3-1-5三角-三角測量

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(1)1-5 三角測量【目標】能利用三角函數值表或電算器求得某定角的三角函數值（近似值），並結合正﹑ 餘弦定理處理一般的測量問題。【定義】 1. 角度的單位：角度用度、分、秒測量，一度為 60 分，一分為 60 秒。以符號 1  60' ,1'  60' ' 表示。 2. 三角函數值表：求三角函數值除了可使用電算器外，也可以利用三角函數值表，以 10 分為分割，所列出的 0 度至 90 度的三角函數值表，一律取四位有效數字表示。註： 1. 0 ~ 45 查左邊(角度由上往下增加)配合上方三角函數。 2. 45 ~ 90 查右邊(角度由下往上增加)配合下方三角函數。 cos sec csc tan cot sin 角度 .9511 .3249 3.078 1.051 3.236 1800' .3090 7200' .9502 .3281 3.047 1.052 3.207 10' .3118 50' .3145 .9492 .3314 3.018 1.053 3.179 20' 40' .9483 .3346 2.989 1.054 3.152 30' .3173 30' .3201 .9474 .3378 2.960 1.056 3.124 40' 20' .9465 .3411 2.932 1.057 3.098 50' .3228 10' .9455 .3443 2.904 1.058 3.072 7100' .9446 .3476 2.877 1.059 3.046 50' .9436 .3508 2.850 1.060 3.021 40' .9426 .3541 2.824 1.061 2.996 30' .9417 .3574 2.798 1.062 2.971 20' .9407 .3607 2.773 1.063 2.947 10' csc sec cot tan sin 角度如果要用附錄一查 sin3217 ，表上沒有它的值，但可以仿對數表的使用法，查表得 sin3210  0.5324, sin3220  0.5348 ，再以內插法依比例修正尾數，即. 1900' 10' 20' 30' 40' 50'. .3256 .3283 .3311 .3338 .3365 .3393 cos. sin 3217  sin 3210 3017  3210 7    0.7 ， sin 3220  sin 3210 3220  3210 10 sin 3217  0.5324  0.7 ， 0.5328  0.5324 sin3217  0.5324  (0.5348  0.5324)  0.7  0.00168  0.0017 。. 所以 sin3217  0.5324  0.0017  0.5341 。. 【問題】 1. 使用三角函數值表可以查的角度範圍為何？ 2. 角度的有效數字為多少位？三角函數值的有效數字為多少位？ 3. 六個三角函數數值的變化情形為何？是否為遞增或遞減？ 4. 若在三角函數表上查不到的數值，是否可以使用內插法估計三角函數值？. 43.

(2) 【方法】內插法：當函數 y  f (x) 的圖形連續時，且 f ( x1 )  y1 , f ( x2 )  y 2 ，若 x1  x0  x 2 ，且 x1 , x2 很接近時， f ( x0 )  y1 y 2  y1 y  y1  ( x0  x1 ) 。可由，得 f ( x0 ) 的估計值為 y1  2 x0  x1 x 2  x1 x 2  x1 註： 1. 此為利用三角形相似的性質。 2. 當 x1 , x2 很接近時，估計誤差才會比較小。 y y 2  f ( x2 ). y  f (x). y1  f ( x1 ). x. O. x1 x 0 x 2. 【性質】銳角三角函數值的變化情形： → 0 30 . →. 45. →. 60. →. 90. 1. ↗. 3 2 1 2. ↗. 1. ↘. 0. sin. 0. ↗. 1 2. ↗. cos. 1. ↘. ↘. tan . 0. ↗. 3 2 1 3. ↗. 1. ↗. 3. ↗. . cot. . ↘. 3. ↘. 1. ↘. 1. ↘. 0. sec. 1. ↗. ↗. 2. ↗. 2. ↗. . csc. . ↘. ↘. 2. ↘. ↘. 1. 2 3. 2. 2 1. 2. 44. ↘. 3. 2 3.

(3) 【定義】簡易測量： 1. 觀測點：將所觀察目標物視為一個點。 2. 鉛直線：通過地球球心的直線。 3. 水平線：垂直鉛直線的直線。 4. 視線：眼睛與觀測物所成之直線。 5. 仰角：仰望高處目標時，視線與水平線之夾角。 6. 俯角：仰望低處目標時，視線與水平線之夾角。高處目標. 視線眼睛 7.. 仰角俯角. 水平線. 視線. 低處目標. 方位：以東、西、南、北等方向配合角度來形容位置的相對位置。例如：觀測者在 O 點， A 點在東 30 北， B 點在南 20 西。北. 西北. 東北 A. 西. 東 O. 西南. B 南. 東南. 8.. 三角測量：解三角測量問題的主要工具為畢氏定理﹑三角函數的定義﹑正弦定理及餘弦定理。。. 9.. 解三角測量問題的一般程序： (1)依題意畫出圖形，並標示已知邊角。 (2)尋找圖中可解的三角形（已知三邊三角中之三個量，且至少含一邊長），利用正弦定理﹑餘弦定理等，解出其中未知邊角，提供鄰近三角形的邊角資料，逐漸擴及待求的邊或角，即可解之。. 45.

(4) ]【引言】在測量時，由於受到地形、地物的限制，也為了考慮測量的方便性以及減少測量上的誤差，有時需配合解一些三角形的問題，但這些三角形並不一定是直角三角形，有時是銳角三角形或鈍角三角形，因此我們可以使用正弦定理或餘弦定理來配合解相關的問題。在作測量問題，可先作出示意圖，以觀察相對位置之間的關係，並找出所有已知角或已知邊長，再配合正弦定理、餘弦定理、畢氏定理或幾何上的重要性質。要特別注意是平面圖形或者是立體圖形。【方法】解三角測量的一般程序： 1. 依題意畫出圖形，並由三角形中的已知邊或角求出未知邊或角。 2. 檢查有否可解的三角形(已知三邊三角中之三個量，且至少含一邊長)。註： 1. 解三角測量的一般程序：依題意畫出圖形，並由三角形中的已知邊或角求出未知邊或角。 2. 有可解的三角形時(已知三角形三個邊及三個角中之三個量，且至少含一邊長)，解出其中未知邊角，提供相鄰三角形之邊角資料，繼續解之，逐漸擴及待求的邊或角。 3. 沒有直接可解的三角形時，可將待求的邊或角設為未知數，利用正弦定理或餘弦定理寫出方程式，再解之。【類型】測量基本類型與方法：已知三邊三角中之三個量，且至少含一邊長： 1. SSS 型：已知三邊長時，利用餘弦定理求得各角的餘弦值以求出各角。 2. SAS 型：已知兩邊及其夾角時，由餘弦定理求第三邊長，再用正弦定理求出另兩角。 3. ASA 型：已知一邊及另兩內角時，利用三內角和為 180 求得第三角，再由正弦定理求另二邊長。 4. SSA 型：已知兩邊及一內角時，可得第三角，由正弦定理求另一角。註：可能為兩解、一解或無解。. 46.

(5) 【題型】常見的測量題型如下：以下為已知 a , b 等及某些角度，求 h 。 (1)山上有屋 (2)山上有屋，屋上有旗桿 (3)沿山麓上山測山仰角 B a. 30. A. C. D a C h. 60. B. 60 45 30 A. h D h. 30 a. a 15. 30. E. (4)兩地點測山仰角. A. Q. A. B 60 M. P. (5)三地點測山仰角 D. E. h. h. . 45 C. B. A. (6)由一大樓測另一大樓仰角俯角. a. 30 90 b C D. B. (7)空間中兩點測山仰角. C B. D. 30 60 a. D h. h. 45. C. A. 30 a A. R. B. E. (8)共線三點測山仰角. (9)不共線三點測山仰角. h. h. a. a. b. 47.

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