百年來的美國數學
石厚高
本文推介 「百年來的美國數學」 (A CENTURY IN MATHEMATICS— through the eyes of the monthly)
JOHN H. EWING 把 「美國數學月 刊」(American Mathematical Monthly) 自 1894 年創刊至 1993 年作了選輯。 百年共 有 1200 期, 當然是大工程, 所以他表示所選 不是月刊“最好”(best) 的, 因為很多最好的 都太長了; 選得少了不行, 選太多了又成了鉅 著, 人人讚美可就沒人看。 所以他要每篇都是 在講個故事, 而不一定是自發行以來最佳篇 章。 選出來的常是短而有趣, 而不因為它是 那個時代最重要的數學; 有些文章作了摘錄 是為了省篇幅。 從雜誌立場來回顧歷史是有 些偏頗而不完整的, 好像看日記就要了解一 個人似的, 不過有這麼一本專輯應該是數學 界盛事, 可以瞭解很多真像。 這是談數學的書, 有關教學與研究、 應 用數學與純數學、 名大學與社區大學, 瀏覽一 下讀者會發現數學的流行 (fashion) 有那些 改變; 那些沒有變—我們對教學的關注, 對學 生的抱怨, 唉!一年不如不年。 它也是歷史樣本書, 要細加品味而不是 研究。 百年來 「美國數學月刊」 有偉大數學家 的作品, 也有學生或中西部小學院教師作品, 他們的大名鮮有所聞。 此書給了我們矇朧的 兩個世界, 它講故事而不是歷史的細節。 它是 過去一世紀美國數學的故事, 給讀者極好機 會去瀏覽百卷大書而不用真的去讀它們。 它 逐年、 十年作數學取樣, 讓讀者能感受到世紀 交替之際, 數學圈裡教師與研究者的分際。 也 能讀到 1920年代學校為刪除數學課程內容的 掙扎、 有關愛因斯坦及其相對論的爭辯、 邏輯 形式主義的論戰, 歐州移民來美數學家、 二次 大戰伊始立即組織數學家的狂熱。 本書也談 到戰事結束後純數學與應用數學分了家、 大 學裡新派學生對大數奮勇纏鬥、 聯邦籌募基 金獎助數學研究, 最近更有電腦的興起以及 一些現代研究的凱歌。 1931 年帝國大廈開放給民眾, 兩年後 羅斯福作了美國第 32 任總統, 1935 年通過 社會安全福利制度, 1938 制定最低工資制 度。 就在羅斯福角逐總統之際, 國際數學會議 70
在蘇黎世舉行, 次年初希特勒掌權, Emmy Noether 赴美, 數學家大移民潮於焉開始, 他們是 Marshal Stone、 von Neumann、 Norbert Wiener、 Artin、 Bochner、 Brauer、 Chevalley、 Courant、 Eilenberg、 Friedrichs、 Kac、 Levy、 P´olya、 Szeg¨o、 Ulam、 Weil、 Weyl、 Wigner、 Zorn, Ew-ing 說名單要長多了, 只列出了這些, 那麼多 的數學精英都去了美國, 難怪美國數學大為 改觀獨霸武林了。
Ewing 談那個時代有段話很有意思 In 1938, there were 65 new Ph. D.’s in mathematics. Their prospects in academic life were grim. Starting salaries were about $1800, which was lower than salaries at the beginning of the decade. The normal teaching load at Purdue was 18 hours, but that was higher than most(where it was 12 to 15 hours). Promotions were slow, and most faculty were at the bottom. Depart-ments were almost universally undemo-cratic, ruled by a head with an indefinite term. (1938 年誕生了 65 位數學博士。 他們 的學術生涯前景暗淡。 起薪 $1800, 比十年 前的薪水低。 在普通大學正規教學時數是 18 小時, 比多數學校要高, 一般是12至15小時。 晉級很慢, 多數教師都是在最起碼的級。 系務 管理普遍的不民主, 由一個名分未定的主管 管理。) 這裡 $1800 沒有說明是年薪或月薪, 想必是年薪, 若為月薪就太高了。 作個比較, 筆者民國五十一年畢業, 在北市萬華初中教, 起薪八百元, 三年後轉往景美女中調為九百, 五十八年回母校建中大約是一千二百元左右, 現在是八十八年一月, 每週數學課 14 小時, 擔任導師另有班會與週會二節, 待遇也高多 了。 至於升級是談不到的, 在萬中是教初中, 自五十四年起都是教高三, “職稱”是教師, 三 十七年來沒有“升級”。 1940 年哈地 (G. H. Hardy) 說過, 真 的有一支應用數學如彈道學 (ballistics)、 空 氣動力學 (aerodynamics), 是蓄意為戰爭發 展的 · · · 它們都不能稱之為“真數學”。 它們 令人作三日嘔, 單調得不能忍耐; 就算是 Lit-tlewood 都不能讓彈道學有面子, 誰又能呢? 珍珠港事變美國吃了大虧, 全面捲入大 戰, 數學家也難以置身度外, 大批數學家離開 了工作崗位, 進入軍事單位, 他們表現傑出獲 得將領們的重視。 可是他們都認為研究對象 乏善可陳, 對數學本身了無助益。
「Hardy’s “A Mathematician’s Apo-logy” L. J. Mordell (1970)」 是一篇長達五 頁的文章, 凡異出版社 「數學圈」 雜誌有連載 「一位職業數學家的辯白」, 有單行本。 本文談 此書風趣雋永, 哈地最難受的是年過六十失 去了創造力, 只能寫“有關”數學的文字而不 是寫數學, 老驥伏壢, 志在千里, 烈士暮年, 壯 心不已。 這是民國五十九年寫的, 現在是民國 八十八年, 情況大不相同了; 醫療衛生進步又 有電腦相助, 耳順之年仍然大有可為。 今天的 數學家要幸運多了。 本書共選百年來美國數學月刊 92 篇文 章, 當然是篇篇佳作, 其中與 「教數學、 數學
教育」 有關的共有八篇, 而八篇裡談大學數學 教育的有五篇, 可以看出 EWING 對數學教 育的重視, 它們是:
一. The teaching of mathematics in the colleges, H. E. Slaught (1909) 二. How can interest in calculus be
in-creased? Roscoe Woods (1929) 三. The additional formulas for the Sine
and Cosine, E. J. McShane (1941) 四. A manual for young teachers of
mathematics, H. E. Buchnan (1946) 五. The teaching of college mathematics,
F. D. Murnaghan (1946)
六. The teaching of mathematics in col-leges and universities, E. P. Vance (1948)
七. Mathematical teaching in universi-ties, Ander Weil (1954)
八. A dilemma in mathmatical educa-tion, T. L. Saaty (1966) 第一篇寫於 1909, 那是民前三年, 二十 世紀的最初十年, 見證了改進美國中等數學 教育的興趣, 其中包括主題、 呈現形式、 課程 安排與教師培育; 原來在那時之前, 中學教師 並不需要具備大學畢業資格, 從那時之後, 沒 有大學畢業想在任何初、 高中謀一教職是不 可能的。 第二篇指出由於數學本身潛在的特性, 比起其他科目來更需要老師。 哈佛 Osgood 教授在美國數學協會演講時主張微積分應該 以詮釋物理現象的方式來教, 不論學生將來 作何營生或主修那一科, 微積分只有一種。 Rietz 教授也寫過類似文章, 微積分的教學 目標要給學生植入某些概念, 十年之後仍能 記住。 本文把學生學習態度不佳歸納成六項, 至於提高微積分的興趣, 除了改進以上六項 之外, 又提出九點建議, 很值得參考。 數學是學子夢魘, 而三角更是夢魘裡的 夢魘; 有太多公式要記, 筆者年年擔任高三課 程, 複習時對三角總是要花上最多的時間。 我 想三角高一要教、 高二要教、 高三還要教, 高 一教到特別角三角函數、 複角函數、 和差化積 與積化和差; 高二教三角形的特質、 正餘弦定 律等; 高三教三角函數圖形、 三角方程式與 反三角函數, 教新的就要用到舊的, 能收到 溫故知新之效。 把這些數學精華一口氣在一 學期教完, 難怪學子受不了。 現行教材更是精 簡, 高一下一個月教完三角, 所以就不堪聞問 了。 當然我的想法是個夢, 與現實相去太遠無 法實施。 不過本專輯裡第三篇一文的作法很 值得推廣, 雖然發表於民國三十年, 它一點也 不落伍很有創見。 本文作者表示他一直想要 找出有關正、 餘弦公式的證法, 它要有三項特 性: 對一切角均為正確, 不需要討論角在第幾 象限 不需要知道正、 餘弦的 n · 90◦± θ 函數 值 初學三角的學生不會覺得太困難 當然要會距離公式, 他首先從三角函數的定 義開始以及方程式 sin2θ+ cos2θ= 1, cos 0◦ = sin 90◦ = 1, cos 90◦ = sin 0◦ = 0
四點 (cos α, sin α)、(cos β, sin β)、(cos(α − β), sin(α − β))、(1, 0) 至原點的距離都是1, 利用距離公式很容易就求出公式
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β 然後完全不使用正、 餘弦的 n · 90◦± θ 函數
值, 依序導出
cos(−α)、 cos(90◦−α)、 sin(90◦−α)、
sin(α + β)、 sin(−α)、 cos(α + β)、 sin(α − β) 的結果, 用這種方式給初學者介紹三角是很 值得借鏡的。 第四篇是 「年輕數學教師手冊」, 共列 出六項重點, 他們是教室訓練 (Class dis-cipline)、 上黑板與家庭作業 (Board and homework)、 小測驗與考試 (Quizzes and examinations)、 課前準備 (The instruc-tor’s preparation for class)、 榮譽制度 (The honor system)、 班級經營 (Conduct-ing a class)。 也許有人看了本篇會說這都是 老生常談, 要能作到呢, 那學子實在太幸運 了。 當然有些是陳義過高, 現行制度之下無法 實施。 教師要細讀本文, 雖然標榜 「年輕」, 要 達到這種境界, 是需要些年紀的。 在班級經營 一段裡有一句話是 「the lecture method is a poor way to teach mathematics.」 是有 待商榷的, 至少在教畢業班時, 實在找不到時 間給大家討論。 第五篇作者抱怨學過三角的學生沒人知 道, 一角的正弦比起角的本身來是個較簡單 的觀念, 當他問這些學生直角是甚麼, 學生 高高興興的答以它是 90 度; 再問一度是甚 麼, 又高高興興的答以那是直角的九十分之 一。 他很激動, 怎麼能把一些聰明、 機靈年輕 美國人教成這個樣子? 本文發表於民國三十 五年, 他的要求太高了, 一般學生有這種水準 已經是可以了; 所以他的同事談教微積分就 說沒有辦法正經八百的教, 要作的就是教運 算技巧, 學生能微分與積分複雜式子, 至少看 到導函數與積分符號不害怕, 少數學生以後 學到更高級課程或獨立作研究時, 會弄清楚 導函數或積分到底是甚麼。 作者又感嘆多數 教微積分都是只教單變數函數, 可是多數在 工程、 物理、 化學上的有趣應用必需和多變數 函數打交道。 所以他提出了由 differentiable function 著手的教法。 第六篇談聯邦政府給研究獎助, 很像我 國國科會的獎勵大專教師作研究。 本文強調 過多獎勵使高級人才不往大學任教是不智的, 又建議教師接受獎助者至少要有一半時間作 教學, 文內頗有一些幽怨。 第七篇是把一次數 學聯席會議的演講作了大綱 (outline), 一共 有九項, 數學教師與負責數學教育決策人士 都要細讀。 緊隨第七篇之後有一小方塊, 很有補白 (dummy) 的味道, 1954 年 61 期 MORRIS KLINE, FRESHMAN MATHEMATICS 克來因 (Kline) 表示, 我們給了大一學生 一些甚麼普通數學, 一般大學都是代數與三 角, 這些都是浪費時間。 真正有教育價值的 是指數、 根數、 對數、 霍納法 (Horner’s method)、 部分分式、 二項定理 · · ·
第八篇探討教育瓶頸, 強調培養資深有 經驗教師, 比專精某一領域更有必要。 1942 年 49 期有懸賞徵答 (A Mathe-matical Contest), 對數學系師生來說當然 更具吸引力, 至少要答對 15 項, 並列明出處, 本專輯只列出了 12項 1. 一位已故數學家, 寫了很多受歡迎的童書 2. 發明用座標 x, y 代表點的一位數學家 3. 一位女數學家為了逃離蘇俄十八歲結婚 4. 一位希臘數學家也是音樂家、 哲學家 5. 一位數學家的大名提示了 Robert Bro-wing 一首名詩的題目 6. 寫了最古老的數學教科書, 現在實質上還 在用 7. 父女都是著名數學家 8. 談吐風趣的教授, 寫下很不尋常的有趣算 術 9. 第一位著名女數學家 10. 由於火災, 就從數學改行當建築師了 11. 一位英國數學家, 他只知道二首歌曲。 其
中一首是“上帝拯救皇后 God save the Queen”。 他怎麼知道的? 說來有趣, 這 一首要站著唱, 而另一首不要。
12. 一位數學家也是小提琴好手
對我國人士來說, 第 5題難了些。
一篇很短的小文很有意思
Postcards on Applied Mathematics, J. L. Synge (1939) 作者自說自話, 將來歷史家談我們這個時代 要如何下筆呢? 他可以用數學家對應用數學 的態度來談: 完全不懂應用數學不想去瞭解, 以 為那是次一等的心智活動 想要認識認識應用數學, 可是沒有 時間, 那不是我主要的興趣 主要的興趣在應用數學, 搞純數學 不過是和應用數學沾上了點邊兒罷了 當然也有那麼幾個不能歸於以上三類, 他們 人數少本領高又不侷限於一隅。 這是民國二 十八年美國的時代背景, 今天是民國八十八 年又如何呢? 忘了那位老兄講過 「一流數學 家搞理論數學、 二流的搞應用數學或電腦、 甚 麼都不會的就專事數學教育」。 我不知道對不 對, 所以記下來請教大家。 我想無所謂一流、 二流的問題, 興趣是徵結所在。 至於 「甚麼 都不會」 那是因為懂數學教育的不是當權派? 或沒有主持行政工作罷了。 本世紀中業 1950 年 57 期的月刊有二篇 文章討論數學的將來
Andr´e Weil, The future of mathe-matics
C. E. Shannon, A symmetrical nota-tion for numbers
前者開場白就提到 Poincar´e 說, 有人作不 幸的預言, 所有的問題都已解決了, 後人只不 過是拾人牙慧罷了; 又說今天甚麼也沒留下 。 其實數學老師也常想定理是不是都發明完 了, 他真是說到咱們的心坎裡。 據說好的文章 不一定短, 壞的文章一定長, 此文可就是又好 又長。 本文指出沒有數學的文化是不可思議 的, 在我們這個時代, 很少有人像數學家這麼 自由作自己的心智活動, 數學家只需要鉛筆 和紙, 就算是沒有也一樣作數學。 全世界都在 教數學, 這裡教得好, 那裡教得差勁兒, 被放
逐、 流亡的數學家處處為家, 都可以把數學追 逐到某種程度, 就是在監獄裡也能作出好數 學。 後者是電腦科學的較短摘要, 也是預言數 學的未來。 1965 年 2 期費因曼 (Richard P. Fey-mann) 的一篇談“新數學”
New textbooks for the “New Mathe-matics,”
他是很不以為然的, 新數學的很多內容都是 純數學家才有興趣的 (Many of the books go into considerable detail on subjects that are only of interest to pure
math-ematicians), 那是民國五十四年的文章, 那 一年台灣開始實施“新數學”, 數學界本來是 平靜無波的, 實施以後平添許多紛爭, 學子飽 受摧殘持續達二十三年之久。 科學月刊出版 社有專書 「新數學為何失敗」、 「數學傳播」 也 有多篇討論“新數學”的文章可以參考。 這本書給人的感覺是充實、 滿足、 愜意 與真相的認知, 希望教師與學子也都看看, 篇 篇有可讀性, 篇篇要細讀。 —本文作者任教於建國中學—
