共振駐波演示實驗

共振駐波演示實驗 71

物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 1-16

Chinese Physics Education 2008, 9(1), 1-16 物理教育學刊

2014, 第十五卷第一期, 33-40

Chinese Physics Education 2014, 15(1), 33-40

共振駐波演示實驗

周祥順* _蘇文伸 國立台灣海洋大學 光電科學研究所 *_{通訊作者：[email protected]} （投稿日期：民國 103 年 06 月 20 日，修訂日期：103 年 08 月 07 日，接受日期：103 年 08 月 07 日） 摘要：我們設計了一個簡易的實驗演示共振駐波現象。我們利用電腦分析金屬棒 振動產生聲波的頻譜。手捏金屬棒中間點，敲擊金屬棒，激發波節在中間點的共 振駐波模式，包括基頻及三倍頻共振駐波。因此金屬棒產生基音及三倍頻諧音。 手捏距端點四分之一棒長處，敲擊金屬棒，激發波節在距端點四分之一棒長處的 二倍頻共振駐波。因此金屬棒產生二倍頻諧音。這個實驗可幫助學生瞭解基音與 泛音的關係，而且取材容易，操作簡單，數據準確，適合在課堂演示。 關鍵詞：共振駐波、基音、泛音

壹、前言

共振駐波在許多領域都有重要的應用。例 如，樂器發聲、激光原理、及原子結構都與 共 振 駐 波 有 關 。 高 中 及 大 學 物 理 教 科 書 (Benson, 2013)對共振駐波有詳盡的敘述。實 驗課也安排了與共振駐波有關的實驗，例如 梅爾德實驗及氣柱共振實驗等(國立台灣海 洋大學，2014)。科教場所有許多與共振駐波 相關的展示，例如台中國立科學博物館的氣 笛(圖 1)與管風琴(圖 2)，以及阿姆斯特丹機 場的孔特管(圖 3)等。許多有趣的童玩也是利 用共振駐波原理設計的(周祥順，2012)。 教科書在共振駐波章節均有介紹基音與 泛音的觀念。書中強調:系統的振動是許多不 同頻率的共振駐波的疊加。因此樂器發聲並 非單一頻率，而是基音與泛音的組合。基音 的強度最大，愈高次的泛音強度愈小。儘管 這是每一本教科書都強調的觀念，但據作者 所知，目前並無簡易的教具可以在課堂上演 示這個觀念，學生只能從數學計算建構物理 概念。在本文中，作者設計一個簡易的實驗 演示共振駐波現象。這個演示可幫助學生瞭 解共振駐波產生的機制以及基音與泛音的關 係。在第二段，我們簡單介紹共振駐波原理。 在第三段，我們介紹實驗設計與實驗結果。 第四段為結論。

貳、共振駐波原理

二振幅頻率相同但行進方向相反的波干 涉後產生駐波。當駐波產生時，介質上有些 點永遠靜止不動，這些點稱為波節。二相鄰 波節的中間點振動幅度最大，稱為波腹。駐 波不會在空間中行進，只會在原地改變位移 的大小。 在無邊界的介質中，駐波頻率可為任意 值。但是在有邊界的介質中，只有某些特定 頻率的駐波才能存在。以兩端固定的繩子為 例，只有當繩長為半波長的整數倍時才可產 生駐波，也就是 2  n L

，

n1,2,3_ (1) 駐波的頻率為波速除以波長，因此 L nv f 2 

，

n1,2,3 (2) 其中

v

為波速。連續系統中的駐波稱為正則 模式(Crawford,1968)。每一個頻率對應到一 個正則模式。簡單的振動系統，例如彈簧、 鞦韆，只有一個自然頻率。複雜的振動系統， 例如細繩、琴弦、金屬棒等，則有許多自然 頻率。最低頻率 L v f 2  (3) 稱為基頻或第一諧波。較高的頻率稱為高次 諧波。基頻模式產生的聲音稱為基音或第一 諧音。高次諧波模式產生的聲音稱為泛音或 高次諧音。用手扭曲琴弦，使其形狀與一個 正則模式相同。鬆手後琴弦便以此正則模式 的頻率振動。但若撥動琴弦或以弓拉琴弦， 琴弦的振動是許多正則模式的組合，因此琴 弦發出的聲音包括基音與泛音。基音的強度 最大，愈高次的諧音強度愈小。基音決定樂 器的音調。泛音的數目及它們的相對強度則 決定樂器的音色。我們能分辨小提琴與大提 圖 1：氣笛(國立科學博物館展示模型) 圖 2：管風琴(國立科學博物館展示模型) 圖 3：孔特管(阿姆斯特丹機場展示模型)

琴的聲音即是因為它們具有不同的泛音結 構。 接下來我們討論在有邊界空間中產生駐 波的物理機制。在圖4中，細繩一端繫於振盪 器金屬棒，另一端跨過滑輪懸吊砝碼。在某 瞬間金屬棒向上運動產生一波峰以速率

v

向 前傳遞。波峰到達滑輪對砝碼施向上力。砝 碼對波峰施向下反作用力，因此波峰反射成 為波谷。波谷傳遞到振盪器金屬棒，對金屬 棒施向下力。金屬棒對波谷施向上反作用 力，使波谷反射成為波峰。如果金屬棒所產 生的波峰在繩上來回一趟所需的時間是金屬 棒振動週期 T 的整數倍，也就是 nT vL  2

_，

 3 , 2 , 1  n (4) 則金屬棒所產生的波峰返回金屬棒時金屬棒 會產生另一個波峰。這兩個波峰完全重疊， 產生建設性干涉，造成更高的波峰。這種現 象稱為「共振」(李怡嚴，1980)。由(4)式得 到的金屬棒振動頻率與(2)式中的細繩自然 頻率相同。因此當金屬棒的振動頻率與細繩 的某一個自然頻率相同時，金屬棒便會與細 繩共振。由(4)式得到繩波的波長為 n L f v _2  

。

(5) 這就是我們在(1)式中提到的駐波條件。當金 屬棒與細繩共振時，繩上產生駐波，稱為「共 振駐波」。如果金屬棒的振動頻率不符合駐 波條件，繩波便不會產建設性干涉，因此細 繩不會大幅振動。

參、共振駐波演示實驗

老師手捏金屬棒中間點(圖 5)，敲擊端 點，金屬棒發出清脆響亮的聲音，持續很久。 手捏距端點四分之一棒長處(圖 6)，敲擊端 點，金屬棒發出更高頻率的的聲音。 金屬棒兩端為自由端，振動幅度最大， 因此為波腹。在基頻共振駐波模式中，金屬 棒長度等於半波長(圖 7)。金屬棒中間點保持 靜止，因此為波節。在二倍頻共振駐波模式 中，金屬棒長度等於波長(圖 8)。距端點四分 之一棒長及四分之三棒長處為波節。在三倍 頻共振駐波模式中，金屬棒長度等於二分之 三波長(圖 9)。距端點六分之一棒長、二分之 一棒長及六分之五棒長處為波節。 敲擊金屬棒，金屬棒受脈衝力作用。依 據傅立葉分析，脈衝為許多不同頻率的正弦 及餘弦函數的組合。但是只有頻率與金屬棒 圖 4：共振駐波產生機制。

自然頻率相同的力才可使金屬棒產生共振駐 波。手捏金屬棒中間點，敲擊金屬棒，激發 波節在中間點的共振駐波模式，包括基頻及 三倍頻共振駐波等。因此金屬棒產生基音及 三倍頻諧音等。手捏距端點四分之一棒長 處，敲擊金屬棒，激發波節在距端點四分之 一棒長處的共振駐波模式，包括二倍頻共振 駐波等。因此金屬棒產生二倍頻諧音等。 我們可利用電腦分析金屬棒產生聲波的 頻譜。將金屬棒對著麥克風，敲擊金屬棒(圖 10)。麥克風將聲波訊號轉為類比電訊號。介 面盒再將類比訊號轉為數位訊號輸入電腦。 電腦可以分析聲波強度隨時間的變化以及聲 波的頻譜。手捏金屬棒中間點，敲擊金屬棒。 聲波強度隨時間的變化如圖 11 所示。利用傅 立葉轉換軟體，得到聲波頻譜如圖 12 所示。 金屬棒產生頻率為 3320Hz 及 9963Hz 的聲 波。頻率為 3320Hz 的聲波相對強度最大， 是為基音。頻率為 9963Hz 的聲波相對強度 較小，是為三倍頻諧音。更高頻的諧音強度 太小，系統無法偵測。手捏距端點四分之一 棒長處，敲擊金屬棒。聲波強度隨時間的變 化如圖 13 所示。利用傅立葉轉換軟體，得到 聲波頻譜如圖 14 所示。聲波頻率為 6638Hz， 是為二倍頻諧音。更高頻的諧音強度太小， 系統無法偵測。 圖 5：老師手捏金屬棒中間點，敲擊端點，金屬棒 發出清脆響亮的聲音，持續很久。 圖 6：老師手捏距端點四分之一棒長處，敲擊端 點，金屬棒發出更高頻率的的聲音。 圖 7：金屬棒基頻共振駐波模式。金屬棒長度等於 半波長。 圖 8：金屬棒二倍頻共振駐波模式。金屬棒長度等 於波長。 圖 9：金屬棒三倍頻共振駐波模式。金屬棒長 度等於二分之三波長。

圖 10：將金屬棒對著麥克風，敲擊金屬棒。麥克風將聲波訊號轉為類比電訊號。介面盒再將 類比訊號轉為數位訊號輸入電腦。 圖 11：聲波時域圖(手捏金屬棒中間點)。橫軸 為時間，縱軸為聲波強度(任意單位)。 圖 12 聲波頻譜(手捏金屬棒中間點)。橫軸為頻 率，縱軸為相對強度。較高紅線對應的頻率為 3320Hz，是為基音。較低紅線對應的頻率為 9963Hz，是為三倍頻諧音。 圖 13: 聲波時域圖(手捏距端點四分之一棒長 處)。橫軸為時間，縱軸為聲波強度(任意單位)。 圖 14: 聲波頻譜(手捏距端點四分之一棒長 處)。橫軸為頻率，縱軸為相對強度。紅線對應 的頻率為 3320Hz，是為二倍頻諧音。

肆、結論

在本文中，我們設計了一個簡易的實驗演 示共振駐波現象，幫助學生瞭解基音與泛音 的關係。我們利用電腦分析金屬棒振動產生 聲波的頻譜。手捏金屬棒中間點，敲擊金屬 棒，激發波節在中間點的共振駐波模式，包 括基頻及三倍頻共振駐波。因此金屬棒產生 基音及三倍頻諧音。手捏距端點四分之一棒 長處，敲擊金屬棒，激發波節在距端點四分 之一棒長處的二倍頻共振駐波。因此金屬棒 產生二倍頻諧音。這個實驗取材容易，操作 簡單，數據準確，適合在課堂演示。

參考文獻

1.

李怡嚴 (1980): 大學物理學，台北，東 華書局，396-401。

2.

周祥順 (2012): 氣柱共振演示童玩。物 理雙月刊，34 卷 4 期，298-303。

3.

國立台灣海洋大學 (2014): 普通物理實 驗講義。

4.

Benson, H. (2013): University Physics, Taipei, Eurasia Book Co, pp.333-335.

5.

Crawford, Frank S. (1968): Waves (berkeley physics course-volume 3), New York, McGraw-Hill Book Co, p.49.

A Demonstration Experiment of Resonant Standing Wave

Hsiang-Shun Chou* Wen-Shen Su

National Taiwan Ocean University *

Corresponding author: [email protected]

Abstract

We propose a simple experiment to demonstrate the resonant standing wave. We use computer to analyze the frequency spectrum of a vibrating metal rod. The demonstration helps students understand the mechanism of the resonant standing wave and the concepts of fundamental tone and overtones.