國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
三維異向性材料旋轉體與楔形體之應力奇異性分析
The analyses of stress singularities of anisotropic Bodies of revolution and
wedges based on three-dimensional elasticity theory
研 究 生：李承哲
指導教授：黃炯憲 博士
三維異向性材料旋轉體與楔形體之應力奇異性分析
The analyses of stress singularities of anisotropic Bodies of revolution and
wedges based on three-dimensional elasticity theory
研 究 生：李承哲 Student：Cheng-Che Lee指導教授：黃炯憲 Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang
國 立 交 通 大 學 土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering
National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements
for the Degree of Master
in
Civil Engineering June 2012
Hsinchu, Taiwan, Republic of China
I
三維異向性材料旋轉體與楔形體之應力奇異性分析
研究生：李承哲
指導教授：黃炯憲 博士
國立交通大學土木工程學系碩士班
摘要
本研究為探討三維異向性材料旋轉體及楔型體於邊界與材料性質不連續處之應力 奇異性。利用特徵函數展開法，並結合級數解之技巧以建立旋轉體及楔形體之彈性應 力奇異性漸進解。該漸進解為直接求解以位移分量表示之三維力平衡方程式。利用比 較文憲中等向性材料之結果確認本研究所推導解之正確性。本研究考慮組成旋轉體與 楔形體之材料可為等向性材料(Isotropic material)、正交性材料(Orthotropic material)及 三斜晶體（Triclinic material）。數值結果顯示單一異向性材料或雙材料(正交性/等向性，三斜晶體/等向性)之奇異性階數，明顯受幾何形狀、邊界條件與材料性質之影響。
II
The analyses of stress singularities of anisotropic Bodies of revolution and
wedges based on three-dimensional elasticity theory
Student：Cheng-Che Lee Advisor：Dr. Chiung-Shiann Huang
Department of Civil Engineering
National Chiao-Tung University
Abstract
The work investigates the stress singularities induced by discontinuities of boundaries or material properties in anisotropic bodies of revolution and wedges. An eigenfunction expansion approach is combined with a power series solution technique to establish the asymptotic solutions around the singular points in bodies of revolution and wedges. The asymptotic solutions are developes by directly solving the 3D equations of equilibrium in terms of displacement components. The correctness of the proposed solutions are validated by comparing the present results with the published ones for isotropic bodies of revolution and wedges. Bodies of revolution and wedges under consideration are made of isotropic, orthotropic or triclinic materials. Numerical results reveal that the geometrically-induced stress singularities in bodies of revolution or wedges made of a single anisotropic material or two materials (orthotropic/isotropic, triclinic/isotropic) are significantly affected by geometry, boundary conditions and material properties. The present results can be used as a check on the solutions via numerical techniques such as finite element approaches.
III
誌謝
本論文得以順利完成，首先要感謝恩師 黃炯憲教授耐心與悉心的指導。作研究 期間，老師嚴謹且不厭其煩的糾正錯誤，使學生的專業知識有所增長；並不斷提供新 設備與優質的研究環境，使得研究能順利完成。在論文修改時，您細心的研讀並提出 建議，使學生的論文得以更加完整。 論文口試時，承蒙交通大學土木工程學系 劉俊秀教授、 林昌佑教授與 郭心怡 教授於口試期間提供寶貴的意見，謹此表示最誠摯的感謝。 這份論文能夠順利完成，感謝研究室政甯學長、明儒學長的指導，在課業與研究 上耐心且大方的指導與協助。在論文撰寫與口試期間，幫忙訂正論文與簡報，並提供 諸多寶貴之建議。尤其是政甯學長，在研究論文上無私的傾囊相授，沒有你的幫助， 我根本無法順利完成此論文。同時也感謝威智學長、連杰學長、靖俞學長、志偉學長， 以及子軒學長、宗輝學長、家宇學長。另外，感謝同窗中原、鈞誠與維莘，因為有你 們的相互扶持，使我在生活與課業上獲益良多。也感謝同學穎泰、進順、宣妤、連峰、 柏林、綸桓、孟軒、思伶、江祥，學弟妹裕鈞、旭進、芳琳，還有宣治、俊佐、晟佑 和俊超一起在生活和研究中成長、幫助。還要感謝所有交通大學的老師們、同學們。 當然還要感謝台北、新竹的朋友們與在新竹研究所期間認識的所有人們。 最重要的，我要感謝我的家人，爸爸、媽媽從小的栽培及付出，並且辛苦的工作， 你們一路支持，讓我無後顧之憂。也要感謝在台北的爺爺、奶奶、叔叔及嬸嬸，對我 的照顧及關心，讓我在台北的日子裡感受到關愛。還有台北、新竹家教家長們對我的 照顧。 最後，我要感謝珮娟，在這一段時間的陪伴、幫助，感恩妳的包容與忍讓，且每 當我感到沮喪、洩氣時，你總是給我鼓勵，帶給我很大正面的動力。同時對我的關心、 照顧並帶給我滿滿的歡樂，讓我這一路走來不孤單。沒有妳，我無法通過這一切！IV
在這即將離開的時刻，這些日子滿滿的回憶湧上心頭，這些點點滴滴將陪伴我走 向未來。凡走過必留下痕跡，凡努力必造就意義。
V
目錄
摘要 ... I Abstract ... II 誌謝 ... III 目錄 ... V 表目錄 ... VII 圖目錄 ... VIII 第一章 緒論 ... 1 §1.1 前言 ... 1 §1.2 研究動機與方法 ... 1 §1.3 文獻回顧 ... 1 §1.4 研究內容 ... 3 第二章 三維旋轉體之幾何所引致應力奇異解 ... 5 §2.1 平衡方程式 ... 5 §2.2 本構方程式 ... 5 §2.3 彈性材料常數座標轉換 ... 6 §2.4 應力與位移之關係 ... 8 §2.5 圓柱( , )r Z 座標轉換成角函數( , )ρ φ 座標 ... 10 §2.6 ρ→0 之奇異性漸進解 ... 13 §2.7 連續條件與邊界條件之滿足 ... 20 §2.8 正交性材料（Orthotropic Materials）之特性 ... 21 第三章 旋轉體應力奇異階數分析 ... 24 §3.1 方法驗證與收斂性分析 ... 24 §3.2 矽化鈦旋轉體之奇異性分析 ... 27 §3.3 不同正交性材料之影響 ... 28 §3.4 矽化鈦彈性係數改變之影響 ... 30VI 3.4.1 Case1 ... 30 3.4.2 Case2 ... 30 3.4.3 Case3 ... 31 §3.5 雲矽鈣石旋轉體之應力奇異性 ... 32 §3.6 雙材料旋轉體之應力奇異性 ... 33 第四章 三維楔形體之幾何所引致應力奇異解 ... 47 §4.1 r→0 之奇異性漸進解 ... 48 §4.2 連續條件與邊界條件之滿足 ... 53 §4.3 正交性材料（Orthotropic Materials）之特性 ... 53 第五章 楔形體結果分析 ... 56 §5.1 方法驗證與收斂性分析 ... 56 §5.2 矽化鈦楔形體之奇異性分析 ... 58 §5.3 雙材料旋轉體之應力奇異性 ... 59 5.3.1 矽化鈦/等向性材料 雙材料楔形體 ... 59 5.3.2 正交性材料/等向性材料 雙材料楔形體 ... 62 5.3.3 雲矽鈣石/等向性材料 雙材料楔形體 ... 63 第六章 結論與建議 ... 75 §6.1 結論 ... 75 6.1.1 三維旋轉體 ... 75 6.1.2 三維楔形體 ... 76 §6.2 建議 ... 77 參考文獻 ... 78
VII
表目錄
表3.1 等向性材料旋轉體最小 λm的實數部分之收斂性………. 25 表3.2 材料彈性係數………... 26 表3.3 改變彈性係數案例說明………... 30 表5.1 等向性材料楔形體最小 λm 的實數部分之收斂性………57VIII
圖目錄
圖2.1 複合式材料旋轉體………... 6 圖2.2 圓柱座標( , )r Z 與角函數座標( , )ρ φ ………. 10 圖2.3 旋轉體子域φ φ φ∈[
0, n]
………. 13 圖3.1 複合式材料之旋轉體角度示意圖………... 24 圖3.2 於收斂性分析中旋轉體之幾何形狀與邊界條件………... 25 圖3.3 F-F 矽化鈦旋轉體(β =360o)之最小 Re[λm]隨γX、γY或γZ之變化……….35 圖3.4 F-F 不同γY下矽化鈦旋轉體之最小Re[λm]隨β之變化……….35 圖3.5 不同γY之F-F 矽化鈦旋轉體(β =360o)最小 Re[λm]隨θ之變化………...36 圖3.6 不同邊界條件矽化鈦旋轉體的最小 Re[λm]隨β之變化（考慮γY =0o）…………..36 圖3.7 β =240o矽化鈦旋轉體之最小Re[λm]在不同邊界條件下隨γY之變化………37 圖3.8 β =300o矽化鈦旋轉體之最小Re[λm]在不同邊界條件下隨γY之變化………37 圖3.9 β =360o之不同正交性材料旋轉體的最小Re[λm]隨γY之改變(F-F 邊界條件）….38 圖3.10 不同正交性材料旋轉體的最小 Re[λm]隨β之改變(考慮γY =0o，F-F 邊界條件).38 圖3.11 β =360o之不同正交性材料旋轉體的最小Re[λm]隨θ之改變(考慮γY =0o，F-F 邊界條件)………. 39 圖3.12 不同正交性材料旋轉體的最小 Re[λm]隨β之改變(考慮γY =0o，C-F邊界條件).39 圖3.13 Case 1 旋轉體的最小 Re[λm]隨β之改變(考慮γY =30o，F-F 邊界條件)………..40 圖3.14 Case 1 旋轉體的最小 Re[λm]隨β之改變(考慮γY =60o，F-F 邊界條件)………...40 圖3.15 Case 2 旋轉體的最小 Re[λm]隨β之改變(考慮γY =0o，F-F 邊界條件)…………41IX 圖3.16 β =360o之Case 3 旋轉體的最小 Re[λm]隨γX、γY或γZ之變化（F-F）……...41 圖3.17β =360o之Case 3 旋轉體之最小 Re[λm]在不同邊界條件下隨θ之變化…………42 圖3.18 β =360o之雲矽鈣石旋轉體之最小Re[λm]在不同邊界條件下隨γY之變化……. 42 圖3.19β =360o之雲矽鈣石旋轉體之在不同γY下最小Re[λm]隨θ之變(F-F 邊界條件)..43 圖3.20 雲矽鈣石旋轉體在不同邊界條件下最小 Re[λm]隨 β 之變化(考慮γY =0o)……..43 圖3.21 雙材料旋轉體在不同β1之最小Re[λm]隨γY之變化(F-F 邊界條件)………..44 圖3.22 β1 =90o，β β− 1=90o之雙材料旋轉體在不同邊界條件下最小Re[λm]隨γY之變 化……….. 44 圖3.23 β1 =90o之雙材料旋轉體在不同γY下最小Re[λm]隨θ之變化(F-F 邊界條件)….45 圖3.24 雙材料旋轉體在不同γY下最小Re[λm]隨β1之變化(F-F 邊界條件)………...45 圖3.25 雙材料旋轉體在不同邊界條件下最小 Re[λm]隨β1之變化(考慮γY =60o)……...46 圖 4.1 楔型體之座標（Ｘ,Ｙ,Ｚ）與（r, ,θ Z）………...47 圖 4.2 楔型體子域θ∈
[
0,θn]
…...51 圖 5.1 複合式材料之楔形體角度示意圖………...56 圖 5.2 於收斂性分析中楔形體之幾何形狀與邊界條件………...57 圖5.3 F-F 矽化鈦楔形體(β =360o)之最小 Re[λm]隨γX、γY或γZ之變化………..65 圖5.4 F-F 不同γX 下矽化鈦楔形體之最小Re[λm]隨β之變化………..65 圖5.5 F-F 不同γY下矽化鈦楔形體之最小Re[λm]隨β之變化………...66 圖5.6 F-F 不同γZ下矽化鈦楔形體之最小Re[λm]隨β之變化………..66 圖5.7 不同邊界條件之矽化鈦楔形體的最小 Re[λm]隨β之變化（考慮γ = ）………...67 0oX 圖5.8 F-F 不同β1下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨γX之變化………..67 圖5.9 F-F 不同β1下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨γY之變化………...68 圖5.10 F-F 不同β1下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨γZ之變化………....68 圖5.11 F-F 不同γX 下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨β1之變化………69 圖5.12 F-F 不同γY下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨β1之變化……….69 圖5.13 F-F 不同γZ下雙材料楔形體之最小Re[λm]隨β1之變化………70 圖5.14 不同邊界條件之雙材料楔形體的最小 Re[λm]隨β1之變化（考慮γ = ）………70 0o 圖5.15 F-F 雙材料楔形體(β1 =150o，β2 =180o)之最小 Re[λm]隨γX 之變化……….71 圖5.16 F-F 雙材料楔形體(β1 =150o，β2 =180o)之最小 Re[λm]隨γY之變化………..71 圖5.17 F-F 雙材料楔形體(β1 =150o，β2 =180o)之最小 Re[λm]隨γZ之變化……….72 圖5.18 F-F 雙材料楔形體(β2 =180o)之最小 Re[λm]隨β1之變化（考慮γ = ）………...72 0o 圖5.19 F-F 雙材料楔形體(β1 =150o，β2 =180o)之最小 Re[λm]隨γX 、γY或γZ之變化...73 圖5.20 F-F 不同γX 下雙材料楔形體(β2 =180o)之最小 Re[λm]隨β1之變化………73 圖5.21 F-F 不同γY下雙材料楔形體(β2 =180o)之最小 Re[λm]隨β1之變化……….74 圖5.22 F-F 不同γZ下雙材料楔形體(β2 =180o)之最小 Re[λm]隨β1之變化……….74
1
第一章
緒論
§1.1 前言
異向性材料在現代工程結構和元件中已被廣泛的應用，而這些材料安全可靠程度也 成為關注的重點。與等向性材料相比，異向性材料的應力奇異性更為複雜，尤其是不同 材料的連接處，應力奇異性容易導致界面破壞，甚至釀成事故。了解異向性材料應力奇 異性，能夠為材料的結構設計與安全性提供一評估之依據。§1.2 研究動機與方法
材料在應用上常面臨應力奇異點（stress singularity）之問題，通常發生於：(1)幾何 形狀不連續（如裂縫尖銳切角或邊界條件）；(2)載重點處（集中載重或載重強度急遽改 變）；(3)材料性質之陡變（如複合材料）。之前學者大多研究等向性材料(Isotropic material) 或層狀複合材料(Laminate composite)在不同邊界條件、材料性質及幾何形狀對應力奇異 性之影響。或是將材料纖維方向（fiber orientations）旋轉後，將其視為異向性材料來做 分析。 本研究將分析一般異向性材料之旋轉體及楔形體，利用特徵函數展開法，並結合級 數解之技巧以建立旋轉體及楔形體之彈性奇異性漸進解。該漸進解為直接求解於以位移 分量表示之三維力平衡方程式；分析在不同邊界條件、材料性質、幾何形狀及材料座標 軸分別對幾何座標軸不一致之情況下，應力奇異性之變化。§1.3 文獻回顧
材料破壞一直為工程應用之重點，為有效預測材料破壞之行為，許多學者針對應力 奇異性問題進行研究探討；常被討論的幾何形狀有旋轉體（Body Revolution）及楔形體 （Wedge），因為其幾何形狀簡單，較易用解析方法求解；其應力奇異特性在實際工程應2 用常遇到。 於等向性(Isotropic)旋轉體之應力奇異性問題探討，常見於文獻中之分析方法可大約 分為兩類，一類為將三維問題，透過軸對稱之假設，分解為面內及面外變形獨立兩問題； 另一為直接求解三維之彈性平衡。因為三維旋轉體的尖銳邊界不連續，會在其附近造成 應力奇異性，Huang 和 Leissa[1] 利用特徵方程展開及位移來表示三維圓柱座標下之平 衡方程式，在不同邊界條件下求取其閉合解；Huang 和 Leissa[2] 利用特徵方程展開在 雙材料旋轉體之尖端處求取其應力奇異性漸進解；異向性旋轉體之應力奇異性問題。由 於材料的複雜性，使得以解析法求解三維異向性材料旋轉體的奇異性(singularity)問題， 在數學的處理上顯得相當困難。 因為層狀複合式材料廣泛使用在結構工程設計上，異向性楔形體之應力奇異性問題 較多受到關注。England[3]指出許多在應力場有精確解的線彈性問題，其應力奇異性會 發生在尖角處與邊界條件改變處，應力奇異性會受邊界條件與幾何形狀改變影響，又以 幾何形狀改變影響較大；假設廣義平面應變或應力下，Bogy[4]及 Kuo 和 Bogy[5,6]根據 Mellin transform 分析當纖維方向在平面上，面內變形之應力問題。Ma 和 Hour[7]用 Mellin transform 解決了面外變形之應力問題。Lin 和 Hartmann [8]利用 Lekhnitskii’s 複變 數法來分析異向性楔形體，其為一特徵值問題，在不同幾何形狀及材料參數下求得應力 奇異性，解決了當纖維方向分別在不同平面上，面內與面外偶合之應力問題。Chue[9,10] 利用Lekhnitskii’s 複數函數建立一通解，並根據此解以決定異向性楔形體之應力奇異階 數。應力奇異階數會隨幾何形狀、邊界條件及材料性質不同而改變。Liu[11]利用 Lekhnitskii’s 函數，分析異向性複合材料之楔形體及連結體在其中一材料之纖維方向不 同於幾何座標方向時，其應力奇異性隨纖維方向旋轉之角度及邊界條件不同而改變。 Chen[12]根據 Ting[13]用 Stroh formalism 建立之二維變形方程式，利用特徵方程式分析
異向性複合材料之楔形體及連結體(junction)，因其幾何形狀、邊界條件及材料性質不同，
探討其應力奇異性之變化。Pageau 和 Biggers[14] 利用有限元素法分析異向性材料由材 料性質與幾何形狀之不連續，所造成應力奇異階數，該法被應用於二維平面之幾何形狀，
3
垂直於該平面方向之幾何形狀保持不變(假設為 prismatic)。結果發現在三維空間之問題
可被簡化為為面內(Inplane)及面外(Antiplane)之問題；假設物理量與厚度無關之條件下， Delale[15]用 Lekhnitskii’s & William’s method 解決了當纖維方向分別在不同平面上，面 內與面外偶合之應力問題。Hwu[16]利用 Stroh formalism，建立一滿足二維異向線彈性 平衡式之解，其為一複雜變異式。藉由滿足邊界條件，可得到楔形體尖端處之應力奇異
階數，應力奇異階數會因材料性質與幾何形狀不同而改變；Pageau[17] 利用有限元素法
及延伸Yamada 與 Okumura 所提出之 Hybrid and Mixed Finite Element Methods，去分析 異向性材料楔形體，因材料性質不同及幾何形狀不連續所造成平面內應力奇異性。
§1.4 研究內容
有別於之前學者均利用二維之力學方法分析應力奇異性問題。本研究利用特徵函數 展開法，並結合級數解之技巧以建立旋轉體及楔形體之彈性奇異性漸進解。該漸進解為 直接求解於以位移分量表示之三維力平衡方程式，並無做任何平面簡化之假設；分析在 不同邊界條件、材料性質、幾何形狀及材料座標軸分別對幾何座標軸不一致之情況下， 應力奇異性之變化。 論文架構如下： 第一章 緒論：主要內容為研究動機與方法、文獻回顧及研究內容之簡介 第二章 三維旋轉體之幾何所引致應力奇異解：利用特徵函數展開法配合級數解，求解 三維旋轉體，以位移表示之平衡方程式，於幾何急劇變化處（如尖角處）之漸 近解；再將正交性材料將材料座標軸（Ｘ,Ｙ,Ｚ）對 X、Y 與 Z 軸進行旋轉，並 分別對其所造成之影響進行探討。 第三章 旋轉體應力奇異階數分析：方法驗證與收斂性分析。探討材料的特性、邊界條 件、幾何形狀、及參數等改變對應力奇異性（singularity）λm值之影響；分析由 正交性材料及三斜晶體構成單一材料之應力奇異性。以及分析由正交性材料與4 等向性材料組合成雙材料之應力奇異性。 第四章 三維楔型體之幾何所引致應力奇異解：利用特徵函數展開法配合級數解，求解 三維楔形體，以位移表示之平衡方程式，於幾何急劇變化處（如尖角處）之漸 近解；再將正交性材料將材料座標軸（Ｘ,Ｙ,Ｚ）對 X、Y 與 Z 軸進行旋轉，並 分別對其所造成之影響進行探討。 第五章 楔形體應力奇異階數分析：方法驗證與收斂性分析。探討材料的特性、邊界條 件、幾何形狀、及參數等改變對應力奇異性（singularity）λm值之影響；分析由 矽化鈦構成單一材料之應力奇異性。以及分析由正交性材料與等向性材料、三 斜晶體材料與等向性材料組合成雙材料之應力奇異性。 第六章 結論與建議：總結此研究中旋轉體與楔形體個參數變化對奇異性之影響；並建 議此研究於未來進一步探討之部分。
5
第二章
三維旋轉體之幾何所引致應力
奇異解
本章利用特徵函數展開法配合級數解，求解三維旋轉體，以位移表示之平衡方程式， 於幾何急劇變化處（如尖角處）之漸近解，以便探討由幾何所引致支應力奇異現象。§2.1 平衡方程式
考慮如圖 2.1 所示之旋轉體，為了求解的便利性，用圓柱座標系（r, , Zθ ）來表示三 維力平衡方程式。在不考慮體力（Body force）下之力平衡方程式為(
)
1 r rr 0 rr rz r r z r θθ θ σ σ σ σ σ θ − ∂ ∂ + +∂ + = ∂ ∂ ∂ (2.1a) 1 2 0 r z r rθ r θθ zθ rθ σ σ σ σ θ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ (2.1b) 1 z 0 rz zz rz r r θ z r σ σ σ σ θ ∂ ∂ + +∂ + = ∂ ∂ ∂ (2.1c)§2.2 本構方程式
由假設構成旋轉體材料為rectangularly anisotropic，該材料之本構方程式在卡式座 標系（Ｘ,Ｙ,Ｚ）（參看圖2.1）為
{ }
σ = C{ }
ε{ }
{
}
T xx yy zz yz zx xy σ = σ σ σ σ σ σ，
{ }
ε ={
εxx εyy εzz 2εyz 2εzx 2εxy}
T6 其中異向性材料之彈性係數為 11 12 13 14 15 16 12 22 23 24 25 26 13 23 33 34 35 36 14 24 34 44 45 46 15 25 35 45 55 56 16 26 36 46 56 66 c c c c c c c c c c c c c c c c c c C c c c c c c c c c c c c c c c c c c = 於本文中，稱（Ｘ,Ｙ,Ｚ）為材料異向性之材料座標軸，如圖 2.1 所示之旋轉體，其幾何 座標軸（（Ｘ,Ｙ,Ｚ）或（r, , Zθ ））與材料座標軸不一致。
§2.3 彈性材料常數座標轉換
為配合平衡方程式(2.1)，將材料系數轉換至圓柱座標系（r, , Zθ ），可得在（r, , Zθ ）座 標系統之本構方程式{ }
σ =[ ]
C{ }
ε (2.2) 其中{ } {
}
T rr θθ zz θz zr rθ σ = σ σ σ σ σ σ，
{ } {
ε = εrr εθθ εzz 2εθz 2εzr 2εrθ}
T 圖 2.1 複合式材料旋轉體7
[ ]
11 12 13 14 15 16 12 22 23 24 25 26 13 23 33 34 35 36 14 24 34 44 45 46 15 25 35 45 55 56 16 26 36 46 56 66 c c c c c c c c c c c c c c c c c c C c c c c c c c c c c c c c c c c c c = [ ]
C 為θ之函數，與 C 之間的轉換關係如下[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
T 1 T K K T C = σ C ε− 其中[ ]
T σ 2 2 2 2 2 2cos sin 0 0 0 2cos sin
sin cos 0 0 0 2cos sin
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
cos sin cos sin 0 0 0 cos sin
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = − − −
[ ]
T ε 2 2 2 2 2 2cos sin 0 0 0 cos sin
sin cos 0 0 0 cos sin
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
2cos sin 2cos sin 0 0 0 cos sin
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = − − −
[ ]
(
(
)
)
(
( )
)
(
(
)
)
(
)
( )
(
)
11 12 13 21 22 23 31 32 33cos , cos , cos ,
L cos , cos , cos ,
cos , cos , cos ,
X X X Y X Z l l l Y X Y Y Y Z l l l l l l Z X Z Y Z Z = =
[ ]
1 2 3 4 K 2K K K K = 2 2 2 11 12 13 2 2 2 1 21 22 23 2 2 2 31 32 33 K l l l l l l l l l = 12 13 13 11 11 12 2 22 23 23 21 21 22 32 33 33 31 31 32 K l l l l l l l l l l l l l l l l l l = 21 31 22 32 23 33 3 31 11 32 12 33 13 11 21 12 22 13 23 K l l l l l l l l l l l l l l l l l l = 22 33 23 32 23 31 21 33 21 32 22 31 4 32 13 33 12 33 11 31 13 31 12 32 11 12 23 13 22 13 21 11 23 11 22 12 21 K l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l + + + = + + + + + + 8
§2.4 應力與位移之關係
在圓柱座標（r, , Zθ ），應變與位移之關係為 1 1 , , , r r z z rr ur θθ r uθ ur zz uz θz uzθ r u ε ε ε ε θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + = = + ∂ ∂ ∂ ， ∂ ∂ 1 , z r r zr ur uz rθ r u urθ urθ ε ε θ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + − ∂ ∂ ∂ ∂ (2.3) 其中 u 、ur θ、u 分別為 r ，z θ和Z方向位移。 由式(2.2)及(2.3)可得 11 r 12 1 r 13 z 14 1 z 15 z r rr c ur c r uθ ur c uz c uzθ r u c ur uz σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 16 1 ur u u c r r r θ θ θ ∂ ∂ + + − ∂ ∂ (2.4a) 12 22 23 24 25 1 1 r u r z u z z r u u u u u u c c c c c r r θ r z zθ r r z θθ σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 26 1 ur u u c r θ rθ rθ ∂ ∂ + + − ∂ ∂ (2.4b) 13 r 23 1 r 33 z 34 1 z 35 z r zz c ur c r uθ ur c uz c uzθ r u c ur uz σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 36 1 ur u u c r r r θ θ θ ∂ ∂ + + − ∂ ∂ (2.4c) 14 r 24 1 r 34 z 44 1 z 45 z r zθ c ur c r uθ ur c uz c uzθ r u c ur uz σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 46 1 ur u u c r r r θ θ θ ∂ ∂ + + − ∂ ∂
(2.4d) 15 r 25 1 r 35 z 45 1 z 55 z r zr c ur c r uθ ur c uz c uzθ r u c ur uz σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 56 1 ur u u c r θ rθ rθ ∂ ∂ + + − ∂ ∂
(2.4e) 16 r 26 1 r 36 z 46 1 z 56 z r rθ c ur c r uθ ur c uz c uzθ r u c ur uz σ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 66 1 ur u u c r θ rθ rθ ∂ ∂ + + − ∂ ∂
(2.4f)
9 將式(2.4)代入方程式(2.1)可得以位移表示之平衡方程式： 2 2 16 56 66 11 2 55 2 11 15 2 c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ + ∂ + +∂ ∂ + +∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 26 16 56 15 22 66 2 2 1 2c r r θ 2c r θ z 2c r z c cθ c θ r ur ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 66 46 16 2 45 2 26 14 24 56 c c c c c c c c r z θ r r θ r z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + − + + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(
)
2(
)
2(
)
2 26 22 66 2 12 66 25 46 14 56 c c c c c c c c c r r r r z r z θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 66 56 26 26 2 2 15 2 35 2 15 25 1 c c c u c c c c c r θ r z r r θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + + + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (
)
2(
)
2 36 46 13 23 24 2 14 56 36 45 c c c c c c c c c r z r r r r z θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + + − + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (
13 55)
2 46 2 2 2 c c r z c r θ uz 0 ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ (2.5a) 2 2 25 26 12 16 2 45 2 2 16 26 2 56 24 22 66 2 c c c c c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ + ∂ + + +∂ ∂ + + +∂ ∂ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (
)
2(
)
2(
)
2 22 2 12 66 25 46 56 14 26 26 2 2 1 c c c c c c c c c ur r r θ r θ z r z θ θ r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 26 24 22 66 2 44 2 66 46 2 c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 26 26 24 46 66 22 2 2 1 2c 2c 2c c c c u r r θ r θ z r z θ θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 25 23 24 56 2 34 2 2 56 2 36 46 2 c c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (
25 46)
2(
23 44)
2(
36 45)
2 24 2 2 2 c c c c c c c uz 0 r r θ r θ z r z r θ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.5b) 2 2 45 46 14 15 2 35 2 15 25 23 55 24 2 c c c c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ + ∂ + + +∂ ∂ + + +∂ ∂ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (
)
2(
)
2(
)
2 24 2 14 56 45 36 55 13 46 2 2 1 c c c c c c c c ur r r θ r θ z r z θ θ r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 46 44 24 56 2 34 2 45 36 46 2 c c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + − + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 10
(
)
2(
)
2(
)
2 46 2 25 46 44 23 45 36 24 2 2 1 c c c c c c c c u r r θ r θ z r z θ θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 45 34 44 55 2 33 2 55 35 2 c c c c c c c r z θ r r θ r z θ r θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 45 34 35 44 2 2 2c 2c 2c c uz 0 r r θ r θ z r z r θ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.5c)§2.5 圓柱
( , )r Z座標轉換成角函數
( , )ρ φ座標
為探討在如圖 2.1 中尖角處之應力奇異性，吾人須將( , )r Z 座標轉換如圖2.2 所示之 ( , )ρ φ 座標，此二座標系統的關係如下(
)
2 2 , r R z ρ = − + tan 1 z , r R φ = − − − r R− =ρcos ,φ 和 z= −ρsin ,φ (2.6) 將式(2.6)代入方程式(2.5)可得 圖 2.2 圓柱座標 與角函數座標11 16 56 11 1 55 3 2 15 5 cos1 11 2 15 4 2 16 2 c c c L c L c L c L c L c L R ρ φ θ θ θ + + + +∂ + +∂ + ∂ + ∂ ∂ ∂
(
)
2 26 66 56 4 2 22 66 2 1 2 cos r c c c L c c u R θ ρ φ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − + + + ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ (
)
66 16 1 45 3 14 56 5 1 26 2 cos c c L c L c c L c L R ρ φ θ ∂ + + + + + − + + ∂ (
)
(
)
46 14 24 56 4 12 66 2 25 46 4 +c −c −c +∂cθ L + c +c ∂θ L + c +c ∂θ L ∂ ∂ ∂ 66 46 26 2 14 24 56 4 1 cos c c c L c c c L R ρ φ θ θ ∂ ∂ + − + + − − + + ∂ ∂ (
)
2 66 26 26 26 22 66 2 2 1 cos c c c c c c u R θ θ θ θ θ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ + (
)
56 15 1 35 3 13 55 5 1 15 25 2 cos c c L c L c c L c c L R ρ φ θ ∂ + + + + + − + + ∂ (
)
(
)
36 13 23 4 14 56 2 36 45 4 +c −c +∂cθ L + c +c ∂θ L + c +c ∂θ L ∂ ∂ ∂ (
)
2 46 24 46 2 2 1 0 cos z c c c u R θ θ θ ρ φ ∂ ∂ ∂ + − + + = ∂ ∂ ∂ + (2.7a)(
)
12 16 1 45 3 56 14 5 cos1 2 16 26 c 2 c L c L c c L c c L R ρ φ θ + + + + + +∂ + ∂ (
)
(
)
25 56 24 4 21 66 2 25 46 4 +2c +c +∂cθ L + c +c ∂θ L + c +c ∂θ L ∂ ∂ ∂ (
)
2 26 22 26 26 22 66 2 2 1 cos r c c c c c c u R θ θ θ θ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ + 26 24 66 1 44 3 2 46 5 cos1 66 c 2 46 c 4 2 26 2 c L c L c L c L c L c L R ρ φ θ θ θ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ (
)
2 26 22 24 4 2 66 22 2 1 2 cos c c c L c c u R θ θ ρ φ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + − − + ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ (
)
25 23 56 1 34 3 36 45 5 cos1 2 56 2 2 36 4 c c c L c L c c L c L c L R ρ φ θ θ ∂ ∂ + + + + + + + + + ∂ ∂ (
)
(
)
(
)
2 24 25 46 2 23 44 4 2 46 24 2 1 0 cos z c c c L c c L c c u R θ θ ρ φ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ (2.7b)12
(
)
14 45 15 1 35 3 55 13 5 cos1 15 25 2 23 55 4 c c c L c L c c L c c L c c L R ρ φ θ θ + + + + + +∂ + + +∂ + ∂ ∂ (
)
(
)
(
)
2 24 14 56 2 45 36 4 2 46 2 1 cos c c c L c c L c R θ θ ρ φ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + ∂ ∂ + ∂ ∂ (
)
46 46 24 56 1 34 3 45 36 5 1 2 cos r c c c u c L c L c c L L R θ θ ρ φ θ ∂ ∂ ∂ + + + + + + + ∂ ∂ + ∂ (
)
(
)
44 45 36 4 25 46 2 44 23 4 +c −c +∂cθ L + c +c ∂θ L + c +c ∂θ L ∂ ∂ ∂ (
)
2 46 24 46 24 2 2 1 cos c c c c u R θ θ θ θ θ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ + 45 34 55 1 33 3 35 5 1 55 2 35 4 2 cos c c c L c L c L c L c L R ρ φ θ θ ∂ ∂ + + + + + + + + ∂ ∂ (
)
2 44 45 2 34 4 1 2 44 2 2 2 0 cos z c c L c L c u R θ θ ρ φ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ (2.7c) 其中 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2sin 2sin cos 2sin cos sin
cos L φ φ φ φ φ φ φ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 cos sin L φ φ ρ ρ φ ∂ ∂ = − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2
cos 2sin cos 2sin cos cos
sin L φ φ φ φ φ φ φ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 4 sin cos L z z ρ φ φ φ ρ φ ρ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 5 2 2 2 2
sin cos cos 2 cos 2 sin cos sin cos L φ φ φ φ φ φ φ φ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
13
§2.6 ρ→0 之奇異性漸進解
利用特徵函數展開法，解的形式可表示成如下(
)
( )(
)
0 0 ˆ , , m n m , r n m n u ρ θ φ ∞ ∞ ρλ +U θ φ = = =∑∑
(
)
( )( )
0 0 ˆ , , m n m , n m n u λ V θ ρ θ φ ρ θ φ ∞ ∞ + = = =∑∑
(
)
( )( )
0 0 ˆ , , m n m , z n m n u ρ θ φ ∞ ∞ ρλ +W θ φ = = =∑∑
(2.8) λ 是待定的參數，此參數可以為複數，因為要確保在m ρ =0之有限位移變形，實數 部分一定為正數，因奇異性(singularity)行為發生在 ρ 逼近 0 的時候，故將式(2.8)代入方 程式(2.7)做整理，並只取 ρ 最低次項的係數，吾人可得 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 圖 2.3 子域14 ( )
(
) (
)
( ) 2 0 0 55 11 15 2 1 ˆ 1 ˆ 1 sin 2 2 cos 2 m m m U λ c c φ c φ U φ φ ∂ + − − − ∂ ∂ ∆ ∂(
)
(
)
2(
(
)
)
2 55 11 11 55 1 1 λm λm 1 c c sin φ λm λm 1 c c cos φ + − + + − + ∆ (
)
( ) 2 2(
14 56)
2 0( ) 15 0 16 45 2 1 ˆ 1 ˆ2 sin 2 sin cos sin 2
2 m m m m c c V c U c c λ λ φ φ φ φ φ + ∂ + − + + + ∆ ∂
(
) (
)
(
)
0( ) 45 16 14 56 ˆ λm 1 c c sin 2φ c c cos 2φ Vφm ∂ + − − − + ∂(
)
2 2(
14 56)
16 451 cos sin sin 2
2 m m c c c c λ λ φ φ φ + + − + −
(
14 56)
( ) 2 2 16 45 ˆ0sin cos sin 2
2 m m c c c c V λ φ φ + φ + + +
(
)
( )(
) (
)
2 13 55 2 2 0 15 35 2 35 15 1 ˆ 1sin cos sin 2 1 sin 2
2 m m c c W c φ c φ φ λ c c φ φ + ∂ + + + + − − ∆ ∂
(
)
0( )(
)
2 2(
13 55)
13 55 15 35 ˆcos 2 1 cos sin sin 2
2 m m m c c W c c φ λ λ c φ c φ φ φ + ∂ − + ∂ + − + −
(
13 55)
( ) 2 2 15 35 ˆ0sin cos sin 2 0
2 m m c c c c W λ φ φ + φ + + + = (2.9a) ( )
(
) (
)
( ) 2 0 0 44 66 46 2 2 ˆ 1 ˆ 1 sin 2 2 cos 2 m m m V λ c c φ c φ V φ φ ∂ ∂ + − − − ∂ ∆ ∂(
)
(
)
2(
(
)
)
2 44 66 66 44 2 1 + λm λm−1 c +c sin φ λ+ m λm−1 c +c cos φ ∆ (
)
( ) 2 2(
56 14)
2 0( ) 46 0 16 45 2 2 ˆ 1 ˆ2 sin 2 sin cos sin 2
2 m m m m c c U c V c c λ λ φ φ φ φ φ + ∂ + − + + + ∆ ∂
(
) (
)
(
)
0( ) 45 16 56 14 ˆ λm 1 c c sin 2φ c c cos 2φ U m φ ∂ + − − − + ∂(
)
2 2(
56 14)
16 451 cos sin sin 2
2 m m c c c c λ λ φ φ φ + + − + −
(
56 14)
( ) 2 2 16 45 ˆ0sin cos sin 2
2 m m c c c c U λ φ φ + φ + + +
(
)
( )(
) (
)
2 36 45 2 2 0 56 34 2 34 56 2 ˆ 1sin cos sin 2 1 sin 2
2 m m c c W c φ c φ φ λ c c φ φ + ∂ + + + + − − ∆ ∂
(
)
0( )(
)
2 2(
36 45)
36 45 56 34 ˆcos 2 1 cos sin sin 2
2 m m m c c W c c φ λ λ c φ c φ φ φ + ∂ − + ∂ + − + −
15
(
36 45)
( )2 2
56 34 ˆ0
sin cos sin 2 0
2 m m c c c c W λ φ φ + φ + + + = (2.9b) ( )
(
) (
)
( ) 2 0 0 33 55 35 2 3 ˆ 1 ˆ 1 sin 2 2 cos 2 m m m W λ c c φ c φ W φ φ ∂ ∂ + − − − ∂ ∆ ∂(
)
(
)
2(
(
)
)
2 33 55 55 33 3 1 λm λm 1 c c sin φ λm λm 1 c c cos φ + − + + − + ∆ (
)
( ) 2 2(
13 55)
2 0( ) 35 0 15 35 2 3 ˆ 1 ˆ2 sin 2 sin cos sin 2
2 m m m m c c U c W c c λ λ φ φ φ φ φ + ∂ + − + + + ∆ ∂
(
) (
)
(
)
0( ) 35 15 13 55 ˆ λm 1 c c sin 2φ c c cos 2φ Uφm ∂ + − − − + ∂(
)
2 2(
13 55)
15 351 cos sin sin 2
2 m m c c c c λ λ φ φ φ + + − + −
(
31 55)
( ) 2 2 15 35 ˆ0sin cos sin 2
2 m m c c c c U λ φ φ + φ + + +
(
)
( )(
) (
)
2 36 45 2 2 0 56 34 2 34 56 3 ˆ 1sin cos sin 2 1 sin 2
2 m m c c V c φ c φ φ λ c c φ φ + ∂ + + + + − − ∆ ∂
(
)
0( )(
)
2 2(
36 45)
36 45 56 34 ˆcos 2 1 cos sin sin 2
2 m m m c c V c c φ λ λ c φ c φ φ φ + ∂ − + ∂ + − + −
(
36 45)
( ) 2 2 56 34 ˆ0sin cos sin 2 0
2 m m c c c c V λ φ φ + φ + + + = (2.9c) 其中 2 2
1 c11sin φ c55cos φ c15sin 2φ
∆ = + + ， 2 2
2 c66sin φ c44cos φ c46sin 2φ
∆ = + + ，
2 2
3 c55sin φ c33cos φ c35sin 2φ
∆ = + +
方程式(2.9)是一組變係數常微分方程式，但是係數都是
( )
θ φ, 之函數，要找到解析 解（closed-form solution）是不可能的，級數解法（power series method）為解變係數常 微分方程式之常用之方法；級數解取到越高次項所得的解會越精確，但卻也常會造成數值計算之困難。為了解決此問題，我們將全域切割成許多子域，如圖 2.3，子域間必須
滿足連續條件；此方法對於建立多材料旋轉體之解是非常方便的。
為了建立子域的級數解，將微分方程式的變係數（φ 之函數）於每個子域中之中點（φ ） 以泰勒展開式表示：
16
(
)
( ) 0 1 sin 2 K k i k k a φ φ φ = = − ∆∑
，(
)
2 ( ) 0 1 cos K k i k k b φ φ φ = = − ∆∑
，(
)
2 ( ) 0 1 sin K k i k k c φ φ φ = = − ∆∑
(
)
( ) 0 1 cos 2 K k i k k d φ φ φ = = − ∆∑
， 2 0 ( )(
)
sin 2 K k i k k e φ φ φ = = − ∆∑
，(
)
2 ( ) 0 2 cos K k i k k f φ φ φ = = − ∆∑
(
)
2 ( ) 0 2 sin K k i k k g φ φ φ = = − ∆∑
， 2 0 ( )(
)
cos 2 K k i k k h φ φ φ = = − ∆∑
， 3 0 ( )(
)
sin 2 K k i k k l φ φ φ = = − ∆∑
(
)
2 ( ) 0 3 cos K k i k k m φ φ φ = = − ∆∑
，(
)
2 ( ) 0 3 sin K k i k k n φ φ φ = = − ∆∑
，(
)
( ) 0 3 cos 2 K k i k k o φ φ φ = = − ∆∑
(2.10) 因此，在每個子域中的位移函數也均以級數表示： ( ) ( )(
)
0 0 ˆ ˆ m J i j j j U A φ φ = =∑
− ， 0( ) ( )(
)
0 ˆ m J ˆ i j j j V B φ φ = =∑
− ， 0( ) ( )(
)
0 ˆ ˆ m J i j j j W C φ φ = =∑
− (2.11) 將式(2.10)與(2.11)代入方程式(2.9)，根據 Tseng 等人[18]之方法整理可得(
)(
)
{
( )(
) (
)
( ) ( )(
)
( ) 2 55 11 15 1 0 0 ˆ ˆ 2 1 j 1 2 1 J i i i i j m j k j k k j k j j A+ λ c c a − c d − k A+ = = + + + − − − +∑
∑
(
)
(
)
( )(
(
)
)
( )(
)
( ) ( ) 55 11 11 55 15 ˆ 1 i 1 i 2 i i m m c c cj k m m c c bj k c aj k Ak λ λ − λ λ − λ λ − + − + + − + + − (
14 56)
(
)(
)
(
) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 j ki 45 j ki 2 j ki 2 1 ˆki2 m 1 45 16 j ki c c c c− c b− + a− k k B + λ c c a − + + + + + + − − (
)
( )(
)
( )(
)
( ) ( )(
14 56)
( ) 14 56 j ki 1 ˆki1 m m 1 16 j ki 45 j ki 2 j ki c c c c d − k B + λ λ c b− c c− a − + − + + + − + − (
14 56)
( ) ( ) ( ) ( ) 16 45 ˆ 2 i i i i m j k j k j k k c c c c c b a B λ − − − + + + + (
13 55)
(
)(
)
(
) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 j ki 35 j ki 2 j ki 2 1 ˆki2 m 1 35 15 j ki c c c c− c b− + a − k k C + λ c c a − + + + + + + − − (
)
( )(
)
( )(
)
( ) ( )(
13 55)
( ) 13 55 j ki 1 ˆki1 m m 1 15 j ki 35 j ki 2 j ki c c c c d − k C + λ λ c b− c c − a − + − + + + − + − (
13 55)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) 15 35 ˆ 0 2 j i i i i m j k j k j k k c c c c c b a C λ − − + − φ φ + + + − = (2.12a)17
![圖 3.3 F-F 矽化鈦旋轉體( β = 360 o )之最小 R e [λ m ]隨 γ 、 X γ 或 Y γ 之變化 Z](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/47.892.209.738.114.1063/FF矽化鈦旋轉體β=之最λ隨γXγ或Yγ之變Z.webp)
![圖 3.5 不同 γ 之 F-F 矽化鈦旋轉體( Y β = 360 o )最小 R e [λ m ]隨 θ 之變化](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/48.892.210.738.101.1074/圖不同γ矽化鈦旋轉體β=6o最小Reλm隨θ之變.webp)
![圖 3.7 β = 240 o 矽化鈦旋轉體之最小 R e [λ m ]在不同邊界條件下隨 γ 之變化 Y](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/49.892.194.746.111.1059/β=矽化鈦旋轉體之最λ在不同邊界條件下隨γ之變化Y.webp)
![圖 3.9 β = 360 o 之不同正交性材料旋轉體的最小 R e [λ m ]隨 γ 之改變（F-F 邊界條件） Y](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/50.892.145.794.120.1103/=之不同正交性材料旋轉體的最小λ隨γ之改邊界條件Y.webp)
![圖 3.11 β = 360 o 之不同正交性材料旋轉體的最小 R e [λ m ]隨 θ 之改變(考慮 γ Y = 0 o ， F-F 邊 界條件)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/51.892.134.806.113.1061/之不同正交性材料旋轉體的最小λ隨θ之改變考γ=FF.webp)
![圖 3.13 Case 1 旋轉體的最小 R e [λ m ]隨 β 之改變(考慮 γ Y = 30 o ， F-F 邊界條件)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/52.892.174.774.102.1041/3Case旋轉體的最小Reλm隨β之改變考γ=FF邊界條件.webp)
![圖 3.15 Case 2 旋轉體的最小 R e [λ m ]隨 β 之改變(考慮 γ Y = 0 o ， F-F 邊界條件)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/53.892.182.755.98.1041/圖Case旋轉體的最小λ隨β之改變考慮γY=oFF邊界條件.webp)
![圖 3.17 β = 360 o 之 Case 3 旋轉體之最小 R e [λ m ]在不同邊界條件下隨 θ 之變化 (考慮 γ Y = 0 o )](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/54.892.178.754.101.1041/=之旋轉體之最小λ在不同邊界條件下隨θ之變考慮γ.webp)
![圖 3.19 β = 360 o 之雲矽鈣石旋轉體之在不同 γ Y 下最小 R e [λ m ]隨 θ 之變( F-F 邊界條件)](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/55.892.147.789.114.1061/β之雲矽鈣石旋轉體之在不同γ下最λ隨θ之變邊界條件.webp)
![圖 3.25 雙材料旋轉體在不同邊界條件下最小 R e [λ m ]隨 β 1 之變化(考慮 γ Y = 60 o )](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8036848.161696/58.892.171.779.104.817/雙材料旋轉體在不同邊界條件下最小λ隨β之變化考γ=.webp)
