表面張力
蔡尚芳
國立臺灣大學物理系
摘要 一般高中與大學一年級的物理學教材， 在討論與表面張力有關的現象時，對於表面 受到的作用力，其方向為什麼有時是垂直於 表面，有時叉是平行於表面，常缺之較詳細 明確的交代，以致對教學造成相當的困擾。 本文為釐清有關表面張力的一些概念， 特別是液面受到的作用力，究竟是在什麼方 向，舉出一些書本上常見的例子，分別由能 量與力的觀點加以探討，並推導出液面上與 液面下的壓力差與曲率半徑和表面張力的關 係。表面張力
過去參加過一些與高中物理教學有關的 研習會，有機會與不同學校的教師，討論物 理教學實務上遇到的問題，發現有關表面張 力的教材，在高中教學上經常引起困擾，而 其中一個相當難以掌握的基本問題，就是造 成液體表面出現「表面張力」的作用力，究 竟是在什麼方向。 一般高中與大學普通物理學的教材，對 於表面張力的來源與定義，通常可能都比較 簡略，因此容易引起混淆或誤解。有一種常 見的講法如下: 「表面張力指的是表面上的任一小線 段，在與表面平行、但與該小線段垂直的方 向上，每單位長度所受到的作用力。 J(1)
但嚴格地說，表面張力其實是一種能量 密度，指的是在絕對零度時，或當溫度變化 所引起的效應可忽略時，要將液體分子由內 部移到表面(有時亦稱界面或介面) ，使表面 的面積增加一單位時，外力所需做的功;換 言之，表面張力其實就是表面上每一單位面 積內的液體分子，比起這些分子在液體內部 時所增加的位能。導致此內部與表面位能差 異的分子作用力，其方向其實是與液體的表 面垂直，而非平行(參見以下圖3a 、圖 3b 與(六) 的相關說明)。這就難怪有關表面張力的問 題，會引起諸多困擾。 在回答有些問題時，如依照(1)式的說 法，將液面視為到處受到平行於表面的張力 作用，有時雖然亦可得到正確的答案，且相 關的數學計算也簡單許多，但這類的解法， 通常多半隱含著一些沒有交代清楚、甚或錯 誤的觀點與假設(參見以下(六)與(七)的相關 說明)。顯然地，表面張力與作用於表面的 力，到底有什麼樣的關係，是問題的關鍵， 有必要為文加以釐清。(一)分子間的作用力
相距為 r 的兩分子，其彼此間的作用力 /圳大致如圖 l 所示，具有均向性。當兩分子 非常靠近時，作用力為斥力om.fl:
r)
>
0)
，且 21 一隨 ri咸小而急遲增加;當兩分子遠離時，則 為吸引力 (NP
fir)
<
0)
，且隨 r 增加而減小， 在 r 超過一很短的距離 ro
後，間]變得極為微 小，而可忽略o ro
稱為分子的作用距程(rangeof molecular action)
，其大小大約不出幾個分 于直徑。 圖 2 液體內部受到的合力為零f{r)
ti-/ra 吋/\\
吃l三 ls
r
。r
r
c
O
分子作用力 圖 l 圖 3 液體表面受到的作用力向內 考慮位於液體中的一個分子 0 ，如圖 2 同理，若 O 位於液體與固體的界面附 所示。若此分子與液面的距離超過 ri) ，則以 近，且固體對液體的吸附力大於液體的內聚 O 為中心、半徑為布的圓球 S' 其內部將充 力(如玻璃與水) ，則作用於 O 的分子力，將 滿液體分子，且每一分子與 O 之間，均有相 如圖 4a 所示，垂直於界面，而指向液體外 互吸引的分子作用力。由於 S 內部的液體分 面 o 若固體對液體的吸附力小於液體的內聚 子分布具有球對稱，故作用於 O 的分子力， 力(如玻璃與水銀) ，則作用於 O 的分子力， 會成對相消，其合力為零。 將如圖 4b 所示，垂直於界面，但拈向液體 若如圖 3 所示，分子 O 與液面的距離小;;自;(
st\~~I ~/
4 \ I I一 _"r 玻璃
內部。 於 Fi) ，則圓球 S 有一部分不在液體中，因此 作用於 O 的分子力，不再成對相消，其合力 即不為零。基於對稱性考量，此合力的方向水
必垂直於液面。若液面上方的氣體分子對 O 的分子力(即吸附力) ，比液體分子之間的分 子力(即內聚力)為小，則作用於 O 的所有分 子力，其合力將指向液體內部，如圖 3 所示。 圖 4a 表面的作用力向外 守缸 守缸 故位於液體與氣體界面的液體分子，因分子 力的作用，其壓力會較重力單獨產生者為大 O水銀
lfr寸、(
sl;414
表面張力 部造成球形的中空(即氣體與液體界面的面 積為最小) ，如圖 Sa 所示。這樣的平衡態， 與圖 Sb 所示在地球表面上時，為了使重力位 能降低，因此球形容器內的液面，須填滿容 器底部，並使頂端成為水平面的情況，大相 逕庭。 圖 4b 表面的作用力向內 依據上述的結論，如欲將一個液體分 子，在加速度恆為零(亦即動能不變)的情況 下，由液體的內部，移到與氣體鄰接的界面， 則外力必須指向液體外，以克服向內的分子 力(見圖 3) ，故此外力會對液體分子做正功， 圖 5a 液 體 圖 5b 液 體 即液體分子的位能增加。可見在液體表面附 近有一層厚度為凡的液體分子，其位能比液 體內部的分子為大，且愈接近表面者其位能 愈高。故在平衡態時，液體與氣體鄰接的界 面，其面積須為極小。 反之，若來自固體的吸附力，比液體的 內聚力為大，則欲將一個液體分子，在加速 度恆為零的情況下，由液體的內部移到與固 體鄰接的界面，則外力必須指向液體的內 部，以克服向外的分子力(見圖 4a) ，故此時 外力對此液體分子做負功，液體分子的位能 將減少。故在平衡態時，此種固體與液體問 的界面，其面積須為極大。同理，在氣體與 固體間的界面，也會出現類似的結果 O 在失重的情況下，重力位能可忽略不 計，此時若以圓球形固體容器盛裝液體，且 組成容器的固體對液體的吸附力，大於液體 本身的內聚力，則為了使液體分子的總位能 成為最小，液體將到處與固體的器壁接觸(即 固體與液體界面的面積為最大) ，並在液體內 依據(1)式的表面張力定義，只知道沿著 液面方向會有作用力 O 這樣的定義，由於強 調的是作用於表面的力，而非表面與內部的 位能差，要想直接用來理解或說明圖 Sa 或 昂的結果，顯然是較為困難的。其實，這種 定義的較嚴重問題，並不在此，而是在於它 會產生誤導，讓人以為沿著液面方向，存在 著能使表面伸縮的作用力。這與造成上述圖 Sa 中球形中空現象的作用力，乃是沿著半徑 方向向外，而與兩界面垂直，顯然彼此不符。 以下(二)至(四)的討論，暫不考慮重力對 液體所產生的壓力。(二)平面界面由於分子作用力而受到
的內壓力
當液體的自由表面為平面時，根據(一) 所述，表面層的分子會受到垂直於表面、指 向液體內部的分子作用力。因此，如圖 6 所 示，表面層 AB (厚度約為 ro
)以下的液體，會 受到壓力 K' 此壓力並可傳達到各處，使整個液體內部處於相同的壓力，但與毛細現象 無關。這種壓力並非來自外力，因此是一種 「內壓力 (internal
pressure)
J '瑞立 (Lord Rayleigh) 稱其為「內稟壓力 (intrinsicpressure)
J.也就是凡得瓦 (vander
Waals)方程式 (p + α/ν2)(V
-
b)
=
RT 中出現的壓力
修正項。/抖。
了+
T•
-K
•
IIl-v-r
。可↓
ET-zAB
液體 圖 6 平面界面 依據以上所述，當液體的表面為平面 時，分于力作用的結果使表面出現正向的內 壓力。若液體可視為不可壓縮，則其體積固 定，故即使表面的面積改變，內稟壓力所做 的功(壓力 K 乘以體積改變量 ~V) 恆為零，因 此除非液體的體積有所改變，否則並沒有需 要考慮壓力 K 的作用。注意:當液體分于汽 化離開表面時，體積改變，需消耗內能以克 服壓力 K 的作用，此即汽化熱的由來。 (三)由能量觀點看彎曲界面的表面張力
如圖 7 所示，設液體表面 B 是彎曲的， P 為其上一任意點，曲面 C 與 B 的間隔等於 分子的作用距程 ro
'
PQR 為一垂直於曲面 B 的細圓柱。若液面為平面 A ， 則依(二)所述， 位於表面層下的液體，如圖 7 中的 Q 與 R· 均受到相同的內稟壓力 K 。當液面為曲面 B24
時，在 Q 與 R 處的壓力 p 仍然相同，但 p 會比 K 為大，其道理如下。
B
P
dF
r I ·0 I -、、、、、史c ---
---
---E
----rQ
y---dF'
R
圖 7 彎曲的界面 假想將液面填滿至平面 A· 則液體多了 圖 7 中陰影區的部分。此陰影區靠近液體表 面，故其中位於對稱位置 D 與 D' 處的液體， 對表面層內位於 E 處的液體，其分于作用力 dF 與 dF' 的合力方向，將為由 Q 指向 po 故 液體表面為曲面 B 時，由於少了陰影區的部 分 • PQ 段的液體所受到的、由 P 指向 Q 的 合力，會比液面為平面 A 時為大，故在 Q 與 R 處的壓力 p>K 。 若曲面 B 在 P 點的曲率半徑 r 遠大於分 于的作用距程布，則陰影區中能對 PQ 段施 加分子力的液體，其高度 h 昀甚小。在此情 況下，內稟壓力以外之因素所造成的壓力 差，亦即壓力 p 與 K 之差 (p-K) ， 將與各處高 度 h 成正比。但 h 與 r 成反比，故在 Q 與 R 處的壓力可以用拉←拉士 (Laplace) 公式表 示，而得28
(p -
K)
= 一一r
(2)
上式中的比例常數 S 即為表面張力，所有的 毛細現象都可歸因於它(或壓力差p-K) 。 如由能量的觀點出發，則(2)式的結果，注意:當液面朝向液體內部彎曲(即液面向外 亦可利用力學中的功一能定理，以及表面張力 S 的定義(即在液體內部的位能取為零時 'S 乃是表面每單位面積的位能) .依以下方式推 得: 如圖 8 所示，設 ABCD 為液體表面上的
一小面積，其主曲率半徑 (principal
radii of
curvature)為門與吧，而面積α 則為正交弧線
AB 與 BC 的長度乘積，即a=
xy 。若液體 表面內與表面外的壓力差為句(不包括來自 內稟壓力之差) ，則 ABCD 為抵消此壓力差以 保持平衡，對應的會受到大小為 F=
a
!lp
的分子力作用，其方向為垂直於表面向內。 若施一反方向的外力 (-F)於此小面積，使其 治此力之方向(即垂直於表面向外)產生一小位移 h· 則外力所做之功 W= !lpah 須等於
此小面積表面位能之增加量 U ， 即 W=U o 因液體表面增加之面積為da
=
(x
+
dx
)(y
+ 吵卜 xy 三 x砂 +
ydx
'而液體表面每單位面積的位能增加量即表 面張力 s· 故 U =Sda 。由 W=U 可得!l
pah
=
Sda
. 即
h
!lp
da
x砂 +
ydx
/dx
砂
---=一=一一一一=(一+一)
(3
a)
..)
a
xy
x
y
但由圖 8 可看出弧長 x 與張角 α 的關係為x= 門 α 與
x
+
dx
=
(r
J+
h)α
，故
dx
I
x
=
(h α) I(門的= hi 門
。
同理
砂 I
y
=
hi 吧，即 (3a)式右邊的等式可表示
為
da
1
1
一 = h(一+一)
門 r2(3b)
表面張力 凸出)時，主曲率半徑門與同之值為正(如圖 8 所示之情況) ，反之則為負。利用 (3b)式，可 將 (3a)式改寫為拉←拉士公式的形式，即1
1
!lp
=
S(一+一)
(4)
門 r2
當門 =r
2=
r 時， (4) 式即簡化為 (2) 式之結 果。h
C
圖 8 ;:夜面內外的壓力差 (四)由力的觀點看假想為沿著界面作 用的表面張力 為了便於計算，當表面張力為 S 時，有 時也可以假想液體表面的任意一小線段，都受有張力 F 的作用，此張力與表面平行，但
與此小線段垂直，且當小線段的長度為 L時，其大小為 F
=
SL(如圖 9 所示)。此假想、
張力對表面所產生的效應，與指向液體內部 的分子力所產生的一樣，以下以半徑為 r 的 球形液面說明此點。 如圖 10 所示的液體表面為球面的一部 分，當此液體表面內的壓力比外面高出押 時，由於內外的壓力差而對液體表面產生的 淨力，其方向為治 y 軸向上，大小為 b.p 乘以截面積 1lX
2; 但治表面邊沿作用的張力，其
合力治 y 軸向下，大小則為 SL
=
S(2J的乘 以 sm θo 由於平衡時的合力為零，且x
=
rsmθ ，故可得1前 2!1p
=
2
m:
S
sin
θ ，即
2S sin
θ2S
ilp=
=一一
(5)
x
r
此與 (2) 、 (4)兩式的結果一致，但先前推 導此二式時，採用的是能量的觀點，不是力 的觀點，且壓力差的來源是治法線方向指向 液體內部的分子力，而非此處推導 (5)式所假 設的與液面切面方向平行的張力。立于
圖 9 與 j夜面平行的張力 FS
S
圖 10 張力與液面的壓力差(五)毛細管內的液柱高度
推導毛細管內液柱高度常見的一個方 法，就是假設沿著液柱表面有張力作用，因 此在液面邊沿與管壁接觸處的液體(如圖 11 中的 P 與 Q) ， 會受到液體表面因向內收縮以 減小其面積所產生的拉力，此拉力的反作用 力即為管壁對液面的提升力，此力與管壁的 夾角等於接觸角 θ ，其大小 F 為表面張力 S26
與液面週長 L 的乘積，即F
=
SL
=
S(2
JZ"a)
=
-S(2
JZ"r
cos
θ) (注
意:液面向內凹時 r<O' 故上式右邊需加上 負號)。若液體的密度為ρ' 則在平衡時，因 提升力 F 的鉛直分量 Fcos
θ 須等於管內液柱的重量 JZ"(r
cos
θ)2 hgρ ，故得液柱高度 h
滿足下式:付之于
心-a
mm
(6)
F
ep
|『'?
}
'
一
度
vh 口，||」 A 高 -r -主一//一恥
。一\、/-OJ 于一的Try-v
「
P
一內
。
一
-h
一管
Q-JU
ρ
吐
c
恥
p
圖 12 錐形液柱的高度 以上的推理過程與結果，有幾點是值得 注意的。 (甲)更仔細而正確的說， I 管內液柱的重 量」指的應該是「管內液面正下方的液柱重 量 J' 如此在考慮平衡條件時，液柱因側面液 壓而受到的作用力，只會有水平分量，且彼 此相消，而不會影響鉛直方向的力平衡。因表面張力 當頂端的液面邊泊，確與管壁接觸，而 需考慮沿著液體一固體界面的張力時，如圖 11 所示，在液體一固體界面上端 PQ 與下端 AC 的張力，大小相等而方向相反，彼此抵 消，不影響液柱的靜力平衡，故所得的液柱 高度公式，仍為 (6)式與(7)式。
(六)液面與管壁接觸處的液體所受到
的作用力
圖 13 中的 D 代表位於液面邊治與管壁 接觸處的液體，其所受到的作用力，實際上 並非沿著「液體﹒氣體」界面 ED 的方向(即沿 著切線 DC) ， 或「液體固體」界面 BA 的方 向，而應是如下所述，沿著液面在 D 處的法 線方向。 在圖 13 中，斜線區代表液體 ， AB 為管 壁， θ 為接觸角。 w 為 D 處液體的重量 ，F
L 與几分別代表液體(或內聚力)與管壁固體 (或吸附力)對 D 處液體的分子作用力。由於 來自液面上方氣體的作用力可忽略，故 FL
主要來自 DE 與 DB 之間的液體，其方向介於 DEWDB 之間，而 F
s
則來自於管壁固體， 故由對稱性考量，其方向與管壁垂直 oW 、 FL
及凡的合力為
F ， 依靜液平衡條件，其方F
SF
a
p
v
B
圖 13 液面與管壁接觸處的作用E
此如圍 12 所示的粗細不均勻的錐形毛細 管，其液面正下方的液柱體積為v
=
1m勻，重量為 w= ρ句，而管壁對
液面的鉛直提升力Feas昕一的 =
2traS
eas(θ 一 α) 須等於
前述液柱的重量，故得
tra
2h月 =
2
1mS
eas(θ 一 α) ，即液柱高度 h
滿足下式:2S
eas(θ 一 α)2S
pgh
=
-_:.--~一一
(7)
。 -r 比較(6) 、 (7)兩式，可見當液面為相同曲率(或 半徑)的球形面時，錐形與圓筒形毛細管內液 柱上升或下降的高度一樣。 (乙)如圖 11 所示，當氣體壓力隨高度的 變化可忽略時，管內液面上方的氣體壓力， 與液柱底面AC 的靜液壓力(等於管外液面上 方的氣體壓力) ，均等於丸，故對液柱的作 用力正好上下相消，不會影響液柱的靜力平 衡。另外，由此圖可以看出管內液柱上下兩 端的壓力差為L1p=
p - Po
=
-pgh
' 故(7) 式的結果與(2) 、 (4) 、或(5)式完全相同。 (丙)液面邊治與管壁接觸處(圖 11 中之 PQ)乃是「液體一氣體」與「液體固體」兩 種界面的交會點。如果如上所述，假想治著 液體氣體界面有張力的作用，則沿著液體 固體界面的張力作用，也應一併納入考慮。 如此則兩界面均可提供液柱上升之力。但在 推導(6) 、 (7)兩式時，並末考慮治著液體固 體界面的張力，故較嚴謹的說，在以上(甲) 與(乙)中所指的液柱，其頂端的液面邊治其 實只是非常靠近管壁，實際上並不與管壁接觸。
-27 一G
向必須垂直於液面，使在 D 的切線 C 與管壁 有一夾角 θ(即接觸角) ，並使液面在法線方向 感受壓力 po 以上有關液面邊治各作用力的來源與方 向的結論，與上述(四)與(五)中假想液面受到 是平行於表面的張力，兩者顯然有些出入， 故有必要進一步加以釐清 o 嚴格的說， (四) 與(五)其實並不是由力的觀點，而是相當於 由能量的觀點，來探討靜液平衡的問題，也 就是「處於穩定平衡的液體系統，其總位能 須為極小值 J '以下舉一例說明之。 如圖 14 所示，假設液面邊治與管壁的接 觸線 BC' 向上移動一小距離犯而到達 FG 0 設以 Ug
與
Us 分別代表液體的重力位能與 表面位能，並以鉛直向上為 +z 方向，依「液 體一氣體」、「液體一固體」、「氣體一固體」的次序，界面的面積與表面張力分別為 AI 、
A2
、 A3
與
SI 、 S2 、 S3 。對不可壓縮的液 體而言，因可不計與體積變化有關的位能， 故其總位能 U 為表面位能與重力位能之和， 即U=Us+U
g=(S]A] +S2A2 +S3A3)+ fpgzdV
(8)
4
圖 14 中的 B'C' 是液體氣體界面的邊 沿線 BC 到新液面的垂直投影，垂線的長度以 h 表示。 B'C' 將液面分成兩部分，其面積
分別為 A( 與。1
0A{ 可視為是原來液面(面積
為 AI)治法線方向位移 h 後之新面積，故可 參考圖 8 ，利用 (3b)式的面積公式，以主曲率半徑門與吧，將 Ai 與 AI 之差表示為
心l=jjh(f+ 抖I
(9a)
如圖 14 所示，在液體一固體界面BCFG 上，取高度為犯、寬度為ds 的小四邊形為面 積單元，則液體一固體界面的面積等於所有單元面積血泊的總和。故若以“2 與 8A
3
分
別代表A
2
與布的變化量，則得必
2 =一釘3
=
f 征品
0
而 α
叫l 則為 δ4七2 投影到新液面上的面積，故得
。I
=
f(8L
cosθ)ds
(9c)
因在液面附近的體積變化量為hdAI
， 故 得液體體積維持不變的條件為δV
=
HhdA
I
=
0
(9d)
而重力位能的變化量則為8U
g=
H(pgz)hdA
I
(ge)
在(9d)式的限制下，總、位能 U 為極小值的條件為
cV+A87= 品出+品已 +λ87
=
0
(9
t)
上式中的 λ為一未定之任意常數。綜合以上的) 一 28 一與(9a)至 (9f)各式的結果，可得
