中學生通訊解題第五十三期題目參考解答與評註

中學生通訊解題第五十三期題目參考解答與評註

臺北市立建國高級中學 數學科

已 知x y, 是 實 數 ， 且 5 ( 11) 15( 11) 5 5 ( 4) 15( 4) 5 x x y y − + − = − + − = −

⎧⎪

⎨

⎪⎩

，則x y+ =? 參 考 解 答 ： 令 5 11 15 5 5 4 _{15 5} x a a a y b _{b b} − = + = ⇒ − = _{+ = −}

⎧⎪

⎨

⎪⎩

，∴ >a 0,b<0 ∵函數f t( )=t5+15t=t t(4 +15)在實數範圍下 5 4 0 ( ) 15 ( 15) 0 t> ⇒ f t =t + t =t t + > ； 5 4 0 ( ) 15 ( 15) 0 t< ⇒ f t =t + t =t t + < 又(a5+b5) 15(+ a b+ )=0 4 3 2 2 3 4 (a b a)( a b a b ab b 15) = + − + − + + 4 3 2 2 3 _{4 15 0} 0 15 a a b a b ab b a b x y − + − + + > ∴ + = ⇒ + = ∵ [另 解 ]這 是 高 三學 生 的 好 解法 ， 令 f t( )=t5+15t ∵ f t( )=t5+15t=t t( 4+15)為 嚴 格 增 函 數 ， 又 f x( −11) 5, (4= f −y)= − −( 5) ( 11) (4 ) 5 f x f y ∴ − = − = 11 4 15 x y x y ∴ − = − ⇒ + = ※ 若 函 數 y= f x( ) 為 嚴 格 增 函 數 ， , , ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x x ∈D f x = f x ⇔x =x ΔABC 中，∠BAC 的角平分線交 BC 邊 於 E 點，在 AB 與 AC 邊 上 分別 取 K、L 兩 點，使 得BK =CL。設 P 點 為 CK 與 BL 的 交 點 ， 過 P 點 作 AE 的 平 行線 交 AC 於 M 點 ， 試 證 ： AB=CM 。 參 考 解 答 ： 證 明 一 ： 設 D 點 為 CK 與 AE 的 交 點，過 P 點 作 AE 的 平 行 線 交 BC 於 Z 點 。 由孟 氏 定 理 知 1 AK BC ED KB CE DA⋅ ⋅ = ， 1 ML CB ZP LC BZ PM⋅ ⋅ = 因 AE // MZ， 得 ED ZP DA = PM ， 問 題 編 號 5301 問 題 編 號 5302 A B C P K M L E

加 上BK =CL知 AK CE ML = BZ 。 也 可 得 AK CZ ZE ML BE ZE + = + ……(1) 另 外 ， 因 AE 是∠BAC 的角平分線， 所 以 AB AC BE = CE 。 又 AE // MZ， 得 AC MC CE = CZ 。 因 此 AB MC BE = CZ 即 AB BE MC = CZ ， 也 可 得 AK KB BE ML LC CZ + = + ……(2) 若AK >ML， 由(1)知CZ >BE； 由(2)與BK =CL知 ，ML> AK， 矛 盾 。 同 理 若 AK<ML， 亦 可 得 矛 盾 。 故 知AK =ML， 所 以 AB=CM 。 證 明 二 ： 以 A 點 為 原 點 ，將 角 平 分 線 AE 與 y 軸重 合，則 可 假 設 直 線AB 的 方程 式 為 y = mx， 直 線AC 的 方 程式 為 y= −mx（如圖 m > 0）。 設 B 點 坐 標 為 (−x1,−mx1) ，C 點 坐 標 為 標 為( −x1+t, −m(x1−t) )，L 點坐標為 (x2−t, −m(x2−t) )，所以直線 BL 的方程式為 y + mx1 = ( _{1 2} ) 1 2 m x x t x x t − + + − ( x+x1 )， 直 線 CK 的 方 程式 為 y + mx2 =

t

x

x

t

x

x

m

−

+

−

−

2 1 2 1

)

(

( x−x2 )，聯 立求 解 得 P 點 x 坐 標 為 x2−x1， 此 亦 為 M 點 x 坐 標，因 此 A、B 兩 點 的 x 坐 標差 等 於 M、C 兩 點 的x 坐 標 差， 所 以 AB CM= 。 證 明 三 ： 因 A、 B、 C 三 點不 共 線 ， 我們 可 以 用

B

A

與

A

C

作 一 組 基 底 ， 設 a、b、 c 分 別 為 BC、AC、AB 三邊 邊 長（ 如 原 圖 b> c）， 為 了 簡 化 符 號 我 們 使 用「 斜 角 坐 標 」(1,0)、 (0,1)分 別代 表 B 與 C 點，因此∠BAC 的角 平 分 線 是 A 點 與 斜 角 坐 標(b c,1)的連 線 。 設 BK =CL= ， 則 K 點 的 斜 角 坐 標 為k (c k− ,0)，L 點 的 斜 角坐 標 為(0,b k− )。 A B C D P K M L E Z A B C K L P M x y E

所 以 直 線 BL 上 的 點 其 斜 角坐 標(x, y)均滿 足x b y 1 b k + = − ，直 線 CK 上 的點 其 斜 角 坐 標(x, y)均 滿 足 c x y 1 c k− + = ，聯 立 求 解 得 P 點 斜 角 坐 標 為( c k b c k − + − , b k b c k − + − )。 取 線 段 AC 上 M 點 其 斜 角 坐 標 為 (0,b c b − )， 因 此 AB=CM 而 向量 MP 其 斜 角 坐 標 為( c k b c k − + − , ( ) ( ) c c k b b c k − + − ) ， 此 與 ∠BAC 的角平分線平行，故得證。此結果 若 用GSP 可 更 清楚 看 出 ， 無 論 k 值 為 何， P 點 的 軌 跡 是 一 直 線 ， 且 此 直 線 與∠BAC 的 角 平 分 線 平 行 。 解 題 評 註 ： 本 次 徵 答 僅 有 一 位 同 學 來 信 ， 使 用 了 證 明 二 的 解 析 方 法 （ 以 三 角 函 數 的 形 式 表 達 ），表 現 得 很 好。老 師 特 別 列 出 證 明 一 的 幾 何 解 法 、 證 明 二 的 向 量 解 法 ， 這 些 都 是 高 二 會 學 到 的 方 法 。 已 知 一 邊 長 為 1 的 正 六 邊 形 ,請 只 用 直 尺 作 出 長 度 為 1 1 1 1, , , 2 3 4 5的 線 段(例 如 ： 連 AD 及 BF,交 點 為 G,則 1 2 AG= ) 參 考 解 答 ： 連FC 交 EG 於H , // 1 1 : : : ( 1) 1 : 3 2 2 HO ED HO ED GO GD ∴ = = + = ∵ 又 1 1 3 ED= ⇒HO= 連EB 交 HD 於I ， // 1 1 : : : ( 1) 1 : 4 3 3 IO DC IO DC HO HC ∴ = = + = ∵ 問 題 編 號 5303 G C D E F B A J I H G C D E F O B A

又 1 1 4 DC= ⇒IO= 連CI交 AD 於J， 1 1 // : : : ( 1) 1 : 5 4 4 OJ BC∴OJ BC =IO IB= + = ∵ 又 1 1 5 BC= ⇒OJ = 解 題 評 註 ： 有 一 位 同 學 用 Ceva 定 理 證明 ， 雖 然 精 神 可 嘉 ， 但 用 在 國 中 程 度 的 通 訊 解 題 ， 仍 給 人”殺 雞 焉 用 牛 刀 ”的 感 覺 。 有 一 些 同 學 沒 有 證 明 ， 應 特 別 注 意 。 是 否 存 在 三 個 整 數

a b c

, ,

， 同 時 滿 足 2007 20072007 200720072007 a b c a a b c b a b c c ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

參 考 解 答 ： 由 題 意 知 ( 1) 2007 ( 1) 20072007 ( 1) 200720072007 a bc b ac c ab + = + = + =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

易 知

a b c

, ,

皆 為 奇 數

⇒ (

bc

+

1)

為 偶 數

⇒

a bc

(

+

1)

為 偶 數 與

a bc

(

+ =

1) 2007

矛 盾，故 不 存在 三 個 整 數

a b c

, ,

,同時 滿 足 2007 20072007 200720072007 a b c a a b c b a b c c ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

解 題 評 註 ： 本 題 利 用 整 數 的 奇 偶 性 ， 不 難 迎 刃 而 解 。 (1) 試 將 0 和 1 兩 種 數 字 填 入 5×7 的表格 中 ， 且 滿 足 下 列 三 條 件 ： (α) 表格中的數字不可全為 0 或全為 1 (β) 所有 3×3 子表格的數字和均相等 (γ) 所有 4×4 子表格的數字和均相等 註：5×7 的表格中，共有 15 個 3×3 子表格 （ 如 圖 左 上 角 黑 框 部 分 ）， 以 及 8 個 4×4 子表格（如圖右下角陰影部分） (2) 將上 題 5×7 的表格換成 6×6 的表格， 且 滿 足 同 樣 的 三 條 件 。 問 題 編 號 5304 問 題 編 號 5304

參 考 解 答 ： (1) (2) 無 法建 構 滿 足 此三 條 件 的 6×6 表格。 若 能 滿 足 此 三 條 件，6×6 的表格中，共 有16 個 3×3 子表格，及 9 個 4×4 子表 格 。右 圖 中 ， 將16 個 3×3 子表格數字 相 加，每 個A 處的 數 字 恰 只算 過 1 次， 每 個 B 處 的 數 字恰 算 過 2 次 ，每 個 C 處 的 數 字 恰 算 過 3 次 ， 每個 D 處 的 數 字 恰 算 過 4 次 ，每 個 E 處 的數 字 恰 算 過 6 次，每 個F 處 的數 字 恰算 過 9 次。 假 設 每 個 3×3 子表格數字的和為 p，且 A 處數 字 的 和 為 a，B 處 數 字的 和 為 b， C 處 數字 的 和 為 c，D 處 數 字的 和 為 d， E 處數 字 的 和 為 e，F 處 數 字 的 和 為 f， 因 此 16p = a + 2b + 3c + 4d + 6e + 9f。相 同 的 狀 況發 生 在 9 個 4×4 子表 格，設 每 個 4×4 子表格數字的和為 q， 得 9q= a + 2b + 3c + 4d + 6e + 9f。所 以 16p = 9q，因 p、q 均 不 等 於 0（ 否 則 表 格 中 的 數 字 全 為 0），得p 是 9 的倍 數， q 是 16 的 倍 數 。因 每 格 數 字最 大 值 是 1，這 導 致表 格 中的 數 字 全 為 1，矛 盾 。 解 題 評 註 ： 第 1 小 題 中 ， 答題 的 同 學 給的 答 案 ， 都 有 極 高 的 對 稱 性 。 在 說 明 第2 小 題 時， 若 是 想 用 操 作 的 方 法 說 明 不 可 能 建 構 出 符 合 條 件 的 表 格 時 ， 往 往 無 法 說 明 清 楚 ， 得 到 滿 分 的 同 學 皆 使 用 與 解 答 相 同 的 方 法 。 A B C C B A B D E E D B C E F F E C C E F F E C B D E E D B A B C C B A 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0