數學科 習題 B(Ⅳ) 2-4 橢圓的圖形與標準式
老師： 蔡耀隆 班級： 姓名：__________ 座號：__________ 得分：__________ 一、單一選擇題(共 40 分，每題 4 分) 、 1 ( ) 若 2 2 1 25 7 x y k + k = − + 表焦點在 y 軸的橢圓，則 (A) 9 k− < <25 (B) (C) (D) 9< < 5k 2 0 25< <k 40 − < < −8 k 3 、 2 ( ) 若x2+4y2+2x+4y+ =k 的圖形是橢圓，則 (A)k∈k<0 (C)k≠ 0 (D)k<2 、 3 ( ) 橢圓兩焦點(−2,1),(6,1)，又過點(2,4)，則此橢圓之短軸長 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 、 4 ( ) 參數方程式 1 3cos , 0 2 2 4 sin x y θ θ π θ = − + ⎧ ≤ < ⎨ = + ⎩ 的圖形之正焦弦長為 (A) 1 2 (B) 3 2 (C) 5 2 (D)9 2 、 5 ( ) 2 2 : 1 9 16 x y τ + = ，若P x y( , )在τ 上，則 P 到直線3x−4y− =2 0之最長距離為 (A) 37− (B) 37 22 + (C) 337 2 5 + (D) 437+ 2 、 6 ( ) 設 A,B 為橢圓 2 2 1 9 25 x + y = 的兩焦點，P 為此橢圓上之任意一點，則△PAB 面積的最大 值為何? (A)6 (B)12 (C)15 (D)20 、 7 ( ) 橢圓4x2+9y2−8x+36y+ = 04 的中心到直線2x− + =y 1 0的距離為 (A) 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D)5 、 8 ( ) 已知橢圓 2 2 2 2 1 x y a +b = ， ，F 為一焦點。此橢圓在 x 軸上的兩頂點 A、B 與 F 的距離分別為 5 單位與 1 單位。試求此橢圓的方程式？ (A) 0 a> >b 2 2 1 9 5 x y + = (B) 2 2 1 5 9 x y + = (C) 2 2 1 36 20 x y + = (D) 2 2 1 20 36 x y + = 、 9 ( ) 參數方程式 2 3cos , 0 2 1 2 sin x y θ θ π θ = + ⎧ ≤ < ⎨ = + ⎩ 所表示的圖形為一 (A)拋物線 (B)橢圓 (C) 圓 (D)雙曲線 、 10 ( ) 一曲線之參數方程式為 1 3cos , 0 2 2 2 sin x y θ θ π θ = + ⎧ ≤ < ⎨ = − ⎩ ，則其直角坐標方程式為 (A) 2 2 ( 1) ( 2) 1 9 4 x+ y+ + = (B)( 1)2 ( 2)2 1 9 4 x− y− + = (C)( 1)2 ( 2)2 1 9 4 x− y− − = 1(D) 2 2 ( 1) ( 2) 1 9 4 x+ y+ − = 二、填充題(共 40 分，每題 4 分) 、 1 橢圓 2 2 2 2 1 x y a +b = 的內接正方形面積________，外切矩形面積________。 、 2 設F F1, 2為橢圓2x2+9y2+4x−18y− = 07 的兩焦點，P為橢圓上之一點，則 1 2 PF +PF = __________。 、 3 滿足 (x+1)2+(y+3)2 + (x−1)2+(y+3)2 =2的圖形名稱為________。 、 4 已知平面上四點 、 、 、 ，其中兩點為橢圓Γ 之焦點，另兩點 為橢圓 一軸上之兩頂點，則橢圓 (7, 3) A B(8,10) C(14, 4) D(15,11) Γ Γ 之長軸長為 __________。 、 5 橢圓 2 2 1 25 9 x + y = 的頂點_______，焦點_______，長軸長_______，短軸長_______，正焦弦 長_______。 、 6 若 2 2 1 9 20 x y k + k − − = 2 表一橢圓，則 k 的範圍為__________。 、 7 設橢圓的焦點坐標為(0,8), (0, 8)− ，長軸長為 20，則此橢圓方程式為____________。 、 8 在坐標平面上有一定直線 及一點 ，則到 F 的距離與到 L 的距離比為 的 所有點之軌跡方程式為__________。 : L x= − F(3, 0) 2 : 3 、 9 已知橢圓 ，則其中心為 __________，焦點為 __________， 正焦弦長為 __________。 2 2 25x +9y +100x−18y−116=0 、 10 平面上滿足 2 2 2 2 (x+4) +(y−3) + (x−2) +(y+5) =26的點所成圖形為一橢圓，其短軸長 ________，正焦弦長________。 三、計算與證明題(共 20 分，每題 4 分) 、 1 請將橢圓的標準方程式 2 ( 1) 25 x− + 2 ( 2) 9 y+ =1 化成一般式？ 、 2 試求下列各橢圓的中心坐標、焦點坐標、長軸長、短軸長及正焦弦長： (1) 2 2 1 64 16 x + y = (2) (3) 2 2 36 4x +y = 2 2 ( 3) ( 2) 1 25 9 x+ y− + = 、 3 已知 P 為橢圓 2 2 1 25 16 x y + = 在第一象限的一點，橢圓焦點為F1、F2，且PF1⊥PF2， 試求 P 點 y 座標？ 2
4、一橢圓中心在原點，長軸在 x 軸上，正焦弦長8
3，二焦點距離 2 5 ，求其方程式。 、
5 一橢圓二頂點(−1,2),(3,2)，一焦點(2,2)，求其方程式。
