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是升還是降?
楊秉鈞
桃園縣立文昌國民中學
冰塊熔化之後,液面真的不會上升嗎? 可是液面上頭的冰都熔化了呀! 熔化後不是都進入液中,液面應該要上升才是 呀!……. 在教學過程中,學生每回學習到液體壓 力及浮力的單元時,總會因這樣的問題而迷 惑不已,到底液面會升高還是會降低呢?抑 或是不改變呢?當學生還對這個問題一頭霧 水,一知半解時,延伸的問題又來了!諸如: 冰塊置於食鹽水中,當冰塊熔化後液面會升 高還是降低呢?問題的確是個好問題,對學 生而言,是學習成效的檢驗及腦力的激盪; 對老師而言,更是教學方法的挑戰。記得國 編本(民86)理化第一冊第三章習題恰有類 似的題組,原題組敘述如下: 在 500 毫升的燒杯內,冰塊浮在水面 上,此時水面的位置在 300 毫升的刻度線 上,加入冰塊以前的水面位置則在 200 毫升 的刻度處。試問: 1.冰塊所排開的水的體積是多少毫升? 2.冰塊所受的浮力是多少? 3.冰塊的質量是多少? 4.當冰塊完全熔化後,杯內水面的位置將在 何處? 國編本(民86)理化教師手冊第一冊的 解答如下: 1.冰塊所排開的體積,即浸在水面下的冰塊 體積,為300-200=100 毫升。 2.冰塊所受的浮力等於所排開的水重,即 100 公克重。 3.因為冰塊浮在水面上,冰塊的重量等於冰 塊所受的浮力,所以冰塊的重量等於 100 公克重,亦即其質量等於100 公克。 4.當冰塊熔化後,由於質量不變,因此燒杯 內增加 100 公克的水,亦即燒杯內增加的 水為 100 毫升,連同原有 200 毫升的水, 總體積變為 300 毫升,所以杯內的水面位 置將在 300 刻度處,也就是說冰塊置於水 中,當冰塊溶化後液面刻度將維持不變。 國編本(民86)理化第一冊以題組方式 逐步呈現問題,使得題組(4)的答案推論能 被漸次引導出來,並以「冰塊熔化後,由於 質量不變,可很快推求出冰塊熔化後水的體 積,繼而推求出答案」,可見教科書編者的用 心。但由於學生常會碰到其他的問題敘述方 式,本文作者對於其上說明例的解釋雖能認 同,但總覺得事有未殆。且當問題若沒有給 予足夠確切的數值資料或題組引導時,本問 題的思考,對於老師或是學生就將更具有挑 戰性了。科學教育月刊 第 275 期 中華民國九十三年十二月 - 30 - 首先我們的命題是: 「將一個冰塊投入水中,當冰塊浮在液 面平衡後,一段時間之後,冰塊全部熔化後, 其液面變化情形?」,其液面的升降討論如 下: (一)冰塊投入水中,平衡後浮在液面上, 如下圖(a),並對浮體做一些假設, 如下圖(b)。 圖(a) V1 V2 Dliq. 圖(b) 假設: V1:浮在液面上的體積 V2:沉入液面下的體積 Dliq.:容器內原盛裝液體的密度 V:冰塊溶化成水之後的體積 (二)想法: 既要決定冰塊全部熔化後,其液面之變 化 。 所 以 假 想 液 體 剎 時 變 成 類 似 果 凍 的 物 體,將冰塊取出,結果液體表面就會呈現一 個大坑洞。然後等取出的冰塊熔化變成水之 後,再倒回那個大坑洞,如下圖(c),所以 可知: 1.若冰塊熔化成水之後的體積>大坑洞的體 積V2
B
液面就會上升 2.若冰塊熔化成水之後的體積=大坑洞的體 積V2B
液面就會不變 3.若冰塊熔化成水之後的體積<大坑洞的體 積V2B
液面就會降低 Dliq. V1 V2 V1 V2 Dliq. 液態 V 圖(c) (三)證明:以簡單數學列式,表達想法 比較冰塊熔化成水之後的體積與冰塊沉 入水中的體積,假設,冰塊熔化成水之後的 體積為V;沉入液面下的體積為 V2,證明即 是在比較V 與 V2 的大小。 可知: (1)若 V-V2>0 a 液面上升 (2)若 V-V2=0 a 液面不變 (3)若 V-V2<0 a 液面下降 接下來,開始我們的證明。 1. 一 冰 塊 置 入 某 液 體 中 之 各 項 假 設 整 理 如 後: 冰塊在液面上的體積:V1 冰塊的密度:dice 冰塊沉入液中的體積:V2 水 的 密 度:dH2O 液體的密度:Dliq ∵冰塊的總體積=V1+V2 ∴冰塊的質量=(V1+V2)×dice (冰塊溶 化成水後,其質量不變) ∴冰塊熔化成水的質量=(V1+V2)×dice ∴冰塊熔化成水的體積=V= O H ice 2 1 2 d d V V + 〉× 〈是升還是降? - 31 - 現在,就將冰塊熔化成水的體積V 倒入 體積為V2 的大坑洞。其液面在倒入後會不會 溢出大坑洞呢? V-V2= 〈 + 〉× − 2 1 2 ice 2 H O V V d V d (式 A) 2.又由浮體的浮力原理,浮力=冰塊的重量 =沉入液中的體積 × 液體的密度
∴V2×Dliq=(V1+V2)×dice將之代入(式A)
∴V-V2= 〈 + 〉× − 2 1 2 ice 2 H O V V d V d = × − = ×〈 − 2 〉 2 2 liq H O 2 liq 2 2 H O H O D d V D V V d d 3.所以〈 − 2 〉 2 liq H O H O D d d 項之正負值或零,便影響了 液面的升降。 ∵水的密度 dH2O=1,代入〈 − 2 〉 2 liq H O H O D d d =D liq- 1,此(Dliq-1)項便能推出結論。 >0 → 液面上升 =0 → 液面不變 Dliq-1 <0 → 液面下降 ※ Dliq.=容器內原盛裝液體的密度 (四)討論: 現在再回到原命題: 「將一個冰塊投入水中,當冰塊浮在液 面平衡後,一段時間之後,冰塊全部熔化後, 其液面變化情形?」。 以由式(A)所得到的結論:(Dliq-1) 項,來判斷液面變化情形,並以下列二個問 題來說明。 問題一:冰於水中熔化後,水的液面會升高、 降低還是不變呢? ∵Dliq-1=1-1=0 即V-V2=V2×0=0 答:液面不改變 問題二:冰於食鹽水中熔化後,水的液面會 升高、降低還是不變呢? ∵Dliq-1>0(∵食鹽水密度 Dliq>1) 即V-V2=