國中數學6 2 1空間中的垂直與形體

21 空間中的垂直與形體 本節課程學習重點： ◎能認識及判斷直線與平面、平面與平面的垂直關係與平行關係。 ◎能理解若直線 L 與平面 S 垂直於 P 點，則平面 S 上通過 P 點的任一條直線都與 L 垂直。 ◎能理解簡單立體圖形。 ◎能理解簡單立體圖形的展開圖，並能利用展開圖來計算立體圖形的表面積或側面積。 ◎能計算直角柱、直圓柱的體積。 ◎能理解圓錐展開圖的扇形半徑與底圓半徑的關係。 ◎能理解球的定義及相關的名詞，如球心、球面、截圓等。 ◎能理解球心與截圓圓心的連線會垂直截面。 ◎能理解平面通過球心時，所截出來的截圓有最大的面積。 一、空間中的垂直： (1)利用長方體檢驗平面與平面、平面與直線是否互相垂直。 (2)若直線 L 與平面 S 互相垂直，且交點為 P，則平面 S 上通過 P 點的任一條直線都與 L 垂直。 ◎兩平面的垂直關係： (1)長方體是生活中常見的立體圖形，每一個面 都是矩形，如右圖，且相鄰的面互相垂直、 底面與高互相垂直、相交於同一端點的邊 也會互相垂直。 (2)如果要檢驗空間中的垂直關係，可以使用有 兩個面互相垂直的立體圖形，例如長方體、 正方體等，來測量兩個平面是否互相垂直。 (3)先將長方體的底面放在第一個平面 S 上，然後調整長方體的位置，盡量貼近第二個平面 T， 若貼著的部分是密合的，如下圖左，則這兩個平面互相垂直，可記為 S⊥T；若貼著的部分有 空隙，如下圖中、下圖右，則這兩個平面不垂直。 S T 空隙 S T 空隙 S T 兩平面垂直 兩平面不垂直 兩平面不垂直 練習1：右圖是埃及的金字塔，它的側面與底面會互相垂直嗎？ 相鄰的面 互相垂直 底面與高 互相垂直 相交於同一端點 的邊互相垂直 L P S M

◎直線與平面的垂直關係： (1)因為長方體的高與底面垂直，所以我們可以用來測量直線與平面是否垂直。 (2)先將長方體放在平面 S 上，若長方體的一個高會與 AB 密合，如下圖左，則 AB 與平面 S 垂直， 可記為 AB⊥S(或 S⊥AB )；若長方體的高與 AB 無法密合，如下圖右，則 AB 和平面 S 不垂直。 A S B A S B 練習2：如右圖，直線 L 與平面 S 互相垂直，交點為 P。 若平面 S 上另有一條直線 M 通過 P 點，則直線 M 跟直線 L 有什麼關係呢？ 練習3：旗杆與操場地面互相垂直，那麼旗杆的影子會與旗杆垂直嗎？ 二、形體： ◎角柱： (1)如果可以找到一條直線同時與空間中的兩個平面垂直，就稱這兩個平面 互相平行，而此直線在這兩個平行平面間的線段長，稱為這兩平面間的 距離。例如右圖的長方體中，上、下兩底面都與高垂直，所以兩個底面 互相平行，而高的長為這兩個底面的距離。 (2)角柱是由上下兩個全等且平行的多邊形底面，和一些平行四邊形的側面 所組成，如下圖，如果它的兩個底都是 n 邊形，就稱此角柱為 n 角柱。 三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 (角柱的側面與底面垂直，稱為直角柱。) (角柱的側面與底面不垂直，稱為斜角柱。) (3)國中階段只討論直角柱，如果沒有特別說明，角柱都是指直角柱。且直角柱的側面都是長方形， 底面是正多邊形的直角柱稱為正角柱。 (4)將角柱兩個底面之間的距離稱為角柱的高，簡稱為高，而底面的面積簡稱為底面積。 L P S M

練習4：算算看，並完成下表。 角柱名稱 三角柱 四角柱 五角柱 六角柱 n 角柱 頂點數 6 面數 5 邊數 9 【觀念釐清】上表中，不同角柱的(頂點數＋面數－邊數)的值都等於 2。(多面體的尤拉公式) ◎長方體的展開圖：(長方體的表面積就是 6 個面的面積和) 高 寬 長 練習5：正方體是每個面都是正方形的四角柱。下列哪些圖形可能是正方體的展開圖？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 練習6：下列哪些圖形可能是六角柱的展開圖？ (1) (2) (3) (4) (5)

【觀念釐清】其他直角柱的展開圖： 三角柱 三角柱的展開圖 五角柱 五角柱的展開圖 練習7：如右圖，已知一個長方體的長、寬、高分別為 5 公分、3 公分、4 公分， 若 P 為¯ CD 上任意一點，今有一隻螞蟻，想從 A 點經 P 點爬到 E 點，則 最短的距離為何？(Hint：作展開圖) 練習8：如右圖，已知一個正方體的邊長為 10 公分，若 P 為¯ CD 上任意一點， 今有一隻螞蟻，想從 A 點經 P 點爬到 B 點，則最短的距離為何？ ◎角柱的體積和表面積：(1)柱體的體積＝底面積×高。(長方體體積＝底面積×高) (2)角柱的表面積＝側面的面積和＋兩底面積和。 練習9：右圖是一個底面為平行四邊形的角柱，已知平行四邊形的高 為 6 公分，其他各邊的長度如圖所示，那麼此角柱的體積為 多少？表面積為多少？ 練習10：右圖是一個三角柱，各邊長如圖所示，那麼此三角柱的體積為多少？ 表面積為多少？ A D P C 3 E B 4 5 A B C 10 D 10 10 P 4 10 6 8 12 5 5 8 (單位：公分)

◎圓柱： (1)圓柱的兩個底面是半徑相等的圓形。 (2)下圖左的圓柱是直立的，稱為直圓柱，它的兩個底圓圓心的連線會與底面垂直；下圖右的圓柱是 傾斜的，稱為斜圓柱。國中階段只討論直圓柱，本書中如果沒有特別說明，圓柱都是指直圓柱。 (3)圓柱的側面剪開後，可以展開成一個長方形或平行四邊形，此時平行四邊形的底邊與底圓的周長 相等，其高與圓柱的高相等，如下圖。 圓柱的高 或 高 底圓的周長 底圓的周長 圓柱的高 (4)圓柱的表面積就是展開圖的面積，所以圓柱的表面積＝底圓的周長×高＋兩底圓面積和。 練習11：下面各圖形中，上、下兩圓的半徑都是 1，(A)、(B)、(C)展開圖的中間都是長方形， (D)展開圖的中間是平行四邊形，判斷下列圖形哪些不是圓柱的展開圖。 (A) 1 2π (B) 2π 2 (C) π 2π (D) π 2π ◎圓柱的體積： (1)如果將圓柱切割成好幾個等分，再重新排列組合，可以發現切割的等分數越多，重新組合出來的 圖形就會非常接近是一個底面為平行四邊形的四角柱，如下圖。 8 等分 16 等分 32 等分 (2)可知：圓柱的體積＝底面積×高，即柱體的體積＝底面積×高。

練習12：右圖是底面半徑為 2 公分，高為 8 公分的圓柱， 則這個圓柱的體積為多少？表面積為多少？ 練習13：右圖是一個圓柱的展開圖，則此圓柱的體積為多少？ 表面積為多少？ 練習14：如圖，有一個無蓋的圓柱形容器，外圈直徑為 20 公分， 內圈直徑為 12 公分，且外壁高 10 公分，內壁高 8 公分， 求此圓柱形容器本身的體積為多少？表面積為多少？ 練習15：右圖是由兩個圓柱鑄成的模型，它的體積為多少？ 表面積為多少？(提示：重疊的部分，表面積不計。) ◎角錐： (1)如果以一個 n 邊形當底面，以及 n 個共頂點的三角形做為側面，所圍出來的立體圖形稱為 n 角錐。 (2)下圖左的角錐底面是正多邊形，且側面都是全等的等腰三角形，稱為正角錐；正角錐的頂點與底面 正多邊形內心(或外心)的連線會與底面垂直。 正三角錐 正四角錐 正五角錐 (3)上圖右的角錐中，側面不全都是等腰三角形，稱為斜角錐。國中階段只討論正角錐。 8 2 24

π

(單位：公分) 10 10 8 2 1 1 1.8 (單位：公尺)

10 12 10 A B C D 練習16：算算看，並完成下表。 角錐名稱 三角錐 四角錐 五角錐 n 角錐 頂點數 4 面數 4 邊數 6 【觀念釐清】其他角錐的展開圖： 三角錐展開圖 四角錐展開圖 四角錐 五角錐展開圖 五角錐 三角錐 練習17：右圖是五角錐的展開圖嗎？ 【觀念釐清】角錐的表面積就是展開圖的面積，角錐的表面積＝側面三角形的面積和＋底面的面積。 練習18：如右圖，正四角錐的底面是邊長為 10 公分的正方形，側面 等腰三角形的高為 12 公分，求此正四角錐的表面積。 練習19：右圖三角錐的底面和側面都是邊長 2 公分的正三角形， 求此三角錐的表面積。

5 5 2 A O B 10 A B O 240° 8 3 (單位：公分) 10 5 (單位：公分) ◎圓錐： (1)如下圖左，它有一個圓形的底面和一個頂點以及側面。 (2)國中所討論的是頂點與底圓圓心的連線垂直於底面的直圓錐。 (3)將圓錐的側面展開後會是一個扇形，可以發現扇形的弧長等於底圓的周長。 圓錐 圓錐展開圖 R R

r

2πr

r

【觀念釐清】圓錐的表面積就是展開圖的面積，圓錐的表面積＝側面(扇形)面積＋底圓面積。 練習20：右圖為一個圓錐的展開圖，O 為圓錐頂點，若 OA ＝5 公分， 底圓半徑為 2 公分，則∠AOB 的度數為何？ 練習21：右圖為一個圓錐的展開圖，O 為圓錐頂點， 已知底圓半徑為 10 公分，求扇形半徑。 練習22：有一圓錐，如右圖所示，試求此圓錐的表面積為何？ 練習23：有一圓錐，如右圖所示，試求此圓錐的表面積為何？

半徑 球面 球心 半徑 半 徑 O R S

r

h

P A A B S P O 13 S r O 5 7 S r O 5 P ◎球： (1)空間中與一固定點距離相等的所有點組成的圖形稱為球， 而此固定點就是球心，相等的距離稱為這個球的半徑， 球的表面稱為這個球的球面。 (2)球被一平面所截的截面是一個圓，稱為截圓。 如果沿著緯度線或赤道將地球分成兩個部分，其截面也是圓。 (3)球被平面所截，若平面通過球心，則截出來的截圓有最大面積。 截圓 平面 截圓 平面 截圓(大圓) 平面 球心 (4)右圖中，球 O 半徑為 R，平面 S 與球 O 相交的截圓圓心為 P， 半徑為 r， OP ＝h，則 R2＝r2＋h2。 【說明】如右圖的球中，球心為 O(稱此球為球 O)，若平面 S 不通過 O 點， 且與球相交的截圓圓心為 P，A 為截圓上任一點。 若在圓 P 上再取一點 B，使 AB 為直徑，則可知： (1)△OAB 是等腰三角形。(因為 O 為球心， OA ＝ OB ) (2)P 是 AB 的中點。(因為 P 為截圓圓心， AB 為截圓直徑) (3)¯ OP 與¯ AB 互相垂直。(因為△OAB 為等腰三角形，P 為 AB 中點) (4)若通過圓心 P，再另作截圓的直徑 CD ，則 OP 與 CD 互相垂直。 (5)△OAP 是直角三角形。(由(3)可知 OP 會垂直 PA ) (6) R2_＝r2_＋h2_{。(因為△OAP 為直角三角形，所以 R}２ ＝r２ ＋h２ ) 練習24：已知球 O 的半徑為 13 公分，且球 O 被平面 S 所截， 截圓的圓心為 P，若 OP ＝5 公分，則球 O 與平面 S 相交的截圓面積是多少？ 練習25：已知球 O 的半徑為 7 公分，且球 O 被平面 S 所截， 截圓的圓心為 P，若 OP ＝5 公分，則球 O 與平面 S 相交的截圓面積是多少？

自我評量 1. 如右圖，小皮用一個三角柱和一個長方體的積木疊成一棟房子，各邊的長度如圖。 已知房子的總高度是 12 公分，則此積木疊成的房子體積為多少？ 2. 如右圖，已知一個四角柱的柱高為 10 公分， AB ＝20 公分、 BC ＝15 公分、 CD ＝7 公分、 AD ＝24 公分，且 AB ⊥ BC 、 AD ⊥ CD ，則此四角柱的體積為多少？ 3. 右圖為一個圓柱的展開圖，則此圓柱的體積為多少？ 4. 如右圖，有一個正三角錐的表面積為 16 3 cm2，則其邊長為多少？ 5. 右圖是一個圓錐的展開圖，O 為圓錐頂點，P 為底圓圓心， 則扇形 AOB 面積與底圓 P 面積的比為多少？ 8 9π (單位：公分) A B C D 8 4 4 4 6 (單位：公分)

(單位：公分)

P A B O 4 10 10 A C D 24 20 15 7 B

13 S O P 6. 如右圖，已知一球，球心為 O，半徑為 13 公分，且球 O 被 平面 S 所截，截圓的圓心為 P，若圓 P 的面積為 144π平方 公分，則 OP ＝？ 習作 1. 右圖是一個三稜鏡，它的形狀為正三角柱。請判斷下列各線段與線段、線段與面、面與面是否互相 垂直，垂直的打「○」，不垂直的打「×」。 ( ) 1. ¯ CD 與 ¯ AD 。 ( ) 2. ¯ AB 與 ¯ AE 。 ( ) 3. ¯ BC 與 ¯ BF 。 ( ) 4. ¯ EF 與平面 ADE。 ( ) 5.平面 ADE 與平面 ABFE。 ( ) 6.平面 CDEF 與平面 ABCD。 2. (1)若有一角柱總共有 24 個邊，則此角柱的底面是幾邊形？ (2)若有一角柱總共有 10 個頂點，則此角柱的面數為多少？ 3. 右圖為一個正立方體的展開圖，在原來的立體圖形中，和丙相對的是哪個面？ 4. 右圖是一個長方體，長、寬、高依序為 5 公分、4 公分、3 公分， 若 P 為 CD 上任一點，今有一隻螞蟻，想從 A 點經 P 點爬到 B 點， 則最短的距離為何？ A E B F C D 甲 戊 乙 丙 丁 己 A B 4 D 3 5 C P

5. 一個底面為直角三角形的三角柱，若直角三角形的兩股長 分別為3 公分、4 公分，且柱體的高為 6 公分，則此柱體 的體積和表面積各是多少？ 6. 右圖是一段中空的水管，若水管的外圈半徑是 5cm， 內圈半徑是4cm，水管長 20cm，則此水管的體積為多少？ 7. (1)若一個角錐有 18 條邊，則這個角錐的底面是幾邊形？ (2)若一個角錐有 12 個頂點，則這個角錐的面數與邊數各為多少？ 8. 右圖是由 1 個正八邊形與 8 個相同的等腰三角形 所組成，則此圖形是哪一種立體圖形的展開圖？ 9. 右圖是圓錐的展開圖，扇形的半徑為 20 公分， 圓心角為90°，則圓錐的表面積為多少？ 10. 已知一平面 S 通過球 O 的球心，且與球 O 相交 的截圓直徑為4 公分，則球 O 的半徑為多少？ 6 3 ₄ 20 20 O 4 S

4 5 A B H G F D _C E 3 11. 如右圖，有一個長方體的相框，放照片的部分是一個被挖出的菱形 柱體，已知相框的長、寬、高分別為12 公分、10 公分、1 公分， 菱形柱體的高為0.6 公分，且此相框的體積為 86.4 立方公分，則 菱形柱體的底面積是多少？ 12. 如右圖 1，有一個長 8cm、寬 3cm 的長方形， 將長邊緊貼竿子旋轉一周會得到一個立體圖形 (竿子的厚度不考慮)，則 (1)表面積為多少？ (2)如右圖 2 若換成將短邊緊貼竿子旋轉一周， 則表面積又變為多少？ 類題補充 1. 右圖是一個長方體，長、寬、高分別為 4 公分、3 公分、5 公分，求 ¯ AG 的長。 2. 右圖是長方體，長、寬、高分別為 7 公分、 6 公分、 5 公分， 且 P、Q 為其中兩個頂點，求 ¯ PQ 的長。 3. 如圖，有一底面為正方形，邊長為 6 公分，且高為 2 公分的四角柱， 若將中間挖掉一個直徑為4 公分的圓柱，則剩下的體積為多少？ 表面積為多少？ 6 2 4

10

12

1

3 8 圖1 8 3 圖2 P Q 5 7 6

4. 右圖為一長方體，其長、寬、高分別為 8、6、4， 若 P 為 CD 上一點，則 AP ＋ PG 的最小值為何？ 5. 右圖為一個底面由兩扇形所形成的柱體，則藍色部分的體積為多少？ 6. 有一長方體的密閉水箱，內部長、寬、高分別為 40cm、30cm、50cm，裡面裝水，水高 30cm，若將 水箱轉90°擺放，如下圖所示，則水位的高度會變成 cm。 50 50 40 40 30 30 7. 有一樹幹為一直圓柱體，其底面積為 36π，高為 16。若將此樹幹分成上下兩段圓柱體，且體積比 為5：3，則體積較小的樹幹的表面積為多少平方單位？ 8. 下圖為一正四角錐，底面為邊長 8 公分的正方形， AO 垂直於平面 BCDE，且 O 在平面 BCDE 上， AM 是△ACD 的高，若 AM ＝12，則 AO ＝？ A B C M D E O 6 8 4 A B C P D E F G H 8 6 4 45°

單位：公分 9. 有一圓錐，如下圖，底圓周長為 10π，求此圓錐的表面積為何？ 12 10. 已知球 O 與一平面 S 相交形成一截圓，此截圓周長為 40π公分，球心 O 到此截圓的距離為 15 公分， 求此球 O 的半徑是多少？ 11. 有一圓柱水桶，若丟一個石頭，且石頭全部沉入水中，則水面上升 6 公分，若倒入 6 公升的水，則 水面上升3 公分。試問此石頭的體積為多少立方公分？(1 公升＝1000 立方公分) 12. 如右圖，有一個柱體的展開圖，若將它拼回成柱體，則此柱體的體積為多少立方公分？ 13. 將一張底 3 公分，高 4 公分的直角三角形紙片黏在竹筷上，如右圖， 將竹筷旋轉一周後會得到一個立體圖形，則這個立體圖形的表面積 為 平方公分。 14. 右圖是邊長為 1 公分的正立方體之平面展開圖，當它摺疊成 正立方體後，A、B 兩點間的距離是幾公分？ A B

13 ₁₃ 13 10 10 加強練習 1. 一個五角錐有 a 個頂點、b 個邊、c 個面，則 a＋b＋c＝？ (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 2. 三角柱的兩底面為全等的直角三角形，其三個側面的面積依序為 18、24、30，且此直角柱的高為 6， 則此三角柱的體積為多少立方單位？ (A) 24 (B) 36 (C) 60 (D) 72 3. 四個面均為正三角形的三角錐，稱為正四面體。若每個正三角形的邊長為 10 公分，則此正四面體的 表面積是多少平方公分？ (A) 100 3 (B) 100 (C) 60 3 (D) 60 4. 已知球 O 的半徑為 5 公分，若球 O 與一平面 S 相交形成一截圓，且此截圓的面積是 16π平方公分， 則 O 點與平面 S 之間的距離是多少公分？ (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 5. 若自來水 1 度要 12 元，小王要將長 25 公尺、寬 6 公尺、深 2 公尺的游泳池注滿水，則要花多少元 水費？(1 度＝1 立方公尺) (A) 2400 (B) 2800 (C) 3400 (D) 3600 6. 如下圖，求此正四角錐的表面積＝ 平方單位。 7. 承上題，求從頂點到底面的距離＝ 。 8. 如右圖，一長方形紙板繞著直線 L 旋轉一周會得到一個圓柱， 則其體積和表面積分別為多少？ 9. 下列哪一個展開圖不能組成圓錐？ (A) 4 1 90° (B) 1 3 120° (C) 2 1 180° (D) 7 1 60° 10. 如右圖，有一啞鈴，左右兩端是相同的圓柱體，其半徑為5 公分， 厚度為6 公分，且中間的握柄也是圓柱體，其半徑為 1 公分，長度 為20 公分，則此啞鈴的體積為多少立方公分？ 11. 下列何者不能組成正方體？ (A) (B) (C) (D) 12. 有一半徑 5cm 的球，則此球被平面所截得到的截圓中，最大的面積是多少？ (A) 5π (B) 15π (C) 20π (D) 25π 13. 如右圖，一正立方體的四個頂點 A、B、C、D 可連接成三角錐， 則此立方體的表面積與此三角錐表面積的比值為下列何者？ (A) 2 (B) 3 (C) 2(3－ 3 ) (D) 3 14. 如下圖，一個底面為正方形的四角錐，其側面為等腰三角形，已知底面正方形的 邊長為10，四角錐高也是 10，則此四角錐的表面積為 。 15. 如右圖，將三角形紙片旋轉一周，則掃過去的區域所成之立體圖形的表面積 為多少平方公分？ L 8cm 5cm A B C D 12 10 6 (單位：公分)

Ans：1.(D)；2.(B)；3.(A)；4.(B)；5.(D)；6. 340；7. 119 ；8. 200πcm3，130πcm2；9.(D)； 10. 320π立方公分；11.(C)；12.(D)；13.(D)；14.100 5 100 ；15. 132π平方公分。 心得筆記