活動 8 學習單 – 用數學軟體學微積分

(1)

數學軟體導論

₍

一

₎

課程學習單

活動

₈

學號: 姓名_: 你的伙伴:

1

單元介紹與學習目標

利用數學軟體重新檢視微積分課程當中的幾個觀念。

2

用

_{Desmos Calculator}

學微積分

例題 _1. 關於 lim x→0 sin x x = 1 的幾個觀點。解_. (1) 畫出函數 f(x) = sin x x 的圖形,然後研究曲線上的點當x接近 0的時候y 值的變化, 得到y 值與 1很靠近,在數學上會寫 lim x→0 sin x x = 1 表示這個概念。注意到, 討論極限問題時, 函數在該點的取值不重要。以此為例, 當點移到 x= 0 的時候, 電腦顯示 (0, undefined)。輸入的指令: f (x) = sin x_x 。 (2) 把極限式理解為 lim x→0 sin x x = lim_x→0 sin x−0 x−0 , 其幾何意義是考慮函數 f(x) = sin x 圖形通過 (0, 0) 與動點 (x, f (x)) 的割線斜率當 x 趨近於 0 的極限 — 得到曲線在 (0, 0) 的切線斜率, 切線斜率即 f′ (0)。

輸入的指令: f (x) = sin x; (a, f (a)), 0 ≤ a ≤ 2, 增量0.01; y = f(a)_a x; y = x。

(3) 當函數f(x)「很好」的時候,我們可以利用求導法則(四則運算、鏈鎖律)快速得到導函數f′ (x), 這個方法就可以取代利用導數的定義 f′ (x) = lim h→0 f(x+h)−f (x) h (割線斜率的極限) 而得到結果。割線斜率的極限有時候會等於切線斜率的極限。而這句話的數學意義是 f′ (a) = lim x→af ′ (x)。若將 f′ (a) 寫成f′ (lim x→ax), 那麼 f ′ (lim

x→ax) = limx→af ′ (x)告知「函數 f′_」 _{與「極限的操作」可以互} 換; 換言之,這個條件等價於要求 f′ _{是「連續函數」。以} f(x) = sin x 為例, 我們要觀察的是切線 y− f(a) = f′ (a)(x − a)當 a 接近 0的時候是否會貼近直線 y= x。

輸入的指令: f (x) = sin x; (a, f (a)), 0 ≤ a ≤ 2,增量0.01; y − f (a) = f′

(a)(x − a); y = x。 (4) 函數圖形在一點的切線,在切點附近的切線值與函數值之間的關係稱為「線性近似」 (linear ap-proximation)。以此為例, lim x→0 sin x x = 1 以線性近似的方式解讀之, 它表示: 當x 很接近0的時候 _{sin x ∼ x}。從圖形來看, 你會發現 y = sin x與直線 y= x 在x= 0 附近是相當貼近的。輸入的指令_{: f (x) = sin x; y = x}。 1

(2)

例題 _2. 割線斜率的極限不等於切線斜率的極限的例子。解_. 由上述討論, 當一個函數的一次導函數不連續 (數學上會寫成 f(x) 6∈ C1_(R)) _時_, _{在那些導數不} 連續的地方, 割線斜率的極限就不會等於切線斜率的極限。當一個函數是分段定義的時候, 在相接的地方就必須注意, 很有可能會有這種現象。例如: f(x) =    x2sin 1_x 若x6= 0 0 若x= 0 課堂中用定義與夾擠定理證明 f′ (0) = 0 (現在若對這件事還是不清楚的話, 應該要加點油了), 然而對於 x6= 0 的地方, f′

(x) = 2x sin_x1 −cos_x1, 得到 lim

x→0f ′

(x) 不存在。

輸入的指令: f (x) = sin(1_x); (a, f (a)), 0 ≤ a ≤ 1, 增量 0.001; y − f (a) = f′

(a)(x − a); f′ (x)。例題 _3. 考慮函數 f(x) =    1−cos x sin x 若x≥0 ax+ b 若x <0, 希望找到常數 a, b使得函數f(x)為可微分 (differentiable) 的函數。解_. 利用Desmos Calculator 確實觀察這一個例題代表的幾何意義。例題 _{4 (}極限的精確定義_). 可進入 goo.gl/56x1NH 與 goo.gl/HnSwN3 再次體會給定 ε 之下_{, δ} 應如何選取。例題 _{5 (}星形線的幾何意義). 可進入 goo.gl/fG7ESq 了解星形線的特性。

作業 _{1 (}歐拉數(Euler number) e 的定義). 請利用 Desmos Calculator 依指示體會歐拉數的意義。

(1) 畫出函數 f(x) = ax_, _其中參數_a _介於 _1.5 _到_3.5 _之間_,_增量為 _0.001_。 (2) 畫出函數 f(x) 在_{(0, 1)} 處的切線。 (3) 畫出通過 (0, 1)並且斜率為 1 的直線。 (4) 調整 a 讓 ₍₁₎ 的切線與 ₍₃₎ 的直線重合_, 這個 a 大概在哪裡呢_? (5) 心得: 所謂 ex _函數_, _{指的是函數在} _{(0, 1)} _{處的切線斜率為} ₁_{的指數函數。} (6) 在「分享圖形」的地方, 複製「分享連結」, 將網址貼到雲端學院的作業/報告 _⇒活動 8 裡面的框框中 _⇒ 確定繳交。 2