电工学（多学时） - 万水书苑-出版资源网

本章首先简述正弦交流电的三要素与相位差，阐述正弦交流电的相量表示 法和单一参数元件的相量模型；重点介绍阻抗的概念和正弦交流电路的一般分 析方法；最后引出平均功率、无功功率、视在功率的定义、计算和提高功率因 数的方法。

2.1

正弦量的三要素

交流（alternating current，AC）电，一般指大小和方向随时间作周期性变化 的电动势、电压和电流。与直流电相比，由于交流发电设备构造更为简单、可以 采用变压器升压输送和降压使用等优点，因此在日常生活和工业生产中得到了广 泛的应用。 交流电的变化规律有着许多波形，例如正弦波、三角波、矩形波等，其波形 如图 2-1 所示，它们的共同点是电压或电流的大小和方向都随时间作周期性变化。 图 2-1 交流电波形图 相对于其它波形的交流电来说，正弦交流电变化平滑，在使用中更有利于保 护电器设备，应用最为广泛。人们在生活中使用的市电就是正弦交流电。 由高等数学知识可知，各种非正弦交流电一般经傅里叶级数分解后，都可分 解成不同频率的正弦交流电的叠加。因此，对非正弦交流电或电子线路中各种信

号的分析，实际上都可用正弦交流电的分析方法来分析。 随时间按正弦规律变化的电动势、电压或电流，统称为正弦量（sinusoidal quantities）。对正弦交流电的数学描述，可以采用正弦函数，也可以用余弦函数， 在本教材中统一用正弦函数来描述正弦交流电。以电流正弦量为例，采用正弦函 数描述的瞬时值表达式为： msin( i) iI t 其波形如图 2-2 所示。 图 2-2 电流正弦量及其波形

其中，Im为幅值（amplitude），ω 为角频率（angular frequency），θi为初相位

（initial phase）。正弦量在任一瞬时的值完全取决于幅值、角频率和初相位，因此 把这 3 个量称为正弦量的三要素。 在书写时必须注意，电流和电压的幅值用大写字母加下标 m 的 Im和 Um表示， 而电流和电压的瞬时值用小写字母 i、u 表示。 2.1.1 幅值与有效值 幅值是正弦交流电在变化过程中所能达到的最大值。 由于正弦量的瞬时值是随时间而变化的数值，而幅值也只是表示一点的值， 因此，用瞬时值和幅值表示交流电没有实际意义。一般在实际使用中常采用有 效值（effective value）来度量交流电的大小。 在图 2-3 中，将相同的电阻 R 上分别通以直流电流 I 和交流电流 i，如果它们 在相同时间内电阻上所消耗的电能相等，则把该直流电流 I 作为交流电流 i 的有 效值。 图 2-3 交流电有效值的规定 可以证明，正弦交流电的有效值和幅值之间满足： m 2 1.414 m 2 1.414 U  U  U，I  I I

需要注意的是：交流电压表、电流表测量的数据均为有效值，交流设备铭牌 上标注的电压、电流也是有效值，如用于电动机动力的 380V 电源和用于照明电 路的 220V 电源，指的都是有效值。有效值用大写字母（U、I）表示。 在电子电路中，对于正弦交流信号来说，除了采用有效值之外，还经常采用 峰峰值来描述信号值变化范围的大小。峰峰值（peak-peak value）是指一个周期内 信号最大值和最小值之间的差。电压峰峰值用 Upp表示： Upp= Um – (–Um)=2Um = 2 2 U 例 2-1 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上？ 解：220V 的线路上的 220V 指的是电压有效值，其幅值为 m 2 1.414 220 311V U  U   由于线路的电压幅值大于电器的耐压值 300V，故该电器不能用于 220V 的线 路上。 【思考与讨论】 周期性变化的非正弦交流电的幅值和有效值也满足U_m  2U吗？ 2.1.2 角频率 角频率表示每秒内所变化的弧度，单位为弧度/秒（rad/s）。角频率也经常用 频率 f 表示，其单位为赫兹（Hz）。 因为一个周期交流电变化 2π 弧度，所以角频率 ω 与周期 T 和频率 f 的关 系为： 2π 2πf T   在实际应用中，我国和欧洲一些国家电力系统所用的频率 f 标准为 50Hz，称 为工频，而美国和日本等国家其标准频率为 60Hz。在其他技术领域内会使用各种 不同的频率，例如，电子技术中常用的有线通信频率为 300Hz～5kHz；无线电工 程上用的频率则可高达 104 ～30×1010 Hz。 2.1.3 初相位 正弦量表达式iI_msin(t_i)中的t_i称为相位，表示正弦量变化的进 程。_i称为初相位，表示t 0时刻的相位，决定了正弦量的初始值。显然，正弦 量的初相位不同，其初始值也不同。相位和初相位的单位为弧度（rad），也可用 角度表示。初相位规定 ≤π _i（_u）≤ 。 π 在正弦交流电路中，由于电容、电感等储能元件的存在，使电路中同频率正

弦量的相位常常并不相同，而相位的不同又影响到电路性质及其功率的分析等。 因此，与直流电路的分析不同，在交流电路分析中必须要考虑正弦量的相位差 （phase difference）。 两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用表示。在交流电路分析计算 中，应用最多的是电压与电流相位差。 设同频率的正弦电压 u 和正弦电流 i 分别为： msin( u) uU t msin( i) iI t 则电压与电流的相位差为： u i u i ( t ) ( t )         即两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差。相位差有图 2-4（a）、（b）、 （c）、（d）、（e）共 5 种情况。 图 2-4 两个同频率电压与电流正弦量的相位差 需要注意的是：相位差只对同频率正弦量才有意义，因为只有同频率正弦量 的相位差是恒定的，能够确定超前、滞后的关系，而不同频率正弦量的相位差是 随时间变化的，无法确定超前、滞后的关系，不能进行相位的比较。同时，相位 差不得超过180°。 例 2-2 已知： 220 2 sin( 235 ) u t  V，

10 2 sin( 45 ) i t  A， 求 u 和 i 的初相及两者间的相位关系。 解 ：u220 2 sin(t235 )V 220 2 sin(t125 )V ， 电 压 u 初相 位 为 125   ； 10 2 sin( 45 )A i t  ，电流 i 初相位为45。 电压与电流相位差： u i 125 45 170 0            表明电压 u 滞后于电流 i 170°。 另外，对于分别采用余弦函数和正弦函数表示的正弦量，必须先转化为相同 的函数形式，才能求二者的相位差。如两个同频率正弦电流：i15sin(ωt  90°)A，

i210cos(ωt+60°)A。要求 i1 与 i2 的相位差，可首先将 i2 用正弦函数表示，即 i2  10cos(ωt+60°)A 10sin(ωt+150°)A ， 再 求 其 相 位 差 为_i1_i2 150  ( 90 )   240 。由于 φ > 180°，故 φ = 240°  360° =  120°。

2.2

相量法

【问题引导】在正弦交流电路中，能否直接采用幅值或有效值来进行分析和 计算？ 在图 2-5 中，已知电流 i1、i2的瞬时值表达式为： 1 m1sin( 1) i I t 2 m2sin( 2) i I t 求 i3的瞬时值表达式。 假设 i3的瞬时值表达式为i₃I_m3sin(t₃)，因此求 i3 的关键在于求出 Im3和3。显然，对于图中的结点，电流瞬时值满足基尔霍夫电流 定律，即i₁i₂ i₃。但直接利用这个式子求出 Im3和3牵涉到非常麻烦的三角函 数运算。也就是说，用三角函数或波形图虽可以表示正弦量，但对它们进行四则 运算相当麻烦，更不用说交流电路中有时还涉及到积分和微分运算。 对于按正弦规律变化的电流、电压，还可以用相量（phasor）表示。所谓相 量，实际是一个复数，只是这个复数用于表示正弦量。用复数表示正弦量后，正 弦量的运算就可以转化为复数运算，从而避免了复杂的三角函数运算。 复数在复平面中是一条有向线段，将正弦量用有向线段表示，就构成了相量 图，因此，对电路的分析与计算还可转化成相量图中几何图形的分析与计算。 采用相量或相量图的方法分析正弦交流电路，称为相量法。为了理解和掌握 图 2-5 i1+i2=i3

相量法，先介绍有关复数的基本知识，再说明正弦量与相量的对应关系。

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*知识链接：科学家 Hertz 与 Steinmetz

（1）Heinrich Rudorf Hertz（1857－1894），德国物理学家。1887 年（30

岁），他提出了分子结构中电子的光电效应，赫兹发现的电磁波在收音机、电视

机和通信系统中得到了广泛的应用。为了纪念他，频率的单位以他的名字命名。 （2）Charles Proteus Steinmetz（1865－1923），德国数学家和工程师。1893 年（28 岁），他发表了一篇关于复数用来分析交流电路的论文。1901 年（36 岁）， 他当选为美国电气工程师协会的主席，后来成为 IEEE 的会员。 2.2.1 复数 设 A 为一复数，其代数式表示为： j Aa b a 和 b 分别为其实部和虚部，其中 j  为虚部1 单位。 复数 A 可以用复平面上的有向线段表示，如图 2-6 所示。该有向线段的长度 r 称为复数 A 的模，该 有向线段与实轴正方向的夹角 称为复数 A 的辐角。 因此，复数 A 也可以写成极坐标式： Ar  利用复数对正弦交流电路进行分析和计算时，常常需要在代数式和极坐标式 之间进行转换。 如果已知复数 A 的极坐标式，要转换成代数式，则转换后的代数式中实部 a 和虚部 b 可由图 2-6 的几何关系求得： cos sin a r b r        如果已知复数 A 的代数式，要转换成极坐标式，同样由图 2-6 的几何关系可 推导出复数 A 的模 r 和辐角 的计算式子如下： 2 2 arctan r a b b a          图 2-6 复数的表示

转换时注意：复数的模只取正值，辐角的取值则根据复数在复平面上的象限 而定。 复数除了可以写成代数式和极坐标式之外，还可以写成三角函数式，即： cos j sin Ar  r  由欧拉公式 j e cosjsin可知，复数 A 还可表示为： j (cos jsin ) e Ar    r  将 j e Ar  称为复数 A 的指数式。 综上所述，一个复数可以写成四种形式： Aajb （代数式） cos j sin r  r    （三角函数式） j e r   （指数式） r   （极坐标式） 在复数计算时，如能对复数进行不同形式间的转换，往往可以简化运算。 1. 复数的加减运算 复数相加或相减，就是把它们的实部和虚部分别相加或相减。因此，必须将 复数事先化成代数型才能进行加减运算。 例如，若A₁a₁jb₁，A₂ a₂jb₂，则： 1 2 ( 1 2) j( 1 2) A A  a a  b b 复数的加减运算也可以采用平行四边形法则在复平面上进行。例如，计算复 数 A1和复数 A2的和A₁A₂，以 A1和 A2为邻边作平行四边形，如图 2-7（a）所 示，该平行四边形的对角线 OC 所代表的复数 C 就是复数 A1和复数 A2的和。 两复数相减，如A₁A₂，可看成是A ( A₂)，作为加法处理，如图 2-7（b） 所示。注意，复数 A2与A2的关系是它们的模相等，但方向相反。 （a）两复数相加 （b）两复数相减 图 2-7 复数的加减运算

2. 复数的乘法运算 复数乘法运算一般采用指数式或极坐标式比较方便。复数相乘，就是把它们 的模相乘，辐角相加。 若A1r1 1，A2 r2 2，则： 1 2 1 2 1 2 A A r r







或 1 2 1 2 j j j( ) 1 2 1e 2e 1 2e A A r  r  r r  3. 复数的除法运算 复数除法运算一般也采用指数式或极坐标式。复数相除，就是把它们的模相 除，辐角相减。 若A₁r₁



1，A₂ r₂



2，则： 1 1 1 2 2 2 A r A r    或 1 1 2 2 j j( ) 1 1 1 j 2 2 2 e e e A r r A r r       

例 2-3 已知两个复数为 A=8+j6，B 8 45 ，求 A+B、A  B、A B 、A

B、 jA、  jA。 解： 2 2 6 arctan 8 8 j6 8 6 10 36.87 A       B 8 45 8 cos( 45 )  j 8sin( 45 )  5.66j 5.66 AB 8 j 65.66j 5.66 13.66 j 0.34   2 2 0.34 arctan 13.66 0.34 13.66   13.66 1.43   AB 8 j 6(5.66j 5.66) 2.34 j 11.66   2 2 11.66 arctan 2.34 2.34 11.66   11.89 78.65   A B 10 36.87 8 45 80 8.13

10 36.87 1.25 81.87 8 45 A B       2 2 8 arctan 6 j Aj (8j 6)  6 j 8 ( 6) 8  10 126.87 2 2 8 arctan 6 j A j (8 j 6) 6 j 8 6 ( 8) 10 53.13              由例 2-3 可见，任意一个复数 A 乘上 j 实际上是将复数 A 逆时针旋转 90°后得 到的新复数 jA ；而复数 A 乘上 j 实际上是将复数A 顺时针旋转 90°后得到新的复 数 jA ，如图 2-8 所示。 图 2-8 复数乘以j 2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基本特征量，表示一个正弦量就要将这 三要素表示出来。 由于在线性电路中，电路中各处电压和电流的频率也是相同的，其角频率 ω 固定不变，因此，在电路分析中不需考虑角频率 ω，实际上只需确定三要素中幅 值和初相位这两个要素。而复数正好包括它们，因此复数可以表示正弦量。 一般把表示正弦量的复数称为相量。为了区别于一般复数，相量用大写字母 上加点来表示。如，用I_m和U_m表示电流和电压的幅值相量，用 I 和 U 表示电 流和电压的有效值相量。对于正弦电压uU_msin(t_u)，其幅值相量和有效值 相量分别为： u j u m me m U U  U  u j u e U U  U  显然，幅值相量的模就是幅值，而有效值相量的模就是有效值。所以，只要 知道了正弦量的瞬时表达式，就可以写出它的相量；反之，若已知相量，也可以 写出相应正弦量的瞬时表达式。有效值相量和幅值相量的关系为

m 2 I  I m 2 U  U 例 2-4 求正弦交流电压 220 2 sin( 30 )V u t  的相量。 解：相量为 m 220 2 30 V U   或 m 1 220 30 V 2 U  U   在正弦量用相量表示后，三角函数的运算就可转化为复数运算。但值得注意 的是，只有正弦量才能用相量表示。同时，由于相量只具备了正弦量三要素中的 两个要素，因此只是代表正弦量，并不等于正弦量。另外，需要注意的是：相量 不仅可以表示用正弦函数所描述的正弦量，也可以表示用余弦函数所描述的正弦 量，但在表示前，应将所有的正弦量统一转换成正弦函数或余弦函数的描述形式。 由于在正弦交流电路中基尔霍夫定律同样成立，即对于任意时刻，任意结点 有  和任意回路有i 0  u 0。而由于正弦量可以用相量表示，因此相量也满足 基尔霍夫定律。 基尔霍夫电流定律相量形式为： 0 I   它表示在正弦交流电路中，对于任意时刻的任意结点，流入或流出该结点的各支 路电流相量的代数和恒等于零。 基尔霍夫电压定律相量形式为： 0 U   它表示在正弦交流电路中，对于任意时刻的任意回路，各段电压相量的代数和恒 等于零。 例 2-5 已知 1 12.7 2 sin(314 30 )A i  t  2 11 2 sin(314 60 )A i  t  求ii₁i₂。 解：第一步，根据正弦量的瞬时值表达式写出相量： 1 12.7 30 A I   2 11 60 A I   

第二步，用相量运算代替瞬时值表达式的运算：

1 2 12.7 30 A 11 60 A

II I     

12.7(cos30 jsin 30 )A 11(cos 60 jsin 60 )A

        16.5 j 3.18A   16.8 10.9 A    第三步，由相量写出正弦量的瞬时值表达式： 16.8 2 sin(314 10.9 )A i t  将几个同频率的正弦量用相应的相量表示并画在同一个坐标平面上的图叫做 相量图。用相量图的方法可对电路进行分析，即将相量的复数运算转化为平面几 何图形的计算。相量图法在某些电路的分析中快捷方便。如： 1 2 10 2sin( 30 ) A 5 2sin( 60 ) A i t i t         i1和 i2对应的电流相量表达式分别为： 1 2 10 30 A 5 60 A I I        其相应的相量图如图 2-9 所示。 在画相量图时，需注意： （1）在不产生歧义的情况下，坐标可以不用画 出，以简化相量图； （2）由于一个电路中的各正弦量是同频率的， 且角频率 ω 是已知的，故不需要标出； （3）只有频率相同的正弦量才可以画在同一相 量图上。 （4）画出相量图后，任意两个同频率正弦量的 和或差可用平行四边形法则求解。 例 2-6 用相量图法求例 2-5 的结果。

解：作出I 、₁ I 的相量图，以₂ I 、₁ I 为边作平行四边形，该平行四边形的对₂

角线即为两相量之和，如图 2-10 所示。 2 2 2 2 1 2 12.7 11 16.8A I I I    i 12.7 60 arctg 10.9 11           16.8 2 sin(314 10.9 )A i t  图 2-9 相量图

从例 2-6 题中可看知：电流 i 的有效值 I 为 16.8A，有效值II₁I₂，即有效 值并不满足基尔霍夫定律。基尔霍夫定律只适用于瞬时值和相量，对有效值并不 一定成立。 图 2-10 例 2-6 相量图 【思考与讨论】 什么条件下，电流和电压的有效值满足 KCL 和 KVL？ 例 2-7 已知 u1和 u2的有效值分别为 U1100V，U260V，u1超前于 u2 60°， 求： （1）总电压 u = u1 + u2 的有效值并画出相量图； （2）总电压 u 与 u1 及 u2 的相位差。 解：（1）选 u1为参考相量，则： 1 100 0 V U   2 60 60 V U    1 2 100 0 V 60 60 V 140 21.8 V U U U         其相量图如图 2-11 所示。 图 2-11 例 2-7 相量图 （2）总电压 u 与 u1相位差： 1 u 1 21.8 0 21.8            总电压 u 与 u2相位差： 1 u 2 21.8 ( 60) 38.2           

2.2.3 单一参数元件的相量模型 分析各种交流电路时，掌握电阻、电容、电感等单一参数元件的电压与电流 之间的关系，特别是电压和电流的相量关系是分析一般交流电路的基础。 1．电阻元件 在图 2-12 中，假设电阻元件两端的电压和流过的电流的瞬时值表达式为： u i 2 sin( ) 2 sin( ) u U t i I t         图 2-12 电阻交流电路 由于任意时刻电阻 R 的电压和电流之间的关系满足欧姆定律，即： u 2 sin( ) u U i t R R      由此可看出： （1）电阻元件的电压与电流同相，即： u i   电阻的两端电压 u 与通过其的电流 i 同相，两者同时到达最大值、最小值或 零值。其波形图和相量图如图 2-13 所示。 图 2-13 电阻元件电压和电流的波形图和相量图 （2）电压与电流有效值满足欧姆定律，即： U I R  （3）电压与电流取相量形式，则有： u i U I R   _

即： U I R    _（2-1） 式（2-1）为电阻元件欧姆定律的相量形式，即电阻元件的电压相量和电流相量也 满足欧姆定律。 电压相量与电流相量之间的关系不 仅反映了电压与电流之间的有效值关系， 还表明了电压与电流的相位关系。如电路 中元件的电压与电流均用相量表示，则称 为电路的相量模型。电阻元件的相量模型如图 2-14 所示。 2．电感元件 在图 2-15 中，假设电感元件两端的电压和流过的电流的瞬时值表达式为： i u 2 sin( ) 2 sin( ) i I t u U t         图 2-15 电感交流电路 在任意时刻，电感 L 上电压与电流之间的关系为： i d[ 2 sin( )] d d d I t i u L L t t     i i 2 cos( ) 2 sin( 90 ) I L t I L t             （2-2） 由式（2-2）可知： （1）电感元件的电压相位超前电流 90 ，即： u i 90     其波形图和相量图如图 2-16 所示。 （2）由 u 的瞬时值表达式知电压有效值为U I L ，故电压与电流有效值的 关系为： U I L   当电压一定时，L 越大，电感中的电流越小，L 具有阻止电流通过的性质， 称为感抗，用 XL表示，即： L 2π X L fL 图 2-14 电阻的相量模型

当的单位为 rad/s，L 的单位为 H 时，感抗 XL的单位为 Ω。可见，感抗 XL 具有类似于电阻的性质。但不同于电阻的是，感抗 XL的大小与电感 L 及频率 f 成 正比，频率越高，感抗 XL越大，对电流的阻碍作用也越大。直流条件下，由于频 率 f 0，感抗X_L 0，电感相当于短路。因此，电感元件有阻交流、通直流的 作用。 （a）波形图 （b）相量图 图 2-16 电感元件电压和电流的波形图和相量图 引入感抗后，电感元件电压与电流之间的有效值关系可写为： L U I X  （3）电压与电流取相量形式，则有： i u ( 90 ) U  LI    _j

_

_LI



i 即 L j U  X I （2-3） 式（2-3）称为电感元件欧姆定律的相量形式。 将电流、电压均用相量表示，电感用 jXL表示，则得电感元件的相量模型， 如图 2-17 所示。 图 2-17 电感元件的相量模型 3. 电容元件 在图 2-18 中，假设电容元件两端的电压和流过的电流的瞬时值表达式为： u i 2 sin( ) 2 sin( ) u U t i I t         在任意时刻电容 C 上电压与电流之间的关系为： 图 2-18 电容交流电路

u d[ 2 sin( )] d d d U t u i C C t t     u 2U C cos(t  )   （2-4） u 2UCsin(t  90 )     由式（2-4）可知： （1）电容元件的电流相位超前电压 90 ，即： i u 90     其相量图如图 2-19 所示。 （a）波形图 （b）相量图 图 2-19 电容元件电压和电流的波形图和相量图 （2）由 i 的瞬时值表达式知电流有效值为 I U C  ，故电压与电流之间的有 效值关系为： 1 U I C   当电压一定时， 1 C  越大，电容中的电流越小， 1 C  具有阻止电流通过的性 质，故称为容抗，用 XC表示，即： C 1 1 2π X C fC    当的单位为 rad/s，C 的单位为 F 时，容抗 XC的单位为 Ω。可见，容抗 XC 也具有类似于电阻的性质。但同样不同于电阻的是，容抗 XC与电容 C 及频率 f 成反比，频率越低，容抗 XC越大，对电流的阻碍作用也越大。直流条件下，由于 频率f 0，容抗X_C  ，电容相当于开路。因此，电容元件有通交流、隔直流 的作用，与电感元件的特性正好相反。 引入容抗后，电容元件电压与电流之间的有效值关系可写为： C U X I

（3）电压与电流取相量形式，则有： i u 90 I  CU    u jCU   即： j I CU 或 C j U   X I （2-5） 式（2-5）称为电容元件欧姆定律的相量形式。 将电流、电压均用相量表示，电容用－jXC表示，则得电容元件的相量模型， 如图 2-20 所示。 图 2-20 电容元件的相量模型

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相量法小结： * 用于表示正弦量的复数称为相量，常用的相量形式有代数式和极坐标式。 在正弦量用相量表示后，正弦量之间的运算可转换成相量的运算或相量图中几 何图形的分析与计算。 * 在正弦交流电路分析中，相量同样满足基尔霍夫定律（KCL/KVL）。 * 电阻元件的电压与电流同相，电压相量与电流相量满足U RI；电感元 件的电压相位超前电流 90°，电压相量与电流相量满足U j X I_L ；电容元件的 电压相位滞后电流 90°，电压相量与电流相量满足U  j X I_C 。

2.3

正弦交流电路的分析

【问题引导】正弦交流电路的分析方法与直流电路的分析方法有哪些不同？ 正弦交流电路分析的最大难点在于两点：一是电压或电流的大小是随着时间 而改变的，这一难点采用相量表示正弦量后已经解决；另一难点就是正弦交流电 路中电阻、电感和电容两端的电压和流过的电流具有不同的计算关系，分析时比 较困难。

本节首先引入了阻抗（impedance）的概念，并得出了阻抗欧姆定律的相量形 式。在此基础上将电阻、电感和电容都转化成阻抗，从而使不同类型的元件得到 了统一，不同元件的连接变成了阻抗的连接，从而可以利用阻抗的串并联来简化 和分析电路。运用基尔霍夫定律和阻抗欧姆定律的相量形式，求解正弦交流电路 的方法称为相量法。运用相量法分析正弦交流电路时，直流电路中所有的定理和 分析方法同样适用。 2.3.1 阻抗 在正弦交流电路中，对于图 2-21（a）所示的无源二端网络，定义其端口电压 相量U 和端口电流相量I的比值为该无源二端网络的阻抗，用字母 Z 表示，即： U Z I  _ 显然，阻抗 Z 具有类似于电阻的性质，单位为欧姆（Ω）。无源二端网络则可 等效为阻抗 Z，其图形符号与电阻相同，如图 2-21（b）所示。阻抗的定义也称为 相量形式的欧姆定律。 （a）无源二端网络 （b）阻抗 Z 图 2-21 阻抗的定义 由于电压相量U 和电流相量I一般为复数，所以阻抗 Z 一般也是复数，故又 称为复阻抗。因此，阻抗 Z 也有代数式和极坐标式两种形式，可表示为： z j Z R X  Z  其中，实部 R 称为阻抗的电阻部分，虚部 X 称为阻抗的电抗部分， Z 称为阻抗 模，_z称为阻抗角，它们之间可以用图 2-22 的阻抗三角形表示。 图 2-22 阻抗三角形 由阻抗三角形可知：

2 2 z arctan Z R X X R          z z cos sin R Z X Z     _    根据阻抗的定义，可知电阻、电感、电容的阻抗分别为： （1）电阻： Z R，其实部 R 就是电阻本身，虚部 X = 0； （2）电感：Z jX_L jLL 90 ，其实部 R = 0，虚部X XL L； （3）电容： C 1 1 ₉₀ j j Z X C C          ，其实部 R = 0，虚部X  X_C 1 C    。 由阻抗的定义： u _{u i} z i ( ) U U U Z Z I I I  _{  }    _    可得出： 2 2 U Z R X I    z u i arctan X R     若X 0，则_z  ，说明电压超前电流，无源二端网络呈电感的性质（感性）0 ； 若X  ，则0 _z0，说明电压滞后电流，无源二端网络呈电容的性质（容性）； 若X 0，则_z ，说明电压与电流同相，无源二端网络呈电阻的性质（阻性）0 。 2.3.2 正弦交流电路的一般分析方法 实际的交流电路往往是由两个或多个参数组成的。例如，日光灯电路就是由 灯管、镇流器和起动器组成，其中灯管（主要特性为电阻）和镇流器（主要特性 为电感）的连接方式就是串联。通常，对交流电路的分析要应用到阻抗串、并联 的分析方法。 1. 阻抗的串联 设两阻抗 Z1、Z2串联，如图 2-23（a）所示。由 KVL，得： 1 2 UU U 阻抗满足相量形式的欧姆定律： 1 1 U Z I

2 2 U Z I 1 2 1 2 ( 1 2) U U U Z IZ I Z Z I 根据阻抗的定义，总的端口阻抗 Z 为： 1 2 U Z Z Z I  _   阻抗 Z1、Z2串联的求和公式与直流电路中电阻串联的求和公式相同，其等效 电路如图 2-23（b）所示。 （a）两阻抗串联 （b）等效电路 图 2-23 阻抗的串联 阻抗 Z1、Z2的电压与总电压关系为： 1 1 1 1 1 2 1 2 Z U U IZ Z U Z Z Z Z          2 2 2 2 1 2 1 2 Z U U IZ Z U Z Z Z Z          阻抗 Z1、Z2串联的分压关系与直流电路中电阻串联的分压关系相同。 【思考与讨论】 两阻抗串联时，在什么情况下 Z  Z₁  Z₂ ？ 例 2-8 R、L、C 串联交流电路分析。在图 2-24 中， 电阻、电感、电容元件串联。已知 R = 30Ω，L = 127mH， C = 40uF，电源电压u220 2 sin(314t20 )V 。 求：（1）感抗、容抗；（2）电流的有效值 I 与瞬时值 i 的表达式；（3）求各部分电压的有效值与瞬时值的表达式。 解： （1）XL = ωL = 314×127×10–3 = 40Ω C ₆ 1 1 80 314 40 10 X C         图 2-24 例 2-8 图

（2）串联电路总的阻抗为： R L C j L j C j( L C) Z Z Z Z R X  X R X X





2 2 2 2 L C 30 (40 80) 50 Z  R  X X      Z U I 50 220    _4.4A L C 40 80 arctg arctg 53 30 X X R        4.4 2 sin(314 20 53 ) 4.4 2 sin(314 73 )A i t     t  （3）UR = IR = 4.4×30 = 132V R 132 2 sin(314 73 )V u  t  L L 4.4 40 176V U IX    L 176 2 sin(314 73 90 ) 176 2 sin(314 163 )V u  t     t  C C 4.4 80 352V U IX    C 352 2 sin(314 73 90 ) 352 2 sin(314 17 )V u  t     t  2. 阻抗的并联 两个阻抗并联的电路如图 2-25（a）所示，根据 KCL 和欧姆定律的相量形 式可得： 1 2 1 2 U U U I I I Z Z Z            1 2 1 1 1 Z Z Z 可得出总阻抗 Z 为： 1 2 1 2 Z Z Z Z Z   并联阻抗的求和公式与直流电路中的电阻并联的求和公式相同。 其等效电路图 2-25（b）所示。 （a）两阻抗并联 （b）等效电路 图 2-25 阻抗的并联

容易推导出流过两阻抗的电流为： 2 1 1 2 Z I I Z Z    _ 1 2 1 2 Z I I Z Z    _ 阻抗 Z1、Z2并联的分流关系与直流电路中电阻并联的分流关系相同。 【思考与讨论】 在并联交流电路中，支路电流是否一定比总电流小？ 3. 正弦交流电路分析的步骤 在正弦交流电路中，阻抗的性质与直流电路中的电阻完全相同。在将电压和 电流采用相量表示，电阻、电感和电容都转化成阻抗后，直流电路中所学过的定 理和公式，可以直接用于正弦交流电路的分析和计算。不同的是，在直流电路中 是实数运算，在交流电路中是复数运算。因此，对于正弦交流电路的分析与计算 可归纳为以下步骤： 第一步：根据原电路图，将电压和电流用相量表示，电阻、电感和电容都转 化成阻抗，画出相量模型图（电路结构不变）； 第二步：根据相量模型，由 KCL 和 KVL 的相量形式、阻抗欧姆定律的相量 形式等列出相量方程式或画相量图； 第三步：对相量方程或相量图求解； 第四步：将结果变换成要求的形式。 例 2-9 在图 2-26 中，已知u220 2 sintV，R 50 ，R ₁ 100， L 200 X  ，X _C 400，求 i、i1、i2。 图 2-26 例 2-9 图 解：已知U  220 0 V 1 1 j L (100 j200) Z R  X    2 j C j400 Z   X   

1 2 1 2 Z Z Z R Z Z    (100 j200)( j400) 50 (370 j240) 440 33 100 j200 j400     _  _          220 0 A 0.5 33 A 440 33 U I Z          2 1 1 2 j400 0.5 33 A 0.89 59.6 A 100 j200 j400 Z I I Z Z               1 2 1 2 100 j200 0.5 33 A 0.5 93.8 A 100 j200 j400 Z I I Z Z              故： 0.5 2 sin( 33 )A i t  1 0.89 2 sin( 59.6 )A i  t  2 0.5 2 sin( 93.8 )A i  t  例 2-10 在电路图 2-27 中，图中各仪表均为交流电流表，其读数是电流表 的有效值。已知 A1 的读数为 8A，A2 的读数为 60A，A3 的读数为 66A。求电流 表 A 和 A4 的读数，并画出相量图。 解：由于电路为并联电路，故设电压为参考相量： S S 0 V U U  由已知数据，得： 1 8 0 A 2 60 90 A 3 66 90 A I   ，I    ，I   根据 KCL 有： 4 2 3 60 90 A 66 90 A 6 90 A I I I        1 4 8 0 A 6 90 A 10 36.9 A II I       故表 A 的读数为 10A，表 A4的读数为 6A，相量图如图 2-28 所示。 图 2-27 例 2-10 图 图 2-28 例 2-10 的相量图

例 2-11 在图 2-29 电路中，已知：I1 = 10A，UAB = 100V，求：总电压表和 总电流表的读数。 图 2-29 例 2-11 图 解：方法一：用相量计算。 设U_AB为参考相量，即U_AB100 0 V ，则： 1 10 90 A j10A I    2 100 (5 j5) 10 2 45 A I      1 2 10 90 A 10 2 45 A 10 0 A II I        所以，电流表的读数为 10A。 L ( j10 )V j100 V U I  L AB 100 j100V 141 45 V U U U     电压表的读数为 141V。 方法二：用相量图分析求解。

设U_AB为参考相量，U_AB100V，I1=10A，I₁超前U_AB 90 。

5Ω 电阻与 j5Ω 电感串联后的阻抗： (5 j5) 5 2 45 Z       AB 2 2 2 100 10 2A 5 5 U I Z     2 I 滞后U_AB45 。由此可画出相量图如图 2-30 所示。 由相量图可求出： 1 10A II  故电流表的读数为 10A。 j10Ω 电感上的电压大小： UL= I XL =100V L U 超前 90I 且U_LU_AB，所以U 2U_L  100 2141V。电压表的读数为 141V。 图 2-30 例 2-11 相量图



正弦交流电路的分析小结： * 阻抗 Z 定义为同频率的电压相量除以电流相量。阻抗 Z 一般为复数，可 表示为Z R j X  Z z，其实部 R 为阻抗的电阻部分，虚部 X 为阻抗的电 抗部分。阻抗模｜Z｜反映了阻抗的大小，其值等于电压的有效值除以电流的有 效值；阻抗角 φ 则等于电压与电流的初相位之差。 * 阻抗 Z 具有类似于电阻的串并联性质。 * 正弦交流电路分析的步骤： 第一步：根据原电路图，将电压和电流用相量表示，电阻、电感和电容都 转化成阻抗，画出相量模型图（电路结构不变）； 第二步：根据相量模型，由 KCL 和 KVL 的相量形式、阻抗欧姆定律的相 量形式等列出相量方程式或画相量图； 第三步：对相量方程或相量图求解； 第四步：将结果变换成要求的形式。

2.4

正弦交流电路的功率

【问题引导】日常生活中各种电气设备铭牌上都标有哪些功率？它们分别是 什么功率？ 在交流电路中，由于电压和电流都是随时间变化的，因此，功率也会随时间 而变化。又因为电阻是耗能元件，而电感、电容是储能元件，故在讨论正弦交流 电路的功率时，不仅要考虑电阻消耗电能所产生的有功功率，还要考虑由于电感、 电容储藏能量和释放能量时产生的无功功率和反映整个电路容量的视在功率。 2.4.1 瞬时功率 电路在某一瞬间吸收或发出的功率称为瞬时功率（instantaneous power），用 小写字母 p 表示。设二端口网络端口处的电流、电压为： 2 sin i I t 2 sin( ) u U t 其中，为电压与电流的相位差。则某一瞬间的瞬时功率为： 2 sin 2 sin( ) [cos cos(2 )] p ui I t U t UI t             

2.4.2 平均功率 瞬时功率是随时间改变而变化的，分析和计算瞬时功率毫无意义，一般采用 平均功率（average power）反映功率的大小，以大写字母 P 表示，单位有瓦（W）、 千瓦（kW）、兆瓦（MW）。 平均功率是指交流电在一个变化周期内瞬时功率的平均值，其计算方法为： 0 0 1 1 d [cos cos(2 )]d cos T T P p t UI t t T T UI         





正弦电路的平均功率不但与电流和电压的有效值有关，还与电压和电流相位 差有关，cos称为电路的功率因数（power factor）。对于无源二端网络，正

好等于其等效阻抗 Z 的阻抗角_z。因此： ① 对电阻元件 R， ， P0 UI。 ② 对电感元件 L，90 ，P 0。 ③ 对电容元件 C， 90 ，P 0。 电阻瞬时功率的变化情况可由图 2-31 解释，由于电阻两端的电压与流过的电 流是同相的，因此，其瞬时电压和瞬时电流同时为正或同时为负，相乘后得到的 瞬时功率 p≥0，故电阻总是消耗能量，其平均功率恒大于零。 图 2-31 电阻的瞬时功率及平均功率 平均功率是保持用电设备正常运行所需的电功率，也就是将电能转换为其 他形式的能量，如机械能、光能、热能的电功率，所以平均功率又称为有功功 率（active power）。如：电动机就是把电能转换为机械能，带动机器设备运转； 各种照明设备将电能转换为光能，供人们生活和工作照明；取暖设备则将电能 转换成热能。 从平均功率PUIcos还可以看出，电感和电容的平均功率都为 0，表明电

感和电容都不消耗能量，但存在着能量的交换。如图 2-32 所示，（a）、（b）分别 为电感和电容瞬时功率的变化情况，从图中可以看出其能量的交换情况。 （a）电感的瞬时功率 （b）电容的瞬时功率 图 2-32 电感和电容的瞬时功率 对于电感来说，在交流电每个周期内的上半部分时间内，瞬时功率 p 为正值， 电感将电能转换成磁场能储存起来；而下半部分的时间内，瞬时功率 p 为负值， 其储存的磁场能量又释放出来转换成电能。因此，在整个周期内，电能并没有消 耗掉，瞬时功率的平均值即平均功率等于零。 对于电容来说，在交流电每个周期内的上半部分时间内，瞬时功率 p 为正值， 电容将电能转换成电场能储存起来；而下半部分的时间内，瞬时功率 p 为负值， 其储存的电场能量又释放出来转换成电能。因此，在整个周期内，电能并没有消 耗掉，瞬时功率的平均值即平均功率也等于零。 2.4.3 无功功率 在交流电路中，由于电感和电容的存在，电路中存在着能量形式的转换与交 换。为了反映二端网络中能量交换的规模，将电路中能量交换的功率称之为无功 功率（reactive power），用大写字母 Q 表示，单位为乏（var）。

二端网络的无功功率 Q 定义为： sin

① 对电阻元件 R， 0，Q 0。 ② 对电感元件 L，90 ， QUI。 ③ 对电容元件 C， 90 ， Q UI。 从无功功率可知：电阻与电源之间没有能量交换，而电感和电容与电路之间 有能量交换。由于电感的无功功率为正，电容的无功功率为负，可以在电感性负 载中增添电容元件，以减少电源给予负载的无功功率。在 2.5 节中，将介绍功率 因数的提高，正是基于这一原理。 由于电路中用于交换的这一部分电能不能转化成有用的机械能、光能、热能 等其它有用的能量，故称为无功功率。但无功功率决不是无用功率，它的用处很 大。比如 40W 的日光灯，除需 40 多 W 有功功率（镇流器也需消耗一部分有功功 率）发光外，还需 80var 左右的无功功率供镇流器的线圈建立交变磁场用。电动 机需要建立和维持旋转磁场，使转子转动，从而带动机械运动，电动机的转子磁 场就是靠从电源取得无功功率建立的。变压器也同样需要无功功率，才能使变压 器的一次线圈产生磁场，在二次线圈感应出电压。因此，没有无功功率，电动机 就不会转动，变压器也不能变压。在正常情况下，用电设备不但要从电源取得有 功功率，同时还需要从电源取得无功功率。如果电网中的无功功率供不应求，用 电设备就没有足够的无功功率来建立正常的电磁场，这些用电设备就不能维持在 额定情况下工作，从而影响用电设备的正常运行。在实际应用中，从发电机和高 压输电线供给的无功功率，远远满足不了负荷的需要，所以在电网中要设置一些 无功补偿装置来补充无功功率，以保证用户对无功功率的需要。 当然，无功功率对供、用电也会产生一定的不良影响，它会降低发电机有功 功率的输出；降低输、变电设备的供电能力；造成线路电压损失增大和电能损耗 的增加；造成低功率因数运行和电压下降，使电气设备容量得不到充分发挥。 2.4.4 视在功率 由于电路中既存在耗能元件电阻，又存在储能元件电感与电容，故电源必须 提供其正常工作所需的功率，即有功功率，同时应有一部分能量储存在电感、电 容等元件中，保证网络或设备的正常工作。视在功率（apparent power）反映了确 保电路能正常工作，电源需传给电路的能量。对于二端网络来说，视在功率定 义为端口电压 U 和电流 I 有效值的乘积，用 S 表示，即： SUI 其单位为伏安（VA）、千伏安（kVA）。 在工程上，视在功率表示电源设备，如变压器、发电机等的容量，也可用来 衡量发电机可能提供的最大平均功率。

对于任何一个电气设备而言，都有一个额定的电压值、额定的电流值。所谓 的额定电压就是电器长时间工作时所适用的最佳电压，用 UN表示。额定电流是 指在额定环境条件，如环境温度、日照、安装条件等，电气设备的长期允许电流， 用 IN表示。在额定电压和额定电流条件下的功率值，称为额定功率。例如，额定 视在功率 SN等于电气设备额定电压与额定电流的乘积，即： N N N S U I “220V，25W”灯泡中的 220V 指的是额定电压，而 25W 指的是额定有功功 率。而标有“20kVA”的变压器铭牌中的 20kVA 指的是额定视在功率，即变压器 的容量。 平均功率 P、无功功率 Q 和视在功率 S 之间的关系为： 2 2 2 S P Q 还可用图 2-33 所示的直角三角形即功率三角形表示。 图 2-33 功率三角形 显然，P、Q、S 之间具有如下关系： cos PS  sin tan QS P  电路的有功功率是守恒的。对于一个电路来讲，整个电路的有功功率等于电 路各个元件的有功功率之和或各条支路的有功功率之和，即： P = ∑Pi 由于在交流电路中，只有电阻元件才有有功功率，因此电路有功功率守恒还 可以理解成：整个电路的有功功率等于电路中所有电阻元件的有功功率之和。 电路的无功功率也是守恒的。对于一个电路来讲，整个电路的无功功率等于 电路各个元件的无功功率之和或各条支路的无功功率之和，即： Q = ∑Qi 同样，由于在交流电路中，只有电感和电容元件才有无功功率，因此电路 无功功率守恒一样可以理解成：整个电路的无功功率等于电路中所有电感和电 容元件的无功功率之和。但在计算时注意电感的无功功率为正，电容的无功功 率为负。

需要注意的是电路的视在功率并不守恒。对于一个电路来讲，整个电路的视 在功率不等于电路各个元件的视在功率之和或各条支路的视在功率之和，即： S ≠ ∑Si = ∑ Ui Ii 【思考与讨论】 在什么情况下，视在功率守恒？ 例 2-12 求图 2-34 电路中的总有功功率、无功功率和视在功率。其中， 0.86 39.6 A I   ，I ₁ 1.90 80 A ，I ₂ 1.36 75.7 A ，U  220 0 V 。 图 2-34 例 2-12 图 解：方法一：由总电压、总电流求总功率。 cos 220 0.86 cos(0 39.6 )W 146W PUI       

sin 220 0.86 sin(0 39.6 ) var 121var

QUI         220 0.86VA 190VA SUI   方法二：由支路功率求总功率。 1 2 1 1cos 1 2 2cos 2 PP P U I



U I



{220 1.9 cos(0 80 ) 220 1.36 cos[0 ( 75.7 )]}W              146W  1 2 1tan 1 2tan 2 QQ Q P



P



( 411 290) var    121var   2 2 190VA S P Q  方法三：由元件功率求总功率。 P = R1I1 2 + R2I2 2 = ( 20×1.92 + 40×1.362 ) W = 146W Q =  XC I1 2 + XLI2 2 = (  114×1.92 + 157×1.362 ) var =  121var 2 2 190VA S P Q  例 2-13 图 2-35 所示是测量电感线圈参数 R 和 L 的实验电路，已知电压表 的读数为 50V，电流表的读数为 1A，功率表的读数为 30W，电源的频率 f  50Hz。

试求 R 和 L 的值。 图 2-35 例 2-13 图 解：根据图中 3 个仪表的读数，可先求得线圈的阻抗： j 50 Z Z R L U Z I  _       功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有： cos 30W 30 arccos 53.13 P UI UI             求得： 50 53.13 30 j40 40 30 127mH Z R L        ，  

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正弦交流电路功率小结： * 平均功率 P 也称为有功功率，反映电路消耗电能的多少；当电路中存在 有电感或电容时，电路中将有能量的存储与交换，无功功率 Q 表示电路中能量 交换的规模；视在功率 S 反映了确保电路能正常工作，电源需传给电路的能量。 * 有功功率 P、无功功率 Q 和视在功率 S 的计算式分别为：P UIcos；  sin UI Q  ；S UI。其中，φ 为电压与电流之间的相位差。 * 电路的有功功率和无功功率守恒，而视在功率不守恒。

2.5

功率因数的提高

2.5.1 功率因数提高的意义

首先，提高功率因数可使同等容量的供电设备向用户提供更多的功率，提高 了供电设备的利用率。

每个供电设备都有额定的容量，即视在功率SUI。供电设备输出的总功率

S 中，一部分为有功功率PScos ，另一部分为无功功率QSsin。 cos 越

大，电路中的有功功率PScos就越大，则电路中的视在功率将大部分用来供 给有功功率，减少无功功率的消耗。 其次，提高功率因数可以减小供电线路电流，减少供电线路上的电压降和能 量损耗。 任何一个电器设备如要能正常工作，其有功功率 P 需确保达到一定的值，而 设备通常外接电源的电压是一定的，由PUIcos可知： cos P I U   当功率因数 cos 较小时，I 较大。对于给定的负荷，母线的截面、保护开关 的导电面积都必须加大才能通过更大的电流，投资亦需增加。同时，电流变大还 会导致设备的发热量增加、线路和电源上的功率损耗也增大。 按照供电规则，高压供电的工业企业平均功率因数不得低于 0.95，其他单位不 得低于 0.9。但是生产中广泛使用的交流异步电动机的功率因数为 0.3～0.85，荧光 灯的功率因数为 0.4～0.6，这些都不符合要求，所以要采取措施提高功率因数。 2.5.2 提高功率因数的方法 在用电设备中，分阻性负载、感性负载和容性负载。阻性负载电路呈阻性， 如电阻炉、烤箱、电热水器等；靠电阻丝发光的灯具，如碘钨灯、白炽灯等，这 类负载的电流和电压没有相位差。 通常的用电器中并没有纯感性负载。一般把带电感参数、电流滞后电压的负 载称为感性负载，即有线圈并应用电磁感应原理制作的电器产品，如电动机、变 压器、压缩机、继电器、冰箱、洗衣机、空调、风扇、日光灯镇流器等都属于感 性负载；靠气体导通发光的灯具如日光灯、高压钠灯、汞灯、金属卤化物灯等也 是感性负载。实际负载多为电感性负载。 一般把带电容参数、电压滞后电流特性的负载称为容性负载。由于大多数负

载为感性负载，因此常用电容补偿。 阻性负载可理解为电阻，其功率因数等于 1，不存在功率因数提高的问题。 而对于电感性负载，在电感性负载两端并联适当的电容即可提高其功率因数，如 图 2-36（a）所示。这是因为感性负载电路中的电流落后于电压，并联电容后，可 产生超前电压 90的电容支路电流，抵减落后于电压的电流，使电路的总电流减小， 从而减小阻抗角，提高功率因数。其原理可通过画相量图来说明。 （a）电路图 （b）相量模型 图 2-36 功率因数的提高 在图 2-36（a）中，负载的端电压为 U，电压频率为 f，电源供给负载的功率 为 P，功率因数为cos



₁，现在分析将负载的功率因数从cos



₁提高到cos



₂时需 在负载两端并联多大的电容？

设并联电容前流过感性负载的电流为I_L，其相位落后于电压



₁，此时电路总 电流 I 与I_L相等。并联电容后，由于感性负载两端电压U 没有改变，因此流过感 性负载的电压也没有改变，仍然为U 。流过电容的电流为I ，其相位超前电压_C 90°；此时电路总电流为I 。以电压U 作参考向量，可画相量图如图 2-36（b）所 示。由相量图可求出： C Lsin 1 sin 2 I I  I  1 2 1 2 sin sin cos cos P P U   U     1 2 tan tan P P U  U    1 2 (tan tan ) P U     C 2π U fC X  

则： 1 2 2 (tan tan ) 2π P C fU     1 2 2(tan tan ) P U      例 2-14 一台功率为 11kW 的电动机，接在 220V、50Hz 的电路中，电动机 需要的电流为 100A。 （1）求电动机的功率因数。 （2）若要将功率因数提高到 0.9，应在电动机两端并联一个多大的电容器？ （3）计算并联电容器后的电流值。 解：（1）已知P 11kW，U 220V，I _L 100A，2π f 2π 50 314rad/s。 由PUI_Lcos₁，得电动机的功率因数为： 3 1 L 11 10 cos 0.5 220 100 P UI       功率因数角为： 1 arccos 0.5 60     （2）若要将功率因数提高到cos ₂ 0.9，则功率因数角为： 2 arccos 0.9 25.8     所以，应在电动机两端并联的电容器的大小为： 3 1 2 2 2 11 10

(tan tan ) (tan 60 tan 25.8 ) 900

2π 2 3.14 50 220 P C fU              （μF） （3）并联电容器后电路中的电流值为： 3 2 11 10 55.6 cos 220 0.9 P I U       （A） 可见，并联电容器后电路中的电流大大减小。 在用电容作补偿提高电路功率因数时，需注意以下几点： （1）用串联电容器的方法也可提高电路的功率因数，但串联电容器会使电路 的总阻抗减小，总电流增大，从而加重电源的负担，因而不用串联电容器的方法 来提高电路的功率因数。 （2）若加大电容值到适当值时，这时 I 与U 同相，功率因数达到最大值 1， 如图 2-37（a）所示；如继续加大电容，则流过电容的电流 IC会增大，这时电流 超前电压，使电路变为容性，功率因数角增大，功率因数反而会降低，如图 2-37 （b）所示。

（a）电流与电压同相 （b）电流超前电压 图 2-37 电容增大与功率因数的变化关系 （3）并入电容前后，由于电容的有功功率等于零，因此电路的有功功率不会 改变。 【思考与讨论】 电感性负载并联电阻能否提高电路的功率因数？这种方法有什么缺点？



功率因数提高小结： * 提高功率因数的主要意义：提高了供电设备的利用率；减小供电线路电 流。 * 提高功率因数的方法：在电感性负载两端并联适当大小的电容。

2.6

应用实例：移相器电路

目前，家庭照明多采用荧光灯照明，照明电源是 220V 的工频交流电。每当 交流电压过零时，灯管的光通量为零，造成了荧光灯管的频闪效应。长时间在灯 下工作时，频闪效应容易造成人眼不适。为了消除频闪效应的不良影响，可采用 双管灯具照明，其中一个灯管的电源移相 90º后作为另一个灯管的电源，如图 2-38 所示。原理是当一个灯管的电压最小时，另一个灯管的电压最大，光通量互补， 达到消除频闪效应的影响，起到护眼的作用。 图 2-39（a）是一个由 RC 所构成的移相电路。 RC 移相电路中 2 1 1 C j j 1 j R RC U U U R X RC         _

2 2 1 1 j arctan 1 j _{1 ( )} U RC RC RC U RC _RC     _    _   即U 超前了₂ U ，其超前的相位角即相移为：₁ 1 arctan RC    图 2-38 双灯管护眼电路 （a）RC 移相电路 （b）相量图 图 2-39 RC 移相电路及相量图 相量图如图 2-39（b）所示。显然，当频率 ω 一定时，电阻 R、电容 C 的大 小，决定了相移的大小。RC 电路中产生的相移在 0°～90°之间变化，RC 的值越 小，相移越大，最大相移不超过 90°。输出电压的幅度也随相移的变化而变化， 相移大，输出电压小，当输出 90°时输出趋近零。由此可知，为了移相 90°，移相 电路需要两节 RC 电路，如图 2-40 所示。 图 2-40 90°移相电路

注意图 2-39（a）所示为超前移相电路，若 R 和 C 调换位置仍然可以移相， 只不过变成滞后移相电路。

2.7

辅修内容

图 2-41 是一个含有电阻 R、电感L 和电容C 的交流电路（N），如果电路端口 处的电压 u 与电流 i 的相位相同，整个电路呈现为纯电阻性，这时称电路发生了 谐振（resonance）。 图 2-41 含有 R、L 和 C 的交流电路 与没有发生谐振时的电路相比，在谐振状态下，电路具有许多独特的性质。 这些性质使谐振在有些应用中是有益的，如在无线电、通信等领域，常常利用谐 振来选择所需要的信号；而在有些领域，谐振则是有害的，如电力工程中谐振产 生过高的电压可能会破坏电路元件的绝缘。研究谐振的目的就是要认识这种客观 现象，并在应用中既要充分利用谐振的特征，同时又要预防它所产生的危害。 按 L 和 C 联接的不同，谐振可分为串联谐振和并联谐振两种。 2.7.1 串联谐振电路 图 2-42 所示为 RLC 串联电路。 电路的阻抗为： L C 1 j( ) j Z R X X R L C               显然，当X_L X_C，即 L 1 C    时，Z = R， 说明此时电路呈电阻性，电路发生谐振。电路发生谐振时，谐振角频率 ω0必然 满足： 0 0 1 L C    图 2-42 串联谐振电路

由此可求出： 0 1 LC   谐振频率 f0为： 0 1 2π f LC  可见，谐振频率 f0只与电路的 L、C 参数有关，而与电阻 R 无关，调节 f、L、 C 三个参数中的任意一个，都能使电路产生谐振，这种调节过程称为调谐。 串联谐振电路具有如下特点： （1）阻抗 ZR，电路呈现纯电阻性质。 （2）阻抗的模 2 2 L C ( ) Z  R  X X R，为最小值。 （3）当外加电压一定时，电流达到最大值。 U U I Z R   （4）电路无功功率QUIsin0，即电源与电路之间不存在能量交换；但 在电感和电容之间存在能量互换，且达到完全的相互补偿。 （5）由于X_L X_C，因此U_L U_C。而U 与_L U 的相位相反，互相抵消，电_C 路总电压U U_RU_LU_CIZ U ，即电路总电压等于电阻的电压。 _R （6）由于电感电压U_L IX_L，电容电压U_CIX_C，而谐振时电流 I 达到最 大值，因此，谐振时电感和电容上的电压远远高于电源电压，一般为电源电压的 几十倍到几百倍。故串联谐振又称电压谐振。 2.7.2 并联谐振电路 图 2-43 所示是一个含有电阻 R 和电感 L 的线圈与电容 C 组成的并联谐振 电路。 图 2-43 并联谐振电路

电路的总阻抗为： 1 ( j ) 1 j //( j ) 1 j _j j R L C Z R L C _{R L} C     _        一般情况下，线圈本身的电阻 R 很小，特别是在频率较高时， L R， 这时 / 1 j L C Z R L C       _  _   显然，当 ₀ 0 1 C L    时，电路产生谐振，其谐振角频率为： 0 1 LC   谐振频率为： 0 1 2π f LC  并联谐振电路具有以下主要特点： （1）阻抗的模 Z 达到最大，Z L RC  ； （2）在外加电压一定时，电路的总电流最小； （3）电容支路和电感支路的电流几乎大小相等、相位相反，且远远高于总电 流。故并联谐振又称电流谐振。 2.7.3 应用实例：调谐电路 调谐电路广泛用于收音机中的选台。收音机收台时，由于天空中的各种频率 电波很多，为了从众多电波中选出所需要频率的电台信号，需要输入调谐电路来 完成。图 2-44 所示是典型的输入调谐电路，其 实质是一个可以调节谐振频率的电路。电路中磁 棒天线 L1和 L2相当于一只变压器，L1是磁棒天 线的初级线圈，L2 是磁棒天线的次级线圈。C1 是双联可变电容器的一联，为天线联。C2 是高 频补偿电容，为微调电容器，它通常附设在双联 可变电容器上。 输入调谐电路的工作原理是：磁棒天线的初 图 2-44 典型的输入调谐电路

级线圈 L1与可变电容 C1、微调电容 C2构成 LC 串联谐振电路。当电路发生谐振 时，L1中的能量最大，即 L1两端谐振频率信号的电压幅度远远大于非谐振频率信 号的电压幅度，这样通过耦合从次级线圈 L2输出的谐振频率信号电压幅度最大。 选台过程就是改变可变电容器 C1的容量大小，从而改变输入调谐电路的谐振频 率，L2输出一个与之相对应的电台信号的过程。

本章小结

本章首先介绍了正弦量及其相量表示、单一参数元件的相量模型；然后介绍 阻抗的概念和利用相量模型分析正弦交流电路的方法；最后介绍平均功率、无功 功率、视在功率的定义和计算及功率因数提高的方法。 1．本章要点 （1）随时间按正弦规律变化的电动势、电压或电流，统称为正弦量，幅值、 角频率和初相位是正弦量的三要素。对于一个复数，如果让复数的模等于幅值或 有效值，复数的辐角等于初相位，则这个复数可用以表示正弦量，称为相量。 在正弦量用相量表示后，正弦量之间的运算可转换成复数的运算或相量图中几何 图形的分析与计算，称为相量表示法。相量满足基尔霍夫定律。 （2）电阻元件、电感元件和电容元件的电压相量与电流相量满足相量形式的 欧姆定律，即：URI；UjX I_L和U jX I_C。 （3）阻抗 Z 定义为同频率的电压相量除以电流相量。阻抗 Z 一般为复数， 并有代数式和极坐标式两种形式，可表示为Z R jX  |Z| z。 | |Z 为阻抗 模，φz为阻抗角，并且 2 2 U Z R X I    ， _{z u i} arctanX R     。 （4）对正弦交流电路分析时，一般情况下应先将正弦量用相量表示，其次将 电阻、电感和电容都转化成阻抗，则由原电路图可得到相量模型图；对于相量模 型图的分析和计算方法与直流电路完全相同。 （5）在功率的定义中，有功功率 P 表征了被消耗掉的电能的多少；无功功 率 Q 的大小则反映了电路内部电能存储与释放的能量交换规模大小；而视在功率 S 则反映了电路或电气设备的容量。它们的计算式为P UIcos；Q UIsin； UI S  。有功功率 P 和无功功率 Q 守恒，而视在功率 S 不守恒。 （6）cosφ 称为功率因数，φ 为电压与电流相位差。功率因数低会导致供电设 备的利用率低，线路电流过大。提高功率因数的方法是在电感性负载两端并联适 当大小的电容。

2．本章主要概念和术语 正弦量，相量，相量法，相量图，感抗，容抗，阻抗，有功功率，无功功率， 视在功率，功率因数。 3．本章基本要求 （1）了解正弦量的三要素和相位差。 （2）熟练掌握相量的表达方式及相互转换、相量图的画法。 （3）掌握电阻、电感、电容的相量表达式及相量图。 （4）熟练掌握电抗、容抗、阻抗及复杂电路的计算方法。 （5）熟练掌握有功功率、无功功率、视在功率和提高功率因数的计算方法。

习题二

2-1 选择题 （1）已知正弦电流的有效值相量为I  10 45 A ，则此电流的瞬时表达式是下列中的 （ ）。

A． 10sin( t 45 )A B． 10sin( t 45 )A C． 10 2 sin(t45 )A

（2）如图 2-45 所示，只有（ ）是电容性电路。

A．R = 4Ω，XL = 2Ω，XC = 1Ω B．R = 4Ω，XL = 2Ω，XC = 0

C．R = 4Ω，XL = 2Ω，XC = 3Ω

图 2-45 题 2-1（2）电路

（3）若电路中某元件的端电压为u5sin(314t35 )V ，电流i2sin(314t125 )A ，u、 i 为关联方向，则该元件是（ ）。 A．电阻 B．电感 C．电容 2-2 填空题 （1）正弦量的相量表示法，就是用复数的模数表示正弦量的________，用复数的辐角表 示正弦量的________。 （2）已知某正弦交流电压uUmsin(tu)V，则其相量形式U =________V。