公差。 三、等差級數（算術級數）：在一等差數列中，第 n 項前（含第 n 項）的總和。
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1 1 1 1 1 1 n n a + a +d + a +2d + + a + n-1 d n 2a + n-1 d a a +a S = = 2 2 L四、等差數列與級數的重要公式：
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1 n n 1 1 1 1 1 n 1 n n-1 1 1 n n a , d, n a , n S 1 a , a +d, a +2d, a +3d, , a + n-1 d 2 n a =a + n-1 d=S -S 3 n n 2a + n-1 d n a +a S = = 2 2 L 設首項為 公差為 第 項為 前 項的總和為 標準式 第 項公式 前 項總和公式 等差級數 五、等差中項 （一）假設 a、b、c 成等差數列 b=a+c 2 ，b 稱為 a、c 的等差中項。 （二）若在 a、b 之間，插入 m 個等差中項，則b=a+ m+1 d 。(
)
六、調和數列 若1 a 、 1 b、 1 c，之倒數 a、b、c 成等差數列，則 1 a 、 1 b、 1 c稱為調和數列，且 1 b 稱為1 a 與 1 c調和中項。 【等差數列】 講解一： 有一等差數列，其第 n 項是（-3n+20），請問： （1）首項=？（2）公差=？（3）第 20 項=？（4）第幾項開始為負數呢？ Sol)( )
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1 2 1 20 1 a =-3 1+20=17 2 d=a -a = -3 2+20 -17=14-17=-3 3 a =-3 20+20=-40 2 4 -3n+20<0, -3n<-20, n>6 n=7 3 首項 公差 取整數 練習一：若 a、3、x、y、15 成等差數列，a、c、z、20、b 也成等差數列，請問 x+y+z-c=？ Sol)
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15-3 1 a, 3, x, y, 15 d= =4 3 a=3-4=-1, x=3+4=7, y=7+4=11 20- -1 2 -1, c, z, 20, b d= =7 3 c=-1+7=6, z=6+7=13, b=20+7=27 x+y+z-c=7+11+13-6=25 等差數列 等差數列 【等差級數】 講解二： 已知多邊形的外角和為 360，一內角與其外角和為 180，若有一多邊形其內角 度數是一個以公差為 4 的等差數列，且其最大內角為 162，請問此多邊形的邊 數為何呢？ Sol)( )
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1 1 n 2 2 162 18 , 360 , n , a =18, d=4 n 2a + n-1 d n 36+ n-1 4 S = 360= 2 2 720=4n +32n n +8n-180=0 n+18 n-10 =0 n=-18 n=10 的外角為 多邊形的外角和為 設此多邊形有 邊 不合 或 邊 練習二： 有一等差級數的第 4 項為（-3），第 8 項為 13，等差級數和為 1290，請問此等差 級數的首項、公差、項數各為多少呢？ Sol)( ) ( )
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1 1 1 2 2 1 a +3d=-3 d=4, a =-15 a +7d=13 n 2 -15 + n-1 4 1290= 2580=n 4n-34 2 4n -34n-2580=0 2n -17n-1290=0 n-30 2n+43 =0 -43 n= n=30 2 Ans: a =-15, d=4, n=30 不合 或【十分鐘即時練習】 （B）1.有一等差數列的首項是4，第六項是34，則公差是多少?(A)4 (B)6 (C)8 (D)30 Sol) 設公差為 d，則 4＋5d＝34，5d＝30 ∴d＝6 （A）2.有一等差數列，第n項是2n－1，則下列選項何者正確?(A)首項是1 (B) 第二項是2 (C)第三項是3 (D)第四項是4 Sol) ∵第 n 項 an＝2n－1 ∴首項 a1＝2×1－1＝1，第二項 a2＝2×2－1＝3，第三 項 a3＝2×3－1＝5，第四項 a4＝2×4－1＝7 （B）3.若一個等差級數的第三項為－2，第十項為61，則此級數前15項的和＝? (A)545 (B)645 (C)840 (D)940 Sol) 公差＝ 61－(－2) 10－3 ＝9，首項＝－2－9×2＝－20 S15＝ 15×[(－20)×2+(15－1)×9] 2 ＝ 15×(－40+126) 2 ＝645 （A）4.下列何者不是等差級數?(A)1，1，1，1，1 (B)2＋2＋2＋2＋2 (C)1＋2 ＋3＋4＋5 (D)2＋4＋6＋8＋10 Sol) 等差級數各項間需以''＋''號連接，故(A)不是等差級數 （B）5.已知一等差級數的首項是23，末項是59，其和為533，則此級數的公差是 多少?(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 Sol) 設級數共 n 項，則 (23+59)×n 2 ＝533，41n＝533 ∴n＝13， 故公差 d＝ 59－23 13－1 ＝3 【基本觀念題】 （C）1.華納電影院的座位表如下圖，即第一排左、右區各有10座位，第二排左 、右區各比第一排增加2位，以此類推……，若小鼎買的電影票座位號 碼是161號，請問他應坐在左區或右區第幾個位子上？ (A)左區第六排第10位ˉ (B)左區第六排第1位ˉ (C)右區第六排第1位ˉ (D)右區第六排第9位 （C）2.下圖為一張台灣高鐵商務艙的座位表，採對號入座的方式，已經知道靜 德的座位為38號，那麼應該是在第幾排第幾列？ (A)第2排第10列ˉ(B)第2排第9列 (C)第4排第10列ˉ(D)第4排第9列 （C）3.如下圖，一個三角形有3個交點，4個三角形有6個交點，則36個三角形有 幾個交點？(A)64個ˉ(B)48個ˉ(C)28個ˉ(D)38個
（A）4.台積電舉辦登山健行，員工排成一列行走，如果依序為男、男、女、男 、女、男、男、女、男、女、……，則第74個員工的性別為何？ (A)男(B)女(C)可能是男也可能是女(D)無法判斷
（D）5.若Sn＝a1＋a2＋……＋an為等差級數，則各項皆加上5後所成新等差級數總 和為Tn，則下列選項何者正確? (A)Sn＝Tn (B)Tn＝5Sn (C)Tn＝Sn＋5 (D)Tn＝Sn＋5n Sol) ∵各項均加5 ∴n項共加5n，故Tn＝Sn＋5n （D）6.有一三角形的三內角度數成等差數列，若公差為35°，則此三角形為何種 三角形?(A)正三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)鈍角三角 形
Sol) 設最小角為 a°，則 a＋(a＋35)＋(a＋70)＝180，3a＋105＝180，3a＝75 ∴a＝25°三內角度數為 25°，60°，95°，故此三角形為鈍角三角形
（C）7.有一等差數列，公差是3，若每項同乘以2形成一新等差數列，則新等差
數列之公差為多少?(A) (B)3 (C)6 (D)9
Sol) 設此數列的首項為 a，則此數列為 a，a＋3，a＋6，……
同乘以 2 後此數列為 2a，2a＋6，2a＋12，……, 公差為(2a＋6)－2a＝6 （D）8.若一等差數列共有6項，且末項比首項多60，則其公差為多少?(A)5 (B)6 (C)10 (D)12 Sol) 設首項為a，公差為d，則(a＋5D)－a＝60，5d＝60 ∴d＝12 （C）9.若a與b的等差中項為4，2a－b與a＋2b的等差中項為9，則a－b等於多少? (A)－2 (B)0 (C)2 (D)8 Sol)
a+b2 ＝4 (2a－b)+(a+2b) 2 ＝9 a+b＝8 3a+b＝18 解得 a＝5，b＝3∴a－b＝2 （A）10.已知1，a，b，c， ，……為一等差數列，則3(b－a)之值可被下列何者 整除?(A)2 (B)3 (C)5 (D)7 Sol) d＝(19 3 －1)÷4＝ 4 3 ，3(b－a)＝3d＝3× 4 3 ＝4， 4 可被 2 整除。 【溫故歷屆基測試題】（A）1.一等差數列 a1，a2，……，a100，已知 a70－a57＜0，那麼下列哪一選項是
正確的？ (Ａ) a43－a69＞0 (Ｂ) a42－a51＜0 (Ｃ) a18＋a51＞a21＋a48
(Ｄ) a12＋a31＞a9＋a34。【90.基測一】
（C）2.下列哪一個選項中的數列是等差數列也是等比數列？ (Ａ)
2 1
、1、2、
2 (Ｄ) 0、1、0、1、0、1、0、1。【90.基測二】 （C）3.如圖，有一樓梯，每一階的長度、寬度與增加的高度都相等。有一工人 在此樓梯的一側貼上大小相同的正方形磁磚，第一階貼了 4 塊磁磚，第 二階貼了 8 塊磁磚，……，依此規則貼了 112 塊磁磚後，剛好貼完此樓 梯的一側。請問此樓梯總共有多少階？ (Ａ) 5 (Ｂ) 6 (Ｃ) 7 (Ｄ) 8。 【91.基測一】 Sol)
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2 2 4 4 1 112 8 4 - 4 224 56 2 8 - 7 0, 7 或 -8 不合 n n n s n n n n n n n + + = = + = + = + = = （B）4.某公司每天晚上必須派保全人員留守，下表是甲、乙、丙、丁、戊五位 保全人員的留守值班表。該公司排班的規則如下： 星期 週次 一 二 三 四 五 六 日 第 1 週 甲 乙 丙 丁 戊 甲 乙 第 2 週 丙 丁 戊 甲 乙 丙 丁 … … … … (１)按甲、乙、丙、丁、戊的順序，各排一天班。 (２)五人排完之後再以原順序排班。 請問『丙』先生在下列週次中的哪一週必須留守兩次？ (Ａ)第 38 週 (Ｂ)第 39 週(Ｃ)第 40 週(Ｄ)第 41 週。【91.基測一】 Sol)每五週一個循環，而五週中的的第二、四週丙先生須留守兩次。( )
A 38=5 7+3, B 39=5 7+4, C 40=5 8, D 41=5 8+1( )
( )
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（A）5.如圖，橫列有 9 個方格，直列有 7 個方格。若將每個方格內都填入一個 數字，使得橫列方格內的數字由左到右成等差數列，直列方格內的數字 由上到下也成等差數列。已知共同方格內的數字是 42，求 a－b＝？ (Ａ) 44 (Ｂ) 42 (Ｃ) 40 (Ｄ) 38。【91.基測二】Sol)利用等差中項 42 26 58, 42 70 14 2 2 a b a b + + = = = = （C）6.小玉拿了一堆棋子玩排列遊戲。 第一次：放 1 顆棋子，如圖(a)； 第二次：放 9 顆棋子，排出一個正方形，如圖(b)； 第三次：放 25 顆棋子，排出一個正方形，如圖(c)； 依此規則，每一次排出的正方形，其每邊的棋子數都要比前一次多 2 顆。請問第十次比第九次多放了幾顆棋子？(Ａ) 102－92(Ｂ) 112－92(Ｃ) 192－172(Ｄ) 212－192。【91.基測一】 Sol)
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第九次每邊的棋子數為 1+ 9-1 2=17 個 第十次每邊的棋子數為 17+2=19 個 （B）7.下列四個數列中，哪一個是等比數列？ (Ａ) 12，22，32，42，52(Ｂ) 21， 22，23，24，25(Ｃ) 3，6，9，12，15(Ｄ) 1，3，5，7，9。【92.基測一】 Sol)後項除以前項結果都相同即為等比數列。 （C）8.數列 a，b，c 為等差數列，公差為 3。若數列 a＋5，b＋10，c＋15 也為 等差數列，則公差為何？ (Ａ) 3 (Ｂ) 5 (Ｃ) 8 (Ｄ) 15。【92.基測二】Sol)b=a+3, c=a+6代入a+5, b+10=a+13, c+15=a+21亦成等差數列
（A）9.如圖，有若干位學生排出正五邊形的隊形，由內而外共排了 6 圈，且學 生人數剛好排完。已知最內圈每邊 3 人，往外每圈每邊增加 2 人（即由 內向外算起第 2 圈每邊 5 人，第 3 圈每邊 7 人，……）。請問此隊形的 學生共有多少人？ (Ａ) 210 (Ｂ) 240 (Ｃ) 285 (Ｄ) 630。【92.基測二】
Sol)由內而外, 第一圈人數:3 5-5=10, 第二圈人數:5 5-5=20 第三圈人數:7 5-5=30, 學生總人數=10+20+30+40+50+60=210 10.如圖(a)，地板上有一圓，其圓周上有一點 A。今在沒有滑動的情況下，將此 圓向右滾動。已知當 A 接觸到地板時，會在地板上留下一個印子，如圖(b) 所示，且此圓滾動的方式是： 第 1 分鐘轉 1 圈 第 2 分鐘轉 2 圈 第 3 分鐘轉 4 圈 … 依此規則（即每一分鐘轉的圈數都是前一分鐘的兩倍），愈轉愈快。【93.基測一】 （D）○1 下列哪一圖形是此圓轉了 4 圈之後，留在地板上四個印子的位置關係 圖？ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) Sol)A點每次在地板上留下印子，必定經過一個圓周的距離。 （D）○2 請問，轉了 10 分鐘之後，地板上留下的印子共有幾個？ (Ａ) 10 (Ｂ) 55 (Ｃ) 500 (Ｄ) 1023。 Sol)第n分鐘內走了
( )
10 n-1 0 1 2 9 1 2 -1 2 圈 2 +2 +2 + +2 = =1023 2-1 L （D）11.若數列 a、b、c 為等差數列，公差為 2，則下列敘述何者錯誤？ (Ａ) 數列 a＋5、b＋5、c＋5 也是等差數列(Ｂ)數列 5a、5b、5c 也是等差數 列(Ｃ)數列 a－1、b－1、c－1 也是等差數列(Ｄ)數列 a2、b2、c2 也是等 差數列。【93.基測二】Sol)一等差數列各項同加（減）一數後仍然為等差數列，且公差不變；同乘一數 後亦仍為等差數列，但公差改變。 2 2 2 若一數列,假設a b c, a =a a, b =b b, c =c c 12.甲、乙、丙三家新聞臺每天中午 12：00 同時開始播報新聞，其中： 甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘； 乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘； 丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。【94.基測二】 （A）○1 在 12：47 時，三家新聞臺進行的內容為何？ (Ａ)甲：廣告；乙：新 聞；丙：新聞(Ｂ)甲：新聞；乙：廣告；丙：新聞(Ｃ)甲：新聞；乙：新 聞；丙：廣告(Ｄ)三家新聞臺皆正在播報新聞。 （C）○2 (２)三家新聞臺在下列哪一個時間廣告同時結束？ (Ａ) 12：33 (Ｂ) 12：39 (Ｃ) 13：12 (Ｄ) 14：00。 Sol)○1 從 12：00～12：47 三家新聞台進行的內容如下： 甲：12+2+10+2+10+2+10+1→廣告 乙：8+1+8+1+8+1+8+1+8+1+2→新聞 丙：15+3+15+3+11→新聞 ○2 10+2=12,8+1=9,15+3=18,∴12、9、18 的公倍數三家新聞台廣告同時結束， 又〔12,9,18〕=36，36×2-60=12，36×3-60=48 （B）13.有甲、乙兩種長方形紙板各若干張，其中甲的長為 85 公分，寬為 30 公 分；乙的長為 85 公分，寬為 40 公分，如圖(一)所示。今依同種紙板不 相鄰的規則，將所有紙板由左至右緊密排成圖(二)的長方形 ABCD，則 下列哪一個選項可能是AD的長度？ (Ａ) 770 公分(Ｂ) 800 公分(Ｃ) 810 公分(Ｄ) 980 公分。【95.基測一】
→
Sol)30+40=70，AD=70n+30 （B）14.已知 12＋1＝22－2，22＋2＝32－3，32＋3＝42－4，…，992＋99＝1002－100。若 11232＋1123＋2248＋1125＝a2，且 a＞0，則 a＝？ (Ａ) 1124
(Ｂ) 1125 (Ｃ) 1126 (Ｄ) 1136。 Sol) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1123 +1123=1124 -1124, 又1124 +1124=1125 -1125 a =1124 -1124+2248+1125=1124 +1124+1125=1125 -1125+1125 =1125
【模擬學力基測試題】
（C）1.有一等差數列的首項為25，第三項為19，若從第n項開始出現負數，則n 為多少?(A)8 (B)9 (C)10 (D)11
Sol) ∵a3＝a1＋(3－1)d ，∴19＝25＋(3－1)d"d＝－3 ，an＝25＋(n－1)×(－3)<0
25－3n＋3<0，3n>28，n>9 1 3 ，又 n 為正整數 ∴n＝10 （B）2.在24於－8之間，插入11個數使之成等差數列，則所插入的第幾個數是0? (A)10 (B)9 (C)8 (D)7 Sol) ∵－8＝24＋(13－1)d，d＝－ 8 3 ，又 0＝24＋(n－1)×(－ 8 3 )"n＝10，∴插入 的第 10－1＝9 項 （C）3.郭抬鳴的遺囑交代財產的 捐給慈善機構，其餘財產按等差數列由大而小 分給三個兒子，結果小兒子大叫不公平。因為捐給慈善機構的跟他分到 的一樣多。請問三兄弟按什麼比例分財產?(A)3：2：1 (B)4：3：2 (C)5： 4：3 (D)6：5：4 Sol) 設三個兒子由大而小分得 1a 5 +2d， 1 a 5 +d， 1 a 5 ， ∴(1a 5 +2d)+( 1 a 5 +d)+ 1 a 5 ＝ 4 a 5 ，d＝ 1 a 15 ， 故(1a 5 + 2 a 15 )：( 1 a 5 + 1 a 15 )： 1 a 5 ＝ 5 a 15 ： 4 a 15 ： 3 a 15 ＝5：4：3 （C）4.下列何者不是等差數列?(A)0，0，0，0 (B) (C)a－d，a，a＋d， a＋3d (D)－0.5，0，0.5，1 Sol) ∵a－(a－d)＝(a＋d)－a_(a＋3d)－(a＋d)，∴a－d，a，a＋d，a＋3d 不是等 差數列 （C）5.有一個很特別的數列如下： 0＋ ，1 1＋ ，2 2＋ ，……，本數列的第 k 3 項為多少？ (A) k (B) k＋ (C)1 2 － (D)k 1 2 ＋ 。 k 1 Sol) ak＝ 1＋（k－1）2＝ 2 －k 1 （C）6.某甲第一年在銀行存入 10000 元，以後每一年都比前一年多存 2000 元， 假設該銀行沒有任何利息，而某甲也沒有動用過這筆存款，即在第幾年 某甲存款才會到達 90000 元呢？（A）4（B）5（C）6（D）7（年）。 Sol) Sn＝ 2 n 〔2a1＋（n－1）×d〕， 2 n 〔2×10000＋（n－1）×2000〕≧90000
10n＋n2－n≧90，n2＋9n－90≧0， 當 n＝5 時，52＋9×5－90＝－20＜0 當 n＝6 時，62＋9×6－90＝0≧0 （C）7.如圖，每個小正方體的邊長是 1 公分，因此一個小正方體的邊長和是 12 公分；連續橫排 2 個時，形成的長方體邊長和是 16 公分；連續橫排 3 個 時，形成的長方體邊長和是 20 公分，如果連續橫排 n 個，則形成的長方 體邊長之和為多少公分。（請用 n 來表示）（A）2n+4（B）2n-4（C）4n+8 （D）4n-8。 Sol) an＝a1＋（n－1）×d＝12＋（n－1）×4＝4n＋8 （C）8.樓梯有 100 階，由下而上編號從 1 號編到 100 號，甲由 1 號階往上走， 每步走一階，乙由 100 號階往下走，每步走 2 階，假設甲、乙兩人每步所 用時間相同，已知中途兩人在同一階會合，則該階的號碼是幾號？（A） 14（B）24（C）34（D）44（號） Sol) 設該階號碼為 n 號，∴1＋（n－1）×1＝100＋（n－1）×（－2）， n＝100－2n＋2，n＝34 （A）9.等差數列的第五項是9，第十五項是24，若a1是首項，d是公差，則坐標
平面上點(a1＋d，a1－d)在第幾象限?(A)一 (B)二 (C)三 (D)四
Sol) ∵a5＝9，a15＝24，∴
a1 +4d＝9……(1) a1 +14d＝24…(2) ， 2－1：(a1＋14d)－(a1＋4d)＝24－9，∴10d＝15 d＝ 3 2 代入（1）得 a1＋4× 3 2 ＝9 ， a1＝3， ∴(a1＋d，a1－d)＝(3+ 3 2 ，3－ 3 2 )＝( 9 2 ， 3 2 )在第一象限。 （A）10.假設某戲院共有30排坐位，依次每一排比前一排多2個坐位，且最後一 排有82個坐位，請問第1排和第10排共有多少個坐位? (A)66 (B)72 (C)78 (D)84
Sol) ∵a30＝82，d＝2 ∴82＝a1＋29×2"a1＝24，又 a10＝a1＋9d＝24＋9×2＝42，
∴a1＋a10＝24＋42＝66， 【進階練習題】 （C）1.右列數列中：1、1、2、4、7、13、 、44…。缺哪個數呢？（A）16 （B）20（C）24（D）28。 Sol)經過觀察後可發現下述規則：自第四個數起，每個數均為前三個數之和，亦 即 4=1+1+2；7=1+2+4；13=2+4+7；…以此類推空格處應為 4+7+13=24，再
n n-1 n-2 n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 2 1 1 0 n 0 n 0 16 a =2a -a a -a =a -a =a -a = =a -a =a -a =2-1=1 a -a =n, a =a +n=1+n, a =1+16=17 L { { { { { { 5 3 6 a b c 96 0 1 2 3 4 2 4 2, 5, 11, x , y , 95, 191 96 : 96=3 2 3=3 2 , 6=3 2 , a=3 2 , b=3 2 , c=3 2 x=11+3 2 =23, y=95-3 2 =47 x+y=23+47=70 的標準分解式 依此類推 檢查 44=7+13+24 符合！ （A）2.假設有數列為1+3, 1+3+5 , 1+3+5+7 , 5+7 7+9+10 9+11+13+15 L 則此數列的第 7 項為何呢？ （A）1 3（B） 1 4（C） 64 161（D） 49 161。 Sol)
( )
( )
8 2 1+ 8-1 2 1+3+5+7+9+11+13+15 2 1 7 = = = 8 17+19+21+23+25+27+29+31 3 2 17+ 8-1 2 2 第 項 （B）3.假設某數列a , a , a , a , a , L ，已知0 1 2 3 4 a =1, a =2, a =3, L ，已知對任何0 1 2 自然數 n ，3 a =2an n-1-an-2恆成立，請問a =? （A）15（B）17（C）1916 （D）21。 Sol) （D）4.有一數列：2、5、11、x、y、95、191、…，請問 x+y=？（A）40（B） 50（C）60（D）70。 Sol) （D）5.一等差數列首項為a(a為正整數)，公差為－1，則第幾項是－a?(A)a (B)2a (C)a＋1 (D)2a＋1Sol) 設第 an項為－a，則 an＝a＋(n－1)d，－a＝a＋(n－1)(－1)
∴－a＝a－n＋1，即 n＝2a＋1， （B）6.以2，8，9三數分別當做一個等差數列的首項、公差或項數，可任意安排， 欲使數列的末項值最大，則需安排公差為何?(A)2 (B)8 (C)9 (D)無法 確定 Sol)等差數列【公差值】及【項數】愈大則【末項】亦會愈大，故以 2 為首項， 8 為公差，9 為項數 （A）7.在坐標平面上，由點A1（－47，35）向右移動3個單位長，再向下移動2 個單位長，到達點A2。繼續由點A2同樣向右移動3個單位長，再向下移
動2個單位長，到達點A3。如此繼續移動，依次可到達點A4，A5，A6，……，
則點A18在第幾象限內？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四
Sol) A18的 x 軸坐標＝－47＋17×3＝4，y 軸坐標＝35+(-2)×17＝1，∴（4，1）。
（D）8.已知x，8，y成等差數列，且｜x－y｜＝7，則y＝？(A)10 (B)10.5 (C)11 (D)11.5
Sol) x，8，y 成等差數列 ∴x＋y＝16，又︱x－y︱＝7， ∴(1) x+y=16……(1) x－y=7……(2) ，(1)、(2)聯立得 x＝ 23 2 ，y＝ 9 2 ， 或(2) x+y=16……(3) y－x=7……(4) ，(3)、(4)聯立 y＝ 23 2 ，x＝ 9 2 。 （C）9.自 1 到 120 之間，所有被 3 除餘 2 的正整數之和為何？ (Ａ) 2440 (Ｂ) 2430 (Ｃ) 2420 (Ｄ) 2410。 Sol) 和＝2＋5＋……＋119＝ 2 40 121 ＝2420 （C）10.有一個數列 n＋d，2n＋3d，3n＋5d，……，n 和 d 都不是 0，且 n≠d， 有關這個數列的性質，請選出正確的敘述為何？ (Ａ)本數列不是等差 數列(Ｂ)本數列是等差數列，公差是 n＋d (Ｃ)本數列是等差數列，公 差是 n＋2d (Ｄ)本數列是等差數列，公差是 2n－d。 Sol) ∵（2n＋3d）－（n＋d）＝n＋2d，（3n＋5d）－（2n＋3d）＝n＋2d，……， 以此類推：後項－前項皆等於 n＋2d，∴為等差數列，且公差為 n＋2d
