國中數學1 1 2整數的加減

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1−2 整數的加減

本節課程學習重點： ◎能以有向線段表示簡單的運算。 ◎能判別兩數加、減的正負結果並算出其值。 ◎能運算絕對值並熟練其運用。 ◎能求出數線上兩點間的距離。 ◎能用絕對值的符號表示數線上兩點間的距離。 ◎能求出數線上線段的中點坐標。 一、整數的加法： ◎同號數相加：(兩正數相加，其和為正；兩負數相加，其和為負。) 兩個同號數(同正或同負)相加時，其結果等於兩數的絕對值相加，而性質符號與原來的兩數相同。【說明】利用數線求(－2)＋(－5)的值。如下圖，從原點開始，先向左移動2 個單位長，再向左移動5 個單位長，合起來就是向左移動 2＋5＝7 個單位長。所以(－2)＋(－5)＝－(2＋5)＝－7。 5 0 1 2 －7 －6 －5 －4 －3 －2 －1 練習1：計算下列各式的值。(1)(－9)＋(－7) (2)(－12)＋(－28) 練習2：計算下列各式的值。 (1)(－3)＋(－4) (2)(－32)＋(－14) (3)(－36)＋(－55) (4)(－91)＋(－101) ◎異號數相加：兩個異號數(一正一負)相加時，其結果等於兩數的絕對值相減，而性質符號與絕對值較大的數相同。【說明】利用數線求1＋(－6)的值。 如下圖，從原點開始，先向右移動 1 個單位長，再向左移動 6 個單位長，合起來就是向左移動 6－1＝5 個單位長。所以 1＋(－6)＝－(6－1)＝－5。 0 1 2 6 1 －5 －4 －3 －2 －1 練習3：計算下列各式的值。(1)24＋(－11) (2)(－15)＋9 練習4：計算下列各式的值。(1)13＋(－4) (2)(－22)＋6 練習5：有一數 a，若 5＋a 比 5 小，則 a 應該是正數還是負數呢？

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【觀念釐清】(1)若 a＋b＞a，則 b 是正數。 (2)若 a＋b＜a，則 b 是負數。 ◎與 0 相加：任何數與 0 相加，其值不變。 練習6：計算下列各式的值。(1)(－18)＋0 (2)0＋(－12) ◎相反數相加：兩個整數互為相反數時，它們的和為0。不管 a 是正整數或是負整數，a＋(－a)＝0。 練習7：計算下列各式的值。(1)(－9)＋9 (2)16＋(－16) 【觀念釐清】兩異號數相加： (1)若｜正數｜＞｜負數｜，其和＝＋(｜正數｜－｜負數｜)。 (2)若｜正數｜＜｜負數｜，其和＝－(｜負數｜－｜正數｜)。 (3)相反數相加，其和為 0。 ◎整數的加法特性： (1)加法交換律：若 a、b 為整數，則 a＋b＝b＋a。

(2)加法結合律：若 a、b、c 為整數，則(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，可記為 a＋b＋c。 【說明】(1)當兩個數相加時，這兩個數可以調換順序。 (2)當三個數相加時，前面兩個數先算或是後面兩個數先算，結果都是相同的。練習8：計算(－26)＋1295＋(－74)的值。 練習9：計算下列各式的值。(1)132＋(－59)＋(－132) (2)(－21)＋1235＋(－14) 練習10：計算(－2025)＋(－87)＋(－13)＋(－75)的值。練習11：計算下列各式的值。(1)(－270)＋65＋(－230)＋35 (2)(－6)＋7＋(－8)＋9＋(－10)＋11

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二、整數的減法：若 a、b 為整數，則 a－b＝a＋(－b)。(減去一個數等於加上這個數的相反數) 練習12：計算下列各式的值。(1)14－23 (2)125－(－25) (3)(－63)－37 (4)(－133)－(－13) 練習13：計算下列各式的值。(1)6－32 (2)0－(－127) (3)(－33)－18 (4)(－18)－(－27) 【觀念釐清】整數的減法運算中，沒有交換律和結合律。 三、整數的加減運算： ◎去括號規則：(1)如果括號前面是「＋」號，去括號後原來括號內的＋、－不變。 (2)如果括號前面是「－」號，去括號後原來括號內的＋要變成－、－要變成＋。練習14：計算(－31)－(－42)＋50 的值。 練習15：計算下列各式的值。 (1)(－53)＋3－25 (2)(－452)＋125－(－552) (3)15＋(－3)－11＋3 (4)(－2)＋(－4)－(－6)＋(－8) 【觀念釐清】如果算式中含有絕對值，應優先計算絕對值內的值，再做其他的運算。練習16：計算下列各式的值。(1)｜25｜－｜－75｜－38 (2)30＋｜(－64)＋14｜－25 練習17：計算下列各式的值。 (1)(－15)－｜－8｜＋(－4) (2)｜－52｜－(－24)＋｜－14｜ (3)43－｜23－43｜＋40 (4)｜(－4)－30｜＋｜－10｜－｜－50｜

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練習18：2－｜－5｜與 2－(－5)的運算結果相同嗎？練習19：算算看下列各題中，兩式的運算結果是否相同。 (1)2＋(－5－3)和 2－5－3 (2)(－4)－(－7＋2)和(－4)＋7－2 練習20：算算看下列各題中，兩式的運算結果是否相同。 (1)－(6＋7)和－6－7 (2)－(－4＋6)和 4－6 練習21：計算下列各式的值。(1)299－(396＋299) (2)(－1653)－(87－1654) 練習22：下表是達茂公司在上半年的營業額，以每月 100 萬元為基準、萬元為單位，＋28 表示比基準多 28 萬元，－13 表示比基準少 13 萬元。回答下列問題：月分一月二月三月四月五月六月與基準的差＋28 －13 －20 ＋11 －8 ＋6 (1)二月分實際的營業額是多少萬元？ (2)這六個月中，營業額最高月分比營業額最低月分多出多少萬元？ (3)一月到六月的總營業額有沒有超過 600 萬元？ (4)五月分實際的營業額是多少萬元？ (5)二月分的營業額比三月分的營業額高或低多少萬元？四、數線上兩點間的距離：

一數線上有 A(a)、B(b)兩點，則 A、B 兩點間的距離 AB ＝｜a－b｜＝｜b－a｜， 也就是 a、b 兩數中，大數減小數的值。(右邊的點所代表的數－左邊的點所代表的數) 【說明】(1)(a－b)的絕對值與(b－a)的絕對值相等。

(2)(a－b)的絕對值＝(b－a)的絕對值＝A、B 兩點間的距離。

(3)以 AB 來表示 A、B 兩點之間的線段，或表示 A、B 兩點間的距離。 (4) A、B 兩點間的距離就是這兩點所表示的數之差的絕對值。

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【觀念釐清】 , 0 , , a b a b a b a b b a a b − > ⎧⎪ − =_⎨ = ⎪ − < ⎩ 。練習23：數線上有 A(－8)、B(7)兩點，則 A、B 兩點間的距離 AB 為多少？ 練習24：數線上有 C(－4)、D(－9)兩點，則 C、D 兩點間的距離 CD 為多少？ 練習25：數線上有 A(a)、B(5)兩點，如果 AB 的長度等於 3，則 a 可能是多少？ 練習26：數線上有 C(c)、D(4)兩點，如果 CD 的長度等於 6，則 c 可能是多少？

◎線段的中點：數線上有 A、B、C 三點，如果 C 在 A、B 之間，且到 A、B 的距離相等，就稱 C 點 為 A、B 的中點，或說是 AB 的中點。 ◎中點坐標：已知數線上三點A a ， ( )( ) B b ， ( )C c ，若 C 點為 A、B 的中點，則 2 a b c= + 。練習27：數線上有 A(5)、B(－11)、C(c)三點，若 C 為 A、B 的中點，則 c 是多少 練習28：數線上有 A(－3)、B(6)、C(c)三點，若 C 為 A、B 的中點，則 c 是多少？ 自我評量 1. 計算下列各式的值。 (1)(－75)＋(－25)＋47 (2)(－713)＋224＋613＋(－214) (3)(－25)－[(－709)＋(－25)] (4)(－12)＋｜－23｜－[35＋(－14)]

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2. 根據紀錄顯示，地球表面最高溫 58°C 出現在撒哈拉沙漠；而最低溫－89°C 出現在南極洲。 請問這兩個溫度中，最高的溫度比最低的溫度高多少°C 呢？ 3. 數線上有 A(－4)、B(3)兩點，請問： (1)A、B 兩點間的距離為多少？ (2)若 C(c)為 A、B 的中點，則 c 為多少？ 習作 1. 小螞蟻原本在數線上(－3)的位置，後來又往左邊走 5 個單位，則這隻小螞蟻最後在哪個位置？ (A)(－3)＋5 (B)(－3)＋(－5) (C)3＋5 (D)3＋(－5) 2. (1) (－16)＋(－5)＝。 (2) 0＋(－27)＝。 (3) 165＋(－27)＋(－165)＝。 (4) (－9)＋12＋(－5)＋5＋(－12)＋9＝。 3. 假設撲克牌黑桃、梅花的點數代表負數，紅心、紅磚的點數代表正數，那麼一張黑桃 4 及一張紅心 6 的點數和為(－4)＋(＋6)＝2。列出算式算算看，下面撲克牌的點數和各是多少？ (1) (2) 4. 計算下列各式的值。 (1) (－18)－12＝。(2) (－16)－(－13)＝。(3) 15－(－15)＝。 (4) 0－(－45)＝。 5. 在空格中填入合適的數或符號。

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6. 計算下列各式的值。 (1)60－(－13)－17 (2)75－83－[(－12)＋(－3)] (3)13－｜(－2)－(－17)｜＋(－11) (4)(－2009)－[(－2010)＋82] 7. 下表為中華國中一年一班 6 個學生，第一次數學平時測驗的得分與全班平均分數的比較。學生大為冠群美華偉展玉文美玲得分－全班平均分數－4 ＋5 －3 －6 ＋11 ＋15 (1)若全班的平均分數是 76 分，那麼大為和玉文的分數分別是幾分？ (2)這 6 個學生中，最高分與最低分相差幾分？ 8. 回答下列問題。 (1)數線上 A(5)和 B(－12)兩點之間的距離 AB 為何？ (2)數線上有 C(c)、D(3)兩點，若 CD ＝5，則 c 為多少？ (3)數線上有 E(－8)、F(2)兩點，若 G(g)為 E、F 的中點，則 g 為多少？ 9. 在筆直的商店街上，有五家店 A

、

B

、

O

、

C

、

D，如下圖： －1.5 －0.8 0 1.3 2.0 (公里) A B O C D (1)距離 C 店 0.5 公里的點坐標為何？ (2)曉玲距離 B 店 2.6 公里，距離 C 店 0.5 公里，她在哪兩家相鄰的店之間？ 10. 在右圖 3×3 的方格紙中，填入適當的整數，使得其橫列、直行及對角線的數字和均相等， 則 a＝，b＝，c＝，d＝，e＝。 a b c －5 －2 1 3 d e

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類題補充 1. 有一隻蝸牛原本在數線上(－7)的位置，後來又往左邊走 3 個單位，則這隻蝸牛最後在哪個位置？ (A) (－7)＋3 (B) (－7)＋(－3) (C) 7＋3 (D) 7＋(－3)。 2. 計算下列各式的值。 (1) [33＋(－27)]－[(－23)－14]＝。 (2) 18－│(－47)－(－50)│＋(－9)＝。 (3) 58－│8－29│＋[9－(6＋25)]＝。 3. (1)如下圖，數線上 A、B 兩點的距離為。 (2)承上題，若有另一點 D(x)，且 C、D 兩點的距離為 4，則 x 的值可能為。 －3 －2 －1 0 1 2 3 A B C

4. 下表是一年甲班六位同學的某次數學考試成績與全班平均成績的比較表。請問：學生 A B C D E F 成績與全班平均成績的差距＋3 －6 －5 ＋12 ＋7 ＋0 (1)如果 C 生的成績是 82 分，則全班平均分數是多少？ (2) 6 位同學中，最高分與最低分相差幾分？ 5. 假設撲克牌黑桃、梅花的點數代表負數，紅心、紅磚的點數代表正數，則 (1)一張黑桃 4 點及一張紅心 6 點的點數和為多少？ (2)一張紅心 8 點、一張梅花 2 和一張紅磚 9 點的點數和為多少？

6. ∣a∣＝∣b∣，且 a≠b，則下列敘述何者正確？ (A) a＞b (B) a＜b (C) a＋b＝0 (D) 無法判斷。

7. 下列敘述何者錯誤？

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8. 設甲、乙、丙三數滿足下列條件：乙＝甲－1＝丙＋1，則甲、乙、丙的大小順序為何？ (A) 甲＞乙＞丙 (B) 甲＞丙＞乙 (C) 乙＞丙＞甲 (D) 丙＞乙＞甲。 9. 在一數線上，若 A 點的坐標是 14.38，B 點的坐標是－54.38，則 ¯ AB ＝？ (A) 68 (B) 40 (C) 68.76 (D) 40.38。 10. 下列算式何者正確？ (A) 23＋(－9)＝9－23 (B) (－12)＋(－15)＝－(15－12) (C) (－14)－(－17)＝－(17－14) (D) (－13)－18＝－(13＋18)

11. 若∣c∣＜b＜∣a∣，則下列何者正確？ (A) b≧0 (B) a＋b＞0 (C) b＋c＞0 (D) a＋c＞0。

12. 甲、乙、丙、丁、戊五人參加象棋大賽，每兩人都必須比賽一場，且每一場都要分出勝負(即沒有 和局)，勝一場記為「＋1」，負一場記為「－1」，比賽結果如下表，試求出戊的勝負場數為何？甲乙丙丁戊勝＋2 ＋1 ＋4 ＋1 負－2 －3 0 －3 (A) 4 勝 0 負 (B) 3 勝 1 負 (C) 2 勝 2 負 (D) 1 勝 1 負。 13. 計算下列各式之值。 (1)∣12－(－58)∣－∣25＋(－24)∣＝。 (2) (－75)＋[(－14)－(－32)]－[(－1)＋(－8)]＝。 (3)∣14－(－8)∣－∣(－16)－23∣＝。 (4) 10－{[(－2)－5]＋(－7)}－{10＋[(－6)－(－8)]－5}＝。

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15. 已知數線上有 M(－17)、N(19)兩點，則 (1) ¯ MN ＝。 (2)將 M、N 所代表的兩數同時減去之後，兩數便互為相反數。 (3)若將 ¯ MN 分成九等分，可得到 8 個等分點，則由左邊算起第 4 個等分點所表示的數為。 16. 數線上有 A(－5)、B(－3 1_{2 )、C(2}1_{3 )、D(8)四點，則} AB ＋ ¯¯ BC ＋ ¯ CD ＝。 17. 有隻蝸牛想從地面爬到高 150 公分的葡萄樹上吃葡萄，如果蝸牛白天可以向上爬 30 公分，但是夜晚休息時會下滑10 公分，則這隻蝸牛在第天可以吃到葡萄。 18. 在地面上畫一條數線後，甲、乙兩人分別站在－7 與 5 的位置開始猜拳比賽，每次贏的人向右走 3 個單位長，輸的人則向左走 4 個單位長，猜拳 5 次當中，已知甲輸了 3 次、贏了 2 次，則最後甲、乙相距多少個單位長？ 19. 設 a＝4－6，b＝－16－4，c＝(－6)＋(－4)，d＝(－4)－(－16)，則下列何者正確？ (A) d＞a＞c＞b (B) d＞c＞a＞b (C) a＞d＞b＞c (D) a＞b＞d＞c。

20. 若∣a∣＝b，且 a×b＜0，則 a□∣b∣＝0 中，在□內要填入下列哪一種運算符號才能使式子正確無誤？ (A) ＋ (B) － (C) × (D) ÷。

21. 若 c＜b＜a＜0，則∣c－a∣－∣b－a∣－∣a－b－c∣＝？ (A) 2b－a (B) 2b (C) 2a＋b (D) b－c。

22. 若甲、乙為整數，且∣甲＋(－5)∣＋2∣乙＋2∣＝1，則下列何者錯誤？ (A) 甲＝5 (B) 乙＝－2 (C) 甲＝4 或 6 (D) 甲＋乙＝2 或 4。

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甲－16 9 乙－5 丁－19 丙戊 23. 一數線上 A、B 兩點分別為－23、16，若 C、D 將 ¯ AB 三等分，且 C 在 D 的左邊，則 C 點表示的數 為何？ (A) 10 (B) －10 (C) 3 (D) －3。 24. 計算下列各式之值。 (1) (－325)－∣－50∣＋425＝。 (2) 899931＋345678－899930＝。 (3)∣5－9∣－∣6－14∣＋∣－2－6∣＝。 (4)∣(－54)－13∣－∣(－27)＋28∣＝。 25. 如下圖，已知 ¯ BC ＝5 ¯ AB ，則 x＝。 26. 若∣x－5∣＝∣x－21∣，則 x＝。 27. 下表是靜香、大雄、小夫、胖虎四人第一次段考數學成績記錄表(以 70 分為基準，例如：靜香數學考 80 分，記為＋10)，但是不小心撕毀了一部分。若知四人數學平均成績記為－1，則此四人數學成績最高分與最低分相差分。 28. 右表是一個 3×3 的正方形方陣，其中每個空格都代表一個數，若每一「橫列」、「直行」與「對角線」上的三個數之和都相等，則乙＋戊＝。－5 x 15 A B C 靜香大雄小夫胖虎＋7 ＋9 ＋10

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加強練習 1. 計算 1368－(－688)－388＋2638＋(－1268)－2838＝。 2. 若｜A｜＋｜B｜＝10，則 A 不可能是下列哪一個數？ (A) ＋3 (B) －5 (C) ＋9 (D) －11。 3. 若甲比－7 大 2，乙比－5 小 8，則甲－乙＝。 4. 計算 1－2＋3－4＋…＋97－98＋99＝。 5. 一數線上 A(a)、B(b)、C(c)為數線上三點，若｜a－c｜＋｜b－c｜＝｜a－b｜，則有關 A、B、C 三點的 位置何者正確？ (A) A C B (B) C A B (C) B A C (D) A B C

6. 若∣A－5∣＝7，且 A＜0，則 A＝。

7. 若∣甲＋16∣＋∣乙－14∣＝0，則甲＋乙＝。

8. 已知 a、b 兩數滿足以下三條件：a＋b＜0、a－b＞0、∣a∣＝－a。則下列何者正確？ (A) a＞0，b＞0 (B) a＞0，b＜0 (C) a＜0，b＞0 (D) a＜0，b＜0。

9. 比－9 大 4 的數是甲數，比甲數小 8 的數是乙數，又丙數是乙數的相反數，則∣丙數∣＝。 10. 已知 m＜0＜n，且∣m∣＝7，∣n∣＝4，則 m－n＝。 11. 數線上有 A(－3)、B(b)、C(c)三點，其中－3 與 b 互為相反數，若 A 在 B、C 兩點之間，且 A、B 兩點 間的距離為 A、C 兩點間距離的一半，則 c＝。 12. 數線上，O 為原點，A(a)、B(b)兩點在數線上的位置如右圖， 若 C 點所代表的數為∣a－b∣，則關於 C 點的位置，下列何者正確？ (A) C 點在 B 點右方 (B) C 點在 A、B 兩點之間 (C) C 點在 O、A 兩點之間 (D) C 點在 O 點左方 13. 數線上有 A(54)、B(－42)兩點，今將 A、B 之間四等分，得到三個等分點，則 (1) A、B 兩點間的距離為何？ (2) 每一等分的長度為何？ (3) 最靠近 B 的等分點之坐標為何？ 14. 下表為小靖這學期的六次小考分數與學期總平均分數的差分比較表：次數一二三四五六小考分數－平均 2 －11 15 －6 5 1 已知小靖第五次小考的分數為 84 分，則 (1)小靖的學期總平均為分。 (2)小靖的第四次小考為分。 (3)六次小考中，最高分與最低分相差分。 15. 已知左右相鄰兩個圓圈中的數字相加，其和即為下方圓圈中的數字。例如圖(一)中：(－5)＋1＝－4，則圖(二)中最下方的圓圈應填入下列哪一個數？ (A) －2 (B) 0 (C) 5 (D) 7。 16. 若 m＋4 的相反數為 3，則 m＝。

17. 如下圖，數線上，O 為原點，A1的坐標為1，A2的坐標為 1_{2 ，A}3的坐標為 1_{3 ，…，依此類推，} 則 ¯ A1A2 ＋ ¯ A2A3 ＋ ¯ A3A4 ＋…＋ ¯ A8A9 ＋ ¯ A9A10 ＝。 18. 如右圖，數線上 A、B 兩點的坐標分別為－21、51，若在 A、B 之間有 8 個等分點，P 點為其中一個 等分點，位置如右圖所示，則 P 點的坐標為。

0

1 A

5

A

4

A

3

A

2

A

1

O

1

2

1

5

1

4

1

3

P A B a b A O B 1 ？

圖(一)

－5 －4 －11 8 －5 0

圖(二)

(13)

Ans：1. 200；2.(D)；3. 8；4. 50；5.(B)；6.－2；7.－2；8.(D)；9. 13；10.－11；11.－15；12.(B)； 13.(1) 96，(2) 24，(3)－18；14.(1) 79，(2) 73，(3) 26；15.(A)；16.－7；17. _{10；18. 3。}9 心得筆記