3-2行列式

(1)

[ 計 ][- ． ] 算題行列式 .設 a﹐b﹐c 為 x3_＋ _2x2 _{－3x＋ 4 ＝ 0 之} _三_根_﹐_試_求 b 2 a c a c b a 2 c b c b a c 2 b a ＋＋＋＋＋＋ ﹒ 　－ 16 解答： .設 a﹐b﹐cR 且 1 c bc ac cb 1 b ab ca ba 1 a 2 2 2 ＋＋＋＝ 5﹐ 試 a2_＋_b2_＋_c2_＝ _{a ＋2b＋ 2c之} _＝求 _？ _最_大_值 _？　 a2_＋_b2_＋_c2_{＝4 最} _＝ ₆ ：答解 _大_值 .設 n ＝ cos 12 n ＋isin 12 n ﹐試求 6 5 6 3 6 2 5 4 4 3 4 2 5 1 3 1 2 1                   －－－ ﹒ 　 ₂ (1 － i) 解答：

.設 L1：(1－ )x＋2y＋ 3 ＝ 0 L﹑ 2 ： x ＋ (2－ )y＋ 3 ＝ 0 L﹑ 3 ： x ＋2y＋ (3－上平線直異相條三面

 ) ＝ 0 共 值﹒ 點﹐試求　解答： ＝ 6 .試 A(1 , 1 , 2) B(5 , 0 , 4) C(1 , x﹑ ﹑ － 2 , 4) D(0 , 3 , x)﹑ 四 ABCD 之面體所四成點體積為 3 8 ﹐ x 值試求 ﹒ 　 x ＝ 2 或解答： 2 5 或 4 129 9 .將行列式 2 2 2 2 2 2 ) b a ( c 1 ) a c ( b 1 ) c b ( a 1 ＋＋＋展 ﹒ 開作因式分解　 2(a － b)(b － c)(c － a)(a ＋ b ＋ c) 解答： .設 a ＝ 2 i 1＋ ﹐ 試求 4 8 2 5 4 8 4 6 2 5 4 a 1 a 1 a 2 a a a 1 a a a a a a a 1 ＋＋－－－＋＋＋－＋之值﹒ 　 8 解答： .求 x － y ＋ z ＝ 1 x﹑ ＋ y － z ＝ 1﹑ － x ＋ y ＋ z ＝ 1 x﹑ ＋ y ＋ z ＝ 1 所平面四體積體的成面四之圍﹒ 　解答： 3 1 .求 L ：兩直線 2 a x＋ _＝ 1 2 y－ _＝ 1 a 3 z －＋ _與_M： 3 a 1 x ＋＋ _＝ 4 a 2 y－ _＝ 3 6 z －－ _相 _a _交_於_一_點_時_之值 ﹒ 　 a ＝ 1 或解答：－ 5 23 .若 a ＝ ( －1 , 1 , 2)﹐b＝ (2 , 0 , 1)﹐c ＝(1 , k , － 1) 共 k 值向量空間三平面﹐則求 ﹒

(2)

3

解答：－

5

.(1)若 A(0 , 1 , 2)﹐B( － 1 , － 1 , 3)﹐C(3 , 0 , 1)﹐D(k , 2 , 1) 共 k 值 (2) 接 (1) 空間四點平面﹐求 ﹒ 第題 ABCD 的 4﹐ 求 k 值 ﹐若四面體體積為 ﹒ 　 (1)

5

解答：

3

，(2)

29

3

或－

19

3

.空 P(3 , － 4 , 6)﹐若 P 在 A﹐B﹐C﹐ 求 (1)△ABC 的中已知點間點為別影分面射正的平標坐個三　面積　

(2) 平 ABC的 (3) 四 OABC 的 (4) 四 PABC 的面程　方式面體積　體面體體積﹒

　 (1)3 ₂₉ ， (2)4x －3y＋ 2z－24＝ 0 ， (3)24 ， (4)12 解答： . a b b c c a b c c a a b c a a b b c          = 　 0 解答： . 1 1 1 b c b c c a c a a b a b    = 　



ab b



c c



a



解答： . 1 1 1 a b c b c a c a b    = 　 0 解答： .因式分解 0 0 0 0       a b c a d e b d f c e f = 　



a f b e c d



2 解答： . 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 x y x y       =9在 xy 平 , 則 = 線之面上直二為形圖二直線之距離此　 3 2 解答： . 6 3 15 4 6 14 2 1 1   = 　 96 解答： . 4 8 9 4 6 14 2 1 1  = 　 0 解答：

(3)

. 138 276 69 78 156 39 115 46 23   = 　 0 解答： . 132 64 72 129 44 99 33 24 27   = 　 52272 解答： . 1 1 1 2 2 2 a a b c b b c a c c a b    = 　 0 解答： .若 a+b+c=0, 則 a b b c c a b c c a a b c a a b b c          = 　 0 解答： . b c a c a b b c c a b a c b c a a b          = 　 8abc 解答： .已知 1 1 1 a d b e c f = 3, 則 d a e b f c 1 1 1 = 　 -3 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 5, 則 a a a a a a b b b b b b c c c c c c 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 3 4 3 4 3 4          = 　 55 解答： .已知 a a a a a a b b b b b b c c c c c c 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3          = 10,則 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 　 2 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 2, 則 2 6 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c    = 　 -12 解答：

(4)

.已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3   , 則 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 3 12 3 4     = 　 -36 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 7, 則 b b b a a a c c c 3 2 1 3 2 1 3 2 1 + 3 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 b b b c c c a a a = 　 49 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 5, 則 b c c a a b b c c a a b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3          = 　 10 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 2, 則 a a a a a a b b b b b b c c c c c c 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 2 3 2 3          = 　 10 解答： .已知 a a a b b b c c c 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = 5, 則 3 2 5 4 2 3 2 5 4 2 3 2 5 4 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 a b b c a b c a b b c a b c a b b c a b c             = 　 155 解答： .

a x b y c z d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3





















恰 (  , , _{), 則} 有一解



 





 





 



a b x b c y c a z d

a

b x b

c y c

a z d

a

b x b c y c

a z d

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3























的 ,x = 解中　 1





解答： 2     . 2 3 4 4 5 2 5 x y z a x y z b x y z c                 恰 (  , , ), 則有一解 4 3 4 2 4 5 2 2 5 x y z a x y z b x y z c                 之解為　 (   解答： 2, , ) .

a x b y c z d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3























恰 (4,2,3), 則有一解

2

3

4

3

5

2

3

4

3

5

2

3

4

3

5

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

a

x

b y

c

z

d

a

x

b y

c

z

d

a

x

b y

c

z

d

























之解？

(5)

　 ( 1 解答： 10 10 3 41 15 , , ) .

a x b y c z d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3























恰 ( 有一解   , , ),  0 , 則

a x b y c z

d

a x b y c z

d

a x b y c z

d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2

2 























之解為？　 (2  ,2 ,2 ) 解答： .

a x b y c z d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3





















恰 (4,2,3), 則有一解

a x

b y

c z

d

a x

b y

c z

d

a x

b y

c z

d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

2

3

4

2

3

4

2

3

4 





















之解為？　 (16,4,4) 解答： .

a x b y c z d

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3























恰 (  , , ), 則有一解



 





 





 



a

b x b c y

c

d z d

a

b x b

c y

c

d z d

a

b x b

c y

c

d z d

a

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

2

2 









 





































的 , x = 解中　 ₁_2_{  }_{ }2 2 ：答解 . 1 1 1 999 1000 1001 9992 10002 10012 = 　 2 解答： . 1 1 1 2 2 2

log log log

(log ) (log ) (log )

a b c

=

　 logc log log 解答：

b c a b a   .分解 x x x y y y z z z 2 4 2 4 2 4 為x,y,z的一次式之乘積　 xyz(z-y)(z-x)(y-z)(x+y+z) 解答： . 1 1 1 1 2 4 8 16 3 9 27 81 4 16 64 256 = 　 288 解答： .





1 1 1 1 1 1 2 1 4 0 0 2 2     sinx sin x , x  , 則x =

(6)

　 3 解答： 2 6 5 6    , , . 2 3 1 i    設 , 1 1 1 2 2 2       則 = 　 0 解答： .

log log log log log log log log log

y x y x z z yx xz yz = 　 0 解答： . c a d b a c d b a c b d c a b d = 　 0 解答： . 1 1 1 1 p q r s q r s p r s p q s p q r     = 　 0 解答： .w 是 1 之 , 求四次方虛根 w w w w w w w w w 2 3 4 9 6 3 6 12 18 = 　 0 解答： .設 a,b,c 為 x3_+5x2_{-6x-1=0 之} _{, 求} _: _三_根 _下_列_各_式_之_值 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1    a b c = (2) a a a b b b c c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1    = (3) a b c a b c b c a b c a c a b       2 2 2 = 　 (1)-5 (2)38 (3)-250 解答： .設 a,b,c 為 x3_{-3x-4=0 之} _{, 則} _三_根 a b c b c a c a b = 　 0 解答： .設 a,b,c 為x3_-3x+5=0之 _{, 則} _三_根 ( ) ( ) ( ) a b b a b b c c a c c a    2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 　 -54 解答：

(7)

.設 a,b,c 為 x3_+2x2_-3x+4=0之 _{, 則} _三_根 a b c a b c b c a b c a c a b       2 2 2 = 　 -16 解答： .設 a,b,c 為 , 解相異實數 x y z ax by cz d a x b y c z d              1 2 2 2 2 得x= ,y= ,z= 　 x d b d c 解答： a b a c y d a d c b a b c z d a d b c a c b                ( )( ) ( )( ) , ( )( ) ( )( ) , ( )( ) ( )( ) . 設 a,b,c 為 , 解相異實數 x y z ax by cz a x b y c z               1 2 4 2 2 2 得 x= 　 ( )( ) 解答： ( )( ) b c b a c a     2 2 . 設 a,b,c 為 , 且a b c  0 ,k R , 解相異實數 x y z ax by cz k a x b y c z k              1 3 3 3 3 得x= 　 ( )( )( ) 解答： ( )( )( ) k b c k k b c a b c a a b c         .

cos cos cos cos

40 80 20 20 40 20 80 40 80 80 20 40             = 　 1 解答： 2 .

tan tan tan

70 20 50 80 10 70 60 30 30          = 　 0 解答： .△ABC 中 ,a,b,c 表 ,  , , 表 , s a b c  三邊長三對角 2 , 則 a a b b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos







= 　 0 解答： .  , , 為 , 則三角形之三內角    1 1 1 cos cos cos cos cos cos       = 　 0 解答：

(8)

.△ABC 中, a a b b c c 3 3 3 cos cos cos    = 　 0 解答： .A+B+C=π, 則 sin cot sin cot sin cot 2 2 2 1 1 1 A A B B C C = 　 0 解答：

.△ABC 中 ,  , , 為 , 且acosisin,bcosisin,ccos isin 則角內三

b c a a b a c b c c a b    = 　 -4 解答： .△ABC 中, tan tan tan A B C 1 1 1 1 1 1 = 　 2 解答： . 解 log log log x x x 2 2 1 2 1 1 2 1 1 > 0 　 2 x 2 解答： . 解 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4     x x x x = 0 　 0,-10 解答： .

33 x



33

除f x x x x x x x ( )   2 _{1 2} ₁ 3 2 3 之餘式為　 8 解答： . 解 x x x x x x x x 1 1 2 1 3 1 3 2 1 1      = 0 　 0,1,  1 解答： 2 . 解 x x x x x x  1 2 1 3 4 1 0 < 0

(9)

　 0 解答： 4 1 5 1 _ _ _  x x 或 . f x x x x x x x x x ( )       2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 , 則 x+2 除 f(x) 之以餘式為　 -64 解答： . 設

A x y

( , ) , ( ,

₁ ₁

B x y

₂ ₂

) , ( ,

C x y

₃ ₃

)

, 已 ABC的 =10, 知△ 面積若

P x

(

3

₁



4 y

₁

,

5 y

₁



6 x

₁

) , (

Q x

3

₂



4 y

₂

,

5 y

₂



6 x

₂

) , (

R x

3

₃



4 y

₃

,

5 y

₃



6 x

₃

)

則 PQR的 = △ 面積　 90 解答： . 設 A(1,n),B(n,1),C(1 1 三角形之三頂點為 n n, ),

S

n 表 ABC的 , 則

lim

n △ 面積 n

S

n

 2 ？　 1 解答： 2

.A(a,1),B(a-3,a+4),C(2,3) 為 , 若 A,B,C 三 , 且 a>0, 則 a = ？相異三點點共線

　 3 解答： . 若 x2y 5 0 2, x3y 4 0,ax y 0 共 , 則a = , 其直三線點交點為　 -2,(1,2) 解答： .A(0,1,2),B(1,4,2),C(2,1,5),D(0,4,7), 則 _{AB AC AD} _,  _,  三六積體之體面所行平的成張量向？　 39 解答： .A(1,0,1),B(-1,1,0),C(1,-1,1),D(0,-1,1),則 ABCD 的四面體體積？　 1 解答： 6 .A(3,2),B(

 1

,1),C(

 2

,4), 則 ABC的 △ 面積？　 13 解答： 2 .A(4,

 2

),B(

 1

,

 3

),C(3,2), 則 ABC的 △ 面積？　 21 解答： 2 . 若 3x2y a 1,x5y a 4 2, x3y3a7共 ,a = , 其三線直點交點　 2, (1,1) 解答： .A(1,1,2),B(4,1,3),C(2,1,0),D(

 1

,0,1),則 _{AB AC AD} _,  _,  三 = , 四面積體之體張六行平的成所量向面體 ABCD 的 = 體積　 7,7 解答： 6

(10)

.A(1,4,1),B(2,2,1),C(

 1

,4,

 1

),D(3,t,2), 若 , 則 t = 四點共平面　 2 解答： [ 單 ][- ． ] 選題行列式 .

a b c d

. . .



R

, 方程組 x y z ax by cz d a x b y c z d              1 2 2 2 2 恰有一解之充要條件為

(A) abc=0 (B)abc≠0 (C) a,b,c均 (D) a,b,c 不 (E) a,b,c 不相異全相異全相同

　 C 解答：

.設 x+2y=0,x-y=9,3x-y=7 圍 , 則 (A)21 (B)14 (C)38 (D)20 面坐三直線平標上角形個一成三此三角形的面積：

(E)25

　 A 解答：

.A(

 1

,2),B(1,4),C(4,k) 三 ,k = (A)8 (B)5 (C)7 (D)9 (E)12 點共線

　 C 解答：

.

L x

₁

:

 

(

1 cos )



y

 

1 cos ,



L x

₂

:

 

(

1 sin )



y

 

1 sin



與 ?(A) x+y

 2

=0 (B) x

 2

下列何直線共點

y+1=0 (C) x+y

 1

=0 (D) x+2y

 1

=0

　 C 解答： [ 填 ][- ． ] 充題行列式 .若 2

sin x 4sin x 3

sin x 1 2cos x

－

＋

＝0 且

2 

＜x ＜﹐ x ＝　 ﹒ 則　　　　　

2

解答：

3 

.若 p﹑q為 x2_－ _{x ＋ 2 ＝ 0 之} _二_根_﹐_求

p q 1

1 p q

q 1 p

＝　 ﹒ 　　　　　 10 解答：－ .若 ₃ 滿足不等式 3

1

2 1 log x

2

1

2 log x

＜ 0 之 x﹐ 共　個整數　　　　 ﹒ 　 5 解答： .於 A(1 , 2 , 3)﹐B( － 1 , 4 , 0)﹐C(2 , －1 , 4)﹐則空間中﹐有三點 (1) 平 ABC的　 ﹒ 面方程式為　　　　 (2) 平 ABC與xy平 yz平 zx平　 ﹒ 面 ﹐面面﹐ 為積體的體面的成圍面四　　　　　 (1)7x ＋ y － 4z＋ 3 ＝ 0 ， (2)

9

解答：

56

.自 P(2 , 1 , 2)向 A﹐B﹐C﹐ 則 PABC 之　 ﹒ 點引三坐垂標軸為別﹐點足垂線分四體面積為體　　　　　

4

解答：

3

.空 x ＋ y ＋ z ＝ 1﹐ － x ＋ y ＋ z ＝ 1﹐x－ y ＋ z ＝ 1﹐x＋ y － z ＝ 1﹐ 間中四個平面

(11)

所　 ﹒ 圍成四面體的體積為　　　　　

1

解答：

3

.空 _x ＋y ＋_z  1 的 (x , y , z) 所　 ﹒ 足滿間中所有點為積體形的圖體立之成　　　　　

4

解答：

3

.A(0,0,0),B(0,2,3),C(

 1

,3,0),D(1,1,1) (1) 四 ABCD 的 = 面體體積 (2) △ABC的 = 面積　 (1)5 解答： 3 (2) 94 2 .(2) 設 a,b,c 為 ,a b c 相異實數 ax by cz b bx cy az c cx ay bz a x y z x my z x ny z                                0 3 2 4 2 4 3 4 3 2 , 與  有 (x y z₀, ₀, ₀ ), 則 ( 共同解 x y z₀, ₀, ₀ ) = ,( ,m n, ) = 　 (0,1,0),(4,3,2) 解答： [ 證 ][- ． ] 明題行列式 .證 L1： a1x ＋ b1y ＋ c1＝ 0 L﹑ 2 ： a2x ＋ b2y ＋ c2＝ 0 L﹑ 3 ： a3x ＋ b3y ＋ c3＝0 ：明若三條相異直線共點﹐則 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a ＝ 0﹒ 　解答：略 .證 :







明 1 1 1 3 3 3 a a b b c c a b c c b c a b a       　解答：略 .證 :







明 1 1 1 2 3 2 3 2 3 a a b b c c a b b c c a c b c a b a       　解答：略 .證 : 明 b c a a b c a b c c a b    = 4abc 　解答：略 .證 : 明 a b a c a a b b cb a c b c c a b c 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1        　解答：略

(12)

.證 : 明 b c b a c a a b c a cb a c b c a b a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4     　解答：略 .證 : 明 1 1 1 1 1 1 1 1 1    a b c = abc+bc+ac+ab 　解答：略 .(1) 證 : 明 a b c b c a c a b abc a b c 3  3  3  3 　解答：略 .證 :







明 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b c c a a b ( ) ( ) ( )          　解答：略 .試證： 1 1 1 sin cos sin cos sin cos

sin( ) sin( ) sin( )

A A B B C C A B B C C A       _{= }4    2 2 2

sin A BsinB CsinC A

　解答：略 .△ABC 中 ,a,b,c 表 ,  , , 表 , 試 : 三邊長三對角證 a a b b c c a b b c a c 2 2 2 cos cos cos ( )( )( )        　解答：略

.△ABC 中,

A x y

( , ) , ( ,

₁ ₁

B x y

₂ ₂

) , ( ,

C x y

₃ ₃

)

,O(0,0),試 (1) △ABO 的 = 1 證：面積

2 1 1 2 2 x y x y 的絕對值。 (2)△ABC 的 = 面積 x y x y x y 1 1 2 2 3 3 1 1 1 的絕對值。　解答：略