定期考優良試題推介
─ 100
學年度高二下第一次定期考
教育部高中數學學科中心試題研發小組
報告撰寫：國立北港高中蕭民能老師 指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師前言
時光飛逝，數學學科中心試題研發小組所進行的定期優良試題推介已邁
入第二個年度。這是第十份推介試題，是100 學年度高二下第一次定期考試的 試題。依循前例，由數學學科中心邀請全國各高中學校上網分享定期考試試題， 並依學校特性隨機抽樣，選出16 所學校，將試題交由數學學科中心試題研發 小組成員共同研究討論，而產出推介的優良試題。 本次的選題範圍是以課綱數學 IV(線性代數)為主，主題從 1-1 到 2-1，包含 一、空間概念；二、空間向量的坐標表示法；三、空間向量的內積；四、外積、 體積與行列式；五、平面方程式。選題的原則以單一題目的設計為考量，未兼 顧整份試題的難易、配分等因素。選題過程不免有疏漏或不周延之處，祈請各 位先進不吝指正。 在審題過程中，此範圍還是有一些創意的題型出現，處處可見各個學校命題 者的用心。A. 基礎重要試題
1. 下列關於空間的敘述何者正確？ (A) 通過已知平面外一點，恰有一平面與此平面垂直。 (B) 通過已知直線上一點，恰有一平面與此直線垂直。 (C) 通過已知直線外一點，恰有一平面與此直線平行。 (D) 空間中兩相異直線若不相交，則一定平行。 (E) 空間中任意兩相異直線一定有公垂線。 參考答案： BE 出處：道明中學(員林高中等校亦有類似題) 修題建議： 2. (多選) 在空間中，下列敘述何者正確？ (1) 垂直於同一直線的兩相異直線必平行 (2) 兩歪斜線在一平面上之正射影為相交兩直線 (3) 相異兩平面 E, F 交於一線 L, 若 L 垂直一平面 G, 則 E, F 均垂直於 G (4) 過已知直線外一點，有無限多個平面與此直線平行 (5) 若 L1與 L2是歪斜線，L1與 L3也是歪斜線，則 L2與 L3亦為歪斜線 參考答案：(3)(4) 出處：臺中一中(南山高中、道明高中、泉僑高中、中興高中等校亦有類似 題) 修題建議： 3. 設 A(5,2,4)與 B(2, 1,7)為空間中兩點﹐今在直線 AB 上找點 P﹐使PA：PB 1：2﹐則 P 之坐標為_________﹒ 參考答案：(4,1,5)與(8,5,1) 出處：慈大附中(明道、鳳新、中興、馬祖、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議：「則 P 之坐標為_________﹒」，建議改為「則 P 之坐標為_____ ____ (﹒ 有二解) 」。 4. (多選)已知空間中有三點 A（1 , 2 , 3）, B（2 , 4 , 5）, C（3 , 4 , 3）, 若(A) AB． AC＝6 (B) cos θ＝sin θ (C) ＝ (D) θ＝135° (E) △ABC 面積＝3
參考答案：ABCE
出處：長榮女中(義民高中、臺南大學附中、聖心高中等校亦有類似題)
修題建議：「若 AB與 AC之夾角為 θ, 則」，建議改為「若 AB與
AC之夾角為 θ, 則下列選項哪些正確？」。
5. (單選)如附圖，長方體 ABCD－EFGH 中，＝3, ＝2, ＝1, 則下列何值最大？ (A) AB． CG (B) BD． HF (C) AC． EC
(D) FB． EH (E) AF． HB 參考答案： C 出處：義民高中 修題建議： 1. (單選) 如圖，一個邊長為 1 的正立方體，B﹐D 分別為EF, GH中點， 則四邊形 ABCD 的面積為 6 3 5 (1) (2) 2 (3) (4) (5) 3 2 2 4 參考答案：1 出處：金門高中(明道高中、慈大附中等校亦有類似題) 修題建議：「四邊形 ABCD 的面積為」，建議改為「四邊形 ABCD 的面積為 何？」
。 7. 如圖，一個正立方體，其被一平面截出一個四邊形 ABCD, 其中 B, D 為所在邊 的中點，且EA AF: 5 :1; 試求cos
DAB
= . 參考答案： 1 10 出處：南山高中(義民高中、鳳新高中、聖心高中、南大附中等校亦有類似 題) 修題建議： 8. 如圖所示，A B C1 1 1ABC是三角柱，BCA90, 點 D, E 分別為A B , 1 1 A C1 1 的中點，若BC CA CC 1, 則DB
與EA
所成角的餘弦值為 . 參考答案： 30 10 出處：臺中一中 修題建議： 9. 下圖是一個四角錐，△ BCD是邊長為 6 的正三角形，且AB ACAD5，A
D
B
C
H
從頂點 A 對底面 BCD 作垂線 AH 交底面於 H 點。 (1) 求高AH的長。 (2) 設側面ACD與底面BCD所夾的二面角為 ﹐求cos 的值。 參考答案： (1)√
13
(2)√
3
4
出處：聖心高中(新店高中等校亦有類似題) 4. 如圖，一個每邊長均為 4 的立體圖形，其中 ABCD 為正方形，其餘四個三角 形均為正三角形。設底面 ABCD 與側面 ABE 所夾的二面角為 ， 求cos = . 參考答案：√
3
3
出處：南山高中(明道高中、員林高中、新店高中等校亦有類似題) 修題建議：「一個每邊長均為 4 的立體圖形」，建議改為「一個每邊長均為 4 的正四角錐」。「求cos = 」，建議改為「則cos = 」。2. 設 A(1,1,1)﹐B(8,3,2)﹐C(3,5, 3)為空間中三點。如果由點 B 作直線 AC 的垂 線，與直線 AC 交於 D 點，那麼AB
在AC
上的正射影為AD
﹐ 如下圖所示。 求 (1) 正射影AD
= . (2) D 點的坐標= . 參考答案：AD
1, 2, 2
, D
2,3, 1
出處：泉僑高中(馬祖高中、聖心高中、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議：「求 (1) 正射影AD
= . (2) D 點的坐標= .」，建議改為 「則 (1) 正射影AD
= . (2) D 點的坐標為 .」。 3. 設實數 x﹐y﹐z 滿足 x2 4y2 4z2 9﹐求 x 4y 4z 的最大值 ; 最小值 , 此時 x= ﹐y= , z= 參考答案：最大值=9; 最小值=9, 此時 x=1﹐y=1，z=1 出處：泉僑高中(義民高中、中興高中、長榮女中、金門高中等校亦有類似 題) 修題建議：「求 x 4y 4z 的最大值 最小值 」，建議改為 「則 x 4y 4z 的最大值為 ;最小值為 」。 4. 如圖所示，已知直角三角形 ABC 的三邊長分別為 3, 4, 5, 且 P 為ABC內部 一點。設點 P 至三邊的距離分別為 x, y, z, 則x24y22z2的最小值= .(化成最簡分數)參考答案： 96 17 出處：臺中一中(明道高中等校亦有類似題) 修題建議：「設點 P 至三邊的距離分別為 x, y, z,」，建議改為「設點 P 至
BC
、AC
、AB
三邊的距離分別為 x, y, z,」。 5. 平面 E 過
2,1, 4
在第一卦限與三坐標軸正向交於 A, B, C 三點，則 (1) 2OA OB OC 的最小值為 , (2) 此時平面 E 的方程式為 . 參考答案： (1) 25 (2) x5+y 5+ z 10=1 出處： 新高中鳯 修題建議：「平面 E 過
2,1, 4
在第一卦限與三坐標軸正向交於A, B, C 三 點，」， 建議改為「平面E 過
2,1, 4
且在第一卦限與三坐標軸正向交於A, B, C 三點，O 是原點 15. 設 , , , , , a b c x y z , 若a2b2c2 16, 且x2y2z2 25, 則 1 2 2 a b c x y z 的最大 值為何？ 參考答案： 60 出處：馬祖高中 修題建議： 16. 已知由三向量
a
a a a1, ,2 3
,
b
b b b1, ,2 3
,
c
c c c1, ,2 3
所張出之平行 六面體的體積為5, 求由三向量3
a 2 b ,
b 2 c , 2
c a 2 b 所張出 之四面體的體積為 .(化成最簡分數)參考答案：53 出處：臺中一中(義民高中、臺南大學附中、馬祖高中、員林高中等校亦有 類似題) 修題建議： 17. (多選) 設
a , b, c 為空間中不平行的三個非零向量， 為
a 和
b 的夾角， 則下列何者正確？ (1)
a b b a (2) sin a b a b
(3) 若
a c b c , 則
a b (4) 若
a c b c , 則
a b (5) a b c a b c
參考答案：(2)(5) 出處：建國中學 修題建議： 5. (多選) 設
a , b, c 為空間中的向量，則下列哪些選項的敘述是正確的？ (A) 2 3 a b a b
(B) 2 a a b a b
(C) 2 a a b a b
(4)
a , b, c 所張出的平行六面體體積= a b c
(5) c a b a b c
參考答案： (A)(B)(E) 出處：北一女中 修題建議： 6. (單選) 平面 E：x＋2y＋3z＝6 與下列哪些平面不相交？ (1)－x＋2y＋3z＝0 (2) x－2y＋3z＝0 (3) x＋2y－3z＝0 (4) x＋2y＋3z＝0 (5) x－2y－3z＝0 參考答案：4 出處：金門高中(南大附中等校亦有類似題) 修題建議：「與下列哪些平面不相交？」，建議改為「與下列哪一個平面不 相交？」。 7. 空間中二點 A ( 1 ,－3 , 4 ), B ( 2 , 2 ,－1 ), 若與平面 3x－y＋z＝5 交於 P, 則＝ ________. 參考答案：DP 出處：長榮女中(明道高中、員林高中等校亦有類似題) 修題建議：「空間中二點」，建議改為「已知空間中兩點」。8. 已知點 A(2,3,1)到平面 E：3x 2y 4z k 的距離為點 B( 2,3,1)到平 面E 之距離的 3 倍﹐求 k 的值 ﹒ 參考答案：5 或14 出處：泉僑高中(明道高中、員林高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議：「求k 的值 」，建議改為「則 k 的值為 (有二 解)」。 9. 設OA平面E於A﹐直線L在E上，ABL於B﹐C為L上一點，若 6 3 OA ﹐AB6﹐BOC 30 ﹐
A
B
C
L
E
30°
O
(1) 求BC長度為 . (2) 設△OAB 所在平面為E 與△OAC 所在平面為1 E ，且 E2 1與 E2的夾角為 ， 求sin . 參考答案：(1) 4 3 (2) 2 7 7 出處：中興高中(馬祖、聖心、新店、鳳新等校亦有類似題) 修題建議：「OA平面E於A﹐直線L在E上，ABL於B﹐C為L上一 點，」，建議改為「OA
垂直平面E於A點﹐直線L在平面E上，AB
垂 直L於B點﹐C為L上一點。」；「求BC長度為」，建議改為「則BC長度 為」；「求sin 」，建議改為「則sin 」(1) AG． BH＝________. (2) D 點到平面 ACH 的距離為________. 參考答案： (1) −3 ( 2)
12
√
61
61
出處：義民高中(明道中學、員林高中等校亦有類似題) 修題建議： 10. 在空間坐標中，已知點 A(2 , 0 , 0)﹐B(0 , 1 , 0)及一平面E ﹕x y 2z 6 1 0﹐ (1) 若平面 E 過 A﹐B 二點且與平面E 的銳角夾角為 60﹐1 求 E 的方程式為 (兩解); (2) 求線段AB在平面E 的投影長為 .1 參考答案： (1) x+2y-z=2 或 5x+10y+13z=10 (2) 14 2 出處：中興高中 修題建議：「求 E 的方程式為」，建議改為「則 E 的方程式為」；「求線段 AB在平面E 」，建議改為「線段1 AB在平面E 」。1 7. (多選) 二歪斜線在平面上之射影可能為 (1) 一直線 (2) 二相交直線 (3) 二平行直線 (4) 直線及線外一點 (5) 一點 參考答案： 234 出處： 新高中鳯 修題建議：「二歪斜線在平面上之射影可能為」，建議改為「二歪斜線在同 一平面上之射影可能為下列哪些選項？」。8. 如圖，直線 AB 分別與兩歪斜線L1﹐L 垂直於2 A B, 兩點，我們稱AB為L1與 2 L 的公垂線段，直線L 與3 L1平行，且通過點 B, 和L 的一夾角為2 30. 若 4 AB , 且L1上一點 P 滿足AP6, 則 P 到L 的最短距離為 .2
L
3L
1L
2A
B
P
30
°
參考答案：5 出處：聖心高中(新店高中等校亦有類似題) 修題建議：「如圖，直線AB分別與兩歪斜線L1﹐L2垂直於A B, 兩點，我們稱 AB為L1與L2的公垂線段，直線L3 與L1平行，且通過點 B,」，建議改為「如圖， 直線 AB 分別與兩歪斜線L1﹐L2垂直於A B, 兩點，直線L3 與L1平行，且L3 通過 點 B,」B. 新穎創意試題
1. 學校有一棟正四面體的溫室如圖，小明建置一個空間坐標系，其坐標為 A (0,0,0)﹐B(3,3,0)﹐C(3,0,3)﹐D(0,3,3)﹐溫室中有二鋼架DP及PB﹐其中 P 是△ACD 的重心，試問∠BPD 為 度。 參考答案： 90 出處：金門高中 修題建議：「學校有一棟正四面體的溫室如圖，」，建議改為「學校有一棟 正四面體的溫室如下圖所示，」。 11. 邊長為 6 的正四面體 O-ABC﹐將 O 置於空間坐標原點，B 置於 x 軸正向上 （即 B 點之坐標為(6 , 0 , 0)）﹐求 O 對平面 ABC 之投影點的 x 坐標為 . 參考答案： 4 出處：中興高中(明道高中等校亦有類似題) 修題建議： 12. 設O
0,0,0
為坐標空間中某平行六面體的一個頂點，且知A
2,3,1
,
4, 1,0
B , C
4, 2,5
為此平行六面體中與 O 相鄰的三頂點，若平面 E 過 O, C 兩點且將此平行六面體截成體積相等的兩部份，則平面 E 方程式為 . 參考答案： 4x7y6z0 出處：臺中一中 修題建議： 13. 請依下列步驟求正立方體中任兩頂點連線，所有連線中成歪斜線之對數。 (1) 考慮任一不共面四點所成的四面體，其稜線中恰有幾對歪斜線？A B C D M P D C B A Q P R N O M 試求正立方體所有頂點中不共面四點共幾組？ (3) 由以上兩小題可知正立方體任兩頂點連線，所有連線中成歪斜線者有幾 對？ 參考答案：(1) 3 (2) 58 (3) 174 出處：馬祖高中 修題建議： 14. 如下圖，已知四面體 ABCD 是邊長為 4 的正四面體，則： (1)若 M 為CD的中點，P 為AB的中點，求PM ； (2)已知將正四面體各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體與一個正八面 體，如下圖所示。若正八面體 MNOPQR 中，相鄰兩平面 PON 與 ONM 的夾 角為 θ，求 cosθ. 參考答案：(1) 2 2 (2) 1 3 出處：新店高中 修題建議：「求PM ；」，建議改為「則PM=____；」；「求 cosθ.」，建 議改為「則 cosθ.=____」。 15. 設 a, b, x, y 均為實數且 a, b, x, y≠0，若
, 則＝_________. 參考答案： 1 4 出處：義民高中 修題建議：
16. 一矩形紙板 ABCD 沿AC，上折至 ACD'之位置如圖，由 D'作 ABC 平面之垂 足 H 在AB上，AB2, BC1, 求
(1) BD'之長為 .
(2) 若平面 ACD'與平面 ABC 的二面角為 , 則cos 的值為_________.
參考答案：(1) 3 (2) 1 4 出處：建國中學 修題建議：「一矩形紙板 ABCD 沿AC，上折至 ACD'之位置如圖，由 D'作 ABC 平面之垂足 H 在AB上，」，建議改為「一矩形紙板 ABCD 沿AC，將
△ACD 上折至 ACD'之位置, 如圖所示, 由 D'作 ABC 平面之垂線,已知」
17. 如圖所示，四面體 ABCD 的稜長OA4, OB OC 5, ABAC5, BC6 (1) 設側面 OAB 與側面 OAC 的夾角為 ( 為銳角)，則cos =_________. (2) 自頂點 O 作底面 ABC 的垂線，得垂足 H，則OH=_________.
參考答案：(1) 1 7 (2) 2 3 出處：北一女中 修題建議： 18. 如圖所示，正立方體 ABCD-EFGH 中，P
0,0,0
, Q
4, 4, 2
, R
2, 4, 4
依 次分別為 ABFE 面、BCGF 面、ADHE 面的中心，則 (1) 平面 ABFE 的方程式為_________. (2) 平面 BCGF 的方程式為_________. 參考答案：(1) x4y z 0 (2) x z 6 出處：北一女中 修題建議： 19. 已知空間中一正立方體的頂點均為「格子點」，而其中三個頂點為
1, 2, 2
A , B
2,1, 2
, C
2, 2,1
，則此正立方體的中心 O 的坐標為_________. 註：設P x y z
, ,
為空間中的點，若 x, y, z 為整數，則 P 稱為「格子點」。出處：北一女中 修題建議：
