100學年度高二下第一次定期考

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定期考優良試題推介

─ 100

學年度高二下第一次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立北港高中蕭民能老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師

前言

時光飛逝,數學學科中心試題研發小組所進行的定期優良試題推介已邁

入第二個年度。這是第十份推介試題,是100 學年度高二下第一次定期考試的 試題。依循前例,由數學學科中心邀請全國各高中學校上網分享定期考試試題, 並依學校特性隨機抽樣,選出16 所學校,將試題交由數學學科中心試題研發 小組成員共同研究討論,而產出推介的優良試題。 本次的選題範圍是以課綱數學 IV(線性代數)為主,主題從 1-1 到 2-1,包含 一、空間概念;二、空間向量的坐標表示法;三、空間向量的內積;四、外積、 體積與行列式;五、平面方程式。選題的原則以單一題目的設計為考量,未兼 顧整份試題的難易、配分等因素。選題過程不免有疏漏或不周延之處,祈請各 位先進不吝指正。 在審題過程中,此範圍還是有一些創意的題型出現,處處可見各個學校命題 者的用心。

(2)

A. 基礎重要試題

1. 下列關於空間的敘述何者正確? (A) 通過已知平面外一點,恰有一平面與此平面垂直。 (B) 通過已知直線上一點,恰有一平面與此直線垂直。 (C) 通過已知直線外一點,恰有一平面與此直線平行。 (D) 空間中兩相異直線若不相交,則一定平行。 (E) 空間中任意兩相異直線一定有公垂線。 參考答案: BE 出處:道明中學(員林高中等校亦有類似題) 修題建議: 2. (多選) 在空間中,下列敘述何者正確? (1) 垂直於同一直線的兩相異直線必平行 (2) 兩歪斜線在一平面上之正射影為相交兩直線 (3) 相異兩平面 E, F 交於一線 L, 若 L 垂直一平面 G, 則 E, F 均垂直於 G (4) 過已知直線外一點,有無限多個平面與此直線平行 (5) 若 L1與 L2是歪斜線,L1與 L3也是歪斜線,則 L2與 L3亦為歪斜線 參考答案:(3)(4) 出處:臺中一中(南山高中、道明高中、泉僑高中、中興高中等校亦有類似 題) 修題建議: 3. 設 A(5,2,4)與 B(2,  1,7)為空間中兩點﹐今在直線 AB 上找點 P﹐使PAPB 1:2﹐則 P 之坐標為_________﹒ 參考答案:(4,1,5)與(8,5,1) 出處:慈大附中(明道、鳳新、中興、馬祖、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議:「則 P 之坐標為_________﹒」,建議改為「則 P 之坐標為_____ ____ (﹒ 有二解) 」。 4. (多選)已知空間中有三點 A(1 , 2 , 3), B(2 , 4 , 5), C(3 , 4 , 3), 若

(3)

(A) AB. AC=6 (B) cos θ=sin θ (C) = (D) θ=135° (E) △ABC 面積=3

參考答案:ABCE

出處:長榮女中(義民高中、臺南大學附中、聖心高中等校亦有類似題)

修題建議:「若 AB與 AC之夾角為 θ, 則」,建議改為「若 AB與

AC之夾角為 θ, 則下列選項哪些正確?」。

5. (單選)如附圖,長方體 ABCD-EFGH 中,=3, =2, =1, 則下列何值最大? (A)  AB. CG (B)  BD. HF (C)  AC. EC

(D)  FB. EH (E)  AF. HB 參考答案: C 出處:義民高中 修題建議: 1. (單選) 如圖,一個邊長為 1 的正立方體,B﹐D 分別為EF, GH中點, 則四邊形 ABCD 的面積為 6 3 5 (1) (2) 2 (3) (4) (5) 3 2 2 4 參考答案:1 出處:金門高中(明道高中、慈大附中等校亦有類似題) 修題建議:「四邊形 ABCD 的面積為」,建議改為「四邊形 ABCD 的面積為 何?」

(4)

7. 如圖,一個正立方體,其被一平面截出一個四邊形 ABCD, 其中 B, D 為所在邊 的中點,且EA AF: 5 :1; 試求cos

DAB

= . 參考答案: 1 10 出處:南山高中(義民高中、鳳新高中、聖心高中、南大附中等校亦有類似 題) 修題建議: 8. 如圖所示,A B C1 1 1ABC是三角柱,BCA90, 點 D, E 分別為A B , 1 1 A C1 1 的中點,若BC CA CC  1, 則DB

EA

所成角的餘弦值為 . 參考答案: 30 10 出處:臺中一中 修題建議: 9. 下圖是一個四角錐,△ BCD是邊長為 6 的正三角形,且ABACAD5,

(5)

A

D

B

C

H

從頂點 A 對底面 BCD 作垂線 AH 交底面於 H 點。 (1) 求高AH的長。 (2) 設側面ACD與底面BCD所夾的二面角為 ﹐求cos 的值。 參考答案: (1)

13

(2)

3

4

出處:聖心高中(新店高中等校亦有類似題) 4. 如圖,一個每邊長均為 4 的立體圖形,其中 ABCD 為正方形,其餘四個三角 形均為正三角形。設底面 ABCD 與側面 ABE 所夾的二面角為 , 求cos = . 參考答案:

3

3

出處:南山高中(明道高中、員林高中、新店高中等校亦有類似題) 修題建議:「一個每邊長均為 4 的立體圖形」,建議改為「一個每邊長均為 4 的正四角錐」。「求cos = 」,建議改為「則cos = 」。

(6)

2. 設 A(1,1,1)﹐B(8,3,2)﹐C(3,5,  3)為空間中三點。如果由點 B 作直線 AC 的垂 線,與直線 AC 交於 D 點,那麼AB

AC

上的正射影為AD

﹐ 如下圖所示。 求 (1) 正射影AD

= . (2) D 點的坐標= . 參考答案:AD

1, 2, 2

, D

2,3, 1

出處:泉僑高中(馬祖高中、聖心高中、長榮女中等校亦有類似題) 修題建議:「求 (1) 正射影AD

= . (2) D 點的坐標= .」,建議改為 「則 (1) 正射影AD

= . (2) D 點的坐標為 .」。 3. 設實數 x﹐y﹐z 滿足 x2  4y2  4z2  9﹐求 x  4y  4z 的最大值 ; 最小值 , 此時 x= ﹐y= , z= 參考答案:最大值=9; 最小值=9, 此時 x=1﹐y=1,z=1 出處:泉僑高中(義民高中、中興高中、長榮女中、金門高中等校亦有類似 題) 修題建議:「求 x  4y  4z 的最大值 最小值 」,建議改為 「則 x  4y  4z 的最大值為 ;最小值為 」。 4. 如圖所示,已知直角三角形 ABC 的三邊長分別為 3, 4, 5, 且 P 為ABC內部 一點。設點 P 至三邊的距離分別為 x, y, z,x24y22z2的最小值= .(化成最簡分數)

(7)

參考答案: 96 17 出處:臺中一中(明道高中等校亦有類似題) 修題建議:「設點 P 至三邊的距離分別為 x, y, z,」,建議改為「設點 P 至

BC

AC

AB

三邊的距離分別為 x, y, z,」。 5. 平面 E 過

2,1, 4

在第一卦限與三坐標軸正向交於 A, B, C 三點,則 (1) 2OA OB OC  的最小值為 , (2) 此時平面 E 的方程式為 . 參考答案: (1) 25 (2) x5+y 5+ z 10=1 出處: 新高中鳯 修題建議:「平面 E 過

2,1, 4

在第一卦限與三坐標軸正向交於A, B, C 三 點,」, 建議改為「平面E 過

2,1, 4

且在第一卦限與三坐標軸正向交於A, B, C 三點,O 是原點 15. 設 , , , , , a b c x y z  , 若a2b2c2 16, 且x2y2z2 25, 則 1 2 2 a b c x y z 的最大 值為何? 參考答案: 60 出處:馬祖高中 修題建議: 16. 已知由三向量

a

a a a1, ,2 3

,

b

b b b1, ,2 3

,

c

c c c1, ,2 3

所張出之平行 六面體的體積為5, 求由三向量3

 

a 2 b ,

 

b 2 c , 2

  

ca 2 b 所張出 之四面體的體積為 .(化成最簡分數)

(8)

參考答案:53 出處:臺中一中(義民高中、臺南大學附中、馬祖高中、員林高中等校亦有 類似題) 修題建議: 17. (多選) 設

  

a , b, c 為空間中不平行的三個非零向量, 為

a

b 的夾角, 則下列何者正確? (1)

   

abba (2) sin aba b

   

(3) 若

   

acbc , 則

 

ab (4) 若

   

a c  b c , 則

 

ab (5) abc    abc    

     

參考答案:(2)(5) 出處:建國中學 修題建議: 5. (多選) 設

  

a , b, c 為空間中的向量,則下列哪些選項的敘述是正確的? (A) 2 3 a b a b        

   

   (B) 2 a abab  

    

(9)

(C) 2 a abab  

    

(4)

  

a , b, c 所張出的平行六面體體積= a bc  

  

(5) cab   a bc    

     

參考答案: (A)(B)(E) 出處:北一女中 修題建議: 6. (單選) 平面 E:x+2y+3z=6 與下列哪些平面不相交? (1)-x+2y+3z=0 (2) x-2y+3z=0 (3) x+2y-3z=0 (4) x+2y+3z=0 (5) x-2y-3z=0 參考答案:4 出處:金門高中(南大附中等校亦有類似題) 修題建議:「與下列哪些平面不相交?」,建議改為「與下列哪一個平面不 相交?」。 7. 空間中二點 A ( 1 ,-3 , 4 ), B ( 2 , 2 ,-1 ), 若與平面 3x-y+z=5 交於 P, 則= ________. 參考答案:DP 出處:長榮女中(明道高中、員林高中等校亦有類似題) 修題建議:「空間中二點」,建議改為「已知空間中兩點」。

(10)

8. 已知點 A(2,3,1)到平面 E:3x  2y  4z  k 的距離為點 B(  2,3,1)到平E 之距離的 3 倍﹐求 k 的值 ﹒ 參考答案:5 或14 出處:泉僑高中(明道高中、員林高中、金門高中等校亦有類似題) 修題建議:「求k 的值 」,建議改為「則 k 的值為 (有二 解)」。 9. 設OA平面EA﹐直線LE上,ABLBCL上一點,若 6 3 OAAB6BOC 30

A

B

C

L

E

30°

O

(1) 求BC長度為 . (2) 設△OAB 所在平面為E 與△OAC 所在平面為1 E ,且 E2 1與 E2的夾角為 , 求sin  . 參考答案:(1) 4 3 (2) 2 7 7 出處:中興高中(馬祖、聖心、新店、鳳新等校亦有類似題) 修題建議:「OA平面EA﹐直線LE上,ABLBCL上一 點,」,建議改為「

OA

垂直平面EA點﹐直線L在平面E上,

AB

垂 直LB點﹐CL上一點。」;「求BC長度為」,建議改為「則BC長度 為」;「求sin 」,建議改為「則sin 」

(11)

(1) AG. BH=________. (2) D 點到平面 ACH 的距離為________. 參考答案: (1) −3 ( 2)

12

61

61

出處:義民高中(明道中學、員林高中等校亦有類似題) 修題建議: 10. 在空間坐標中,已知點 A(2 , 0 , 0)﹐B(0 , 1 , 0)及一平面E ﹕x  y  2z  6  1 0﹐ (1) 若平面 E 過 A﹐B 二點且與平面E 的銳角夾角為 60﹐1 求 E 的方程式為 (兩解); (2) 求線段AB在平面E 的投影長為 .1 參考答案: (1) x+2y-z=2 或 5x+10y+13z=10 (2) 14 2 出處:中興高中 修題建議:「求 E 的方程式為」,建議改為「則 E 的方程式為」;「求線段 AB在平面E 」,建議改為「線段1 AB在平面E 」。1 7. (多選) 二歪斜線在平面上之射影可能為 (1) 一直線 (2) 二相交直線 (3) 二平行直線 (4) 直線及線外一點 (5) 一點 參考答案: 234 出處: 新高中鳯 修題建議:「二歪斜線在平面上之射影可能為」,建議改為「二歪斜線在同 一平面上之射影可能為下列哪些選項?」。

(12)

8. 如圖,直線 AB 分別與兩歪斜線L1﹐L 垂直於2 A B, 兩點,我們稱ABL1與 2 L 的公垂線段,直線L 與3 L1平行,且通過點 B, 和L 的一夾角為2 30. 若 4 AB, 且L1上一點 P 滿足AP6, 則 P 到L 的最短距離為 .2

L

3

L

1

L

2

A

B

P

30

°

參考答案:5 出處:聖心高中(新店高中等校亦有類似題) 修題建議:「如圖,直線AB分別與兩歪斜線L1﹐L2垂直於A B, 兩點,我們稱 ABL1L2的公垂線段,直線L3 與L1平行,且通過點 B,」,建議改為「如圖, 直線 AB 分別與兩歪斜線L1L2垂直於A B, 兩點,直線L3 與L1平行,且L3 通過 點 B,」

B. 新穎創意試題

1. 學校有一棟正四面體的溫室如圖,小明建置一個空間坐標系,其坐標為 A (0,0,0)﹐B(3,3,0)﹐C(3,0,3)﹐D(0,3,3)﹐溫室中有二鋼架DPPB﹐其中 P 是△ACD 的重心,

(13)

試問∠BPD 為 度。 參考答案: 90 出處:金門高中 修題建議:「學校有一棟正四面體的溫室如圖,」,建議改為「學校有一棟 正四面體的溫室如下圖所示,」。 11. 邊長為 6 的正四面體 O-ABC﹐將 O 置於空間坐標原點,B 置於 x 軸正向上 (即 B 點之坐標為(6 , 0 , 0))﹐求 O 對平面 ABC 之投影點的 x 坐標為 . 參考答案: 4 出處:中興高中(明道高中等校亦有類似題) 修題建議: 12. 設O

0,0,0

為坐標空間中某平行六面體的一個頂點,且知A

2,3,1

,

4, 1,0

B  , C

4, 2,5

為此平行六面體中與 O 相鄰的三頂點,若平面 E 過 O, C 兩點且將此平行六面體截成體積相等的兩部份,則平面 E 方程式為 . 參考答案: 4x7y6z0 出處:臺中一中 修題建議: 13. 請依下列步驟求正立方體中任兩頂點連線,所有連線中成歪斜線之對數。 (1) 考慮任一不共面四點所成的四面體,其稜線中恰有幾對歪斜線?

(14)

A B C D M P D C B A Q P R N O M 試求正立方體所有頂點中不共面四點共幾組? (3) 由以上兩小題可知正立方體任兩頂點連線,所有連線中成歪斜線者有幾 對? 參考答案:(1) 3 (2) 58 (3) 174 出處:馬祖高中 修題建議: 14. 如下圖,已知四面體 ABCD 是邊長為 4 的正四面體,則: (1)若 M 為CD的中點,P 為AB的中點,求PM ; (2)已知將正四面體各邊中點用線段連接,可得四個小正四面體與一個正八面 體,如下圖所示。若正八面體 MNOPQR 中,相鄰兩平面 PON 與 ONM 的夾 角為 θ,求 cosθ. 參考答案:(1) 2 2 (2) 1 3  出處:新店高中 修題建議:「求PM ;」,建議改為「則PM=____;」;「求 cosθ.」,建 議改為「則 cosθ.=____」。 15. 設 a, b, x, y 均為實數且 a, b, x, y≠0,若

(15)

, 則=_________. 參考答案: 1 4 出處:義民高中 修題建議:

16. 一矩形紙板 ABCD 沿AC,上折至 ACD'之位置如圖,由 D'作 ABC 平面之垂 足 H 在AB上,AB2, BC1, 求

(1) BD'之長為 .

(2) 若平面 ACD'與平面 ABC 的二面角為 , 則cos 的值為_________.

參考答案:(1) 3 (2) 1 4 出處:建國中學 修題建議:「一矩形紙板 ABCD 沿AC,上折至 ACD'之位置如圖,由 D'作 ABC 平面之垂足 H 在AB上,」,建議改為「一矩形紙板 ABCD 沿AC,將

△ACD 上折至 ACD'之位置, 如圖所示, 由 D'作 ABC 平面之垂線,已知」

17. 如圖所示,四面體 ABCD 的稜長OA4, OB OC 5, ABAC5, BC6 (1) 設側面 OAB 與側面 OAC 的夾角為 ( 為銳角),則cos =_________. (2) 自頂點 O 作底面 ABC 的垂線,得垂足 H,則OH=_________.

(16)

參考答案:(1) 1 7 (2) 2 3 出處:北一女中 修題建議: 18. 如圖所示,正立方體 ABCD-EFGH 中,P

0,0,0

, Q

4, 4, 2

, R

2, 4, 4

次分別為 ABFE 面、BCGF 面、ADHE 面的中心,則 (1) 平面 ABFE 的方程式為_________. (2) 平面 BCGF 的方程式為_________. 參考答案:(1) x4y z 0 (2) x z 6 出處:北一女中 修題建議: 19. 已知空間中一正立方體的頂點均為「格子點」,而其中三個頂點為

1, 2, 2

A , B

2,1, 2

, C

2, 2,1

,則此正立方體的中心 O 的坐標為_________. 註:設P x y z

, ,

為空間中的點,若 x, y, z 為整數,則 P 稱為「格子點」。

(17)

出處:北一女中 修題建議:

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

1. 下圖是一個長方體﹐EFGH 是一個正方形,且AF5AG 41 求 (1) △AGF 面積為 ; (2) △AGF 所在平面方程式為 ; (3) E 點到△AGF 所在平面的距離為 . 不宜出現之原因或修題建議:建議給點的坐標,以求平面方程式,例如給B 點坐標,則是一題很好的題目。 9. 稜長為 2 的正立方體如下圖所示,P, Q 為所在邊上的中點,試求向量OP

在 向量OQ

上的正射影。 修題建議:建議說明 O 點是正立方體中心。

數據

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參考文獻

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