五方連塊上的一些拼圖遊戲

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 五方連塊上的一些拼圖遊戲. 研究生：李鈺祺. 中華民國一百零二年一月. A.

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(3) 摘要本研究主要是研究如何利用既有的數學趣味、消遣題材――五方連塊，改編設計成適合國中生玩的數學遊戲。本論文主要紀錄研究者編寫數學遊戲的心路歷程、實施方式及線上操作之遊戲介面。台灣教育即將出現重大變革，從基測走向免試，教師於國中現場可以更多元教學，不必受制於升學壓力的束縛。各國中如何發展教學特色以利靈活教材與學習互動，相信是未來的重點。許多文獻都揭示數學遊戲在教學上的重要性，每個學生都喜愛玩遊戲，如果能將有趣的數學遊戲介紹給學生，研究者相信能激發他們的對數學更多面向領域探索的好奇與潛力。研究者編寫設計五方連塊的一些拼圖遊戲，給學生測試完後，再請人寫成 Flash 遊戲放在部落格上，供有興趣的玩家下載或其他教師於教學課堂上使用 (網址:http://bblog.syajh.tp.edu.tw/blog/96/)，期望更多人能欣賞數學之美。關鍵字: 五方連塊、數學遊戲. I.

(4) 誌謝首先，要謝謝許志農老師的指導及黃森山老師、李華介老師的不吝建議指正。再來，要謝謝我先生 Mason 的支持，近 2 年半的研究生涯，無法配合家庭活動，有時甚至因課業繁重情緒欠佳，而你只是耐心地配合並適時地開導，謝謝你的包容。一起打拼的夥伴們介民、友民，每 3 周我們約在星巴克互相討論、報告進度，因為有你們，使我精進快速，謝謝你們。另外，感謝玟妤同學和裕錫學長幫忙寫 Flash 遊戲的部分，你們好讚！謝謝研究所的同學們，你們積極向上的精神令我佩服，也是我學習的好榜樣，在你們身上我偷學了不少東西。回到學校讀書的年紀已不小，和大家一起研究討論數學的氣氛讓我覺得好讚。我會時時回想這樣的情景，在未來好好期勉自己，繼續努力前進。最後，感謝其他家人、參與研究活動的所有學生。因為有你們，這 2 年半我成長了不少!再次感恩!. II.

(5) 目次摘要 ............................................................................................................................................I 誌謝 ...........................................................................................................................................II 目次 ..........................................................................................................................................III 表目錄 ....................................................................................................................................... V 圖目錄 ...................................................................................................................................... VI 第一章緒論 .............................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 ............................................................................................................ 1 第二節研究目的........................................................................................................................ 2 第三節研究限制........................................................................................................................ 3 第二章文獻探討....................................................................................................................... 4 第一節遊戲概論........................................................................................................................ 4. 一、遊戲的定義 .................................................................................................................. 4 二、遊戲的發展 .................................................................................................................. 5 三、遊戲的要素 .................................................................................................................. 8 四、遊戲的種類 .................................................................................................................. 8 五、遊戲的功能 .................................................................................................................. 9 第二節遊戲的應用.................................................................................................................. 10. 一、遊戲與教學 ................................................................................................................ 10 二、遊戲與學習 ................................................................................................................ 11 三、評鑑遊戲的準則 ........................................................................................................ 11 第三節數學遊戲...................................................................................................................... 12. 一、數學遊戲、數學遊戲目的與功能 ............................................................................. 12 二、數學遊戲的種類與對數學發展的影響 ..................................................................... 14 三、數學遊戲的設計原則與舉例 ..................................................................................... 16 第四節多方連塊遊戲簡介 ...................................................................................................... 18. 一、多方連塊 .................................................................................................................... 18 二、五方連塊的數學 ........................................................................................................ 21 三、五方連塊證明 ............................................................................................................ 23 四、多方連塊的其他玩法................................................................................................. 28 第三章五方連塊之拼圖遊戲設計 .......................................................................................... 30 III.

(6) 第一節過七關斬五方連塊遊戲 .............................................................................................. 31 第二節巧拼線對稱遊戲 .......................................................................................................... 34 第三節紙本測試與線上測試 .................................................................................................. 38. 一、紙本測試 ..................................................................................................................... 38 二、線上測試 ..................................................................................................................... 43 第四章五方連塊之拼圖遊戲內容 .......................................................................................... 47 第一節過七關斬五方連塊遊戲 .............................................................................................. 47. 一、初階版 ......................................................................................................................... 47 二、進階版 ......................................................................................................................... 56 三、關關難過關關過遊戲 ................................................................................................. 60 第二節巧拼線對稱遊戲 .......................................................................................................... 64. 一、A 版 ............................................................................................................................. 64 二、B 版 ............................................................................................................................. 72 三、C 版.............................................................................................................................. 77 第五章結論與建議 ................................................................................................................ 81 第一節結論 .............................................................................................................................. 81. 一、學生的回饋 ................................................................................................................. 81 二、反省與檢討 ................................................................................................................. 83 第二節建議 .............................................................................................................................. 84 參考文獻 ................................................................................................................................. 85 附錄 ......................................................................................................................................... 88. IV.

(7) 表目錄表 3.1: 52 種五方連塊對...................................................................................................... 35. V.

(8) 圖目錄圖 3.1:研究流程.................................................................................................................... 30 圖 3.2:市售塑膠五方連塊拼板 ............................................................................................ 32 圖 3.3: 關關難過關關過遊戲 .............................................................................................. 34 圖 3.4:巧拼線對稱遊戲 A 版設計草稿................................................................................ 36 圖 3.5:巧拼線對稱遊戲 B 版設計草稿 ................................................................................ 36 圖 3.6:巧拼線對稱遊戲 C 版設計草稿 ................................................................................ 37 圖 3.7:巧拼線對稱遊戲 ........................................................................................................ 38 圖 3.8:過七關斬五方連塊遊戲(初階版) ............................................................................. 39 圖 3.9:過七關斬五方連塊遊戲(進階版) ............................................................................. 40 圖 3.10:巧拼線對稱遊戲 A 版 ............................................................................................. 41 圖 3.11:巧拼線對稱遊戲 B 版.............................................................................................. 42 圖 3.12:撰寫日誌版面.......................................................................................................... 43 圖 3.13: HTML 碼編輯器視窗 .............................................................................................. 44 圖 3.14: DROPBOX 之 COPY PUBLIC LINK 視窗(縮短連結前) ....................................................... 44 圖 3.15: DROPBOX 之 COPY PUBLIC LINK 視窗(縮短連結後) ....................................................... 45 圖 3.16: HTML 碼編輯器視窗(貼上連結網址) .................................................................... 45 圖 3.17: HTML 碼編輯器視窗(左下角更新鈕) .................................................................... 46 圖 4.1: 過七關斬五方連塊遊戲(初階版)FLASH 遊戲 ......................................................... 55 圖 4.2: 過七關斬五方連塊遊戲(進階版)FLASH 遊戲 ......................................................... 59 圖 4.3: 關關難過關關過遊戲 FLASH 遊戲 ............................................................................ 63 圖 4.4: 巧拼線對稱遊戲(A 版)FLASH 遊戲 .......................................................................... 72 圖 4.5: 巧拼線對稱遊戲(B 版)FLASH 遊戲 .......................................................................... 76 圖 4.6: 巧拼線對稱遊戲(C 版)FLASH 遊戲 .......................................................................... 80. VI.

(9) 第一章緒論. 第一節研究背景與動機台灣因為升學主義掛帥，研究者從小到大，學數學的目的好像只是為了考試。當研究者長大步入職場，教書至今依然屈於分數魔咒。教學現場因為礙於教學進度的關係，台上的研究者講完定義、觀念後，就是範例講解，然後給學生練習，期望他們在小考、段考中表現優異。而台下的學生，反覆演練，希望在有時間限制的考試中獲取高分，日子一久，覺得學數學真無聊！而學生們(包括研究者自身的成長歷程)少了下功夫反覆思索、自行創造解法，只是一昧熟練同樣的方法解題，最後只會解做過的題目，同時也埋沒了創造力！唯一令研究者印象深刻的是在教學現場十幾年，最有反應的課堂就是玩數學遊戲。每個人都躍躍欲試，全神貫注地投入！猶記得研究者在國中時期第一次去台中科學博物館參觀時，在電腦上接觸到” 農夫、狼、羊、高麗菜”的邏輯遊戲時，覺得真是太有趣了！這個經驗影響研究者，讓研究者喜歡上玩數學遊戲、解數學謎題。後來拜讀了一系列葛登能(Martin Gardner)的書，他寫了許多跟數學遊戲有關的內容，非常吸引人；同時因為他不斷地學習精進、持續數學寫作，使得研究者很欣賞他的精神！他認為“喚醒學生的最好辦法是向他們提供有吸引力的數學遊戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。”希望研究者也能一直對數學及教育保持熱情，所以研究者想要試試設計適合國中生的數學遊戲，讓研究者自己養成不斷問問題、製造問題，並解決分析問題，影響未來遇見的每位學生。當然，研究者期望未來也有能力將所編寫的遊戲設計為電腦遊戲。數學是科學之母，影響科技發展及國運興衰，也是個人心智訓練和啟發思考的重要學科。數學的學習關係著兒童心智的發展、推理、思考能力的進步，以及日常生活中數學問題的解決。因此，世界各國政府都在國民教育階段，積極地推展數學教育；然而，國內外許多研究都發現，兒童對數學學習皆感到困惑，甚至討厭數學。愛因斯坦說：『數學之所以比一切其他科學受到尊重，一個理由是因為它的命題是絕對可靠和無可爭辯的，而其他的科學經常處於被新發現的事實推翻的危險。…數學之所以有高聲譽，另一個理由就是數學使得自然科學實現定理化，給予自然科學某種程度的可靠性。』從愛因斯坦這番話，正好印證了數學是 1.

(10) 科學之母這句話。數學這座城堡通常不需拆掉再重新蓋起，只需在舊有的基礎上加以裝潢即可，因此可以確定這座城堡是隨著文明的發展而日益壯大的。無論哪一個世代，學習數學是很重要的。愛爾蘭詩人葉慈曾說：「教育不是注滿一桶水，而是點燃一把火。」（Education is not the filling of a pail but the lighting of a fire.）以往的教學經驗，就是灌輸學生數學知識，要他們為考試讀書，獲取高分。再來全國實施 12 年國教，沒有基測，就要想辦法點燃學生的學習之火！如何點燃學生的學習之火，要有豐富多元的教學內容，提高教師的專業內涵，發展學校自己的特色，才能吸引學生就讀。順應趨勢，迎接 12 年國教的來臨，在沒有基測的制約下，研究者自忖如何轉型、升級成為更好的老師？ Bruner 曾指出：「學校應該是讓學生學習如何求知的場所，而不是灌輸知識的地方。」目前教育的趨勢之一，就是電子書包。當學生人手一台平板電腦或 i-pad，隨時可以連上網學習。當研究者設計好數學遊戲後，想要分享給學生，希望他們也能享受玩數學遊戲解題的樂趣，並有發散思考的能力。現今全球強調每個人應有研發設計的能力，研究者希望提升自我的創造能力並影響學生。有句話說『人們總是很自然地就喜歡上文學，但數學與科學卻要一點外力幫忙。』回想研究者為何國中時期喜歡數學？只因為老師長得帥。聽名人演講，有人喜歡數學是因為受到一本數學謎題的書而啟發；有的朋友是因為能獲得獎勵。著名的華人數學家華羅更：『聰明在於學習，天才在於積累。』三十四歲得費爾茲獎的丘成桐：『我學數學 40 年，還沒有看過天才』「數學家應該忘掉天才這個問題」（2005.11.16 聯合報）因此，要能在數學領域專精，除了點燃熱情之外，還要能持之以恆，才有收穫。研究者期待透過玩數學遊戲的方式，激起學生對數學學習的興趣。因為從日常生活的觀察中發現，小孩願意為遊戲花費許多時間、精力與金錢；相較於一般的學習活動，小孩便顯得缺乏興趣，而且較被動。站在師長的立場來反思，我們千萬不要認為學生玩這些遊戲，都只是在玩玩而已，因為「凡走過必留下痕跡」，不可小覷潛移默化的力量，他們在數學遊戲中已切切實實地在運用數學的方法，也接受數學的薰陶。從遊戲中學習，不僅涉及認知能力，亦涉及性情、官能、社群各領域能力。具勝負的遊戲更能提高參與者解決難題、觀察與分析、運用不同策略之能力。（黃毅英，1997）第二節研究目的. 遊戲是兒童生活的重心，也是學習的動力來源。趙文敏（1981）相信數學遊 2.

(11) 戲對學生的吸引力比正統數學來得大。研究者認為，學生玩遊戲是讓他們能深入研究數學，並喜歡上數學的方法之一。研究者利用已有的五方連塊，變化出許多不同的玩法，給學生測試玩玩看，再加以修正。故本研究的目的如下： (一)利用既有的數學消遣題材，根據一般國中生程度，編寫設計適合國中生玩的數學遊戲。 (二)設計好的數學遊戲單給學生試玩後，再加以修正成更好的版本，請人寫成 Flash遊戲，公布在部落格上供大家下載，並提供其他教師參考。. 第三節研究限制. 設計好的遊戲學習單先是用在二年級數學遊戲社團的學生，因為是數學遊戲社團，所以來參加的是傾向喜歡數學的學生。研究者收集他們的回饋，再將學習單修正後，請人製成 Flash 遊戲。而 Flash 遊戲是請九年級的任教班級試玩，九年級給的建議和數學社團所收集到的回饋不盡相同。委託他人代寫的 Flsah 遊戲，版面無法像一般線上專業級的遊戲精緻。. 3.

(12) 第二章文獻探討本研究是關於設計適合國中生玩的數學遊戲，並且改寫成 Flash 遊戲。這裡探討遊戲概論、遊戲的應用、數學遊戲、多方連塊的簡介。第一節遊戲概論. 一、遊戲的定義常聽到有人說：『我們來玩遊戲吧！』。那麼遊戲究竟是行為、情境，還是性質？(引自潘慧玲,1991)有人說,遊戲是運用自由想像產生的心智活動。學者對遊戲下不同定義，代表不同的理論立場。Burner(1960)主張遊戲可以強而有力的表現出現實世界的模式，遊戲被當作是為了應付未來成人的生活所必備的預習。 Piaget(1962)認為遊戲具有啟蒙的作用，唯有將人類的智慧、思考及活動應用於遊戲中，才能了解遊戲的意義。比較國內外學者對遊戲之定義： Lloyd P.Rieber（1996）. 遊戲的特徵綜合整理（陳怡淇，2007）. 1、遊戲通常是自願的（Voluntary）. 1、自由的活動：參與者可依其自由意志參與和選擇遊戲。. 2、遊戲的動機是內隱的. 2、內在動機的活動：參與者是主動、內發的參與遊戲，而不是被強制參與. （Intrinsically motivating）. 的，且不具外在目標，強調遊戲的過程重於結果。 3、遊戲牽涉某種層次的主動參與（Active engagement）. 3、正向意義的活動：遊戲比傳統的教室學習更能引起兒童的興趣，是因其具備趣味性，可以帶給兒童歡樂。 4、策略性的活動：兒童在遊戲中受到遊戲規則的約束，為了贏得競爭而產生策略，因此，可視遊戲為一種策略性的活動。 5、綜合性的活動：不僅是單一、獨立 4.

(13) 的行為，它和其他方面有著密切關係，例如創造力、解決問題的能力，語言學習、社交技巧…等。 4、虛構的特質（Make-believe quality） 6、非實際性的活動：遊戲的時空與真實世界的時空並不相同，遊戲是透過想像，自成一個系統，在特殊結構下的一種暫時性組合。二、遊戲的發展從有人類的文明起就有遊戲活動，但一直到十九世紀才有專業研究記錄。在遊戲理論方面，依據發展時間以 1920 年為分水嶺可分為以下兩種： (一) 古典遊戲理論遊戲的理論最早可追溯至柏拉圖和亞里斯多德對遊戲所提出的觀點。柏拉圖和亞里斯多德都認為遊戲能增進算術的學習，並且是建構知識的技巧之一(江麗莉譯，1997)，但自古以來，真正有學者重視且嘗試去建構出遊戲理論的，則要在十九世紀後半才開始。 1、精力過剩論這是最早發展出的遊戲理論。將精力消耗在有目的的活動，那就是工作；而消耗在沒有目的的活動，那就是遊戲。Schiller 和 Spencer 兩人不僅認為遊戲是為了消耗過多的精力，同時也認為遊戲是導致藝術產生的因素之一(江麗莉譯， 1997)。 2、放鬆和休閒論 Patrick(1916)認為遊戲可以讓人們解除心身的疲憊，具有暫時獲得放鬆的功用。由於現代社會的個體其工作性質過於複雜，使人特別需要抽象的推理能力，高度的精神集中，及精細的動作技巧來勝任工作，凡此種種的需求，都容易導致一個人身心俱疲，因此需要休閒娛樂的活動。工作一段時間，需要休息，需要換一個活動。 3、練習論遊戲是為因應本能的需要而產生，而本能則是經由遺傳而得，但還必需靠後天的練習才能使它更為熟練。兒童往往會模仿成人，嘗試著去探索各種事物的可 5.

(14) 能性，以增進對自我及對環境的認識及掌控，並從中發展出個人的人格和智慧 (Bruner, 1960; 鄭肇楨, 1989)。兒童玩扮家家酒,是為了日後為人父母技巧的練習。 4、複演論複演論起源於 Darwin 的進化論觀點。兒童心理學者 G. Stanley Hall(1906) 在其提出的複演說中，強調兒童的成長歷程，很像從動物演進到原始人類的一連串進化過程。我們從兒童玩水，爬樹及群體遊戲當中，可約略看出人類遠祖為適應環境而發展出技能的痕跡(江麗莉譯, 1997)。 5、成長論成長論者認為遊戲是為了滿足身體的需要。在人生的成長時期需要遊戲來幫助兒童的成長，等到成人之後，玩遊戲的慾望也會逐漸緩和(林風南譯, 1980)。 6、淨化論遊戲可淨化被壓抑的情緒、慾望或情結，因此遊戲可被視為是一種發洩情感的工具，藉由玩遊戲可發揮情緒治療的效果(林風南譯,1980)。近年在心理治療的臨床個案上紛紛興起對兒童甚至整個家族以遊戲方式進行治療，即是由此理論而崛起。古典理論的範圍太小，僅就一小部分的遊戲行為做解釋。理論過時，太注重 “能量”、”本能“、”演化“。但在歷史上仍占有一席之地，提供成人對兒童遊戲的看法，促使現代理論的發展。 (二) 現代理論有關遊戲的現代理論發展於西元 1920 年代之後。由於心理學的快速發展，學者便試圖以心理學的角度去分析兒童遊戲的意義與價值。另一方面，又因為教育的普及與受到重視，使得兒童教育學者發現並開始注意到遊戲的重要性。甚至在近年來，遊戲已廣泛應用在心理治療、學前教育及國小基礎教學之中，有關遊戲的現代理論經研究後彙整如下： 1. 心理分析學派心理學大師 Frued(1959)認為個體為了追求快樂因此會產生遊戲的行為。透過遊戲，個體能夠暫時實現內心的需求及渴望，因而可以從遊戲中獲得快樂與滿足。他也認為遊戲是希望的投射，當生命中有不愉快的經驗時，若透過遊戲將經 6.

(15) 驗中的情境加以重演出來，能增加個體對於那些不愉快經驗所引起負面情緒的控制力(江麗莉譯，1997)。Erik Erikson(1950)則針對 Frued 的遊戲理論加以補充，認為從遊戲中可看到兒童在每一個發展階段時，不斷地對世界所產生更新，更複雜的看法。遊戲對每個兒童而言，都有它獨特的、個人的意義，必需要仔細去觀察遊戲的形式、內容、遊戲中的對話以及遊戲者所表現的情感，才能瞭解遊戲對個人的意義。 2. 認知學派 Piaget(1962)認為由兒童所呈現的遊戲型態可看出其認知發展的能力。遊戲玩多了不僅可反映出兒童的認知發展狀況，更可以促進孩子的認知發展。 Vygotsky(1976)也認為遊戲可直接促進兒童的認知發展，並可促進兒童的創造力和變通力。Bruner(1972)認為兒童在遊戲當中可以嘗試很多新的行為及新的玩法，以便日後應用到實際生活情境中，進而解決生活上的問題。從以上學者的研究可以發現，遊戲與兒童的認知發展間具有極緊密的相關。兒童在遊戲過程中，會不經意的體會或運用到認知學習過程中的假設、理解、連結、資料分析、抽象概念等原理，這些都對兒童未來進入青年的形式運思學習有所助益。 3. 覺醒調節論 Berlyne(1960)認為人會追求刺激及尋求探險，而遊戲便是一種尋找刺激的行為，當生活中的刺激不足時，遊戲便會開始，反之則停止。因此個體為了增加刺激，會在遊戲中發揮創意及想像力，以不同方式運用物體和進行活動(郭靜晃譯, 1992)。 4. 其他相關遊戲理論 Bateson(1955)認為遊戲中所有的活動並不代表真實生活的活動。孩子在玩遊戲之前，必會先發展出一套遊戲的組織或脈絡關係來讓參與遊戲者在遊戲時都知道將會發生什麼，且瞭解這只是假裝而不是真的。Garvey(1977)在探討角色扮演和他們實際身分在參與戲劇遊戲中角色是如何替換的研究中發現，兒童會建立、維持、傳輸及再陳述遊戲對話中對個體有用的訊息。 Schwartzman(1980)的研究則指出，兒童的社會地位可能影響遊戲的主題或其中的關係。遊戲的內容與兒童年齡有相關，年紀越大，在遊戲中所扮演的角色及遊戲的內容及規則則越複雜(郭靜晃譯, 1992)。 Curry(1972)則是從效率面向探討遊戲，他認為遊戲本身所具有的創造性，以及思考集中和思考分散之間的關係，能夠提供兒童一種讓自己脫離沮喪的方法。 7.

(16) 三、遊戲的要素國內學者鄭肇楨(1980)在其 “智慧遊戲” 一書中表示，遊戲具有下列五個要素： (一)身體接觸身體接觸又分成直接與間接兩種。直接接觸包括拉手，擁抱，推拉，摔角等。間接接觸則是像球類遊戲，藉由球的傳送，使身體互相接觸。 (二)官能活動遊戲可以使個體多從事肌肉官能活動，即訓練不同的肌肉在活動時相互配合，如手眼協調。 (三)認知技巧在遊戲過程中，參與者往往必須運用高階的分析，綜合及評鑑的思想活動以解決遊戲中所出現的困難，而不僅只是運到用低階的記憶，理解等認知技巧而已。 (四)把握時機大多數的遊戲多少都帶有某種成份的機遇性，由於個體無法完全掌握所有的環境變因，因此無法預見到遊戲的結果，這一點很能符合現實環境的多變性，參與遊戲的個體必須隨時把握時機以應付變化，這樣可以訓練遊戲者培養其未來適應環境的能力。 (五)適者生存遊戲中所具有的競爭性，可以使遊戲者提高參與的興趣，並學習在身心亢奮、情緒激動的情形下，猶能冷靜思考以克服困難，面對挑戰以及爭取最後勝利。四、遊戲的種類學者劉一民(1999)提及 Roger Caillois 將遊戲的種類分成四種類型： (一)競爭性遊戲遊戲者在公平的條件下，依據競賽規則，戰勝對手。例如各種運動競賽、橋 8.

(17) 牌、或兒童的追逐遊戲。 (二)機運性遊戲機運遊戲的結果，完全掌握在運氣，例如猜拳、打賭、彩券、輪盤、擲骰子。 (三)模仿性遊戲遊戲者沉浸在想像的空間裡，暫時忘記自己，裝扮模仿別人的角色。例如家家酒遊戲及戲劇。 (四)暈眩性遊戲遊戲者在遊戲中製造知覺上的失衡，產生失魂、緊張、狂喜的狀態。例如轉圈圈、盪鞦韆、滑雪、攀岩、摩天輪遊戲。五、遊戲的功能認知學派的 Piaget 和 Vygotsky 皆認為遊戲能促進兒童的認知發展：提升兒童的智力發展，如抽象分解能力、數科能力；增強問題解決的能力；培養孩子創造力、幫助孩子擴散性思考。持不同觀點的學者進行許多研究，認為遊戲具有下列功能。 (一)人類學家的觀點遊戲是人類文化活動的一種形式，研究遊戲的源流及傳播，可探索民族發展及其源流歷史的線索。 (二)行為學家的觀點遊戲除了具有訓練知識技巧的作用，亦可用以控制行為。透過遊戲的過程，可提供兒童機會以培養這些能力，進而增加兒童對自己身體的自主掌控（詹志禹， 1997）。 (三)社會學家的觀點當兒童接受遊戲中的約束與規則時，無形中促進其社會行為的發展，更可養成在現代社會生活中所需要的基本應對概念。（吳博明，1995）。 (四)心理學家的觀點 9.

(18) 遊戲可應用於心理分析，用以診斷思想、情緒的變化狀態。遊戲不僅是可以讓兒童舒緩情緒，更重要的是讓兒童領悟到自我情緒控制，遊戲是具有學習、適應、治療及休閒等的多重功能（詹志禹，1997）。 (五)科學家的觀點遊戲雖是虛擬的活動，但其過程可視為某些現實的變換，因此，它們可能是簡化的事物結構，讓兒童有探索環境及反思己身的機會。 (六)教育學家的觀點 Dewey：「遊戲在學校課程中佔有明確的地位，其目的在增進知識及充實社會行為，不是體力的消耗或片刻歡愉，缺乏遊戲活動之教育，是不能得到有效的學習」。遊戲是很好的活動教材，使學生參與有趣的學習。. 第二節遊戲的應用一、遊戲與教學王慧勤（1995）認為把數學遊戲運用在教學上，不但可以使教學遊戲化，以教具為玩具，更有吸引力；在教學效果上，更可以藉視覺、聽覺、觸覺、動覺等多重感官，來獲得知覺的概念。徐右任（2001）認為運用數學遊戲教學學童因為直接經驗的學習，即直接操弄教具、教材，對兒童較具吸引力。陳麗蓉（2002）認為數學的學習不應只侷限於數學知識、理論的內容，它的學習應該是更多面向的。饒見維(1996)認為人類喜歡遊戲，這是不容置疑的天性。身為教師的一員，我們不得不面對這個事實，並善用此種天性，而不是一昧地加以防堵與禁絕，如果上課就像遊戲，學生必定非常喜歡上課。數學遊戲教學必須具有下列四個主要特性：（一）適度的挑戰性在一個遊戲活動中，教師通常會設定某種思考的任務或目標，學生則必須設法運用自己既有的數學知能來達成該任務或目標。而目標若是具有一些條件限制， 10.

(19) 則此目標便具有挑戰性，學生可藉由克服這些含有挑戰性的目標來獲得成就感。（二）競賽性與合作性大多數的遊戲都具有某種競賽的成分，競賽往往能激起人類好勝的天性，增加活動的挑戰性與趣味性，及學生參與活動的動機與興趣。數學遊戲的競賽便是藉由達成任務的快慢，或完成某種數學答案的正確性與否，或完成某種數學成品的數量來決定勝負。（三）機遇性與趣味性遊戲的過程具有某種機遇的因素，造成遊戲的趣味性，讓人沈迷其中。（四）教育性良好的數學遊戲教學必須讓學生運用自己的數學知能來解題、精熟有關的數學技能，以達成教學目標。因此，數學遊戲教學的最大特性便是訓練學生的思考能力。研究者依上述特性，設計具有思考性、可操作性、有趣性的數學遊戲。二、遊戲與學習田尼式（Z.P. Dienes）根據皮亞傑學習心理學，建立了一套數學學習歷程的理論。他在「數學的營造」（Dienes，1981）一書中提出數學概念的建立可利用遊戲經過六個階段逐步完成。介紹如下（引自黃毅英，1997）：（一）自由玩耍（free play）：學習者被安排到一個經過預先設計的環境中，使他們接觸到特定的學習結構。（二）有規律遊戲（games）：學習者在上一階段受到環境刺激，對具數學結構的事件做出反應與適應，漸漸地他們發覺這些反應原來是有規律性的。（三）找尋共同結構（searching for communality）。（四）描述和圖示（representation）：上一階段成熟後，學習者可以用一些圖書或文字描述上面分類的策略。（五）符號化：（symbolization）：再進一步，開始以符號整理上述描述。（六）形式化（formalization）：上面符號的引入，自然不盡完美。此時可向學習者引入正式的符號，如 ^ ，此時數學概念已經建成。三、評鑑遊戲的準則（引自黃毅英，1997） 11.

(20) （一）學生清楚遊戲規則嗎？（二）學生是否需要大量時間學習遊戲規則？（三）遊戲規則是否會過於複雜以拖慢進度？（四）該遊戲是否會太幼稚或太高深？（五）是否每個學生都有平均的參與機會？（六）是否每個學生都可參與整個遊戲的進展（是否中途被淘汰）？（七）學生對遊戲感興趣嗎？（八）是否有引起紀律性的問題？（九）學生是否會因過於投入遊戲而忽略學習目的？（十）在整個遊戲的過程中數學部分是否有突顯出來？（十一）學生是否能達到數學認知目的？（十二）學生在經過遊戲後，數學表現是否有改進？（十三）不少數學思維方式與解難策略均不可用學生記得定理的數目來衡量。遊戲帶來的效益往往在於其過程中的經歷。. 第三節數學遊戲一、數學遊戲、數學遊戲目的與功能 (一)數學遊戲數學本身其實就是遊戲，兩者同樣具有相類似的元素及結構（鄭肇禎，1983）。 Harvey and Bright(1985)指出數學思考可以被視為用數學知識、技術、技巧來解決問題的思考方式；數學遊戲是指要用到數學思考才能獲得解決的遊戲。例如七巧板即為一個數學遊戲，參與遊戲者必須有基本的幾何概念、邏輯推理能力才能夠完成。每一次數學遊戲中所提供的數學經驗，讓學生在遊戲中解決問題，接受挑戰，並逐漸建構出數學概念、數學技巧、推理與思考策略。在數學領域中，如幾何圖形、拓樸學、邏輯學等理論中的奇幻及規則特質，都帶有遊戲的趣味性，才能引發歷代的數學家去探討那些看起來好像是消遣的東西，直到深入研究後才發現其具有令人意料之外的數學思想。因此大陸學者王右軍（2001）認為，遊戲精神是數學發展的主要動力之一，他更進一步指出遊戲對數學的發展有以下三方面的價值： 1. 遊戲是獲得數學內容的有效方法之一。遊戲使任何年齡的人都能透過具體的 12.

(21) 操作經驗去為將來的學習內容做準備。 2. 遊戲有利於數學思維的培養，從而使學生更深刻的理解數學的精神，並體認到數學不只是一門一成不變的課程，而是人類心靈的自由創造。 3. 遊戲可以培養正確的數學態度。遊戲是培養好奇心的有效方法之一，而好奇心又為探索數學現象的奧秘提供強大的動力，如果學生在上課時對數學沒有強烈的好奇心當做學習動機，那麼學習將是一個痛苦而緩慢的過程。愛因斯坦(1954)曾提及：要獲得最終的或邏輯的概念，就是玩一場結果不明的遊戲。遊戲不能代替所有數學概念的學習，但如果在正規嚴肅的教學之外，提供學生一些多元有趣的遊戲，那麼學習數學將會收到事半功倍的效果。數學遊戲對數學發展的影響就是數學遊戲激發了許多重要數學思想的產生。費氏數列 (Leonardo Fibonacci,1170~1240)兔子問題以小兔子生子作載體，使這個問題親切有趣，得以流傳至今。學者曹亮吉認為數學遊戲有以下的特色： 1.題目簡單易懂且有趣，答案有時也出人意表。 2.沒有一套系統性的方法。 3.看不出任何直接的應用。 4.沒有列入正規的課程。數學遊戲工作坊(2009) Greisy Winicki：數學遊戲是一種非常獨特的問題形式，對手輪流對奕掌握遊戲的所有資訊，在此過程中並沒有僥倖，唯一的目的就是為了要贏得遊戲，因此對參與遊戲的人而言，數學遊戲的目的就是要發現致勝的策略。崇德國小校長潘清富在其著作「數學遊戲在九年一貫課程中扮演的角色」中指出數學遊戲應該所包含的功能如下： 1、數學遊戲能引發學習興趣：在桔燥的數學演算過程中，偶爾來點花俏的活動，學生會感到新鮮有趣，對於教學至少不會產生排斥感。 2、數學遊戲能滿足好奇心：在千變萬化的數學遊戲裡，學生有如進入迪士尼世界中，處處充滿好奇與質疑，符合兒童的學習心理。 3、數學遊戲鼓勵探索與冒險：數學遊戲具有趣味性與挑戰性，會引發學生追根究底的良好學習態度。 4、數學遊戲具創造思考的精神：數學遊戲基本上是動腦的活動，帶領學生進入數學解題的境界，令其有無限揮灑空間。 5、數學遊戲豐富教材內容：數學遊戲可彌補教科書之不足，學生更可從中獲得趣味盎然的數學生命。 13.

(22) 二、數學遊戲的種類與對數學發展的影響數學遊戲是一種運用數學知識的大眾化娛樂活動。通常玩數學遊戲的人只需具備基本的數學能力就可參與。為了增加玩家的興趣，這些遊戲往往以比較複雜的形式呈現。數學遊戲遍佈世界各地，一種遊戲卻有不同的呈現方式。數學遊戲不但有趣，提高求知慾，還引發許多有用的數學。在發展歷程中，處處可見許多數學遊戲演變成數學名題的例子。例如：阿基米德的「群牛問題」及中國的「百雞問題」促進了不定方程理論的發展；哥尼斯堡七橋問題引起圖論的創立，並促成拓撲學的建立。一般來說，數學遊戲可分為九類，包括： (一)、代數遊戲代數遊戲一般包括以代數方程或代數方程組來求解的問題。例如在公元前 3 世紀，古希臘數學家阿基米德提出「群牛問題」涉及 8 個未知數不定方程組。到五、六世紀間，中國《張丘建算經》中記載的「百雞問題」涉及的三元不定方程式組。這些問題對促進代數的發展有很大的幫助。 (二)算術遊戲算術遊戲可分為兩種問題：一種是算數，另一種是運用算術知識解決的問題。用代數的方法求解的算術問題，可使問題更為簡化。數字間的有趣關係及各種不同的數學軼事等是常見的算術問題。例如對數碼 123456789 以不改變它的排列次序為原則，只加上運算符號和必要括號的方法，使它運算結果等於某數。配合文字來表達問題則是另一種算術遊戲。例如：三世紀古希臘數學家丟番圖逝世後，墓碑上刻著的詩歌碑文為提示年齡計算的線索。 (三)幾何遊戲典型的幾何遊戲如古希臘提出幾何作圖三大問題，及後人提出的直尺作圖問題、圓規作圖問題、定角圓規作圖問題、用相同形狀的圖形鋪滿整個平面問題等。另外由勾股定理設計出來的問題，如蓮花問題在許多國家都出現過。 (四)組合遊戲 13 世紀楊輝曾闡述過幻方，中國古代稱為縱橫圖，並使它在理論上得到很大的發展。另外，「抽屜原理」亦可構造出大量的有趣問題。人們對 19 世紀中提出的柯克曼女生問題的求解，使集合論得以不斷發展。 (五)數論遊戲 14.

(23) 由數論中的基本定理構造出來的數論遊戲能激發起人們學習數學的興趣。公元 3 世紀成書的《孫子算經》中記載了著名的「孫子問題」，由於題解的理論十分深奧曲折，吸引後人不斷研究。實際上，這是一次餘式問題。在 13 世紀由秦九韶發展成大衍求一術，這問題就被多種數學的專著加以延伸變化地採用。 (六)圖論遊戲 18 世紀提出的哥尼斯堡七橋問題為前身，被後人發展為郵遞員問題或周遊世界問題等式。這些都直接地促進了圖論的創立，並影響了網絡理論及拓樸學的建立。 (七)概率遊戲在 17 世紀中葉引起了人們對「合理分配賭注問題」的廣泛討論，其實早在 15 世紀末即被提出，後來成為概率論始創的基本問題之一，可見其影響甚為深遠。「比豐投針問題」出現於 18 世紀，不但開創了幾何概率的先河，也是最早用隨機數處理確定性數學的例證。 (八)分割遊戲分割遊戲的典範堪推中國古代流行的七巧板。在十八世紀末就有專著的論述，而在二十世紀之後，開始嚴格地在數學理論上進行探究，例如：在 1942 年，中國數學學者王福純和向全啟證明了七巧板最多可拼成 13 個不同的凸多邊形等。而在公元 3 世紀，劉徽證明勾股定理所用的「出入相補」原理也是分割遊戲的一種。 (九)博奕遊戲中國古代的「翻攤」(Nim)遊戲，便是博奕遊戲的一種，而「翻攤」遊戲可以再引出深奧的組合數學理論。另外還有各種的棋類遊戲等也屬於博奕遊戲，博奕遊戲也對人工智能的發展有莫大的影響。數學遊戲激發了許多重要數學思想的產生。中國的「易經」裡不同的占卦符號分佈及幻方的構造開啟組合分析。畢達哥拉斯學派用石塊的遊戲列出了數論中有趣的定理。概率論源起一個關於賭博分配賭金的遊戲。數學遊戲還為其他許多古老和新興的學科,例如概率論、博弈論、規劃論、組合數學、圖論、拓撲學、代數學等提供了素材,促進了這些學科的誕生和發展。許多還實際應用在實驗設計上，改善人類的生活，如1930年英國農學家利用正交拉丁方設計小麥實驗方案獲得成功。數學遊戲還促進了數學知識的傳播，它的有趣迷人，使得人們津津樂 15.

(24) 道，代代相傳。數學遊戲還是數學人才發現的有效途徑。數學發展史上許多數學家是由於解決了某個遊戲而發現自己具有數學潛能,從此放棄其他選擇而獻身數學。近代最有名的莫過於作家葛登能(Martin Gardner)，他在1957~1981年間，為「科學人」月刊上的“數學遊戲”專欄寫作，革命性地改變了休閒數學，影響力遍及全球，每2年有「為葛登能而聚」(G4G)的會議，是這個時代的模範。. 三、數學遊戲的設計原則與舉例數學遊戲的設計原則 (一)有趣(娛樂性高) 數學遊戲比一般傳統的數學內容吸引學生。人人都喜歡玩遊戲，在故事或玩具的包裝下，人們覺得有趣而玩得不亦樂乎。 (二)有數學性有助於發展學習者的推想力、分析力、歸納能力、整理能力。 (王方夫、王登傳) (三)有學習根據參與對象的程度，遊戲應有淺、中、難的差別，這樣參與者玩起來才有學習發生。 (四)可從具體引入抽象有的遊戲會提供實物操作或故事情境，玩幾次後，參與者會自己轉成符號思索致勝策略。 (五)具多向思考 16.

(25) 不同以往解數學題目的經驗，遊戲能刺激多元思考，破關的解法不只一種。 (六)可多方求解、具有挑戰性往往隱藏在遊戲中的是較高階的數學概念。 (七) 能長時間玩一般人認為玩遊戲不是正經事，在輕鬆愉快的氛圍下，人們會玩到欲罷不能。 (八) 能提升數學感度玩數學遊戲，在尋找破關或致勝策略時，便是用數學方法而不自知，無形之中提升自我的數學感。 (九)物美價廉多數的遊戲只要一枝筆和一張紙就可以玩，堪稱最便宜的遊戲。 (十)可做有系統歸納不限次數地玩，從經驗中歸納出規律。 (十一)有原創性每個遊戲，參與者可以修正遊戲規則，數學遊戲舉例 (一)”移棋子(硬幣)”遊戲取 3 枚白棋子和 3 枚黑旗子排成一列(如左下圖)。規定每次移動相鄰兩子，但不能變動兩子的先後順序，把它們移到同列的任何空位上，使它們排成黑白相間的一列(如右下圖)，該怎麼移？ ○○○●●●. ●○●○●○. (二)”拈子”遊戲將 12 個銅板排成三列，三列的個數分別為 3 個、4 個、5 個(如下圖)。兩人輪流取銅板，每人每次需在某一列取一枚或一枚以上的銅板，但不能同時在兩列 17.

(26) 取銅板，直到最後，將銅板拿光的人贏得此遊戲。 ○○○ ○○○○ ○○○○○. 第四節多方連塊遊戲簡介一、多方連塊「多方連塊」(Polyominoes)是一數學名詞，它是一些將數個單位正方形以邊相連接而成的幾何形狀。字首的數字指出這組形狀是由多少數量之正方形組成。連接的正方形數愈多，則同組的成員愈多。下圖指出 6 種不同規格的形狀，它們由單方塊到六方連塊，圖旁並附上個別的辨識字母。. 雙方連塊. 單方塊. “I”字型三方塊. (或多明諾). Monomino. 三方連塊 Triominoes (連接三個正方形──有 2 種形狀). (只有 1 種形. Domino. 狀). (只有 1 種形狀). L. “V”字型三方塊. N. O. T. I. 四方連塊 Tetrominoes(俄羅斯方塊，連接四個正方形──有 5 種形狀). 18. F P I. L. N. T.

(27) F P L. I. T. N. U. V. W. Y. X. Z. 五方連塊 Pentominoes(連接五個正方形──有 12 種形狀). 六方連塊 Hexomino. (連接六個正方形──有 35 種形狀). 多方連塊迷人之處是因為它須用驚人的技巧以成千上萬種不同的方法拼湊它。在 1920 年之前，數學家只探索六方連塊以下的情形，直到 1953 年，哈佛大學的年青數學家 Golomb 才給它正式的定義和命名，並把它當作數學俱樂部中消遣的研究。您不須是個數學家就能享受多方連塊組的千變萬化，很多美妙的結果是由業餘愛好者所發現的，他們之中有工程師、中小學生、甚至家庭主婦。 19.

(28) 多方連塊不僅是好玩的遊戲，它更與數學上的幾何學、組合學、圖論等有密切的關係，在驗證一些圖形是否能拼出時，我們更常用歸納法、反證法、抽屜原理、對偶原理等數學上的高等技巧。同時它在設計學、教育學、心理學上也有相當之應用。多方連塊的數學單方塊 1.邊長為 2.75 單位的正方形中，最多可放入多少片單方塊？以下二圖何者是可能的答案？邊長為 100000.1 單位的正方形，至多可放入多少個單位正方形，比 1000002 多幾個？0 個？10 個？100 個？1000 個？……Martin Gardner 在 1979 年撰文指出答案是不少於 6400 個。真是不可思議！請您想想他是怎麼作到的？. 雙方連塊. 圖(1). 圖(2). 2.在 8  8 的棋盤中分別挖去上圖(1)、(2)陰影部份之 2 小格，能否將 31 塊雙方連塊填滿其它空格？為什麼？這個問題曾被當作研究所入學考試題目。三方塊 3.在 8  8 的棋盤中任意挖去 1 小格，能否將 21 片 I 型三方連塊置入？ 4.三方連塊還有一個品種是 L 型。2 片 L 型的三方連塊可以拼成一個 2  3 的矩形，12 片 L 型可拼成一個正方形。能不能用奇數片的 L 形三方連塊拼成矩型？如果能，最少要多少片？能不能用奇數片的 L 型的三方連塊拼成正方形？最少要多片？ 20.

(29) 四方連塊 5.在 6  6 的棋盤中，最多可以分別放進 I、L、N、O、T 的四方連塊各多少片？為什麼？這個問題曾被選為初中數學競賽隊際賽的考題二、五方連塊的數學 1.在 8  8 的棋盤中，最少分別要挖去幾小格才能使得連一片 F、L、I、P、N、 T、U、V、W、X、Y、Z 都放不進去。 2.有關五方連塊最具挑戰性的一個問題是：用全部的 12 片五方塊拼成一個圖形，使它恰好可以不重疊地貼滿一個正六面體的表面。提示：下圖不是正確之解。目前已分別有中、小學生解出幾組不同的解。. 3.任二片 L 型五方連塊可以拼成 2  5 矩形，能不能用奇數片拼成矩形？如果能，最少要幾片？ 4.用奇數片 P 型五方連塊能拼成矩形嗎？最少要幾片？ 5.您能用 Y 型五方連塊拼出 5 10，1016，10 24，15 16，15 22，15 24 ， 20 22 ， 22 25 的矩形嗎？您還能拼出其它的矩形嗎？ 6.六方連塊有 35 片不同的形狀，它的總面積是 210，可以拼成 7  30，10 21 ， 14 15等矩形嗎？再加上全部的五方連塊(面積 60)，總面積成為 270，可以拼成 18 15 的矩形。您能： (1)將五方連塊聚在一起嗎？ (2)用五方連塊把六方連塊隔開成為 2 塊矩形嗎？. 21.

(30) (3)將五方連塊排成對稱的圖案嗎？ (4)使每片五方連塊都與矩形的邊緣相連接嗎？ (5)使每片五方連塊都互不相連接嗎？ 7.利用 12 片五方連塊分別拼排成 A~Z 這 26 個英文字母。 8.五方連塊對，就是 2 片五方連塊如果要求至少有 2 個單位的邊長相連接拼成線對稱圖形稱之，有幾種不同的方式？ 9.可以放入 12 片五方連塊中任一片的最小面積為多少單位？ 10.利用兩兩(或三三、或四四、或五五、或六六)一組拼成一些全等圖形，有哪些拼法？ 11.加倍後的五方連塊可用 4 片相異五方連塊重拚它，怎麼拼排？那些加倍後的五方連塊，不能用 4 片相異五方連塊重拚它？ 12.放大 3 倍後的五方連塊可用 9 片相異五方連塊重拚它，並且不能用這片被當作模型放大的五方連塊，怎麼拼排？ 13.利用 12 片五方連塊，如何拼成 3×20、4×15、5×12、6×10 的矩形。 14.將 8×8 的正方形，挖去 4 個平方單位的洞，利用 12 片五方連塊拼成，這些洞可以怎麼挖？又該如何拼排？ 15.利用 12 片五方連塊拼成 5×12 的矩形有很多方法。試試看下列的情形： (1)使得任 1 片五方連塊都不再內部(被完全包圍)。 (2)使得恰有 4 片被完全包圍。 (3)使得它是由 2 個小矩形合併而成。(3×5、9×5；5×5、7×5；6×5、6×5)。 (4)使得它可被分割成 2 個全等的部分，非 2 個矩形。 (5)拼出所有情形，要求 U 和其它的任 1 片配對再一起。 (6)使得 I 被排在最終端。 (7)使得它有最長的連續的接縫(片和片中間的線)。. 16.雙人遊戲。用 11×11 的方格及 12 片五方連塊，兩人輪流選取 1 片放到 11×11 的方格中，放入時五方連塊的任一個邊不可與其它的五方連塊相連接，頂點部分可相交也可不相交，無法放入剩下的任一片五方連塊者輸。 22.

(31) 17. 每次增加 1 片五方連塊，拼成逐漸加大的矩形。由 3 片開始，拼成 3×5 的矩形，再加入一片新的，拼成 4×5 的矩形，以此類推。三、五方連塊證明以拼排成 3×5 的矩形為例。窮舉法：首先，將無法和其它 2 片五方連塊拼成 3×5 的矩形的五方連塊剔除，包括：I、W、X、Z。接著，利用可和長寬緊連的五方連塊，考慮它在 3×5 的矩形的所有排放情形，再列表窮盡所有可能，找出拼排成 3×5 的矩形的方法，扣除旋轉、鏡射、翻轉之情況共 7 種。. 線代數論法：將五方連塊 F 放在直角坐標平面上(如圖)。假設組成五方連塊的正方形邊長為 1，五方連塊 F 的形狀以黑線圍起來，F 可以用藍線代表，藍線的端點或交點坐標，可以寫成如上的矩陣，這個矩陣代表 F。如果我們在直角坐標平面上 23.

(32) 移動五方連塊 F，代表 F 的矩陣也會跟著改變，然而我們可以透過矩陣的運算得到這些新矩陣。例如，加上右邊這個矩陣相當於將五方連塊 F 往右移 a 單位，往上移 b 單位。在右邊乘以下列矩陣可視為將五方連塊 F 做如敘述的移動： (註:Word 中的矩陣若需要空格要按 Ctrl+Shift+空白鍵). 1 0 0 1 沒有移動  .   1 0  0 1  對 y 軸鏡射  . 0  1 1 0  順時針旋轉 90 度  . 1 0  0 1 對 x 軸鏡射  .   1 0  0  1  順時針旋轉 180 度    0 1  1 0 順時針旋轉 270 度  . 0 1 1 0 對直線 y = x 鏡射    0  1  1 0 對直線 y = ‒x 鏡射  . 以下這些矩陣都代表五方連塊 F 的位置，但利用矩陣來表示五方連塊 F 並不容易辨識，所以我們的目標是要找出某數或某數對來表示。. 如何影響代表五方連塊 F 的這些矩陣？將五方連塊 F 往右移 a 單位，往上移 b 單位，我們將兩個矩陣相加會得到新位置的矩陣。. 24.

(33) 再來，分別將原矩陣和新矩陣的行中各數相加，會得到兩個向量。我們將這兩個向量中的各分量除以 5 後所得餘數寫下，會得到同一個向量(0,1)。我們將向量(0,1)稱為五方連塊 F 的模數。那麼將五方連塊 F 鏡射或旋轉後，模數會發生什麼變化？既然向量乘以矩陣是線性的，那麼模數就直接乘以矩陣。舉例五方連塊 F 的位置變化和模數的改變來說: 原位置矩陣. a1 a  2 a3   a4 a5 . 對 y 軸鏡射. b1  b2    1 0 b3     0 1  b4  b5 . =. (a,b). 新位置矩陣.  a1  a  2  a3    a4  a5 . b1  b2  b3   b4  b5 . (‒a,b). 5. 5. 1. 1. 其中  ai  5k  a ，   ai  5k  a ，故原模數為(a,b)，新模數為(‒a,b).   1 0 又 (a,b)   =(  a,b) 0 1  所以將原模數分別乘以上面的 8 個矩陣，就能得到鏡射或旋轉後的五方連塊 F 的模數。這些模數有什麼用？可以用來判斷一個圖形可否利用某些五方連塊拼排而成。再來，下兩頁證明五方連塊 P 模數的所有可能，亦可將它的位置一般化後取模數得到一樣的結果，如下。 (x,y+2). (x+1,y+2). (x,y+1). (x+1,y+1). (x,y) 模數(2,1) 以此類推。. 模數(1,3). 25. 模數(3,4). 模數(4,2).

(34) 26.

(35) 這些五方連塊的模數可分成 6 類： (一) I、X、Z 這類的模數是(0,0) (二) F 這類的模數是(0,1)、(0,4)、(1,0)、(4,0) (三) T、U 這類的模數是(0,2)、(0,3)、(2,0)、(3,0) (四) W、L 這類的模數是(1,1)、(1,4)、(4,1)、(4,4) 27.

(36) (五) Y、P 這類的模數是(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,4)、(3,1)、(3,4)、(4,2)、(4,3) (六) V、N 這類的模數是(2,2)、(2,3)、(3,2)、(3,3) 證明五方連塊 L、N、V 可以拼排成 3×5 的矩形。 3×5 的矩形的模數為(0,0)。. (x,y+4). (x+1,y+4). (x+2,y+4). (x,y+3). (x+1,y+3). (x+2,y+3). (x,y+2). (x+1,y+2). (x+2,y+2). (x,y+1). (x+1,y+1). (x+2,y+1). (x,y). (x+1,y). (x+2,y). (1,1) + (2,2) + (2,2) = (0,0) L+ N + V 四、多方連塊的其他玩法雖然前人已經做了許多研究，但有創意依然可以讓舊遊戲激發出新的火花，下列這款德國桌上遊戲 Blokus 就是證明。. 28.

(37) 遊戲人數:1~4 人，遊戲時間:約 20~30 分鐘，遊戲設備:4 套多方連塊(每套有單方塊到五方連塊共 21 片)及一塊 20×20 的棋盤。這是款頗受好評的遊戲。每個玩家都有一組形狀相同但顏色不同的多方連塊，玩家要想辦法把手上的多方連塊都拼出去，並且想辦法卡住對手讓他不達成目的。遊戲規則如下: 1.每位玩家一開始時所放的多方連塊必須有一角和棋盤角落相鄰。 2.輪流放一個多方連塊到棋盤上，除了第一次以外，放的每一塊多方連塊的頂點都必須和自己已經放在棋盤上的多方連的頂點相碰，但邊不可以相連接。 3.若輪到某玩家，他卻無法完成 2 的要求時，該玩家出局。 4.若有玩家將自己的多方連塊全出完，或是只剩一人留存場上其他人都出局時，遊戲結束。 5.這時玩家手上的多方連塊共有"面積幾單位"就扣幾分，例如:手上只剩 W 時要扣 5 分。遊戲口訣:自己(同一顏色)只能尖尖碰尖尖，和別人(其他顏色)才可以邊碰邊。這是款容易上手且耐玩的遊戲，得過 2002 年德國年度遊戲冠軍評審團獎入圍、2003 年最佳動腦獎 Mensa Select，規則簡單，而實際玩過後就能感受到它的益智有趣。. 29.

(38) 第三章五方連塊之拼圖遊戲設計研究者是如何想到設計這些遊戲呢？平時的教學進度無法容許學生玩其他的數學遊戲，所以想利用社團開一門數學遊戲來實施。而每週社團課時間兩間電腦教室由上資訊課的班級使用，所以決定讓學生玩紙本遊戲。一般紙本遊戲只要筆和紙就可以進行，學生少有動手操作的經驗。所以研究者想發展幾何拼圖類的遊戲，要學生實際動手、動腦思考。除了一般熟悉的七巧板、四巧板，還有哪些呢？開始去查相關資料，找到了一本有趣的專書，由九章出版的多方塊，拜讀此書之後，發現五方連塊非常有趣，雖然遊戲類型多為拼圖問題，但居然也發展不少的雙人遊戲。使研究者想要將一些改編成適合國中生玩的數學遊戲，期待他們有所收穫。如果要編寫成適合國中生的遊戲，必須掌握四個主要特性(1)適度的挑戰性：學生能運用自己既有的數學知能來達成該遊戲的任務或目標(2)競賽性與合作性：競賽往往能激起人類好勝的天性，增加學生參與遊戲的動機與興趣；合作則是學生在團體裡必須和其他同學合作，共同對抗別的團體(3)機遇性與趣味性：遊戲的過程因具有某種機遇的因素，造成遊戲的趣味性(4)教育性：優良的遊戲必須兼具教育性，即好的遊戲要能幫助學生養成數學的概念，讓學生運用數學的知能，或讓學生精熟數學的技能，以不著痕跡的方式達成教學目標。饒見維（1996）此外，遊戲規則要簡單易懂，遊戲內容要和國中數學有所關聯。. 訂定研究計畫. 初步文獻探討. 找研究主題. 遊戲研擬撰寫研究報告. 線上測試資料整理. 前導研究、教學實施收集回饋資料、教學觀察發現資料整理、遊戲檢討修正. 圖 3.1:研究流程 30.

(39) 第一節過七關斬五方連塊遊戲每個五方連塊的面積為 5，所以要拼成 3×5 的矩形需要 3 個五方連塊。首先，究竟有沒有解？若將同樣的 3 片拼排成 3×5 的矩形得到的解答視為同一解。因此，拼成 3×5 的矩形有 7 個解。12 片五方連塊任取 3 塊來拼排有 C312 種方法，要一般的國中生去找這 7 個解不容易，如果要他們證明只有這 7 個解就更難了。第一次研究者在課堂上介紹多方連塊給學生，要他們畫出 12 種五方連塊並命名，頭腦靈活的小孩一下子就全找齊了，詢問之下，其中有一些人有玩過五方連塊拼排成 5×12 的長方形的經驗。研究者又繼續提問：「取 3 片五方連塊拼排成 3×5 的矩形有 7 個解，你能找出幾種？」一個班 30 幾個腦袋，通力合作，一下子就找到了。研究者就繼續下一個活動，要他們在方格紙上畫出 5 個相異的五方連塊拼排成 5×5 正方形的情形，每個人都能找到許多解；但反過來，如果先給定 5 片五方連塊，再要求學生拼排成 5×5 正方形，難度就會提高，學生要花許多時間才能拼排出來。由此可知，遊戲的玩法會影響到遊戲的難易。恰巧段考後到永吉國中參加群組研習，群組裡的各國中報告各學校努力方向與重點，信義國中的老師提到一款桌上遊戲，由大陸製造，一盒有 4 份的多方連塊。研究者想說要給學生玩玩其他相關五方連塊的遊戲，一定要動手操作，就買了幾盒來借給學生使用，每人一副 12 片五方連塊。給學生玩逐步擴張遊戲，利用 12 片五方連塊依下列步驟，每次加 1 片，在方格紙上分別逐步拼成長方形!NPU 加 Y 得 4×5 長方形，加 V 得 5×5 長方形，加 L 得 6×5 長方形，加 F 得 7×5 長方形，加 X 得 8×5 長方形，加 T 得 9×5 長方形，加 W 得 10×5 長方形，加 I 得 11×5 長方形，加 Z 得 12×5 長方形。(圖 3.2 由左而右，由上而下)完成後記錄結果於方格紙上，有個女學生在一堂課的時間內，拼排至 9×5 長方形。但多數學生停留在 5×5 長方形。. 31.

(40) 圖 3.2:市售塑膠五方連塊拼板之後又給學生利用 12 片五方連塊拼排成藝術字 A，約有 3 個人在一堂課內完成；另一次是給學生利用 12 片五方連塊拼排成藝術字 H，同樣地約有 3 個人在一堂課內完成。但多數人無法完成任務，沮喪清楚地寫在臉上，第二次有些人就顯得興趣缺缺，不如第一次熱烈。再來給學生連續玩了 3 周鬥牛遊戲，規則是兩人猜拳決定誰先行。共用 12 片五方連塊，輪流選取 1 片，並將它置入 11X11 的棋盤中，放入時五方連塊的任何一個邊不可與其它的五方連塊相連接，但容許 (非必須)頂點部分相交，無法放入剩下的任何 1 片者輸。遊戲過程中，利用換座位的方式，讓每位學生可以和不同的對手較量，學生們都很專注地思考。雙人遊戲的優點是增加互動、提高競爭壓力，若兩人實力懸殊時，贏的人獲得極大的成就感，但相對地，輸的人挫折感很重，就更不喜歡數學了！剛開始給學生使用的 12 片五方連塊皆為同一顏色的塑膠片，操作過程中難以辨識，對破解遊戲是一種障礙，故 12 片五方連塊應該要不同顏色。和專家討論後，吸引人的遊戲應為遊戲時間約 3~5 分鐘，由淺至深，能讓學生成功，他們才會想要往下深究。既然有了方向，從取 3 片五方連塊拼成 3×5 的矩形有 7 組解開始發想，將它設計為過七關。 7 組解分別為 FPU、NPU、PUV、LPV、LTY、PUY、LNV(詳解圖在第四章)。根 32.

(41) 據給學生找這些解的經驗，依上述的次序,逐步增加各關片數，FPU、NPU、PTUV、 LPTV、LNPTY、PTUWYZ、FLNUVYZ，設計為 7 關。以設計第 3 關為例，第 3 關一定有 PUV 這 3 片五方連塊，其他 FPU、NPU、LPV、LTY、PUY、LNV 這 6 組解中和 PUV 有關的 F、N、L、Y 要剔除；I 也要剔除，它太簡單了；剩下 T、W、X、Z 挑一片加入成為第 3 關，其中 W、X、Z 較簡單，所以加入 T。其他關以此類推。設計過 P T ○ U ○ V W X Y Z，將解答圈起來，程列出 12 片五方連塊的名稱，F I L N ○ 剔除不要的之後產出一關。將 7 關設計成過七關斬五方連塊遊戲的學習單後，先請學生試玩，反應不錯。再請人製成 flash 遊戲放到部落格上，供學生下載試玩。第一次看到自己設計的遊戲寫成 flash 遊戲，覺得好感動。適逢段考後，請我的八年級導師班學生試玩。當時我收到的是 rar 的格式，我上傳到部落格後，請學生下載遊戲前還必須請他們先去下載 7-zip 才能解壓縮。37 人試玩後，破關快的學生約 5、6 分鐘玩完，但也有人到下課都還沒破關成功。學生玩遊戲的過程中，有些人因為不明遊戲操作規則卡關，有些人則是卡關先玩下一關。另外，學生破某關後應該要讓人一目了然，所以再請人修正。試玩結果和專家討論後，為了顧及所有程度學生，已設計好的為進階版，將它再修改成另一初階版，各關卡次序不盡相同。參酌試玩結果，關卡的難度與是否會被圖形誘騙、是否清楚操作規則、五方連塊片數多寡有關，故減少各關卡片數修改成初階版。初階版的七關分別為 FPU、NPU、PUV、LNTY、PTUY、FNVY、LPTVZ。另一方面，破關快的學生期望的是各關應該再難一點，研究者採納建議，更新各關次序，增加各關卡的片數修改成為”關關難過關關過遊戲”。各關內容分別為 PTUVWXZ、LPUWXYZ、FLPTVWZ、FLPTUWX、LNPTUXZ、FLNUVYZ。段考後，請現為九年級的學生試玩”關關難過關關過遊戲”。到興雅國中首頁, 教師部落格第 2 頁,數學萬歲部落格中下載。. 33.

(42) 圖 3.3: 關關難過關關過遊戲. 第二節巧拼線對稱遊戲從”多方塊 POLYOMINOES 多方塊的數學問題、拼圖謎題與遊戲”這本書裡看到五方連塊對，就是 2 片五方連塊如果要求至少有 2 個單位的邊長相連接，則它有 52 種不同的方式拼成線對稱圖形。這本小書的迷人之處就是它都不提供解答，鼓勵讀者自己去找尋答案。因為 12 片五方連塊任取 2 塊有 C212  66 種方法，居然有 52 種可以拼成線對稱圖形，真是太神奇了！研究者感到非常有趣，就著手找這些線對稱圖形。結果沒有想像中的簡單，研究者耗費多時才找齊。和專家分享這些有趣的五方連塊對，討論將它們轉換成另一個遊戲。剛開始的點子諸如: (1)利用 2 片五方連塊排成多種線對稱圖形(2)同一線對稱圖形是由哪些五方連塊對拼排而成(3)利用兩組 4 片五方連塊對分別排成兩種線對稱圖形 (4)利用六組 12 片五方連塊對，分別排成六種線對稱圖形(5)從 12 片五方連塊拼排成的 5×12 矩形中找出 5 組線對稱的五方連塊對。反覆思索後，第一節的遊戲是不同的五方連塊去拼排固定的 3×5 的矩形，這次的點子就利用固定的 6 片五方連塊來拼排不同種類的線對稱圖形。 52 種五方連塊對有 FL、FN、FP1、FP2、FT、FW1、FW2、FX、FY、FZ1、FZ2、 IL、IT、IU1、IU2、IU3、LP、LU、LW、LY1、LY2、LZ1、LZ2、NP1、NP2、NV1、 34.

(43) NV2、NV3、NW、NY1、NY2、NZ、PT、PV、PW、PY1、PY2、PY3、TU1、TU2、TU3、 TV、TY1、TY2、TZ、UX、UY、VW1、VW2、VX1、VX2、WX(詳解圖在第四章)，其中 FP1、FP2 表示 FP 這 2 片五方連塊有 2 種拼成線對稱圖形的方法，以下內容以 FP(2) 表示。先分析 12 片五方連塊在這 52 種中出現的情形，如表 3.1。首先，考慮 3 組有多種拼排成線對稱圖形的五方連塊對，同時考慮各組間的五方連塊是否有其他重組拼成線對稱圖形的方法。根據表 3.1，先挑選一些來試試。決定挑選 FP(2)、NV(3)、TY(2)這 3 對，彼此間的新組合以綠體字標示。再來，利用方格紙將這些情形畫下來後，用剪刀剪下來拼排，在方格紙上記錄任三對拼排成的線對稱圖形，挑選其中 6 個線對稱圖形成為六個回合，命名為”巧拼線對稱遊戲”(A 版)。表 3.1: 52 種五方連塊對 F. I. L. N. P. T. U. V. W. X. Y. Z F I. FL. IL. L. FN. N LP. FP(2). FT. IT IU(3). FW(2). P. NP(2). PT LU. LW. NV(3). PV. NW. PW. T TU(3). U. TV. V. FX. UX. FY. LY(2). NY(2). FZ(2). LZ(2). NZ. PY(3). W. VW(2). TY(2). UY. TZ. VX(2). WX. X Y Z. 35.

(44) 圖 3.4:巧拼線對稱遊戲 A 版設計草稿另外，考慮 3 組能有多種拼排成線對稱圖形的五方連塊對，且它們的邊垂直或平行對稱軸，這裡選用的是 FW(2)、LY(2)、NV(2)這 3 組。在方格紙上記錄任三對拼排成的線對稱圖形，挑選其中 6 個線對稱圖形成為六個回合，命名為”巧拼線對稱遊戲”(B 版)。. 圖 3.5:巧拼線對稱遊戲 B 版設計草稿 36.

(45) 將 A、B 版設計成巧拼線對稱遊戲(A 版、B 版)的學習單後，給學生試玩，同時請人製成 flash 遊戲後，再先請兩、三個八年級學生試玩 B 版。其中一位學生試玩，費時將近一節課才完成，其餘兩位試玩 B 版分別費時約 10 分鐘和 8 分鐘。和專家討論後，再將 6 片改成 5 片，降低難度，修改成為巧拼線對稱遊戲 C 版。利用 5 片五方連塊拼排成線對稱圖形。先考慮 12 片五方連塊中本身就是線對稱圖形，包括 I、T、U、V、W、X 這 6 片，又 IU(3)、TU(3)它們的邊垂直或平行對稱軸，而 FW(2)、FZ(2)、LY(2)、NY(2)它們的邊也是垂直或平行對稱軸，故取 I、U、T、F、W 這五片拼排成的線對稱圖形，挑選其中 5 個線對稱圖形成為 5 個回合，即為巧拼線對稱遊戲 C 版。. 圖 3.6:巧拼線對稱遊戲 C 版設計草稿段考後，請現為九年級的學生試玩”巧拼線對稱遊戲 A 版、B 版、C 版”。到興雅國中首頁,教師部落格第 2 頁,數學萬歲部落格中下載。. 37.

(46) 圖 3.7:巧拼線對稱遊戲. 第三節紙本測試與線上測試一、紙本測試研究者寫成遊戲學習單後(在第四章)，利用數學遊戲社團實施。為了節省資源，原來的學習單均以 A4 紙張為底，但實施時將它印成 B5 或 B4 使用。從創造五方連塊遊戲、製作五方連塊遊戲，到過七關斬五方連塊遊戲、巧拼線對稱遊戲 (A 版、B 版)等等。讓學生認識多方連塊，自己畫出五方連塊，自己製作五方連塊。過程中，有的學生反應看不懂製作五方連塊的參考流程圖，這個情形使研究者想到國內教育可以加強這部分。生活中最常見的就是買回簡單的家具 DIY，消費者照圖操作，要看懂組裝流程才能做出成品。有動腦思考的學生只是參考提供的圖，不但做得好也做得精美。學生利用自己做的五方連塊玩過七關斬五方連塊遊戲，如圖 3.8、圖 3.9。. 38.

(47) 圖 3.8:過七關斬五方連塊遊戲(初階版). 39.

(48) 圖 3.9:過七關斬五方連塊遊戲(進階版) 學生利用自己做的五方連塊玩巧拼線對稱遊戲(A 版、B 版)，提供每位學生一張 B4 方格紙協助拼排圖形，圖 3.10、圖 3.11。. 40.

(49) 圖 3.10:巧拼線對稱遊戲 A 版. 41.

(50) 圖 3.11:巧拼線對稱遊戲 B 版. 42.

(51) 二、線上測試 (一)放到網路上供下載製成 Flash 遊戲後，跟 Dropbox 申請空間，放在 Public 資料夾。接下來，建立超連結到個人的部落格，作法如下：首先，登入部落格，準備撰寫日誌，包括前言、遊戲介面、遊戲規則、超連結。前言由複製學習單的前言貼上，遊戲介面則是先上網下載 ScreenHunter 6.0 Free 軟體，第一次開啟 ScreenHunter 6.0 Free 視窗按下中央上方的圓圈中的 Capture Now，試拍一張，出現十字形雙直線在左上角按住滑鼠拖曳到右下角放手，按 Close 關閉視窗，照片就拍好放在桌面上。再來利用 ScreenHunter 6.0 Free 在 Flash 遊戲版面上按下快速鍵 F6 後，出現十字形雙直線在左上角按住滑鼠拖曳到右下角放手，按 Close 關閉視窗，照片就拍好放在桌面上。上傳照片到部落格，介紹遊戲。接著，貼上滑鼠操作規則。最後，建立超連結讓學生可以下載遊戲，以巧拼線對稱遊戲 A 版舉例說明，在撰寫日誌的頁面上，點選 HTML 鈕(紅色圈圈處)，如圖 3.12，. 圖 3.12:撰寫日誌版面開啟 HTML 碼編輯器視窗，在上面打上 Blog 連結語法”<a href=連結網址> 連結說明</a>”字樣，如圖 3.13，. 43.

(52) 圖 3.13: HTML 碼編輯器視窗其中連結網址要到 Dropbox 上抓，在 Dropbox 的 Public 資料夾裡的巧拼線對稱遊戲 A.exe 上按右鍵，點 Copy public link。在 Copy public link 視窗點選右上角 Shorten link(縮短連結網址)，如圖 3.14，. 圖 3.14: Dropbox 之 Copy public link 視窗(縮短連結前). 44.

(53) 圖 3.15: Dropbox 之 Copy public link 視窗(縮短連結後) 按 Copy to clipboard 鈕(複製到剪貼板)，如圖 3.15，回到 HTML 碼編輯器視窗，在”<a href=連結網址>連結說明</a>”中將連結網址改貼上超連結網址，如圖 3.16，. 圖 3.16: HTML 碼編輯器視窗(貼上連結網址) 連結說明更換成巧拼線對稱遊戲 A 版，按下更新鈕完成，如圖 3.17。先自 45.

(54) 己試玩一次，按下巧拼線對稱遊戲 A 版超連結，按執行鈕，出現”___A.exe 不常被下載，而且可能會危害您的電腦”對話框，按動作鈕，點仍要執行(若沒有看到” 仍要執行”，請先點選項)，試玩後，大功告成。. 圖 3.17: HTML 碼編輯器視窗(左下角更新鈕) (二)五方連塊拼圖遊戲規則 1、每個關卡都有若干個五方連塊，擺放於要拼排的圖形外面。 2、每個五方連塊都可以各自旋轉、翻轉及拖曳移動。將滑鼠放在欲操縱的五方連塊上，快速點擊滑鼠左鍵兩次，即可順時針旋轉該方塊90度；滾動滑鼠滾輪即可對該方塊做翻轉；點選滑鼠左鍵一次並按住不放，就可拖曳該方塊到要擺放的位置，放開滑鼠後就會自動貼合到格子點位置。 3、若成功將正確的五方連塊擺放於要求的圖形內，又沒有互相重疊的情況下，面板上將會立即出現過關煙火圖案，並且在該關卡上打勾表示此關已經破關成功。. 46.