行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
熱帶幾何相交理論與熱帶循環之研究 II
研究成果報告(精簡版)
計 畫 類 別 ： 個別型
計 畫 編 號 ： NSC 98-2115-M-004-002-
執 行 期 間 ： 98 年 08 月 01 日至 99 年 09 月 30 日
執 行 單 位 ： 國立政治大學應用數學學系
計 畫 主 持 人 ： 蔡炎龍
計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：林祐宇
博士班研究生-兼任助理人員：陳振偉
報 告 附 件 ： 國外研究心得報告
處 理 方 式 ： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 99 年 12 月 30 日
國科會專題研究成果報告:
熱帶幾何相交理論與熱帶循環之研究 II
計畫編號:
98-2115-M-004-002-蔡
炎龍
Chapter 1
報
報
報告
告
告內
內
內容
容
容
1.1
簡
簡
簡介
介
介
本年度承席去年, 繼續對熱帶幾何 (tropical geometry) 之相交理論做更深入的研究。 這份報告總結這兩年的成果, 希望提供熱帶相交理論的研究基礎、相關文獻, 及一些新 的研究結果。1.2
熱
熱
熱帶
帶
帶幾
幾
幾何
何
何簡
簡
簡介
介
介
這裡很快的復習熱帶幾何的基本理論。首先熱帶幾何主要代數結構熱帶半環 (tropical semiring)定義如下。 Definition 1 (熱帶半環). 一個熱帶半環 (T, ⊕, ), 為 T = R ∪ {−∞}, 並定義下 面兩個二元運算。對任意的 x, y ∈ T, 定義 • x ⊕ y := max{x, y} • x y := x + y 有這個代數結構, 我們自然可定義熱帶多項式。假設一個如下的熱帶多項式:f (x) = an x n⊕ an−1 x n−1⊕ · · · ⊕ ar x r. 依定義計算, 我們可以得到 f (x) = max r≤i≤n(ai+ ix). (1.1) 我們定義 f(x) 的零根為式 1.1 中極大值出現兩次或兩次以上的 x。 熱帶多項式更詳細的討論, 及基本性質我們整理在 [9]。於是, 我們可以定義熱帶曲線 (tropical curve) 及更一般的熱帶超曲面 (tropical hypersurface), 其參考一些熱帶幾 何基礎文章, 如 [3, 7, 8]。
1.3
穩
穩
穩
定
定
定相
相
相交
交
交理
理
理論
論
論
在開始這個計畫之初, 還沒有什麼明確的熱帶相交理論。不過最近這方面已漸漸有較 清楚的成果。我們先用一個簡單的例子來說明熱帶相交的問題和定義的基本想法。首 先, 熱帶相交和古典幾何有相當多相似的地方。比方說, 如圖 1.1 所示, 兩條熱帶直線 會交於一點。所有的熱帶直線都是決定一個中心, 有固定方向的三條射線組成。所以 只要中心點決定就可以決定一條熱帶直線。Figure 1.1: two tropical lines in general positions
熱帶直線的相交就已經看得出熱帶曲線相交的問題: 我們把其中一條直線移動一下, 可以發現兩相異直線有可能交於無限多點 (一條射線), 如圖 1.2 所示。處理這樣 的例外, Richter-Gebert, Sturmfels, 和 Theobald [8] 提出了「穩定相交」(stable
intersection) 的概念。穩定相交就是雖然這兩條直線交於一個射線, 但只要偏移一點 點, 就會很「正確」的交於一點。那我們讓偏移一點點, 有正確交點的交點找出來, 當 偏移量趨近零的時候, 就會趨向一個點, 我們就稱這個點為這兩條直線的穩定交點。
Figure 1.2: two tropical lines in a ray
一般來說, 兩條曲線 C 和 D 的穩定相交定義如下: C ∩stD = lim ε→0(Cε∩ Dε) 其中 Cε和 Dε 很小的平移。這樣的定義解決了熱帶曲線的相交問題, 但我們也發現 這個定義很難嚴謹的寫出來, 一般情況下也很難用來計算。所以我們需要尋求其他的 定義方式: 以熱帶循環的相交來定義。
1.4
熱
熱
熱帶
帶
帶循
循
循環
環
環的
的
的相
相
相交
交
交理
理
理
論
論
論
我們看到直接用集合上的相交會有些問題, 穩定相交可以解決這個問題, 但很難嚴謹定 義和計算。Mikhalkin [7] 提出一個想法, 而 Allermann 和 Rau [1] 嘗試把這個想法 嚴謹的寫下來。基本上這個想法是把相交理論以「熱帶循環」 (tropical cycle) 的交 集來處理。一個熱帶曲線或更一般的熱帶曲體都可以看成某個熱帶循環等價類中的一 個例子。所以我們可以在每個等價類中選擇「好的」代表來做交集, 這樣的交集就會 是「正確的」交集。這裡多是技術層面的處理, 詳細的過程除了可以參考前面提及 Allermann 和 Rau [1] 的工作, 更早 Gathmann, Kerber, 和 Markwig [4] 的工作在概念上更容易理解。這 樣的定義方式事實上和穩定相交有異曲同工之處, 所以 Allermann 和 Rau [1] 猜測這 兩種交集事實上是相同的。這個猜測最近由 Katz [5] 證明。 至此熱帶相交理論可說 已有相當的基礎。
Chapter 2
成
成
成果
果
果自
自
自評
評
評
這次的計畫中, 我們研究了熱帶相交理論目前最新的進展, 瞭解穩定相交和 Aller-mann, Rau等更嚴謹定義的相交理論之關聯性。 我們最希望的應用是用在研究非交換餘調的相關問題。在到美國加州大學爾灣校區訪 問的期間, 試著去計算一些例子, 發現幾個問題。第一個問題是熱帶化後, 有可能有些 問題變得太顯然, 亦即得不到有意思的結果。另一方面是很們很難描述什麼是 Hodge 分解。 可能的方向是在熱帶幾何中合理解釋 C∗ 作用。這個方向會是我們今後考慮的重點並 會放在明年的計畫當中。 對於一些例外我們還是整理一篇論文發表 [?], 另外也對熱帶亞純函數做了進一步的整 理 [9]。未來我們希望能對整個熱帶曲體有更完整的認識, 真正可以將古典一些困難問 題轉成熱帶幾何的問題處理。Bibliography
[1] Lars Allermann and Johannes Rau. First steps in tropical intersection. arXiv:0709.3705v2, 2007.
[2] T. Bogart, A. Jensen, D. Speyer, B. Sturmfels, and R. Thomas. Computing tropical varieties. J. Symbolic Comput., 42(1-2):54–73, 2007.
[3] Andreas Gathmann. Algebraic geometry.
[4] Andreas Gathmann, Michael Kerber, and Hannah Markwig. Tropical fans and the moduli spaces of tropical curves. Compos. Math., 145(1):173–195, 2009.
[5] Eric Katz. Tropical intersection theory from toric varieties. arXiv:0907.2488v1, 2009.
[6] Yen lung Tsai. Non-abelian Clemens-Schmid Exact Sequences. PhD thesis, University of California, Irvine, 2003.
[7] Grigory Mikhalkin. Tropical geometry and its applications. In Interna-tional Congress of Mathematicians. Vol. II, pages 827–852. Eur. Math. Soc., Z¨urich, 2006.
[8] J¨urgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels, and Thorsten Theobald. First steps in tropical geometry. In Idempotent mathematics and mathematical physics, volume 377 of Contemp. Math., pages 289–317. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
[9] Y. L. Tsai. Working with one-variable tropical meromorphic functions. (forthcoming).
[10] Yen-Lung Tsai and Eugene Z. Xia. Non-abelian local invariant cycles. Proc. Amer. Math. Soc., 135(8):2365–2367, 2007.
