體積全像拉曼濾波片之研究

國

立

交

通

大

學

光電工程學系

碩

士

論

文

體積全像拉曼濾波片之研究

Research on Volume Holographic Raman Filter

研 究 生：陳立偉

指導教授：許根玉 教授

林烜輝 教授

體積全像拉曼濾波片之研究

Research on Volume Holographic Raman Filter

研 究 生：陳立偉 Student： Li-Wei Chen

指導教授：許根玉 Advisor： Ken-Yuh Hsu

林烜輝 Shiuan Huei Lin

國 立 交 通 大 學

電機資訊學院

光電工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to the Instiute of Electro-Optical Engineering college of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Electro-Optical Engineering June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

體積全像拉曼濾波片之研究

學生：陳立偉 指導教授：許根玉 教授

林烜輝 教授

國立交通大學

光電工程學系

摘 要

本論文將闡述如何利用穿透式體積全像的技術製作拉曼光譜分析中所需要的窄頻 寬濾波片，稱之為拉曼濾波片。首先，在簡單的描述拉曼光譜之後，我們將描述穿透式 體積全像片的繞射特性，並以拉曼光譜儀的需求為參考，作為此種濾波片元件的分析指 標；接下來我們將說明光學實驗的設計與分析，並利用本實驗室已經趨近成熟的體積全 像高分子材料PQ-PMMA製作出拉曼濾波片。之後將以體積全像製作法來進行製作濾波 片，測量其繞射效率，並比較理論模擬數值與實驗結果。此研究成果所製作出的濾波片 頻寬小於1nm，可以適用於量測拉曼位移量大於 153.6cm-1信號範圍。

Research on Volume Holographic Raman Filter

Student：Li-Wei Chen Advisors：Ken-Yuh Hsu

Shiuan-Huei Lin

Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University

ABSTRACT

This thesis describes how to utilize transmission volume holographic technology to produce a narrow band filter which can be used in Raman spectral analyses. This filter is also referred to as Raman filter. The thesis starts with the introduction of the Raman spectrum, and then describe the diffraction characteristic of transmission type volume hologram which will be applied for designing the Raman filter. We also define some criteria for evaluating performance of the designed Raman filter by consulting the requirements of the Raman spectrometer.

In this study, the designed filter is fabricated by using the photopolymer material PQ-PMMA with the volume holographic method. Following the description of the design of the optical experiment, we measure its diffraction efficiency, and compare experimental results with theoretical simulations. The band of the filter that we produced can achieve smaller than 1nm, and it can be used for measuring the Raman shift whose range is greater

誌

謝

碩士的生涯一下就過去了，也代表學生的生活將要告一段落，從驚訝自己考上交大 光電所到畢業的這個研究生生活中，我學到了不只課業上的知識，還有做人處事的道 理，這些都是往後在出社會的寶典，而這些寶典都來自於我們和藹可親的許根玉老師， 以及面惡心善的林烜輝老師，在他們不斷的訓練傳授下，雖然還沒學到他們的百分之百 的功力，但多少也學到一點皮毛，因此在這裡要大大的感謝兩位老師的教導，再加上一 群一直幫我打拼的好師兄弟們：男哥、建舜、仁崇、柏霖、俊華以及阿芫，在大伙的大 力幫忙下，使我的研究生生活過的很開心也很充實，尤其是柏霖學長的幫忙真的是很大 很大，常因為我的疏忽而讓他挨老師罵，真不好意思，在此真的非常的感謝這群好師兄 弟們，也期望他們能將我們這個光學計算門派繼續的發揚光大。 再來要感謝我的父母，在他們的關懷支持下，使我的研究生生活無憂無慮，過著衣 食無缺的日子，能盡心盡力的完成我的碩士學位，也要感謝一直陪伴在我身邊的美鈴， 有著她無時無刻的督促陪伴下，才能順順利利的度過一些難關，最後要感謝的就是一群 好同學，以及兩位好室友：奎佐和包包，在他們的鼎力扯後腿，不斷的嘮叨帶壞下，使 我更加的努力且愉悅的完成這個學業。 要感謝的人很多可能由遺忘的，所以凡是在我學習期間幫助我，鼓勵我，支持我的 有名無名人士們，在此獻上最真誠的感謝，謝謝你們。 みなさん，ありがとうございました！

目錄

中文摘要...i

英文摘要...ii

致謝...iii

目錄...iv

表目錄...vi

圖目錄...vii

第一章 序論...1

1-1. 全像術的簡介...1 1-2. 體積全像簡介...4 1-3. 體積全像拉曼濾波片簡介...5 1-3-1. 拉曼光普簡介...5 1-3-2. 拉曼光譜的應用...8 1-3-3. 拉曼光譜儀系統架構及主要元件...8 1-3-4. 市售拉曼濾波片概況...10 1-4. 論文架構...12

第二章 體積全像拉曼濾波片的原理與設計

...13 2-1. 體積全像之耦合波理論...13 2-1-1. 穿透式體積光柵...14 2-1-2. 反射式體積光柵...21 2-2. 拉曼濾波片之設計...28 2-2-1. 設計參數...28 2-2-2. 電腦模擬...31

第三章 體積全像拉曼濾波片的製作與量測

...34 3-1. 體積全像材料(PQ-PMMA)製作...34 3-2. 體積全像拉曼濾波片製作及其特性之量測...37 3-3. 討論...48

第四章 結論

...51

參考文獻

...53

表目錄

第一章

表1.1 正常結膜以及有症狀結膜的拉曼頻帶位置及其對應的分子...7 表1.2 凹槽型濾波器各公司規格比較表...11

第三章

表3.1 實驗結果與理論計算比較表...49 表3.2 圖 3.13（a）（b）理論計算比較表...50

圖目錄

第一章

圖1.1 全像拍攝簡示圖...1 圖1.2 同軸全像...2 圖1.3 離軸全像...3 圖1.4 瑞利散射、史托克散射以及反史托克散射的簡單示意模型圖...6 圖1.5（a）正常人的結膜與（b）有症狀的結膜的拉曼光譜圖...7 圖1.6 標準的拉曼散射實驗系統...9 圖1.7 拉曼濾波器...10

第二章

圖2.1 布拉格繞射表面配置（a）穿透式體積全像光柵（b）反射式體積全像光柵...13 圖2.2 角度變化向量圖（A）Δα＝0（B）Δα≠0...18 圖2.3 波長變化向量圖（A）Δα＝0（B）Δα≠0...20 圖2.4 入射角度對 3dB 寬圖...26 圖2.5 典型的凹槽型濾波器之穿透光譜特性曲線...29 圖2.6 穿透式體積全像拉曼濾波器設計示意圖...32 圖2.7 （a）穿透率對空氣中入射角度變化圖（b）穿透率 dB 值對空氣中入射角度變化 圖。...32 圖2.8 （a）穿透率對入射波長變化圖（b）穿透率 dB 值對入射波長變化圖...32

第三章

圖3.1 清洗玻璃流程圖。...34 圖3.2 模子的製作...35 圖3.3 材料切割...36 圖3.4 繞射效率對曝光時間光路架設圖...38 圖3.5 繞射效率對曝光時間曲線圖。...38

圖3.6 穿透式體積全像光柵利用 514nm 綠光雷射紀錄的光學系統...40 圖3.7 穿透式體積全像光柵利用 514nm 氬離子雷射讀取的光學系統...41 圖 3.8 （a）圖為繞射效率對曝光時間曲線圖（b）圖為繞射效率對入射角度變化曲線 圖。...42 圖3.9 （a）圖為繞射效率對曝光時間曲線圖及（b）圖為在靜置後繞射效率對入射角度 變化曲線圖。...44 圖3.10 （a）圖為繞射效率對曝光時間曲線圖 （b）圖為在靜置且調變讀取光強度後繞 射效率對入射角度變化曲線圖。...46 圖 3.11 （a）圖為中上位置的材料的繞射效率對曝光時間曲線圖（b）圖為在靜置半小 時且調變讀取光強度後繞射效率對入射角度變化曲線圖。...47 圖3.12 （a）實驗數據繞射效率圖形 （b）模擬計算圖形...49 圖 3.13 （a）改變調變折射率重新計算的理論繞射效率曲線（b）改變厚度後重新計算 的理論繞射效率曲線...49 圖3.14 繞射效率對入射波長變化圖（a）實驗數據圖形，（b）模擬計算圖形...50

第一章 序論

1-1 全像術簡介

全像術(Holography) (1)是一種紀錄在二維平面卻能顯示出三維圖像的影像技術。以 傳統的影像技術而言，例如：照相術，它是藉由透鏡系統將三維的景象記錄在感光的平 面上，更或者簡單利用不反光屏幕上的小針孔將景象紀錄再感光底片上，但是記錄下來 的僅僅是原始景象的強度分布，而其他包含景象重要資訊的相位等，則就會喪失掉了。 而全像的獨特性質就是它能完整的把一個物體的資訊包含相位以及振幅通通的記錄下 來，而因為許多的感光材料只能紀錄強度變化，因此全像必須將相位資訊轉換成強度變 化來達成紀錄。全像紀錄時它是利用一個同調光源，會分成參考波以及照射物體後的物 體散射波，然後兩者干涉同時照射在紀錄材料上，由圖 1.1(a)所示，經過處理完成紀錄 的底片我們會稱其為全像片，而我們要重建讀取時，必須以同樣的參考光源同方向的照 射底片，則觀察者在底片的另一面就會看到我們所拍攝的物體好像在原來的地方一樣， 如圖1.1(b)。 同調光源 感光底片 反射鏡 物體 同調光源 全像片 反射鏡 影像 觀察者 (a) (b) 圖1.1 全像拍攝簡示圖(a) 記錄 (b) 重建

全像術是由蓋伯(G 電子顯微鏡的解析度 提出的一個技術，而他也在 1971 年因為這項技術發明而得到了諾貝爾物理獎。全像術 (Holography)的名稱是由希臘字而來，Holo 代表著全部(whole)，graphein 代表著記錄 (writing)，也就是說全像可以完整的紀錄一個波所有的訊息，包括它的振幅以及相位。 可惜這項技術在當時遭遇到兩個困難點，主要的困難點在於沒有適合的高強度同調光源 可以用來記錄，另外一個則是不能將影像虛像以及實像分離(稱此為同軸全像如圖 1.2)， 因而使得這項技術沉默了許多年，雖然如此，但是蓋伯卻建立了對近代三維影像和全像 的基本架構。 年代，具有高同調性和高強度的光源：雷射的發明，克服了蓋伯的 第一個困難點，爾後，利斯(Leith)和厄普尼克(Upatnieks)利用斜向離軸的概念(稱此為離 軸全像，如圖1.3)，也就是成功的將虛像以及實像分離開來，克服了蓋伯的第二個困難 點，進而使得全像術廣泛的被科學家所研究。 圖1.2 同軸全像 (a) 紀錄 (b) 重建。 abor)在 1948 年所提出，當時他是為了提高 一直到了 1960 x 物體光 物體 （a） z 點光源 參考光 感光底片 全像片 點光源 Z0 Z0 虛像 實像 觀察者 （b）

圖1.3 離軸全像 (a) 記錄 (b) 重建

經由多年來的科學家 應用的範圍有：全像展

示(Holography display)、全像干涉儀(Holography Interferometry)、全像儲存、全像光學元 件、…等，全像展示大多是作為供人觀賞的作品，全像干涉儀則主要是用在工程測量方 面，全像儲存我們也稱作體積全像儲存，是近來有希望取代傳統光碟片的技術，而全像 光學元件則是利用其紀錄相位的特性，可將光學元件的相位記錄下來，將原本有固定厚 度的光學元件變成厚度較小的光學元件、或是各式各樣形狀的光學元件，因而大大改變 我們的光學系統。 累積研究經驗之後，全像術目前較廣為 z θ 物體 感光底 （a） z x θ 穿透光 全像片 虛像 實像 參考光 （b）

1-2 體積全像簡介

的干涉條紋週期以及紀錄材料的厚度而有所不同，因此劃分成兩 類，一種為體積全像（Volume Hologram）與另一種為薄全像（Thin Hologram），全像是 一種光柵，它可因為曝光的條件或者拍攝程序來決定它的干涉條紋分布，因此我們常利 用Q 值來判斷是體積全像或者是薄全像， 全像會因為材料內 2 0 2 = d Q Λ n πλ (1-1) λ0代表重建 度；定義在Q>1 時我們稱此全像為體積全像，反之在Q<1 時我們稱此全像為薄全像。 全像的干涉條紋的間隔可以在微米（μm）級，並且其繞射效率則是隨著厚度改變的函 數，因此我們可以利用厚度改變繞射效率的特性，以及體積全像會因為我們讀取的光源 波長偏離原來的參考光源的波長，或者是讀取光源的角度不是原來參考光源入射的角 度，而無法重建原來紀錄光的特性。做成體積全像濾波器。 及反射式體積全像兩種； 穿透式體積全像是指，紀錄時訊號光以及參考光由感光材料的同一面入射，讀取時參考 光一樣由此面射入，而繞射光則會由另外一面射出，有如光訊號穿透一樣，因此稱此為 穿透式體積全像；反射式體積全像則是指，紀錄時訊號光以及參考光由感光材料的不同 面入射，讀取時參考光以相同的面射入，繞射光則會在與參考光相同的那一面射出，有 如反射一樣，因此稱此為反射式體積全像。 時光在空氣中的波長，n是光柵的折射係數，Λ是光柵的週期，d是材料的厚 全像實驗架設方式都是利用兩道光的干涉，然後記錄干涉條紋在感光材料內，體積 一般而言，體積全像依照紀錄的方式，可以分成穿透式以

1-3. 體積全像拉曼濾波片簡介

被Smekal提出理論預測，除了常見的瑞利（Rayleigh）彈性 散射光外，還會有頻率遷移（shifted）的非彈性散射光；但是正式被提出來則是在 1928 年由印度科學家拉曼（Raman）以及Krishnan從實驗所證實。當時實驗架構很簡單，將 陽光聚焦以及利用一些濾波器，然後再依靠眼睛觀察散射光的顏色變換所完成，後來拉 曼利用一座水銀燈（mercury lamp）和一台攝譜儀（spectrograph），在 60 幾種液體例如 包含苯（benzene）和四氯化碳（carbon tetrachloride）的液體中，看到了與入射光頻率 不同的散射光。但是拉曼效應是很微弱的效應，大概是入射光的10 左右，所以實驗需 要消耗很多的樣品以及曝光時間要拉很長，並且與當時廣為應用的紅外線光譜相比，光 源的穩定性以及強度都差，因此發展空間極為有限。雖然之間曾經改善光源的強度但是 仍舊不能有效利用。 雷射的產生使得拉曼光譜重生了，雷射提供了單一波長、具同調 性、高強度的平行光源，使得拉曼光譜的研究可以在體積較小的樣品、帶有顏色的樣品、 固體、液體、氣體、和在高溫的樣品、被稀釋的溶液、或在真空中以及其他非穩定的條 件下所進行，再加上後來微電子技術的快速發展，使得捕捉拉曼光譜的設備更快、更精 確也更多功能，有助於許多科學家在許多不同領域的研究。隨著這些技術的進步與改 善，因而促使許多科學家投入更多有關拉曼光譜的研究，例如共振拉曼散射（Resonance

Raman scattering）、表面增強拉曼散射（Surface enhanced Raman scattering）、同調反史托

克拉曼散射（Coherence Anti-Stoke Raman scattering），激發拉曼增益或損耗光譜學 （Stimulated Raman Gain & Loss spectroscopy ）、…等。

電子能量的轉換所產生，而化 學家大都主要集中探討振動態的拉曼效應，所以我們通常說拉曼效應就單只是探討振動

1-3-1 拉曼光譜的簡介

拉曼效應(2)早在1923 年 -8 直到 1960 年代， 拉曼散射常是因為物質內部分子的振動、轉動或者是

態的 在此引進拉曼位移（Raman Shift）公式 ： Raman Shift Δ（cm-1）=（1/雷射光波長）-（1/散射光波長） (1-2) 而入射光與拉曼散射光之間的能量差等於分子散射時的振動能量，所以我們看到的拉曼 光譜圖為散射光子強度對光子能量的改變量Δ（cm-1）所作的圖（如圖1.5 所示）。圖中 拉曼效應。拉曼散射又分為兩種，一種為史托克散射（Stoke-scattering）此種拉曼 散射光的能量比雷射光能量小，因此波長較雷射光波長還長，而另外一種為反史托克散 射（anti-Stoke scattering），此種拉曼散射光的能量比雷射光能量大一點，因此波長較雷 射光波長短一點，由圖1.4 來看，因為分子或原子處於低能階的電子比處於高能階的多， 再加上史托克散射是由較低能階躍遷後引起，而反史托克散射則是在較高能階躍遷，所 以大部分拉曼散射光，史托克散射光出現的機率比反史托克散射大。 hν0 圖1.4 瑞利散射、史托克散射以及反史托克散射的簡單示意模型圖 的每一個峰值都代表著此測量物所擁有的某個分子結構，再由這些峰值位置對照一些拉 曼位移表（如表1.1），就可以得知此測量物包含的分子結構是哪些。 hν0 hν0 h(ν0–νv) h(ν0+νv) hν0 史托克 瑞利 反史托克 v=1 v=2 v=3 v=0 虛擬能階

圖1.5（a）正常人的結膜與（b）有症狀的結膜的拉曼光譜圖(3)

1-3-2. 拉曼光譜的應用

我們可利用各個分子的振動能量的不同，所導致拉曼光譜的譜線的不同，來判斷出 我們所測量的物質是由哪些分子所組成，而這項特點可讓拉曼光譜應用於非常多的領 域，如以下所列︰ （1）化學物質：分析和特性測量 有機物、無機物，包括溶劑、汽油化工產品、碳物質、 薄膜。（2）化學過程：用於檢視高分子配方和聚合過程，即時測量混合物（包括溶劑 混合物及水溶液）各組成成分的含量，檢查有機污染物，跟蹤化學反應的中間和末端產 物，預測聚合物的型態特徵。（3）高分子聚合物和塑膠：質量控制進廠和出廠產品， 認定生產過程中的污染物質，即時監測聚合反應過程，利用多變量分析/化學計量學方法 預測雙折射、晶狀性、結晶溫度等物理特性。（4）藥物：認定和分析藥物成分、關鍵 添加劑、填充劑、毒品；對藥物的純度和質量進行質量控制。（5）刑事檢測：檢測易 燃易爆物，毒品藥品，生物武器試劑，墨水及文件。（6）生物和醫學：測量血液和血 清中總蛋白質及生物溶質含量，決定新陳代謝產物的濃度，測量血液和組織的含氧量， 在對癌症分子（如子宮癌、肺癌等）和心血管疾病（如動脈硬化）進行診斷。（7）食 品：測量食物油中脂肪酸的不飽和度，檢測食品中的污染物如細菌，認定營養品和果品 飲料中的添加藥物。（8）礦物或珠寶：鑑定和分析真假寶石（如鑽石，石英，紅寶石， 綠寶石等）以及對珍珠、 玉石及其他珠寶產品進行分類。（9）材料，半導體，地質， 考古，環境等。

1-3-3. 拉曼光譜儀系統架構及主要元件

拉曼光譜儀的基本架構包含了四個部份（如圖1.6 所示）：（1）雷射光源 目前最 常用的雷射光源為 514nm 氬離子綠光雷射，也有其他波段光源如：632nm 氦氖雷射、 或更長波段運用在生物醫學的紅外線雷射。（2）待測物質平台 即我們想要偵測的有 機化學物質例如高分子聚合物，或者是其他無機物質例如矽晶圓等放置在此平台上面。

（3）拉曼濾波片 主要用來濾掉某些我們不需要的物質散射光源，例如瑞利散射光。 以及（4）光譜儀 目的是將散射光中所包含的不同分子所產生的拉曼散射波長能夠有 效得分開，使得偵測器能夠確實測得我們所要的訊號，裡頭包含了分光儀以及CCD 。 然後再經由電腦軟體的輸出，得到我們所需要的拉曼光譜圖。 圖1.6 標準的拉曼散射實驗系統 在主要元件方面，裡頭有一種濾波片是拉曼光譜儀所不可缺少的，我們稱之為拉曼 濾波器，其功能是用來阻擋瑞利散射光（與雷射光同波長的光源），使得只有拉曼散射 光能夠通過，而拉曼濾波片大概分為三種：（一）邊緣型濾波器（edge filter）、（二） 凹槽型濾波片（Notch filter）、（三）雷射光濾波片（laser-line filter），如圖 1.7 所示。

邊緣型濾波器可分為兩種：圖1.7（a）表示長通邊緣型濾波片（long-pass edge filter），

而把雷射光以及比雷射光波長還短的反史托克散射光濾掉，只通過比雷射光波長還長的

拉曼訊號光。圖1.7（b）表示短通邊緣型濾波片（short-pass edge filter），只通過比雷

射光波長還短的拉曼訊號光，而把雷射光以及比雷射光波長還長的史托克散射光濾掉。 圖1.7（c）表示凹槽型濾波片，其功能是把雷射光波長濾掉，而使得拉曼訊號光可以全 部通過。圖1.7（d）表示雷射光濾波片，其功能則跟凹槽型濾波片相反，只讓雷射光通 （1） 雷射 光源 照射物 質後的 經過拉曼濾波器 後的散射光 散射光 （3）拉曼 濾波片 （4）光譜儀 （2） 待測 物質 平台 雷射光束

過，而把拉曼訊號光濾掉。 （a） 短通邊緣 型濾波片 長通邊緣 型濾波片 （b） 雷射光濾 波片 （c） 凹槽型濾波 片 （d） 圖1.7 拉曼濾波器：（a）長通邊緣型濾波片，（b）短通邊緣型濾波片，（c）凹槽型 濾波片，（d）雷射光濾波片。藍線表示濾波片可穿透的光譜，綠實（虛）線表 示雷射光譜，紅實（虛）線表示拉曼光譜，而在雷射波長左右的譜線則分別代表 著反史托克散射光譜以及史托克散射光譜。 （圖形取自於http://www.semrock.com/Catalog/Raman_filtertypes.htm）(7)

1-3-4. 市售拉曼濾波片概況

市面上目前有許多家公司在製作拉曼濾波器，例如：Semrock、Kaiser、…等公司， 製作的方式也不同，如應用薄膜的方式，或者是利用全像的原理製作，主要的規格有雷 射衰減值（laser attenuation）、雷射在 50%穿透率時的頻譜寬、入射角度、可穿透的頻 譜範圍（passband）等，而大部分的規格值相差不遠，主要相差於雷射光的穿透度和可 通過的頻寬大小，表1 列舉三家公司的凹槽型濾波片的幾項規格做比較。表中光學密度

值（optical density）與穿透率有關，其定義為 OD=-log【T】。50%溝槽寬（notch width）

的地方。

公司 Semrock Iridian Kaiser

波長 532nm 532nm 532nm 光學密度值 ＞6 6 ＞6 50% 溝槽寬 17nm 17nm ＜20nm 入射角度 0±5° 0° 未標明 頻譜範圍(nm) 400~710 未標明 350~1400 外徑 ~25mm ~25mm ＞20mm 厚度 ~3.5mm ~3mm ~6mm 孔徑大小 ＞22mm 20mm ~10mm 表1.2 凹槽型濾波片各公司規格比較表 我們知道拉曼散射的產生，是由一道雷射光打在一待測物體上，然後散射出來的光 再利用偵測器所接收，但是散射光波長大多與雷射光波長等長，而這並不是我們要的， 我們要的是那少部分與雷射光波長不一樣的訊號，但是相較之下這類的訊號微小許多， 因此我們希望利用一個濾波器把其散射光扣掉雷射波長的訊號，然後只有拉曼波段的訊 號可以通過濾波器，拉曼濾波器的製作法有很多種，例如：染料或金屬薄膜法、光學多 層鍍膜法…等許多種，就單一片而言，有些儀器操作比較複雜，或者是得不到良好的效 果，而利用體積全像法則製作較簡單，且體積全像濾波片它具有良好的波長選擇性，可 利用厚度以及其他條件來控制，使得想要拉曼散射訊號光通過以及不想要瑞利散射訊號 光反射（可利用反射式體積全像製作），或者是相反（可利用穿透式體積全像製作），進 而得到我們所需要的訊號光。

1-4. 論文架構

本論文主要探討的是凹槽型拉曼濾波片，進行設計並以電腦模擬來進行數值模擬， 然後利用本實驗室所具備的全像材料來進行實驗。第一章簡介全像以及體積全像濾波片 和凹槽型拉曼濾波片規格；第二章說明體積全像拉曼濾波片的原理與設計；第三章則是 體積全像拉曼濾波片的製作與量測；第四章是結論。

第二章 體積全像拉曼濾波片的設計原理

2-1. 體積全像之耦合波理論

體積全像之耦合波理論(8)_{主要是解決以及探討光經過一個以建立的全像光柵後所產} 生的繞射光強度及其振幅；因此我們首先考慮一個已建立好的光柵其折射係數成週期性 分佈（如圖2.1） Kz n n n= ₀ + ₁cos (2-1) n0、n1是常數，K是光柵波數 x z x=0 x=L θ1 θ2 （a） x z z =0 z=L θ1 θ2 （b） 圖2.1 布拉格繞射表面配置（a）穿透式體積全像光柵（b）反射式體積全像光柵 假設入射到光柵的光和經由光柵所繞射的光的電場可寫成如下 E= A₁exp

[

i

(

ωt−k1⋅r

)

]

+ A₁exp

[

i

(

ωt−k2⋅r

)

]

(2-2) 在此我們假設電場極化方向在y 軸(稱其 S-wave 因為電場向量垂直入射平面) 而(2-2)式其實為波方程在此介質的解，因此波向量與角頻率有 k₁ = k₂ =n₀ω/c (2-3) 的關係，所以假設兩波在此介質中被耦合且振幅A1,A2為位置函數，且x-z平面為入射平 面(由k1和K所形成)則依照動量守衡，k2也在此平面上，所以電場可寫成

(

)

[

i t x z

]

A

[

i

(

t x z

)

]

A E= ₁exp ω −α₁ −β₁ + ₁exp ω −α₂ −β₂ (2-4) β1、β2是k1、k2在z方向分量

α1、α2是k1、k2在x方向分量 (即平行光柵波前的部份) 2 0 2 1 0 1 cos 2 cos 2 θ λ π α θ λ π α n n = = 2 0 2 1 0 1 sin 2 sin 2 θ λ π β θ λ π β n n = = (2-5) θ1為入射角，θ2為繞射角，而A1，A2則就是x，z的函數

2-1-1. 穿透式體積全像光柵

在穿透式全像體積光柵中，我們假設光柵間距（Λ）遠大於波長（λ），而入射光與 光柵的波前之間的角度要夠小（θ<< 60°），此為強耦合所需的布拉格條件；因為雷射光 入射感光材料大都是由左右入射，上下較少而且光束的大小比材料大小很多，所以爲了 簡化分析，我們假設光柵再z分向是無限，所以振幅A1 和A2為x函數。 在以上假設之，我們將電場（2-4）式，帶入波方程式中 0 2 2 2 2 ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∇ n E c ω n 為(2-1)式帶入運算求解 E z E x E ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ， E z E x E ₂ 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ( t x z) i( t x z)

₍

₎

i( t x z)

₍

₎

i( t x z) i _{A e i A Ae i A Ae} x e A x E x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 β α ω β α ω β α ω β α ω− − − − _{+ − α} − − _{+ − α} − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ ( t x z) i( t x z)

₍

₎

i( t x z)

₍

₎

i( t x z) i _{A e i A Ae i A Ae} z e A z E z 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ω α β ω α β β ω α β β ω α β − − − − − − − − _{+ − + −} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ 又 _{1 2}=0 ∂ ∂ = ∂ ∂ _A z A z

(

_{i A}

)

_ei( t x z)

₍

_{i A}

₎

_ei( t x z) E z 2 2 1 1 2 2 1 1 β α ω β α ω _β β − − _{+ −} − − − = ∂ ∂ ∴

(

_A

)

_ei( t x z)

(

_A

)

_ei( t x z) E z 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 β α ω β α ω _β β − − _{+ −} − − − = ∂ ∂ ( ) ( )

(

)

i( t x z)

(

)

i( t x z) z x t i z x t i e A e A e A x i x e A x i x E x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 β α ω β α ω β α ω β α ω α α α α − − − − − − − − − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂

所以 ( ) ( )

(

)

i( t x z)

(

)

i( t x z) z x t i z x t i e A e A e A dx d i dx d e A dx d i dx d E 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 _{2 2} β α ω β α ω β α ω β α ω β α β α α α − − − − − − − − + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∇ (2-6a) 且

(

n n Kz n n Kz

)

E c E n c cos 2 0 1cos 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 + + − = −ω ω (2-6b) 以及 2 1 2 1 2 1 +β = k α ，α₂2 +β₂2 = k₂ 2 由(2-3)式可知 _{1 2} n₀ c k k = =ω ，且n₁2 <<2 nn_{0 1} E n c E 2 2 2 2 ₌₋ω ∇ ∴ 將式子（2-6a）和（2-6b）代入 ( ) i( t x z j j j z x t i j j j j j j _{n n Kz Ae} c e A dx d i dx d _α ω α β ω ω−α −β = = − −

∑

_⎟⎟ =−

∑

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 , 1 1,2 1 0 2 2 2 2 cos 2 2 ) (2-7) 假設 A_j dx d 2 2 變化緩慢在此忽略，同時移除共有項_eiωt，則(2-7)式可簡化成 ( ) ( )

(

iKz iKz

)

(

( i x i z) ( i x i z

)

z i x i z i x i e A e A e e n n c i e dx dA i e dx dA i 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 β α β α β α β α ω α α − − − − − − − − − − + + − = − − ) (2-8) 兩邊同乘_eiα1x+iβ1z或eiα2x+iβ2z在對z 積分，整理過後可得耦合方程式 x i x i e A i A dx d e A i A dx d α α κ κ Δ Δ − = − = 1 21 2 2 12 1 (2-9)

(

2 1 0 1 2 cos cos 2 _{θ θ} λ

)

π α α α = − = − Δ n (2-10) 2 1 21 1 1 12 _{cos λcosθ} π κ θ λ π κ = n ， = n (2-11) 而在得到耦合方程式中，我們必須導入 K ± = ₁ 2 β β (2-12)

公式，此為布拉格條件，若沒有在此條件下將不會得到耦合方程式。 由（2-5）式則（2-12）式可變為 K n n₀sin ₂ =2 ₀sin ₁± 2 _θ λ π θ λ π 同除2π/λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Λ = Λ ± = ± = θ λ π π λ θ θ sin 2 2 sin sin 0 1 0 1 2 K n n K (2-13) 由此可知，在z 方向 K 向量必須有此關係才有繞射，否則等於 0 在（2-9）（2-10）兩式中，Δα 代表相位偏差，其關係著耦合以及波之間的能量交換，因 此我們考慮兩種情況，一為（A）Δα=0，另一為（B）Δα≠0； （A）Δα=0無相位偏差 由（2-10）式可知，要 Δα=0 則要cosθ₂ =cosθ₁，此時有兩種情形的解 ○1θ₂=θ₁，此為非散射光，不加以考慮 ○2θ₂≠θ_{1，若要滿足} 1 2 cos cosθ = θ ，則可知θ2=-θ1 把○2代入（2-12）式 sin sin sin sin 0 1 1 0 1 2 = ± _Λ ⇒ = ± _Λ n n λ θ θ λ θ θ 2 0 1 1 2 sin λ θ θ _⎟⎟=− ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Λ ± = − n (2-14) 此角稱之為布拉格角 _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Λ = − 0 1 2 sin _n B λ θ (2-15) 在布拉格角入射下耦合方程式（2-9）式變成 2 1 i A A dx d _κ − = (2-16a) 1 2 i A A dx d _κ = (2-16b) cos1_θ κ12 κ21 λ π κ = = = B n (2-17) （2-16）耦合方程式之解 dx dA i A A i A dx d ₁ 2 2 1 1 , κ κ − = − =

將上式代入（2-16b），則 1 2 1 2 2 A A dx d _κ − =

( )

( )

x ic x ic x A x c x c x A κ κ κ κ cos sin sin cos 2 1 2 2 1 1 + − = + =

( )

0 _{1 2}

( )

0 _{2 2 2}

( )

0 1 c A ic c iA A = ， = ， =− 因此得到一個通解

( )

( )

( )

( )

x A

( )

x iA

( )

x A x iA x A x A κ κ κ κ sin 0 cos 0 sin 0 cos 0 1 2 2 2 1 1 − = − = (2-18) 若在x=0 的地方，入射光只有一道，即A₂

( )

0 =0，則解（2-18）式會變成

( )

_{( )}

( )

_{( )}

x iA x A x A x A κ κ sin 0 cos 0 1 2 1 1 − = = (2-19) 所以

( )

( )

( )

( )

2 2 ₁

( )

2 2 2 2 1 2 2 2 1 x A x A 0 cos x A 0 sin x A 0 A + = κ + κ = (2-20) 此即為能量守衡，若體積全像材料的厚度L 在滿足 κL=π/2，則入射能量會完全的轉換 成繞射能量。在此定義繞射效率在無相位偏差下（Δα=0）為

( )

( )

L A L A I I κ η 2 2 1 2 2 _sin 0 = = = 入射 繞射 (2-21) （B）Δα≠0 有相位偏差 發生在入射光不是以布拉格角入射，小小的偏離了Δθ，即入射角θ1=θB+Δθ；因為 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Λ = − 0 1 2 sin _n B λ θ 且要滿足（2-11）式，則θ2=θB+Δθ。 因此代入（2-10）式，我們可以得到

(

)

(

)

θ θ θ θ θ λ π θ θ λ π α α α Δ − = Δ − = Δ − ≈ − = − = Δ K k n n B B sin 2 sin 2 2 cos cos 2 0 1 2 0 1 2 _(2-22)

（A） （B） 1 kG 2 kG KG ′ 2 kG ′ 1 kG KG α Δ x x z z 圖2.2. 角度變化向量圖（A）Δα＝0（B）Δα≠0 解（2-9）式耦合方程 x i x i x i x i x i e A i dx dA e i dx d e A i A dx d dx dA e i A e A i A dx d α α α α α κ κ κ κ κ Δ Δ Δ Δ Δ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = − = 1 21 1 12 1 21 2 1 12 2 2 12 1 1 1 , 將上式展開 1 2 ₁ 0 2 1 2 = + Δ + A dx dA i dx A d _{α κ} (2-23) 2 1 2 1 21 12 2 cos cos 1 θ θ λ π κ κ κ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = n (2-24) 則（2-23）式之通解為 A

( )

x e i 2 x

(

c₁sinsx c₂cossx 1 = + Δ − α

)

(2-25) 2 2 2 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + =κ α s (2-26)

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊ Δ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ = − = _eΔ _eΔ _c is _{c sx} is _{c c sx} dx dA i x A i x i x _cos 2 sin 2 1 2 12 1 12 2 12 1 12 2 1 12 2 _κ α κ κ κ α κ α α 利用邊界條件A₂

( )

0 =0解c1，c2 A₁

( )

0 =c₂

( )

₂ 12 1 12 2 0 0 c ₂ c is A κ α κ Δ + = =

( )

0 2 ; 2 2 1 1 A s i c s i c = Δα = Δα (2-27)

( )

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ₊ = −Δ sx sx s i e A x A i x sin cos 2 0 2 1 1 α α (2-28)

( )

( )

A

( )

e sx s i sx s e A s i x A i x sin 0 i xsin 2 0 2 1 21 2 2 2 1 12 2 α α _{α κ} κ Δ Δ ₋ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − − = (2-29) 則

( )

( )

( )

( )

1 1 2 2 1 21 2 2 1 2 2 21 1 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 cos cos cos cos 2 cos cos cos 2 cos sin 0 cos cos sin 2 0 cos cos θ θ θ θ λ π κ α θ θ κ θ α θ κ θ α θ θ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = + n s s s sx s A sx sx s A x A x A 又

( )

( )

( )

1 2 1 2 2 2 1 2

1 x cosθ A x cosθ A 0 cosθ

A + = ∴ (2-30) 上式意謂著在x 方向能量是守衡的，並且cosθ₁ ≠cosθ（因為兩個波延著不同方向傳播）₂ 。 在此定義當 Δα≠0 時的繞射效率

( )

( )

1 2 1 2 2 2 cos 0 cos θ θ η A L A = (2-31) 根據（2-29）（2-24）（2-9）式代入（2-31） ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 α κ α κ κ η L (2-32) 從（2-32）式可知當Δα≠0 時，不能得到百分百的繞射效率，即能量並不能百分百變成 繞射能量，因此我們可得最大繞射效律ηmax _{2 2 2} 2 2 max 2 1 1 2 1 1 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = κ θ κ α α κ κ η K (2-33) 所以當ηmax=1/2 時，角度偏離Δθ1/2

π κ κ θ κ θ Λ = = Δ ⇒ = Δ K K 2 1 2 12 (2-34) 此為布拉格繞的的角度孔徑（或可以稱為角度偏差的3dB 寬） 另外相位偏差也有可能因為波長的偏差所造成，我們將入射角固定在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Λ = − = − 0 0 1 1 θB sin λ _2n θ (2-35) （A） （B） 1 kG 2 kG KG ′ 2 kG ′ 1 kG KG α Δ x x z z 圖2.3 波長變化向量圖（A）Δα＝0（B）Δα≠0 若入射角波長稍微偏離原來所入射的波長 0約 ， ，而由（2-12） 式可知 2變成 λ Δλ 則繞射角將不是布拉格角 θ Λ + Λ − = 0 0 0 2 ₂ sinθ λ _n λ_n (2-36) λ =λ₀ +Δλ (2-37) 0 2 0 sin _{2n n} 0 λ _Δλ θ ∴ = _Λ+ _{Λ (2-38)} 假設Δλ<<λ0 λ B B _{n θ} θ θ cos 0 2 = + _Λ ⇒ (2-39) 因為波長有偏離，而導致相位偏差Δα≠0 Δ

(

)

B n K n θ θ θ θ λ π π λ α cos 2 cos cos 0 1 2 0 0 Λ 2 Δ Λ − = Δ − = − = Δ ∴ (2-40) 由此可知，波長的變化對繞射效率也會有影響，根據（2-32）式 κ α η 2 2 1 B n θ π κ λ ₀ cos 2 1 Λ 2 Λ max = 得Δ = 與（2-40）比較可得Δ = (2-41) 此為光譜頻光的尺寸（即為波長偏差的3dB 寬）

2-1-2. 反射式體積全像光柵

質在x，y方向均勻分布（即折射率不變），所以振幅 A1與 在反射式光柵中，我們假設介 A2為z的函數，又因為折射率是具週期性的，會有類似玻璃的反射效果，因而我們 有一邊界條件α₂ =α₁，因此我們將電場改寫成

{

[

(

ωt−β₁

)

]

[

(

)

]

}

2-42) β2是k1、k2在z方向分量 分量 x i e z t i A z i A E_{= +} ω ₋β −α 2 2 1exp exp ( β1、 α（α1、α2）是k1、k2在x方向 根據（2-5）式以及α₂ =α₁可得知θ₂ =−θ₁， （註：θ 為入射波與₁ 干涉條紋的夾角，又此時干涉條紋在x 軸上，所以在這即為入射波 入波方程式中 與x 軸夾角） 將（2-42）式帶 0 2 2 2 2 ⎞ ⎛ ω ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝∇ + c n E n 為(2-1)式帶入運算求解 電場微分 E z E x E ₂ 2 2 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ E z E x E= ∂ ∇ ∂ ∂ + ∂ ， ( x−β1z) i( t x z)

₍

−

₎

i( t x z)

₍

₎

i( t x z) ∂ i t _{A e i A Ae i A Ae} x e A x E x 2 1 2 2 2 1 1 2 1 β α ω β α ω β α ω α ω− _⎟ − − _{+ α} − − _{+ − α} − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ( t x z) i( t x z)

₍

₎

i( t x z)

₍

₎

i( t x z) i _{A e i A Ae i A A e} z e A z E z 2 β 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 α ω β α ω β α ω β α ω− − _⎟ − − _{+ − β} − − _{+ − β} − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ 又 _{1 2} =0 ∂ ∂ = ∂ ∂ _A x A x

(

)

(ωt− x z)

₍

₎

i( t x z) ∂ _{E i A e}i _{i A e} x 2 1 2 1 β α ω β α _α α − _{+ −} − − − = ∂ ∴

(

_A

)

_ei( t x z)

(

_A

)

_ei( t x ) E z x 2 1 2 2 1 2 2 2 β α ω β α ω _α α − − _{+ −} − − − = ∂ ∂ ( ) ( )

(

)

i( t x z)

(

)

i( t x z) z x t i z x t i e A e A e A z i z e A z i z E z 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 β α ω β α ω β α ω β α ω β β β β − − − − − − − − − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂

所以 ( ) ( )

(

)

i( t x z)

(

)

i( t x z) z x t i z x t i e A e A e A dz d i dz d e A dz d i dz d E 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 _{2 2} β α ω β α ω β α ω β α ω β α β α β β − − − − − − − − + − + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∇ 且

(

n n Kz n n Kz

)

E c E n c cos 2 0 1cos 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 + + − = −ω ω 以及 _α2 _+β12 _{= k1} 2 _， 2 2 2 2 2 _{+β = k} α 0 2 1 n c k k = =ω ，且n₁2 <<2 nn_{0 1} 由(2-3)式可知 E n c E 2 2 2 2 ₌₋ω ∇ ∴ ( ) i( t x z) j j j z j i d −β

∑

⎜⎛ 2 −2 = _{j j} i t x _{n n Kz Ae} j c e A dz d dz β α ω α ω ω β − − = = − ₋

∑

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ 2 , 1 1,2 1 0 2 2 2 2 cos (2-43) 假設 A_j dz d 2 2 變化緩慢在此忽略，同時移除共有項 和 ，則(2-43)式可簡化成 t i eω _e−iαx ( ) ( )

(

)

( ) z i z i n c i e dz dA i e dz dA i 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 β β ω β β − ₋ − − (2-44) 兩邊同乘 或 在對z 積分，可得耦合方程式 ( )

(

i z i z

)

iKz iKz _{e Ae A e} e n 1 2 2 1 1 0 β β − − − _{+ +} − = z i eβ1 eiβ2z z i e A i A dz d _=−κ −Δβ 2 1 (2-45a) z i e A dz 2 =i A1 d _κ Δβ _(2-45b) K ± − = Δβ β₂ β₁ (2-46) 1 1 sinθ λ π κ = n ( 到（2-45）式， 2-47) 要得 則β₂ =β₁±K是必要的條件，否則不會有耦合方程。 且將（2-5）式代入運算 利用θ₂ =−θ₁

₂ = ₁±K ,2 n₀sin ₂ =2 n₀sin ₁±K ,4 n₀sinθ₁=±K λ π θ π λ θ λ π β β (2-48) 代表相位偏差（ ），其關係著耦合波之間的能量交換，現在考慮兩種 ，一為（A）Δβ=0，（B）另一為 Δβ≠0。 Δβ phase mismatch 情況 （A）Δβ=0 無相位偏差 耦合方程變成 d A₁ =−iκA₂ dz (2-49a) A₂ i A₁ dz d _κ = (2-49b) 2 1 0 ₂ λ π κ = nn Λ (2-50) 從（2-49b）式，

(

)

1 1 2 1 2 A κ κ = − = A dz A dz d i 帶入 式 上式微分方程得到 z z 2 z -1 1 e e C e C A κ κ κ ₊ = z 帶入邊界條件 因此C₁ C₂e 49a -2 A 2 2 d 解

( )

( )

2 z -1 2 -iCe iC A z = κ +

( )

0 A₂ L =

( )

( )

_iCe κL _{iC e}κL 2 1 2 2 1 1 0 L A C C 0 A + − = = + = − L 2κ =

( )

_A

_{( )}

₀ e 1 e C , e 1 0 A C _{2 L 1} L 2 1 L 2 1 2 κ κ κ = ₊ + = ∴

( )

( )

( )

(

)

L cosh L -z cosh 0 A 0 A e e 1 1 e e 1 e z A 1 1 z L 2 z -L 2 L 2 1 κ κ κ κ κ κ κ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∴ (2-51)

( )

( )

( )

(

)

L L z iA z A dz d i κ κ κ cosh sinh 0 1 z A 1 1 2 − = − = ∴ (2-52)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

L cosh 0 A L cosh L cosh κ κ (2-53) L -z sinh 0 A -L -z cosh 0 A z A -z A 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 κ κ κ = = 此表示能量在z 方向守衡，而當 Δβ=0 時，定義此時的繞射效率 η

( )

( )

( )

( )

( )

L L A L iA κ κ κ η 2 2 1 2 1 2 1 2 2 tanh cosh 0 sinh 0 0 A 0 A = − = = (2-54) （ ） 有相位偏差 2-45b）式子可得 B Δβ≠0 z i e A dz d i A β κ Δ − = ₁ 2 1 由（ 將 代 2-45a）得到 之 入（ z i z i _{i Ae} e A dz i dz⎜⎝ − κ 1 ⎠ d d ⎛ Δβ _⎟⎞_{= κ} Δβ 1 1 展開整理後變成 0 1 2 2 ⎜⎜ ⎝dz + iΔβ−κ 2 1 2 1 1 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎛ = Δ + Δ Δ Δ A d e A e A dz d i e A dz d i βz _β i βz _κ i βz 將上式微分方程展開可得解為

( )

s z i z s i e C e C z A ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋Δ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋Δ ₊ + = 2 2 2 1 1 β β 2 2 2 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − =κ β s

( )

( )

z s i z s i z i e C i s + Ce β i s e z A dz i z A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₋ = − = 2 2 2 1 1 2 2 2 β β κ κ κ κ β κ 帶入邊界條件 d Δ 1 β

( )

0 A₂ L = sL sL L s i L s i e C is is e C i s i s C e C i s e C i s 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ⎜ ⎝ κ 2 2 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₊ ⎟ ⎠ ⎞ ⎛Δ ₋ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₊ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₋ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ ₊ β β κ κ β κ β κ κ β κ κ β β β

( )

( )

( )

0 2 2 1 2 2 0 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 A e is is e is is C A e is is C e is is C C C A sL sL sL sL ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − = + = β β β β β β β β 我們得到一組通解

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

sL i sL s z L s i z L s s e A e A e is is e is is e A e is is z A z iΔβ − z s i sL sL z s i sL sinh 2 cosh sinh 2 cosh 0 0 2 2 1 2 2 0 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 β β β β β β β β β β Δ − − Δ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ + Δ − = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋Δ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋Δ ₊ (2-55)

( )

( )

( )

(

)

sL i sL s z L s i e A e z A dz d i z A z i z i sinh 2 cosh sinh 0 1 2 1 1 2 β κ κ β β Δ − − − = − = Δ Δ ( 2-56) 2 2 2 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − = κ β s (2-57) 定義在Δβ≠0（有相位偏差）的繞射效率 η

( )

( )

sL sL s sL A A 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 sinh 2 ⎟⎠ ⎜ ⎝ + cosh sinh 0 0 ⎞ ⎛ Δ = = β κ η (2-58) 利用β₂ =β₁±K和θ₂ =−θ₁我們可以得到動量偏差值Δβ =−2β₁±K；當2β₁ = K在θ1＞ 0 時，無相位偏差，且 2 4 ₀sinθ₁ λ π π β − n Λ = Δ 。 動量偏差有可能是因為波長或者角度微小變化所引起，反射式體積全像光柵的頻寬 可利用Δβ =±2κ所決定，而若小於此頻寬即Δβ <2κ則入射光會在光柵中衰減很快，

此區域 頻寬 band）。假設我們將入射角 角，則 稱為截止 （stop 固定在布拉格 0 sin 0 − Λ = Δ n θ λ 4 2 0 = B π β π (2-59) λ0為中心波長，當波長偏離λ0到λ=λ₀ +Δλ時，可利用截止頻寬Δβ =±2κ推得出光譜頻 寬，即 ₀sin ₁ 2 0 κ θ λ λ 4 2π π β =± Δ + − Λ = Δ n B θ λ π κ sin n 0 1 = π κ λ θ λ λ Λ Δ 2 0 0 2 nn n 所以 = =± ₂ =± Λ 0 1 2 0 1 sin 2n _B 此為光譜頻寬 (2-60) 當 λ₀ π κ λ < Λ Δ 因此 時，則會使得光源全部反射；另外我們也可以固定波長來探討角度的 頻寬

(

)

2 sin 4 2 0 0 κ θ θ λ π π β − +Δ =± Λ = Δ n _B B θ λ π κ sin n 0 1 = B B n n θ θ θ sin cos 2 ₀ 1 ± ≅ Δ 此即為角度頻寬 (2-61) 因此我們比較一下穿透式以及反射式體積全像光柵的3dB 寬，在同樣的入射角以及同樣 料的條件下，所得到的結果如圖2.4 的材 ： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.2 0.4 0.6 1.4x 10 -8 0.8 1 穿 透 式 反 射 式 1.2 入 射 角 度 寬度 3dB (m ) 圖2.4. 入射角度對 3dB 寬圖

由圖2.4 觀察得知，反射式在大約在小於 45°角入射下的 3dB 寬較穿透式窄許多，但是

2-2. 拉曼濾波片之設計

-2-1. 設計參數 凹槽型拉曼濾波片的製作我們可以利用穿透式體積全像或者是反射式體積全像來 ，前者我們可讓瑞利散射光穿透，然後收集未穿透的反射拉曼訊號光，後者則是讓 。所以前提是我們必須要把瑞利散射光 ，並且又不會散失太多的拉曼訊號光，而由上節最後的結論得知，反射 45°角入射下可得到較窄的 3dB 寬，也就是我們可以較準確的 ，且大部分濾波片也是利用反射式體積全像製作。雖然 (參照圖 2.5)；（a）光學密度值 OD）；定義為OD= -logT，其中，T為濾波器凹槽穿透截止帶中央的光 間的波長差，一般以拉曼光譜分析常用之波數形式來寫， 2 製作 瑞利散射光反射而我們則收集穿透的拉曼訊號光 能確實的去除掉 式的體積全像光柵在小於 收集拉曼訊號光而不會遺漏太多 如此，但是我們想試著利用穿透式體積全像製作法來看是否能製作出拉曼濾波器。 首先我們定義幾個重要特徵作為製作的參考指標 （optical density， 波穿透率，藉以說明此濾波器的過濾背景光的能力，實際的拉曼濾波器之OD值需要大 於4 以上，以有效的濾掉瑞利散射光；（b）凹槽寬（notch width,Δλ）：定義為濾波器凹 槽穿透截止頻帶的頻譜寬，用以說明此濾波器的濾波分辨能力及可觀察到拉曼位移之起 始範圍；（c）過渡帶寬(transition region,δk)：定義為從截止帶邊緣到穿透率接近 100%之 1 2 2 2 k π π δ λ λ -1 此處λ = − ，單位為cm ， 際 1與λ2分別為截止帶邊緣的波長及穿透率接近100%時的波長。這個參數在說明實 可用來觀察拉曼位移的起始點之位置；（d）平坦度(flatness,δT)：定義為濾波器穿透帶之 最大與最小穿透率之差值，用以說明濾波器通過頻帶變化震盪的情形。

δT 全像干涉型濾波器 多層鍍膜型濾波器 Δλ δk T λi 全像干涉型濾波器 多層鍍膜型濾波器 δT Δλ δk T λi 圖2.5 典型的凹槽型濾波片之穿透光譜特性曲線(10) 我們分別將以上四個參數利用繞射效率公式的運算條件，則我們可以得到： 在Δα=0 時，繞射效率為最大值，這個條件可以給予我們 OD 值，

_{OD= −logT = −log 1}

(

_−η

)

_{= −log 1 sin}

(

₋ 2_κL

)

_(2-62)

而在Δα≠0 時，繞射效率將會變小，在此條件下我們定義 Δ <α 2κ為濾波器的槽溝寬， 0 2κ n cos _B λ θ π Λ Δ = Λ 我們可以寫成 (2-63) 對應的繞射效率近似為η= 1 2 Δα 繼 續 增 加 時 ， 光 柵 繞 射 效 率 將 會 呈 現 震 當 盪 變 化 ， 其 零 點 發 生 在

(

)

2 2 2 m L α κ π Δ < + (此處 m 為整數)。由此我們就可以推得過度帶寬，即： 1 2 2 2 0 1 0 2π 2π π k π δ λ λ = − λ λ λ ₂ = − + Δ + Δ Δλ1與Δλ2分別為截止帶邊緣的波長及反射率接近 100%時的波長與原入射波長λ0的差 值。因此我們可得到 λ

(

2 1

)

2 0 0 2 k λ λ δ π λ λ _{1 2 1 2} ⎛ _{Δ − Δ} ⎞ = _{⎜⎜ ⎟} + Δ ⎝ 而又在Δλ1與Δλ2比λ0小很多的情況下，我們可將式子簡化成： λ + Δλ _{+ Δ Δ ⎠}λ λ ⎟ 2 1 2 λ 2 k 0 λ δ = π⎛_⎜Δ − Δ ⎞_⎟ λ ⎝ ⎠

接著我們利用波長與角度的關係，將Δλ1與Δλ2轉換成Δθ1與Δθ2，又因為Δα在小波長 近似可寫成 Δ = − Δα K θ 2 m κ 因此 ₁ π Λ 2 2 2 2 L π θ Δ = ； θ κ π Δ = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ，則過渡帶寬就可以寫成： −Λ ⎛ ⎞ 2 2 0 2 0 2 L 2 2 cos _B 2 m k π n π κ δ θ κ λ ⎜ π π ⎟ ⎛_{−Λ ⎛ ⎞ Λ}⎞ ⎜ ⎟ = Λ +_{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 0 2 0 2 cos _B m k n L π δ θ κ κ λ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = − +_{⎜ ⎟} + ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ (2-64) 通常，接近截止帶附近，光柵穿透率會有很強的震盪，因此，為了減少濾波器反射 帶的震盪，我們可以定義m=8 以上為濾波器可以適用的起始頻譜點，所以濾波器之過渡 帶寬可以寫成： Λ 2 2 2 0 2 0 2 64 cos _B k n L π δ θ κ κ λ ⎛ ⎞ Λ _⎜ ⎛ ⎞ _⎟ = − +_{⎜ ⎟} + ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ (2-65) 若我們定義m=8 為起始頻譜點，則此時繞射效率為零，意即反射率為 1，我們由平 坦度的定義可知，平坦度為濾波器穿透帶之最大與最小穿透率之差值，則我們有最大反 射率 1，而最小反射率值則發生在下個震盪的鋒值即 m=17/2，此時的相位偏差值為

(

)

2 2L ，因此平坦度則為： 2 2 17 α κ π Δ = + ( )2 7π L ⎞ ⎟ 2

max min 1 min 1 1 _{2 1 2}

T T T T α κ δ η Δ = + ⎛ = − = − = − −_⎜ ⎝ ⎠ ( )2 2 2 2 17 2 sin 2 L sL α κ π η α Δ = + = = Δ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ 2 2 2 T κ δ κ _{+ ⎜ ⎟} 2 2 2 2 ₂ 2 17 s 2 2L α π κ +⎛_⎜Δ ⎞_⎟ = κ +⎛_⎜ ⎞_⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 2 2 2 2 2 2 2 17 sin 2 2 17 2 2 T L L L κ π δ κ π κ κ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ = ⎜_⎜ +_{⎜ ⎟} ⎟_⎟ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ _⎝ ⎝ ⎠ _⎠ +⎜_⎜ +_{⎜ ⎟} ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2-66) -66)式即為穿透式體積全像拉曼濾波片的平坦度。 而由(2-62)、(2-63)、(2-65)和(2-66)式將給予我們設計穿透式體積全像拉曼濾波片之 規範，又假使我們要測量一個單晶矽晶片，在我們已經事先知道單晶矽在 514nm 氬離 子雷射光照射下，大約出現的位置位於 522cm-1_{的位置，也就是拉曼光譜圖中與中心波} 長 514nm相距大約有 14nm的位置會有一個峰值，若我們以這個為目標，則我們的所做 的體 圖 2.6a，此角度為材料內的角度，經過介面空氣 30 度），利用布拉格公式計算大約計算光柵的波數周期（grating perio （a） (2 積全像濾波片的槽溝寬必須小於這個數值，否則這個訊號將被我們濾掉。接著我們 將舉一個實例來說明數值分析結果。 2-2-2. 數值模擬 我們試著利用穿透式體積全像製作拉曼濾波片，我們假設材料厚度參數為1 公厘， 材料折射率為 1.5，調變折射率約為 3×10-4_{，以 514nm氬離子綠光雷射波長寫入，入射} 角與光柵條紋夾角為19.47 度（如示意 中的入射角度約為 d）約為 514nm。紀錄完之後我們繼續已 514nm氬離子綠光雷射波長讀取，將以上 的條件以及穿透式體積全像繞射效率的公式，在固定的角度範圍下，利用數學軟體進行 運算模擬，則可以得到如圖2.7 所示。 z x x=0mm x=1mm 19.47° 514nm 入射參考光 30° 30° 19.47° 空氣 _材料 入射訊號光 514nm

圖2.6 穿透式體積全像拉曼濾波片設計示意圖（a）穿透式全像光柵建立的示意圖， （b）穿透式全像光柵讀取時的示意圖 29.8 29.85 29.9 29.95 30 30.05 30.1 30.15 30.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 空 氣 中 入 射 角 度 變 化 繞射效率 29.8 29.85 29.9 29.95 30 30.05 30.1 30.15 30.2 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 空 氣 中 入 射 角 度 變 化 dB 值 圖2.7 （a）穿透率對空氣中入射角度變化圖（ ）穿透率 值對空氣中入射角度變化 圖。 再利用角度對波長的關係式，將其變換成繞射效率對入射波長變化作圖，如圖2.8 所示。 b dB 510 511 512 513 514 515 516 517 518 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 入射波長變化(nm) 繞射 效率 510 511 512 513 514 515 516 517 518 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 入 射 波 長 變 化 (nm) 值 圖2.8（a）穿透率對入射波長變化圖（b）穿透率 dB 值對入射波長變化圖 （b） dB z x x=0mm x=1mm 19.47° 514nm 入射參考光 θR =30 30° 空氣 材料 繞射訊號光 光偵測器 （a） （b） （a） _（b）

圖2.8 來看，此濾波片凹槽寬大約 0.2nm，利用四個特徵參數公式計算來證 實，我們得到濾波片的特徵參數分別為：OD= 0.8745、Δλ=0.925nm、δk=153.6 cm-1_、 δT=0.51%。此為以穿透式體積全像製作拉曼濾波器所得到的數值結果。由我們設計出的 濾波片的槽溝寬來看，若我們利用514nm雷射光照射在矽晶片上，其所散射出的單晶矽 拉曼訊號光，是可以完整通過。 有了以上的模擬數值結果，接著我們就開始架設光學系統來製作我們的體積全像拉 曼濾波器 由 小於 ，因此下一章節就是我們的實驗製作以及實驗結果。

第三章 體積全像拉曼濾波片的製作與量測

體積全像材料(PQ-PMMA)

(11)

_製作

體積全像材料我們選取的是感光高分子材料，感光高分子具有較高的折射率變化及 光度、容易參雜不同感光分子、製作容易、製作時間短且可製作成任意形狀等優點， 我們所選擇的材料為我們實驗室已趨近成熟的感光高分子材料PQ-PMMA。 首先我們將需用到的器皿清洗乾淨，尤其是最後用到的玻璃瓶以及當玻璃片和鐵氟 龍夾層片，而清洗玻璃片的過程如圖3-1 所示： 圖3.1 清洗玻璃流程圖。 泡在脫脂劑中，利用超音波震盪器震約15~30 分鐘。 泡在丙酮（Acetone）中，利用超音波震盪器震約 15~30 分鐘。 泡在異丙醇（IPA）中，利用超音波震盪器震約 15~30 分 利用高壓氮氣將玻璃吹乾。

3-1.

感 而 以脫脂劑清洗玻璃。 以清水沖洗 泡在去離子水（DI-water）中，利用超音波震盪器震約 15~30 分鐘。 以去離子水沖洗至沒有泡沫 倒掉去離子水加丙酮 倒掉丙酮加異丙醇 利用夾子將玻璃小心夾出

若是玻璃片清洗不乾淨，則我們做出來的材料將會非常的不均勻，材料表面會有霧 狀出現，並且會有類似波浪狀的漸層，使得整塊材料就不能用，因此清洗玻璃一定要加 以注意其清潔度。接著我們將清洗乾淨的玻璃以及鐵氟龍夾層片製作成我們所需要的模 組，如圖3-2 所示： 圖3.2 模子的製作 將模組製作好之後在四個邊塗上白膠，確保玻璃與鐵氟龍夾層片能確實的密合，但 要小心溶液注入孔，不能被白膠掩蓋以免不能注入溶液。塗好之後我們將其放入真空烤 箱烘烤大約一至兩天左右，使得白膠乾掉並且模子裡頭的空氣能盡量抽乾淨，以免後續 灌溶液時產生氣泡。 nitrile)粉末，以及MMA(Methyl methacrylate)液體製備而成的。其 製備反應機制可以參考參考資料(11)。 而材料的製備流程如下： (1) 將會用到的玻璃器皿以及填充針筒徹底的沖洗乾淨，尤其會接觸到 PQ-PMMA 的容 器更要清洗乾淨。 而我們所選取的溶液材料為本實驗室已經趨近成熟的體積全像感光分子材料 PQ-PMMA，在製備上它是使用光起始劑PQ(9,10-phenanthrenequinone)粉末，熱起始劑 AIBN(Azobisisobutyro 10cm 10cm 5mm 5mm ＋ ＋ 1mm 10cm 10cm 1mm 玻璃 鐵氟龍夾層片 1mm 玻璃 玻璃 鐵氟龍夾層片 溶液注入孔