6-3-1多項式函數的積分-黎曼和與面積

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(1)選修數學(I)3-1 多項式函數的積分-黎曼和與面積【起源】從微積分字面來看，就可知道微分與積分有密切關係，在十七世紀微積分創始人牛頓與萊布尼茲不約而同的發現這兩種運算，就如同乘法與除法一樣，其實是兩個互逆的運算，這正是微積分基本定理最重要的內涵。【性質】 1. 面積的基本性質：設平面區域 R 的面積以 A(R) 表之，則有以下三點基本性質： (1) 若區域 R1 與區域 R2 全等時，則 A( R1 )  A( R2 ) 。 (2) 若區域 R1 包含於 R2 時，則 A( R1 )  A( R2 ) 。 (3) 若區域 R 可以分割成不重疊（邊界除外）的區域 R1 與 R2 時，則 A( R)  A( R1 )  A( R2 ) 。註： n. 若區域 R 分割成不重疊的 n 個區域 R1 , R2 ,, Rn 時，則 A( R)   A( Rk ) 。 k 1. 2.. 多邊形的面積：矩形的面積是長與寬的乘積，以此為基礎推得三角形的面積為底與高的乘積的一半，再推得平形四邊形的面積為底乘以高，而梯形的面積為上﹑下底之和與高的乘積的一半，. 至於多邊形，一般可以利用分割的技巧求得面積。. 1.

(2) 【方法】 1. 圓面積：半徑 r 的圓，其面積為  r 2 。證明：利用分割的技巧，把半徑為 r 的圓分成 2n 等分，並考慮此圓的內接正 n 邊形、內接正 2n 邊形，與外切正 n 邊形，如圖(a)，. 觀察相連兩等分的扇形部分，如圖(b)， CD 為外切正 n 邊形的邊長， R 為切點， OR  r  半徑，. AB 為內接正 n 邊形的邊長。鳶形 OARB 的面積  扇形 OAB 的面積  OCB 的面積， 1 1 而 OCB 的面積  CD  OR  r  (外切正 n 邊形的邊長)， 2 2 1 1 鳶形 OARB 的面積  AB  OR  r  (內接正 n 邊形的邊長)， 2 2 將它們接合起來，就可知道：內接正 2n 邊形的面積  圓面積  外切正 2n 邊形的面積， 1 1 即 r  (內接正 n 邊形的周長)  圓面積  r  (外切正 n 邊形的周長)， 2 2 再由內接正 n 邊形的周長與外切正 n 邊形的周長，隨著 n 的增大，趨近於半徑 r 的圓周長，假設圓周長公式為 2 r ， 1 由夾擠關係得原面積等於 r  2 r ， 2 2 即 r 。. 2.

(3) 【定義】 1. 收斂數列、發散數列：若數列〈 an 〉，當 n 趨向無限大時， an 趨近於一個定值  ，則稱數列〈 an 〉的極限為  ，記作 lim an   ；當數列〈 an 〉以  為極限時，我們也稱數列〈 an 〉 n . 收斂到  ，並稱〈 an 〉為收斂數列。一個數列如果不收斂，例如〈 n2 〉﹐ 〈 (2)n 〉﹐ 〈 (1) n 〉﹐當 n 趨向無限大時，它們都不會趨近一個定值，像這樣的數列稱為發散數列。【性質】 1. 數列極限的性質：已知  an ,  bn  為收斂數列，則 (1) lim(an  bn )  lim an  lim bn 。 n . n . n . 註：特別 lim(an  c)  lim an  c 。 n . n . lim(an  bn )  lim an  lim bn 。. (2). n . n . n . lim(anbn )  ( lim an )(lim bn ) 。. (3). n . n . n . 註：特別 lim(can )  c lim an 。 n . (4). lim(. n. n . lim an an )  n   (bn  0, lim bn  0) 。 n  bn lim bn n . 【定理】 1. 夾擠定理：若 an  cn  bn , n  n0 ，且 lim an  lim bn   ，則 lim cn   。 n . n . n . 證明：由 an  cn  bn , n  n0 ，得 0  cn  an  bn  an , n  n0 ，再由 lim(bn  an )  lim bn  lim an      0 ，所以 lim(cn  an )  0 ， n . n . n . n . 因此 lim cn  lim((cn  an )  an )  lim(cn  an )  lim an  0     。 n . n. n . n . 【範例】 1. 1.. 設 a  1 ，詴求 lim a n 之值。 n . 解答： 1. 1. 由 a  1 知 a n  1, n  1, 2, 1 n. ，得 a n  1  0, n  1, 2,. 。. 1 n. 令 cn  a  1, n  1, 2, ，即 a  1  cn , n  1, 2, ，由二項式定理及 cn  0 知： a  (1  cn )n  1  ncn , n  1, 2, ，得 a  1  ncn  0, n  1, 2,. ，. a 1  cn  0, n  1, 2, ， n a 1 1 再由 lim  (a  1) lim  (a  1)  0  0, lim 0  0，利用夾擠定理得知 lim cn  0， n  n  n n  n n . 故. 1. 1. 故 lim a n  lim(1  cn )  lim1  lim cn  1  0  1 ，得 lim a n  1 。 n . n . n . n . n. 3.

(4) 【方法】 1. 面積求法：在坐標平面上，設 x [a, b] 時，恆有 f ( x)  0 ，則曲線 y  f (x) ，鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍區域的面積可求之如下： k 對每一正整數 n ，令 xk  a  (b  a), k  0,1,2,, n 為 [a, b] 的 n 等分分割點， n n ba 在 [ xk 1 , xk ] 任取一點 ck ，並令 S n   f (ck )( ) ，只要函數 f 在 [a, b] 上是 n k 1 連續，數列  S n  極限 lim Sn 必會存在，其極限值就是區域 R 的面積 A(R) 。 n . 【應用】 1.. 2k , k  1,2,3,4,5 ， 5 2 2k 每一個矩形底的寬度都是，高度分別為 f ( ), k  1,2,3,4,5 ， 5 5 所以這五個矩形的面積和是 5 5 2k 2 2k 2 81 2 162 f ( )( )   (( ) 2  5)( )     6.48 。  5 5 5 5 5 5 25 k 1 k 1 2k  2 在圖(a)中﹐這五個矩形底邊的左端點分別為 , k  1,2,3,4,5 ， 5 2 2k  2 每一個矩形底的寬度也都是，高度則分別為 f ( ), k  1,2,3,4,5 ， 5 5 所以這五個矩形的面積和是 5 5 2k  2 2 2 101 2 202 2k  2 2 f ( )( )  ( ( )  5)( )     8.08 。   5 5 5 5 5 5 25 k 1 k 1. 在圖中﹐這五個矩形底邊的右端點分別為. 由於 R 包含了左圖中的內接多邊形，而被包含於圖(b)中的外接多邊形，再由面積的性質，可以得到 6.48  A(R)  8.08 。. 4.

(5) 0 2 2n  2 2n 仿照上圖，將 [0,2] 區間分成 n 等分，得 n  1 個分割點 , ,, , ， n n n n 2 n. 每一個矩形底的寬度都是，則 n. n 2k 2 2k 2 )( )   (( ) 2  5)( ) 。 n n n n k 1 k 1 n n 2k  2 2 2 2k  2 2 (2) n 個外接矩形面積和 U n   f ( )( )   (( )  5)( ) 。 n n n n k 1 k 1 (3) Ln  A( R)  U n 。又. (1) n 個內接矩形面積和 Ln   f (. 2k 2 2 n 4k 2 2 )  5)    ( 2  5)  k 1 n n k 1 n n n n ( n  1)(2 n  1) 8 8 k2 4 2n3  3n 2  n 6     10 ，   k 13  10    10 3 n3 n n3 n. Ln   ((. 故 4 2n3  3n 2  n 4 3 1 lim Ln   lim  10   lim(2   2 )  10 3 n  n  n  3 n 3 n n 4 3 1 4 22 。   (lim 2  lim  lim 2 )  10   (2  0  0)  10  n  n  n  3 n n 3 3. 同理， 2k  2 2 2 n (2k  2) 2 2 )  5)    (  5)  2 k 1 n n k 1 n n n (n  1)n(2n  2  1) 8 8  (k  1) 2 4 2n3  3n 2  n 6     10 ，   k 1 3  10    10 3 n3 n n3 n. U n   ( (. 所以， 4 2n3  3n 2  n 4 3 1 4 22 lim U n   lim  10   lim(2   2 )  10   (2  0  0)  10  。 3 n  3 n  n 3 n  n n 3 3 由面積的基本概念所討論的結果： Ln  A(R)  Un ， 22 利用夾擠定理，我們可以求得圖中區域 R 的面積 A( R)  。 3. 5.

(6) 2.. 求 f ( x)  x ,0  x  1，鉛直線 x  1 及 x 軸所圍成區域的面積。說明：之前求區域的面積，若採用等分分割，只是為了計算上的方便，但此題如果使用等分分割，計算起來就變成很複雜。解答：. 1 22 (n  1)2 n2 , x  ,  , x  , x   1 等 (n  1) 個分割點， 2 n 1 n n2 n2 n2 n2 n k2 計算 n 個外接矩形面積和(如圖(a))的極限 lim  ( f ( 2 )( xk  xk 1 )) ， n n k 1 採用 x0  0, x1 . k 2 (k  1)2 2k  1 ，   n2 n2 n2 n n k2 k 2 2k  1 lim ( f ( )( x  x ))  lim ( ( )) 所以極限是   k k 1 n n  n2 n2 n2 k 1 k 1 因為第 k 個區間的寬度 xk  xk  xk 1 . n.  ( 2k. 2.  k). 1 n(n  1)(2n  1) n(n  1) 4n3  3n2  n 2 (  )  。  lim n  n   n3 n  n3 6 2 3 6n3 同樣的，可以計算 n 個內接矩形面積和(如圖(b))的極限：  lim. k 1.  lim. n (k  1) 2 (k  1) 2 2k  1 lim  ( f ( )( xk  xk 1 ))  lim  ( ( 2 )) n n  n2 n2 n k 1 k 1 n. n.  lim.  (k  1)(2k  1). n.  ( 2k. 2.  3k  1).  lim n  n3 n3 1 n(n  1)(2n  1) n(n  1) 4n3  3n2  n 2  lim 3 (2( )  3( )  n)  lim  。 n  n n  6 2 3 6n3 k 1. k 1. n . 由此可知， f ( x)  x ,0  x  1，鉛直線 x  1 及 x 軸所圍成區域的面積是. 6. 2 。 3.

(7) 【思考】討論圖(a)， y  f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域 R 的面積求法。將 [a, b] 分割成有限個區間： [ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], , [ xn1, xn ] ，其中 a  x0  x1  x2   xn1  xn  b ，於是區域 R 被 (n  1) 條鉛直線 x  xk (k  0, 1, , n) 分割成 R1 , R2 , , Rn 互不重疊的細長條區域，如圖(b)所示：. 其次，在每一塊細長條區域 Rk 上，考慮 f ( x) 在 [ xk 1 , xk ] 上取值的狀況。由於 f ( x) 在每一小區間 [ xk 1 , xk ] 是連續，所以 f ( x) 在此區間有最大值與最小值，令 M k 與 mk 分別為 f ( x) 在 [ xk 1 , xk ] 上的最大值與最小值，如此可得到高度分別為 M k 與 mk ，寬度為 xk  xk 1  xk 覆蓋 Rk 的外接矩形 Ek 及落在 Rk 內的內接矩形 I k ，如圖所示：. 由於 I k  Rk  Ek , k  1, 2,. , n，. 於是 A(I k )  A(Rk )  A(Ek ), k  1, 2,. , n，. 即得 mk xk  A(Rk )  M k xk , k  1, 2,. , n，. 因此 m1x1  m2 x2 .  mn xn  A(R1 )  A(R2 ) .  A(Rn )  M1x1  M 2 x2 . 亦即 n. n. k 1. k 1.  mk xk  A( R)   M k xk 。 7.  M n xn ，.

(8) 【定義】 1. 區間分割：把 [a, b] 區間分割成 n 段小區間，其分割點： a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b ，記作 P  {x0 , x1 , x2 ,, xn 1 , xn } ，稱 P 為 [a, b] 的一個分割，而 xk  xk  xk 1 為分割 P 第 k 段的寬度，這 n 段寬度最長的一段稱作分割 P 的範數，記作 || P || 。註：當 f (x) 在 [a, b] 上連續且非負時，若取 P 為 [a, b] 的 n 等分分割，稱 P 為 [a, b] ba 的一個正規分割，此時 || P || 。 n 2. 下和，上和：對於 P  {x0 , x1 , x2 ,, xn 1 , xn }，設 M k 與 m k 分別為 f (x) 在 [ xk 1 , xk ] 上的最大值與最小值，此細長條區域為 Rk ，當 || P || 夠小時， M k xk 與 mk xk 都會很接近 n. n. n. k 1. k 1. k 1. A( Rk )，而且有  mk xk  A( R)   M k xk 的關係，並記做 L f ( P)   mk xk ， n. U f ( P)   M k xk ，分別稱 L f (P) 與 U f (P) 為函數 f 對應於分割 P 的下和與 k 1. 上和，即 L f ( P)  A( R)  U f ( P) 。註：當函數 f 是連續且 || P || 足夠小時， L f (P) 與 U f (P) 都以同一個定數 L 為極限，並記作 lim L f ( P)  lim U f ( P)  L 。 | |P | | 0. | |P | | 0. 8.

(9) 3.. 黎曼和：設 f (x) 為定義於閉區間 [a, b] 上的實函數，且 f (x) 連續， P  {x0 , x1 , x2 ,, xn 1 , xn } 為 [a, b] 的一個分割。如果 ck 為 [ xk 1 , xk ] 上的任一 n. 點， k  1,2,, n ，則稱  f (ck )xk 為 f 對應於分割 P 的一個黎曼和。 k 1. 說明：如圖即為取 n  8 的 f 之一個黎曼和。. 在函數 f 為連續的條件下，不必限制 f ( x)  0 ，我們仍可定義下和 L f ( P ) 與上和 U f ( P ) ，而且它們有如下的關係： n. L f ( P)   f (ck )xk  U f ( P) ， k 1. 數學上仍可證明存在實數 L ，使得 lim L f ( P)  lim U f ( P)  L 的結果， || P||0. || P||0. n. 於是對於任一個黎曼和  f (ck )xk ， k 1. n. 就有 lim  f (ck )xk  L 。 || P|| 0 k 1. 特別情形，取 P 為 [a, b] 的 n 等分分割，此時稱 P 為 [a, b] 的一個正規分割， ba , || P ||  0 相當於 n   ， n 當 f ( x) 在 [a, b] 上連續時，. 則 || P || . 就有下面黎曼和的極限： n. n. lim  f (ck )xk  lim  f (ck )xk  L 。. || P||0 k 1. n  k 1. 另外，當 f ( x) 非負時，這裡的 L 就是 f ( x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域的面積。為便於計算，上面的 ck 點可一律取左端點 xk 1 或一律取右端點 xk ，再對黎曼和取極限來求得區域面。. 9.

(10) 【方法】 1. 求 y  f (x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域 R 的面積。解答：首先將 [a, b] 分割成有限個區間： [ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], ,[ xn 1 , xn ] ，其中 a  x0  x1  x2    xn 1  xn  b ，於是區域 R 被 (n  1) 條鉛直線 x  xk (k  0,1,, n) 分割成 R1 , R2 ,, Rn 互不重疊的細長條區域，其次，在每一塊細長條區域 Rk 上，考慮 f (x) 在 [ xk 1 , xk ] 上取值的狀況。由於 f (x) 在每一小區間 [ xk 1 , xk ] 是連續，所以 f (x) 在此區間有最大值與最小值，令 M k 與 m k 分別為 f (x) 在 [ xk 1 , xk ] 上的最大值與最小值，如此可得到高度分別為 M k 與 m k ，寬度為 xk  xk 1  xk 覆蓋 Rk 的外接矩形 Ek 及落在 Rk 內的內接矩形 I k ，由於 I k  Rk  Ek , k  1,2,, n ，於是 A( I k )  A( Rk )  A( Ek ), k  1,2,, n ，即得 mk xk  A( Rk )  M k xk , k  1,2,, n ，因此 m1x1  m2 x2    mn xn  A( R1 )  A( R2 )     A( Rk )  M 1x1  M 2 x2    M n xn ， n. n. k 1. k 1. 亦即  mk xk  A( R)   M k xk ，記成 L f ( P)  A( R)  U f ( P) ，在數學上可以證得，當函數 f 是連續且 || P || 趨近於 0 時， L f (P) 與 U f (P) 都以同一個定數 L 為極限；並記作： lim L f ( P)  lim U f ( P)  L ，因此 A( R)  L 。 | |P | | 0. 2.. | |P | | 0. 在函數 f 為連續的條件下，不必限制 f ( x)  0 ，仍可以定義下和 L f (P) 與上和 U f (P) ，且有如下關係： n. L f ( P)   f (ck )xk  U f ( P) 。 k 1. 數學上仍可證明存在實數 L ，使得 lim L f ( P)  lim U f ( P)  L 的結果， | |P | | 0. | |P | | 0. n. n. 於是對於任一個黎曼和  f (ck )xk 就有 lim  f (ck )xk  L 。 ||P || 0. k 1. k 1. 特別情形，取 P 為 [a, b] 的 n 等分分割， ba 則 || P || , || P || 0 相當於 n   ， n 當 f (x) 在 [a, b] 上連續時，就有下面黎曼和的極限： n. n. lim  f (ck )xk  lim  f (ck )xk  L ，. ||P || 0. k 1. n . k 1. 另外，當 f (x) 非負時，這裡的 L 就是 f (x) 的圖形與鉛直線 x  a, x  b 及 x 軸所圍成區域 R 的面積。 10.

(11) 【應用】 1. 設拋物線 f ( x)  x2 ，鉛直線 x  1 及 x 軸所圍成的區域 R ，如圖，詴求區域 R 的面積。. 解答：對每一個正整數 n ，將 [0, 1] 區間等分分割成 n 段 [0,. 1 1 2 ], [ , ], n n n. ,[. n 1 n , ]， n n. f ( x)  x 2 在 [0, 1] 上為遞增， k 1 k k 1 k 1 2 故 f ( x) 在第 k 段 [ , ] 上的最小值 mk  f ( )( ) ， n n n n k k 而最大值 M k  f ( )  ( )2 ， n n 1 2 n 1 n 對分割 P  {0, , , , , }， n n n n 1 || P || xk  , || P ||  0 相當於 n   ， n. 故知 1 (n  1)n(2n  1) 2n3  3n 2  n k 1 2 1 1 n 1 n 1  ， )  3  (k  1)2  3  k 2  3  k 1 n 6 6n 3 n n n k 1 n k 1 2n3  3n 2  n 2 1 lim L f ( P)  lim   。 || P||  0 n  6n 3 6 3 n k n 1 1 1 n(n  1)(2n  1) 2n3  3n 2  n U f ( P)   ( )2  3  k 2  3 ( ) ， k 1 n n n k 1 n 6 6n 3 2n3  3n 2  n 2 1 lim U f ( P)  lim   ， || P|| 0 n  6n 3 6 3 1 於是 A( R)  。 3 n. L f ( P)   (. 註： b b 2b (n  1)b nb ], [ , ], , [ , ]， n n n n n 可以計算得拋物線 f ( x)  x2 與鉛直線 x  b ( b  0 )及 x 軸 1 所圍區域的面積為 b3 。 3. 將區間 [0, b] 作 n 等分分割成 [0,. 11.

(12) 2.. 拋物線面積：拋物線 y  x 2 ，鉛直線 x  a, x  b(b  a) 及 x 軸所圍成區域的面積為 1 3 (b  a 3 ) 。 3. 證明：考慮區間 [a, b] 的 n 等分正規分割 P  {x0 , x1 ,, xk 1 , xk ,, xn } ，其中 x0  a  x1  a . ba (k  1)(b  a) k (b  a)    xk 1  a   xk  a     xn  b， n n n. ba  0 相當於 n   ， n k f ( x)  x 2 在區間 [ xk 1 , xk ] 上取 ck  xk  a  (b  a), k  1,2,, n ， n 則得黎曼和 n n k ba ba n Sn   f (ck )xk   (a  (b  a))2 ( )  3  (na  k (b  a))2 n n n k 1 k 1 k 1 ba  3 (n(n2a 2 )  2an(b  a)k  (b  a)2 k 2 ) n n n ba 2 2 2  3 (n a  2an(b  a) k  (b  a)  k 2 ) n k 1 k 1. || P ||  xk  xk  xk 1 . n2 (n  1) n(n  1)(2n  1) ，  (b  a)3 3 n 6n3 1 n 2 (n  1) 再由 lim  lim(1  )  1 ， 3 n   n  n n n(n  1)(2n  1) 1 1 1 1 2n 2  3n  1 lim  lim(   2)  。  lim 3 2 n  n  3 n  6n 2n 6n 3 6n 故得 n2 (n  1) n(n  1)(2n  1) lim Sn  lim((b  a)a 2  a(b  a)2  (b  a)3 ) 3 n  n  n 6n3 n2 (n  1) n(n  1)(2n  1)  (b  a)a 2  a(b  a)2 lim  (b  a)3 lim 3 n  n  n 6n3 1  (b  a)a 2  a(b  a)2  1  (b  a)3  3 2 (b  a) (b2  ab  a 2 )2 1 3  (b  a3 ) ，  (b  a)(a 2  a(b  a)  )  (b  a) 3 3 3 1 3 即求得區域 R 的面積為 (b  a 3 ) 。 3  (b  a)a 2  a(b  a)2. 12.

(13) 3.. 詴求由曲線 y  3 x ( x  0 )與鉛直線 x  1 及 x 軸所圍成區域的面積。 (提示：考慮 [0, 1] 之分割 P  {0,. 1 23 , , n3 n3. ,. (n  1)3 , 1} ) n3. 解答： n. k n. 面積  lim  3 ( )3 ( n . k 1. n k k 3 (k  1)3 3 k 3 (k  1)3  lim ( 3 ) 。  )  3 3 3 n  n 4 n n k 1 n n. 13.

(14)