國小高年級學生代數推理能力之研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：. 馬秀蘭博士吳德邦博士. 國小高年級學生代數推理能力之研究. 研究生：陳玫如撰. 中華民國一○一年六月.

(2) 謝誌時光飛逝，兩年的研究所課程即將劃下句點。因為研究所的數學教育課程，讓我重拾書本，再次回到校園，重溫當學生的感覺，只是這次無法單純當個全職學生，必須教職、學業兩邊忙，忙碌的程度當然不是三言兩語就能說盡，雖然辛苦但也十分充實。至於完成論文這項大工程，真的是超級任務，不是獨自一人就能完成的，而是需要指導教授、同事、同學、家人的協助與支持。在此最要感謝的是我的指導教授馬秀蘭教授，每次討論時，必須麻煩教授特地至臺中教育大學指導，而在指導時，教授會給予我適切的建議，像家人一樣的鼓勵我，消除我緊張的精神；每當我利用電話、MAIL 詢問時，教授您也是即時、不煩其擾的解決我的疑惑，有您的提醒、督促，網路佈題、代數推理評量工具才能順利完成，本篇論文才有雛型、漸漸修改完備。還要感謝吳德邦教授，有您的共同指導，讓我看到不同的層面，也及時堅定迷惑的心、確定評量工具的方向，讓之後評量工具的實施更順利；有您的細心提醒，讓我在處理論文大大小小細節上更順利。當然也要特別感謝口試委員袁媛教授、劉柏宏教授、陳彥廷教授，百忙之中撥空費心審閱論文，並撥冗遠道給予我諸多寶貴建議，使我的論文更完善。同時也要感謝碩士班同學正亮、佳萍、炎冠、淑禎提供的論文資訊、建議，以及評量工具的研發修正與施測協助。感謝學校同仁志勳、美琴、美華、英美、惠純、惠雯、琮翔、嘉惠，因為您們的相助，評量工具內容更完備、施測更順利。感謝默默支持我的家人，家人的關心是我堅持下去的動力。最後，感謝所有曾經幫助我、鼓勵我、激勵我的朋友們。謝謝您們!因為有您們，我才得以有此成果，願您們與我共同分享這成果、喜悅!. 陳玫如謹誌於臺中教育大學 101.06.

(3) 摘要本研究依Mayer (1992)數學解題成分「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計劃及監控」、「解題執行」，研發國小高年級代數推理評量工具，其分為圖形樣式多元表徵、生活情境多元表徵二卷，並進行實徵研究，探討不同背景之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」、「生活情境多元表徵」的代數推理能力差異，並進一步依Mayer數學解題成分分析代數推理能力之間相關與迴歸。本研究據以分析之資料，來自於馬秀蘭教授(2010，2011，2012)主持之多年期行政院國家科學委員會專題研究計畫（計畫名稱：由多元表徵圖形樣式的推理中研發代數推理評量工具之研究。計畫編號：NSC 98-2511-S-275-001–M）。本研究乃是其部分研究成果。本實徵研究對象為臺灣北、中、南、東部區域「國小高年級」學童共460人，研究結果如下：一、於「圖形樣式多元表徵」的代數推理能力： (一) 學童在「線性序列」的代數推理能力顯著高於其在「二階序列」的代數推理能力。 (二) 「線性序列」各類序列中，學童在「圖次差距為相同倍數」的代數推理能力顯著高於其在「圖次差距為相同倍數和逆推」及「圖次差距為相同差距」的代數推理能力。 (三) 「二階序列」各類序列中，學童在「階差為 1 的線性序列和逆推」的代數推理能力顯著高於其在「階差為 2 的線性序列」及「階差為 2 的線性序列和逆推」的代數推理能力。 (四) 不同區域、年級、性別之學童的代數推理能力均無交互作用 (五) 男生與女生的代數推理能力未達顯著差異。 (六) 六年級學童的代數推理能力顯著高於五年級學童的代數推理能力。 (七) 北部區域學童的代數推理能力顯著高於中部區域及南部區域學童的代數推理能力，但北部區域與東部區域學童的代數推理能力未達顯著差異。. I.

(4) (八) Mayer 數學解題成分之間相關，「問題轉譯能力」、「問題整合能力」這二個變項可預測「解題計劃及監控、解題執行能力」45.9%的變異量。其迴歸方程式為：「解題計劃及監控、解題執行能力」＝-0.073＋0.203 × 「問題轉譯能力」＋0.316 × 「問題整合能力」。二、於「生活情境多元表徵」的代數推理能力： (一) 學童在「線性序列」的代數推理能力顯著高於其在「二階序列」的代數推理能力。 (二) 線性序列各類序列中，學童在「項次差距為相同倍數」的代數推理能力顯著高於其在「項次差距為相同差距」及「項次差距為相同倍數和逆推」的代數推理能力。 (三) 二階序列各類序列中，學童在「階差為 1 的線性序列和逆推」的代數推理能力顯著高於其在「階差為 2 的線性序列」；學童在「階差為 2 的線性序列和算術式」的代數推理能力，顯著高於其在「階差為 2 的線性序列和代數式」的代數推理能力。 (四) 不同區域、年級、性別之學童的代數推理能力均無交互作用 (五) 男生與女生的代數推理能力未達顯著差異。 (六) 六年級學童與五年級學童的代數推理能力未達顯著差異。 (七) 北部區域學童的代數推理能力顯著高於中部區域及南部區域學童的代數推理能力，但北部區域與東部區域學童的代數推理能力未達顯著差異。 (八) Mayer 數學解題成分之間相關，「問題轉譯能力」、「問題整合能力」這二個變項可預測「解題計劃及監控、解題執行能力」59.5%的變異量。其迴歸方程式為：「解題計劃及監控、解題執行能力」＝0.149＋0.214 × 「問題轉譯能力」＋0.338 × 「問題整合能力」。三、「圖形樣式多元表徵」代數推理能力與「生活情境多元表徵」代數推理能力相關係數為.764，「圖形樣式多元表徵」代數推理能力這個變項可預測「生活情境多元表徵」代數推理能力 58.3%的變異量。其迴歸方程式為：「生活情境多元表徵」代數推理能力＝0.420＋0.899 ×「圖形樣式多元表徵」代數推理能力。關鍵詞：生活情境、代數推理、多元表徵、解題、圖形樣式. II.

(5) A Study of the Algebraic Reasoning Abilities of the Fifth and Sixth Graders. Abstract This study tried to develop an algebraic reasoning evaluation tool and explore the different algebraic reasoning abilities of different background 5th, 6th graders on pictorial. pattern. multiple-representation. (I). and. authentic. life. situation. multiple-representation (II). The relationship between Mayer’s mathematic problem solving components “problem translation (PT)”, “problem integration (PI)”, “solution planning and monitoring (SPM)”, “solution execution (SE)” and algebraic reasoning ability was further analyzed, an algebraic reasoning regression model was thus deduced. 460 5th and 6th graders from northern, middle, southern and eastern areas of Taiwan were subjects of the study. The self-designed algebraic reasoning evaluation tools were used on the test, and the test results were analyzed by the statistical software SPSS 12.0. Followed were the results: 1. Either on the algebraic reasoning abilities of I or II, subjects performed better algebraic reasoning ability on “linear pattern sequence” than on “quadratic pattern sequence”. 2. Either on the algebraic reasoning abilities of I or II, subjects performed better algebraic reasoning ability on the “f(x)=an” type of “linear pattern sequence” than the “f(x)=an+1” type and the “f(x)=an, using abduction” type of “linear pattern sequence”. 3. On the algebraic reasoning abilities of I, subjects performed better algebraic reasoning ability on the “f(x)=1+2+3+…＋n, using abduction” type of “quadratic pattern sequence” than the “f(x)=n×n” type and the “f(x)=(n+1)×(n+1)-1, using abduction” type of “quadratic pattern sequence”. 4. On the algebraic reasoning abilities of II, subjects performed better algebraic reasoning ability on the “f(x)=1+2+3+…＋n, using abduction” type of “quadratic pattern sequence” than the “f(x)=n×n” type and the “f(x)=(n+1)×(n+1)-1” type of. III.

(6) “quadratic pattern sequence”. 5. Either on the algebraic reasoning abilities of I or II, there were no interactions among algebraic reasoning abilities of different areas, grades and genders. 6. Either on the algebraic reasoning abilities of I or II, there was no significant difference between the genders. 7. On the algebraic reasoning abilities of I, 6th graders had better algebraic reasoning ability than 5th graders. On the algebraic reasoning abilities of II, there was no significant difference between the grades. 8. Either on the algebraic reasoning abilities of I or II, subjects from northern area of Taiwan have the highest algebraic reasoning ability; those from the eastern area, the second; subjects from the middle area, the third; and subjects from the southern area have the lowest algebraic reasoning ability. The difference between northern and middle area and the difference between northern and southern area were both significant, and there was no significant difference between northern and eastern area. 9. With respect to the interrelationships among Mayer’s mathematic problem solving components, and their regression equations were found and were illustrated as following: (a) SPM and SE =-0.073+0.203× PT +0.316× PI (On the algebraic reasoning abilities of I). (b) SPM and SE =0.149+0.214× PT +0.338× PI (On the algebraic reasoning abilities of II). 10. The algebraic reasoning abilities of pictorial pattern multiple-representation (ARA I) had strong correlation with the algebraic reasoning abilities of authentic life situation multiple-representation (ARA II). And the algebraic reasoning abilities of authentic life situation multiple-representation was predictable. The regression was: ARA II =0.420＋0.899× ARA I . Key Words: algebraic reasoning, authentic life situation, multiple-representation, pictorial pattern, problem solving.. IV.

(7) 目次中文摘要........................................................................................... Ⅰ. Abstract.............................................................................................. Ⅲ. 目次................................................................................................... Ⅴ. 表次................................................................................................... Ⅶ. 圖次................................................................................................... Ⅹ. 第一章緒論..................................................................................... 1. 第一節研究動機.............................................................................................. 1. 第二節研究目的與問題.................................................................................. 5. 第三節研究限制.............................................................................................. 6. 第四節名詞詮釋.............................................................................................. 7. 第二章文獻探討............................................................................. 11. 第一節代數推理的探討.................................................................................. 11. 第二節樣式的探討.......................................................................................... 17. 第三節數學解題歷程...................................................................................... 27. 第三章研究方法............................................................................. 33. 第一節研究過程.............................................................................................. 33. 第二節研究對象.............................................................................................. 36. 第三節研究工具.............................................................................................. 38. 第四節資料分析.............................................................................................. 71. V.

(8) 第四章研究結果與討論. ............................................................... 73. 第一節國小高年級學童的代數推理能力分析.............................................. 73. 第二節不同背景之國小高年級學童在代數推理能力的交互作用分析...... 88. 第三節不同背景之國小高年級學童在代數推理能力的差分析.................. 95. 第四節 Mayer 數學解題成分之相關與迴歸分析以及代數推理能力間之相關與迴歸分析.................................................................... 101. 第五章結論與建議........................................................................ 111 第一節結論...................................................................................................... 111. 第二節建議...................................................................................................... 115. 參考文獻.......................................................................................... 117 一、中文部分...................................................................................................... 117. 二、英文部分...................................................................................................... 121. 附錄.................................................................................................. 127 附錄一「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具.......................................... 127. 附錄二「生活情境多元表徵」代數推理評量工具.......................................... 139. 指導教授簡歷.................................................................................. 151 作者簡歷.......................................................................................... 153. VI.

(9) 表次表 2-1-1 表 2-1-2 表 2-3-1 表 3-2-1 表 3-2-2 表 3-3-1 表 3-3-2 表 3-3-3 表 3-3-4 表 3-3-5 表 3-3-6 表 3-3-7 表 3-3-8 表 3-3-9 表 4-1-1 表 4-1-2 表 4-1-3 表 4-1-4 表 4-1-5 表 4-1-6 表 4-1-7. 五、六年級代數分年細目............................................................... 連結主題能力指標......................................................................... Mayer 的數學解題成分說明.......................................................... 一百學年度各區域樣本班數......................................................... 正式施測各區域有效樣本人數..................................................... Mayer 的數學解題成分與代數推理評量工具各小題對照.......... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具預試施測之試題難度及鑑別度..................................................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具預試施測之試題難度及鑑別度..................................................................................... 代數推理評量工具預試施測信度統計量..................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具各試題的雙向細目表..................................................................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具各試題的雙向細目表..................................................................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具正式施測之試題難度及鑑別度..................................................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具正式施測之試題難度及鑑別度..................................................................................... 代數推理評量工具正試施測信度統計量..................................... 高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具的答對率................................................................................................. 高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具的線性序列、二階序列代數推理能力比較........................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具線性序列、二階序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具線性序列中各類序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具二階序列中各類序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理評量工具的答對率................................................................................................. 高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理評量工具的線. VII. 15 16 30 37 37 39 52 55 59 60 60 68 70 71 77 78 78 79 80 84.

(10) 表 4-1-8 表 4-1-9 表 4-1-10 表 4-2-1 表 4-2-2 表 4-2-3 表 4-2-4 表 4-2-5 表 4-2-6 表 4-2-7 表 4-2-8 表 4-2-9 表 4-2-10 表 4-2-11 表 4-2-12 表 4-3-1 表 4-3-2 表 4-3-3. 性序列、二階序列代數推理能力比較........................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具線性序列、二階序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具線性序列中各類序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具二階序列中各類序列代數推理能力成對樣本檢定..................................................... 不同區域、年級之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同區域、年級之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的變異數分析摘要表............................................. 不同區域、年級之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同區域、年級之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的變異數分析檢定................................................. 不同區域、性別之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同區域、性別之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的變異數分析檢定................................................. 不同區域、性別之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同區域、性別之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的變異數分析檢定................................................. 不同年級、性別之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同年級、性別之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的變異數分析檢定................................................. 不同年級、性別之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的平均數、標準差摘要........................................... 不同年級、性別之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的變異數分析檢定................................................. 不同性別之國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的獨立樣本 t 檢定.............................................................. 不同性別之國小高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的獨立樣本 t 檢定............................................................... 不同年級之高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的獨立樣本 t 檢定........................................................................ VIII. 85 85 86 87 89 89 90 90 91 91 92 92 93 93 94 94 95 96 96.

(11) 表 4-3-4 表 4-3-5 表 4-3-6 表 4-3-7 表 4-3-8 表 4-3-9 表 4-3-10 表 4-3-11 表 4-3-12 表 4-4-1 表 4-4-2 表 4-4-3 表 4-4-4 表 4-4-5 表 4-4-6 表 4-4-7 表 4-4-8 表 4-4-9 表 4-4-10. 不同年級之高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的獨立樣本 t 檢定....................................................................... 不同區域之高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的統計量..................................................................................... 不同區域之高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的變異數同質性檢定................................................................. 不同區域之高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的分析摘要表............................................................................. 不同區域之高年級學童在「圖形樣式多元表徵」代數推理能力的事後比較摘要表..................................................................... 不同區域之高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的統計量 ................................................................................... 不同區域之高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的變異數同質性檢定................................................................. 不同區域之高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的變異數分析摘要表................................................................. 不同區域之高年級學童在「生活情境多元表徵」代數推理能力的事後比較摘要表..................................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理能力「問題表徵」與「問題解決」之相關摘要........................................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理能力「問題表徵」與「問題解決」之逐步迴歸分析結果摘要表............................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理能力「解題成分」之相關摘要..................................................................................................... Mayer 數學解題成分之逐步迴歸分析結果摘要表...................... 「生活情境多元表徵」代數推理能力「問題表徵」與「問題解決」之相關摘要........................................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理能力「問題表徵」與「問題解決」之迴歸分析結果摘要表....................................................... 「生活情境多元表徵」代數推理能力「解題成分」之相關摘要..................................................................................................... Mayer 數學解題成分之迴歸分析結果摘要表.............................. 「圖形樣式多元表徵」代數推理能力與「生活情境多元表徵」代數推理能力之相關摘要............................................................. 「圖形樣式多元表徵」代數推理能力與「生活情境多元表徵」代數推理能力之迴歸分析結果摘要表.......................................... IX. 97 98 98 98 99 99 100 100 100 102 102 103 104 105 106 107 108 109 109.

(12) 圖次圖 3-1-1 圖 3-1-2 圖 3-3-1 圖 3-3-2 圖 4-1-1 圖 4-1-2. 高年級學童圖形樣式的多元表徵轉換活動.................................. 高年級學童在圖形樣式、生活情境多元表徵的代數推理解題活動...................................................................................................... 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具各題序列屬性............ 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具各題序列屬性............ 「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具序列類別.................... 「生活情境多元表徵」代數推理評量工具序列類別..................... X. 34 35 64 66 74 81.

(13) 第一章緒論本章共分為四節，第一節說明本研究之動機，第二節為研究目的與問題，第三節為本研究之限制，第四節針對本研究中重要名詞進行釋義。. 第一節研究動機我國教育部(2003)在九年一貫課程綱要數學學習領域中指出，民國 82 年版的「國小數學課程標準」中，有關代數的題材比較少，較容易造成學童進入國中後學習的不適應，所以 92 綱要修訂在國小部分，加入運用未知數作數學表示式、認識變數的概念、理解等量公理等，希望能協助銜接國中的代數教學，甚至特地將「代數」抽出，成為五大主題之ㄧ，可見「代數」在數學課程中佔有一席之地。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1989) 指出「代數」是算術的延展、解決問題必備的工具，「代數」能幫助我們用語言來表達數學內容，清晰表達各數量的關係，將問題具體化。NCTM 也建議所有的學童都應該學習「代數」，包括低成就者或低學習能力者(Edwards, 1990)，NCTM (2000)更指出「代數」的學習是數學教育的核心，有助於學校數學的整合。因此，由我國教育部與美國數學教師協會的觀點可知，「代數」不僅是學生需要學習的數學主題，也是數學學習環中重要的議題。但從「代數」學習成就、解題策略的研究結果發現，多數學生仍無法順利的將文字符號當作特定未知數使用，甚至無法將文字符號看待成一般數或變數 (Küchemann, 1981)。學生在學習「代數」的迷思概念，主要為對未知數的認知不足，將符號當成一個特定的物性或標誌(Kieran, 1992)。而學生學習未知數概念的困難點，其原因在於國小階段學習「代數」時過於重視運算法則及算術過程(Booth,. 1.

(14) 1988)。「數」與「幾何圖形」是數學研究的兩大主題，找尋它們的規律(patterns) 與秩序(orders)，並且利用它們來解決日常生活及科學研究上所遇到的各種問題，由此分別發展出算術（代數學）與幾何學。在目前的教育體制下，從國小升到國中，數學的首要主題就是將小學算術精煉成為代數學。由於代數學比算術抽象，使得許多初學者在學習上常常適應不良(蔡聰明，1995a)。袁媛(1993)研究結果顯示多數國中一年級的學生對於理解文字符號概念或代數文字題的解題，均出現極大的困難。謝和秀(2001)認為學生因不了解文字符號所代表的意義為何，及對算術和代數運算規則的概念混淆，導致在代數學習中遭遇到許多困難。古逸軒(2009)指出符號的熟悉程度與表徵意義，將影響學生的數學學習成效。廖瓊菁(2001)也提到國小「代數」課程主要為培養較基礎的先備概念，以作為日後更高層次、更抽象的代數學習作準備，基礎的「代數」概念若沒學好，將造成往後學習上的種種困難，因此在國小階段，教師應特別留意學生基礎概念的建立。可見學習「代數」對學生是有困難的，而相關研究提出「代數」概念在國小教學是可行的(呂玉琴， 1989)，也有研究指出，透過課程設計與教學實施後，學童能表現出更為優異的「代數」推理解題能力(陳嘉皇，2007)，因此「代數」概念在國小階段是可以經由學習、課程設計與教學實施而建構的。那究竟要如何學習「代數」呢？Carraher, Schliemann, Brizuela 和 Earnest (2006) 指出低年級學生在學習數學時，「代數」具有輔助的功能，且學生可利用文字符號、數線、圖表來表徵各種問題情境，以幫助解決問題。Steen (1988)指出，數學的性質已轉變成為一門尋找樣式(pattern)的學科。NCTM (1989, 2000)明確指示，對 5 到 8 年級學童而言，應積極學習樣式規律與函數；理想的代數教學，應強化學前到八年級一連串豐富多樣的非正規「代數」經驗，直到八年級後段才充分強調符號運算，也就是建置一個讓學生能主動探索、啟動代數思維的教學情境，並注重學生認知層次的連貫性，這樣樣式規律的學習不失為一種非正規代數經驗。 2.

(15) Lee (1996)認為當學童一開始學習「代數」概念時，可以製造一個樣式一般化的活動情境，藉以啓蒙他們進入「代數」文化，其教學實驗也顯示，透過樣式活動去介紹「代數」是可能的。Orton 和 Orton (1999)認為圖形樣式規律的活動是學生學習代數的良好題材。Herbert 和 Brown (1997)、Naylor (2002)等多位學者也一致認為，樣式推理的活動對於國小學生奠定日後學習「代數」的基礎，扮演著一個非常重要的角色。English 和 Warren (1999)則建議把代數式與具體脈絡作聯結，例如圖形樣式，是發展基礎代數想法有效的方法之一。不只國外學者有這樣的認知、研究，國內陸陸續續也出現類似的觀點、看法。學習數學最好的方法，莫過於培養解題能力，而學會如何在題目中找尋規律，就是培養解題能力之良好策略。數學所追求的目標之一，與其他自然科學一樣，是想在千變萬化的事物中，找出一些規律，使我們能探討事物變化的一些模式，進而預測未來的變化(黃敏晃，2000)。人是尋求規律的動物，學數學是尋求事物背景中，有關數與形的規律。數學裡有許許多多不很複雜的規律可讓學生去尋找(曹亮吉，2003a)。我國九年一貫課程暫行綱要也反映了這股教育思潮的變革，指出因應學生的認知發展，各階段課程所著眼的思考型態必須強調察覺樣式、辨識樣式間的關係，以及樣式間的非形式化演繹(教育部，2002)。就如其所提，我們周遭的自然與社會環境中，到處可見數與形，而各種數與形都有一些規律，數學探討的就是這些規律。代數的符號、方法與系統，正是探討這些規律、表徵這些規律，為這些規律建立模式的語言與工具。根據這樣的理念，「代數」的學習可分為三個層次：第一個層次是認識與察覺生活周遭中之數量關係、樣式或情境；第二個層次是學習表徵這些數量關係、樣式或情境；第三層次是能將表徵的方式加以類化及系統化，以展現出這些數量關係、樣式或情境的數學結構(教育部，2003，引自趙曉燕，2010)。綜合國內外學者看法、研究，「代數」與樣式兩者之間關係密切，當學童尚未正式接受代數式課程時，教師可以圖形樣式活動去帶領學生進入「代數」世界、 3.

(16) 了解「代數」文化。Steen (1990)指出，孩童必須大量接觸與他們生活相關的適切的豐富樣式題材，從其中覺察樣式的多樣化、規律性及相互關聯性，才能獲得數學性的成長。國內九年一貫課程綱要數學領域能力主軸提到，除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。小學應用問題的教學，是利用兒童的生活經驗、直觀和（在培養中的）抽象思考方法揉合在一起的活動。這是兒童在國中學習抽象的「代數」以及其它學科時，絕佳的前置經驗 (教育部，2003)，另一方面，強調生活經驗的九年一貫課程綱要也提到，「代數」的能力強調邏輯的推演，培養學生的抽象思考能力，在幾何推理的素材上，常常需要藉由代數的能力導出新的觀念，創造新的性質和結果。此外，利用「變數」與「函數」的觀念，不僅可以解決很多日常生活中的問題，更是 e 化時代資訊科技「輸入與輸出」的學問基礎(教育部，2003)。透過圖像表徵問題，以日常生活情境或編故事作為學習問題的出發點，有助於學生從圖形中了解問題的意義，問題也因與生活經驗相連結而較有意義，有助於思考「代數」的意義及進行解題(戴文賓、邱守榕，2000)。由此可見，「代數」、樣式活動如果與生活經驗中相關素材、相關應用問題結合，將有助於國小學童理解「代數」，發現樣式活動規律，增進「代數」推理的能力。而九年一貫課程重視學童「生活經驗」，強調生活情境、具體情境，因此研究者認為代數學習應從學生生活經驗中圖形樣式、數量關係的探討出發，培養觀察數量關係與展現數量關係之數學結構的能力，透過合理推論發展「代數」思考，提昇思考層次，並能應用於生活中。在評量方面，代數、圖形樣式的題目設計多是填充題，答案錯就是錯，無法完全代表學生的推理解題能力，而九年一貫課程綱要關於「評量」實施要點部分也明文規定，教學評量宜同時關照到學習成就與學習歷程，除了單一選擇題與填充題以外的其他題型，均宜訂定分段給分標準，依其作答過程的適切性，給予部分分數，並讓學生理解其錯誤的原因(教育部， 2003)。 4.

(17) 許多研究，例如：探討電腦輔助教學之成效、電腦圖示表徵之教學學習成效、電腦融入解題策略教學之成效、低成就學生之除法解題歷程、低成就學生除法解題錯誤類型…等，還有探討一般學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型，這些研究者均參考 Mayer (1992)的解題理論，故本研究中代數推理評量工具的每一大題設計，採單一選擇題作答方式，並且依據 Mayer 數學解題成分－「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計劃及監控」、「解題執行」，每一大題設計四個小題（小題甲、乙、丙、丁），分段給分，從學童推理解題過程理解其錯誤的癥結、錯誤的階段。基於以上因素，本研究以研發「圖形樣式」與「生活情境」的代數推理評量工具為首要目的，並依據施測結果進行相關探討，期望代數推理評量工具可以作為教師進行代數推理評量時的參考。. 第二節研究目的與問題一、研究目的基於以上的動機，本研究目的為： (一)研發國小高年級學童代數推理的評量工具。 (二)進行評量工具的實徵研究，探討： 1.. 國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」、「生活情境多元表徵」二卷代數推理評量工具的的代數推理能力。. 2.. 不同背景之國小高年級學童在代數推理能力的交互作用情形。. 3.. 不同背景之國小高年級學童在代數推理能力的差異情形。. 4.. Mayer 數學解題成分之相關與迴歸方程式，以及「圖形樣式、生活情境多元表徵」代數推理能力之相關與迴歸方程。. 5.

(18) 二、研究問題根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題： (一) 國小高年級學童在「圖形樣式多元表徵」、「生活情境多元表徵」二卷代數推理評量工具的代數推理能力情形為何？ (二) 不同背景（性別、年級、區域）之國小高年級學童的代數推理能力是否有交互作用？ (三) 不同背景（性別、年級、區域）之國小高年級學童的代數推理能力是否有差異？ (四) Mayer 數學解題成分之間是否相關？是否可建立迴歸方程式？「圖形樣式、生活情境多元表徵」代數推理能力之間是否相關？是否可建立迴歸方程式？. 第三節研究限制一、研究工具本研究工具雖依據九年一貫數學領域代數主題之能力指標，但代數範圍極廣，圖形樣式的變化極多，故本研究內容並未涵蓋整個代數主題、所有圖形樣式；而生活情境也無法包含、依賴每個具體情境、學習情境，所以本研究工具的推論範圍有限。. 二、研究對象本研究對象限制在國小高年級學童，主要原因在於國小數學課程設計係依據九年一貫數學學習領域課程綱要，而「代數」主題在國小五年級課程設計才開始有「未知數符號」用詞。. 6.

(19) 第四節名詞詮釋一、代數推理能力推理(reasoning)是從所知證據推出或抽出適當結論之能力(馬秀蘭，2007)，是指根據一個或數個判斷推演出另一個新的判斷的思維歷程(張春興，1994)，是在解決問題時，按照合理的邏輯規範推理思維、獲得答案的歷程(張春興，1989)，可見解決問題需要推理和歸納，推理本身就是一種問題解決，推理能力和解決問題能力關係緊密，可說是一體兩面。本研究中之代數推理能力是指利用「圖形樣式多元表徵」、「生活情境多元表徵」二卷代數推理評量工具，測得學童進行代數推理之解題能力。. 二、多元表徵表徵本身具有三種特性：系統性、多樣性、多義性(蔣治邦，1997)，而本研究採用「多樣性」的意涵。「多元表徵」是指不同的表徵形式可代表相同的數學概念，並不會隨著採用不同的外在表徵形式而有所差異或改變。本研究第一年圖形樣式的多元表徵轉換活動、第二年圖形樣式及生活情境多元表徵的代數推理解題活動、第三年代數推理評量工具（圖形樣式多元表徵、生活情境多元表徵）各小題的編製，就是採用「圖形樣式」、「文字」、「表格」、「生活情境」等不同的表徵形式，但都是表達同一概念，都是表徵的一種，且二卷代數推理評量工具分別以「圖形樣式」、「生活情境」為主軸。. 三、圖形樣式圖形樣式係以圖形（如小黑點、小星星、小棒等）排列組成規則、規律，其圖形中的數量可轉換為數字。本研究依據 Owen (1995)提出的「序列」樣式（重複樣式、結構樣式與序列），以及 Hargreaves, Threlfall, Frobisher 和 Shorrocks-Taylor (1999)的數字序列（線性數列、二階數列與費波納齊數列），將圖形樣式分為「線 7.

(20) 性序列」及「二階序列」兩類。. 四、線性序列「線性序列」是指連續圖形或數字間的差距為常數的序列，本研究分為（一）「圖╱項次差距為相同倍數」與（二）「圖╱項次差距為相同差距」，例如：（一）. …或 2-4-6-8-10-…，其圖╱項次差距為相同倍數(2n）；（二）. …或 3-5-7-9-11-…，其圖╱項次差距為相同差距(2n+1)。. 五、二階序列「二階序列」是指連續圖形或數字間的差距形成一種線性序列，本研究分為（一）「階差為 1」與（二）「階差為 2」，例如：（一）. …或 1-3-6-10-15-21-…；其差距為 2-3-4-5-6-…，形成一種「階差為 1」的線性序列。. 8.

(21) （二）. …或 1-4-9-16-25-…；其差距為 3-5-7-9-11-…，形成一種「階差為 2」的線性序列。. 六、逆推當某種情況下的答案已知時，運用策略去求出未知的初值，此策略稱為逆推法(吳德邦、吳順治編譯，1989)。本研究中的「逆推」是指給予答案，再根據所察覺的規律，運用逆推法找到未知的圖 n 或項次。例如：「小美冰店每天固定賣出 3 桶小美冰淇淋，第一天賣出 3 桶小美冰淇淋，第二天再賣出 3 桶小美冰淇淋，共賣出 6 桶小美冰淇淋，第三天再賣出 3 桶小美冰淇淋，共賣出 9 桶小美冰淇淋。依此規律，若小美冰店這次進貨 50 桶小美冰淇淋，則最多可賣到第 X 天，還剩幾桶小美冰淇淋？」. 9.

(22) 10.

(23) 第二章文獻探討本章共分為三節，第一節是代數推理的探討，第二節為有關樣式的探討，第三節則探討數學解題，著重 Mayer (1992)的數學解題成分。. 第一節代數推理的探討一、代數的意涵代數(algebra)源自阿拉伯文 al-jabr，包含了「精簡濃縮」的意思，建基於算數的四則運算和整數的特點，使得引入符號代號的數式得以化簡和歸類(羅浩源， 1997)。F. Vieta (1540～1603)是符號代數的發明人，用符號（字母）表示未知數，而且也用以表示已知數；他認為算術只處理數目，但代數則更進一步處理事物的形式。Kieran (1992)認為「代數」是一種符號化的系統，歷經修辭化、縮寫化、符號化三個的階段。學習代數的任務之一，便是利用符號來表徵數量關係，將問題情境轉譯成方程式。Sfard (1995)則認為「代數」包含兩個重要的主題，一是以符號來表徵的代數式，一是解題的運算方法。Linchevski (1995)指出，課程中的「代數」設計，應包含算式及代數式的簡化、通則化、數量結構、等式及文字題等五個主題。Lee (1996)認為「代數」指的是使用符號來表示及操弄數脈絡裡的一般性。Usiskin (1999)表示「代數」是一種廣義的算術，包括代數是通則化的算術、代數是解決特定問題的程序、代數是有關數量關係的探索、代數是數學結構的研究。Kaye 和 Mollie (2000)認為「代數」是用來描述已知量與未知量之間的關係，接著透過等價的推論即可找出答案。國內蔡聰明(1995b)認為以符號代替數的解題方法就是代數。廖瓊菁(2001)表示「代數」是數學的分支，因此提出代數的概念結構，包含數概念、文字符號概. 11.

(24) 念及符號表徵的運算等三個子概念。代數，將一個未知之定數暫時以符號代替，是一種方便問題思考的解題策略。代數，將一個未知之定數暫時以符號替代，讓學童依據問題的敘述，將欲求的答案用未知數表示，並根據題目的敘述，列出恰當的算是填充題。由於只是代數的前置經驗，在學童列出算式時，不管未知數出現在哪裡都可以(教育部，2003；寧平獻等人，2010)。隨著代數的演進，不管國內、國外學者，對於代數的意涵各有不同的看法，詮釋的意義也不盡全然相同，其延伸不外乎算術、符號表徵這兩大方向，如今代數已經是一種數學語言了。. 二、代數的相關研究 Küchemann (1981)以 3000 位國中生為研究對象，進行代數學習成就研究，研究結果發現在結構較簡單的問題上，不到一半的學生能將文字符號當作特定未知數或一般數、變數；而能將文字符號當作特定未知數或一般數、變數，處理結構較複雜的問題的學生，更是少數，僅有 9%，研究顯示多數學生仍無法順利的將文字符號當作特定未知數使用，甚至無法將文字符號看待成一般數或變數，研究也指出，學生了解文字符號的意義與後續學習的成就相關達顯著，而且是高度正相關。 Booth (1988)指出中學生學習未知數概念的困難點，其原因在於國小階段學習代數時過於重視運算法則及算術過程。 Kieran (1988)以七年級學生為研究對象，並進行訪談，研究結果指出利用算術解題的學生較難理解要在等號兩邊進行相同運算的概念，而使用代數解題的學生較容易理解要在等號兩邊進行相同運算的概念。 Kieran (1992)研究指出學生在學習代數的迷思概念，其中之一是對等號意義還停留在算術階段的「得到」；另一則是對未知數的認知不足，將符號當成一個. 12.

(25) 特定的物性或標誌。 Saenz-Ludlow 和 Walgamuth (1998)兩人以三年級學生為研究對象，進行一年的教學後，學生由原本認為等號只是方便算術運算的執行命令，變得較能理解等號是比較兩個數量的關係符號。袁媛(1993)從學生不同的認知發展層次觀點出發，探討國中一年級 132 名學生的文字符號概念及代數文字題的解題能力與學習困難。研究結果顯示，形式運思期、具體運思後期及具體運思前期這三組不同認知層次的學生，對於把文字符號當作「一般化的數字概念」及當作「變數概念」，均感到相當困難，研究也發現，多數國中一年級的學生對於理解文字符號概念或代數文字題的解題，均出現極大的困難。王佳文(1995)以 627 位國小六年級學生為研究對象，結合題目反應理論與認知心理學之成分分析法，自編解未知數問題的計算題測驗，研究結果指出，各成分中以「a－□＝b」、「a÷□＝b」這兩類的難度較高。戴文賓、邱守榕(2000)以 10 位國中一年級的學生為研究對象，以晤談方式，探討國一學生初學代數的困難以及克服困難所需的輔導。依據輔導策略顯示，將代數式求值問題，利用數線來表徵（算式圖像化），有助於學生理解題意、算出答案；將題目中未知數與已知數的關係以生活故事轉述後（問題情境化），有助於學生理解與進行解題程序。廖瓊菁(2001)以兩班共 70 位國小六年級的學生為研究對象，其中一班為進行「等量公理的代數教學」的實驗組。研究結果指出在以等量公理解「□＋a＝b」、「□－a＝b」、「□×a＝b」、「□÷a＝b」、「a＋□＝b」、「a×□＝b」等六種題型時，「等量公理的代數教學」有其教學成效，但在以等量公理解「a－□＝b」與「a ÷□＝b」這兩類題型時，則沒有明顯的教學成效，仍有待改進。謝和秀(2001)以 196 位國中一年級的學生為研究對象，探討智商等級不同的學生在文字符號概念及代數文字題的解題情形與學習困難。研究結果指出不同智 13.

(26) 商等級之學生在把文字符號當作「一般化的數字」、「當作變數」二層次上均出現極大的困難。學生在文字符號概念的主要錯誤型態主要是因為不了解文字符號在題目中所代表的意義，以及對算術和代數運算規則的混淆和過度類推造成。陳嘉皇(2006)以「圖卡覆蓋」解題情境歸納算式關係為例，探究國小五年級學童使用之代數推理策略。研究發現，從作業歷程資料的分析來看，學生是具有代數推理的能力，而且受試者在圖卡覆蓋的問題中，能從不同顏色圖卡數目的變化以及圖卡排列的結構，辨識、發現解題的線索，並經由對問題情境中變數的比較、分析、歸納與推理，配合心智運作，採取代數推理的型態進行歸納與表達，整合建構出多樣不同的代數等式，進行解題。陳嘉皇(2007)以 30 名公立國小三年級學童為對象，研究國小三年級學童代數推理解題表現情形及代數推理教學實驗效果。結果發現，大多數小學三年級學童在代數推理解題前測的表現不盡理想，對代數推理各項活動產生困難，但是透過課程設計與教學實施後，學童能表現出更為優異的推理解題能力。陳嘉皇(2008)從南部地區共 1019 位國小三~六年級學童參與其設計之「代數推理等號概念理解測驗」的過程中，探討國小學童等號概念發展、未知數等式概念發展、代數推理樣式歸納推想、對不同表徵設計問題樣式歸納表現情形。研究結果發現，大部分學童將等號視為運算的概念，少部分學童視為關係的解釋；大多數學童對於未知數等式的概念，仍有錯誤的理解；學童代數推理樣式歸納的過程，錯誤的主要原因在於學童無法辨識變數與常數值，以及誤解問題變數的關係；學童對不同表徵的問題，會有辨識常數與變數之差異值、推想步驟和解題策略運用等表現。由上可知，研究對象有國小生也有國中生，但研究內容多是關於代數學習概念以及代數學習困難，對於「代數推理」這一塊則較少相關研究。. 14.

(27) 三、目前國小代數課程之教材內容目前國小數學領域課程教材主要依據 92 年國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域編製而成，另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題(教育部，2003)。課程綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然而多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學目標的明確掌握(教育部，2003)。能力指標與分年細目雖是離散的條目，但教學與學習是連續的過程。階段或分年的規定，強調的是在該階段或分年中，應以條目內容為重點，發展並完成(教育部，2003)。本研究所設計之代數推理評量工具，亦以九年一貫課程綱要之能力指標與分年細目做為編製試題的依據。研究者依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域代數主題分年細目來編製高年級代數推理評量工具，本次評量工具所依據之「代數」主題分年細目如表 2-1-1 所示。表 2-1-1 五、六年級代數分年細目分年細目分年細目內容能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其 5-a-03 解。能使用未知數符號，將具體情境中的問題列成兩步驟的算式題，並嘗 6-a-02* 試解題及驗算其解。能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合 6-a-03 理性。能在比例的情境或幾何公式中，透過列表的方式認識變數。 6-a-04* 資料來源：教育部(2003)九年一貫課程綱要數學學習領域。曹亮吉(2003b)提到，經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用；連結是代數思維的核心－類化與模型，連結是在探尋規律與胚騰。國民中小學九年一貫數. 15.

(28) 學課程強調的重點之ㄧ就是數學的連結。數學內部的連結可貫穿數與量、幾何、代數、統計與機率四個主題，來強調解題能力的培養；數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養(教育部， 2003)。由此可知，數學課程中代數與連結的關係親密以及連結之重要性。「圖形樣式多元表徵」及「生活情境多元表徵」代數推理評量工具即是依據「連結」主題來設計，與本研究相關之連結主題能力指標如表 2-1-2 所示。表 2-1-2 連結主題能力指標連結主題能力指標能力指標內容 ◎察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 ◎轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。 ◎解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。 C-S-04 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。 C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。 ◎溝通 C-C-01 能了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。 C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。 ◎評析 C-E-05 能將問題與解題一般化。資料來源：教育部(2003)九年一貫課程綱要數學學習領域 16.

(29) 第二節樣式的探討一、關於樣式(pattern)的意涵 Pattern 在一般英文的翻譯有「花樣、圖案、型態、樣式、格局、典型、模式」，國內學者對 pattern 的翻譯也不同。吳德邦和吳順治(1989)在其「解題導向的數學教學策略」書中提到，問題解決的策略之ㄧ是認識模式，模式有不同的面貌，例如數字式的模式、字母式的模式、文字式的模式、表格式的模式，還有其他的模式；書中並提供一些教學活動練習，訓練學生們對模型的認識更熟悉，其「模式」、「模型」就是樣式的概念。劉秋木(1989)評量受試者是否能找出具有規則性的解題策略時，將這種解題策略命名為「尋找組型」，將 pattern 譯成「組型」。周淑惠(1999)將 pattern 翻譯成「型式」，「型式」不僅限於視覺，它可以是聽覺的、肢體動作的、甚至是自然現象的規則變化。而完成「序列」的問題必須察覺到前後元素間有規律性的關係，並從原來的邏輯排列順序去延伸答案，所以「序列」也是型式的一種。曹亮吉(2003a)根據 pattern 的特性，結合音譯方式，稱之為「胚騰」；在意譯方面，「胚」是胚胎，引申為事務之發端，「騰」原意是馬在奔馳的意思，也可引申為興起突現之意，「胚」與「騰」合起來，就是「其來有自的突現」，也就是任何一個看似突然或特別的現象，其背後都有隱含著根據、依據或規則、規律。教育部(2003)九年一貫數學領域課程綱要以「樣式」代表 pattern。馬秀蘭和吳德邦(2008)以及吳德邦和馬秀蘭(2009)在其「中學數學教學資源手冊－推理與解題導向」以及「小學數學教學資源手冊—推理與解題導向」書中，同樣譯作「樣式」。綜合以上各種文獻，本研究將 pattern 以「樣式」一詞稱呼，並將它視為一. 17.

(30) 種廣義的規律性，具有規則、定律、可預測性。. 二、樣式的種類 Owen (1995)曾指出樣式有三類，包括重複樣式(repeating patterns)、結構樣式 (structural pattern)和序列。Copley (2000)則提出有重複樣式(repeating patterns)與增長樣式(growing pattern)，其中 Owen (1995)的序列與 Copley 增長樣式在概念上相似。因此以 Owen 所提樣式分類為主，以 Copley 所提樣式分類為輔，進行論述。 Owen (1995)提出樣式可區分為重複樣式、結構樣式、序列，各類樣式說明如下：（一）重複樣式(repeating patterns) 此樣式重點在於循環和重複的概念，即一系列的元素按照特定的順序重複出現，元素可以是形狀、大小、顏色、數字…等。例如「紅色、藍色、紅色、藍色」是一個循環單位為 2 的重複樣式。此樣式不僅可以單一元素循環，也可以複合元素循環，就像 Threlfall (1999)所指出的「 □. □ ○. □. ○. □ ○. □. ○. □ ○. □. ○. □ ○. ○」，在形狀元素上是「方形、圓形、方形、圓形、方形、圓形、方形、圓形」，. 循環單位為 2 的重複樣式，在大小元素上則是「小、小、大、小、大、大、小、大」，循環單位為 8 的重複樣式，兩元素合而為一成為複合元素的重複樣式。因為此樣式的關鍵是循環，Threlfall (1999)認為重複樣式相較於其他樣式，是一種線性的、一維的樣式，相當適合較年幼的兒童學習。周淑惠(1999)也曾提到，其實重複樣式的概念常被當作教學材料來使用，如春夏秋冬四季的轉換，潮起、潮落，日出、日落，月昇、月落等自然現象；體育課跳律動舞要學生不斷練習轉身、跳起、拍手、舉手重複性動作、…等，諸如此類均屬重複樣式。（二）結構樣式(structural patterns) 此樣式強調結構的存在，結構意味著概念間的聯繫，也就是透過聯繫從有關連性的事物中發現一些特質。例如「5 是如何組成的？」，「4+1＝5、3+2＝5、2+3. 18.

(31) ＝5、1+4＝5、1＋1＋3＝5、1＋1＋1＋2＝5…」這些樣式就是所謂的結構樣式。而國小數學課程中，乘法的交換律與結合律、乘法對加法的分配律，以及等式或不等式都是屬於結構樣式。（三）序列(sequences)╱增長樣式(growing patterns) 此樣式是由一個可預測的、隱藏的規則（規則隱含著運算），使前項運用規則去衍生出後項，而後形成一系列項目，各個項目均具有數量意義，Owen 稱為序列(sequences)，Copley 則稱為增長樣式(growing patterns)，兩者概念相似。由於序列常伴隨著運算規則而產生數量的變化，且除了以文字、圖形的形式呈現之外，又常常以數字的形式呈現，因此將這種用數字排成的序列稱為數列。數列意指一系列非重複的數字，且隨著一套規則增長所組成(Owen,1995)，例如：等差數列（如 5，10，15，20，…；4，14，24，34…）、等比數列(2，6，18，54…)、巴斯卡三角形數(3，6，10，15)、費波納齊數(4，9，16，25)、…等(Hargreaves et al., 1999)，或是每年增加一圈的樹的年輪，或是每年呈指數增加的沙鼠數目 (Copley, 2000)。馬秀蘭(2008)指出學童用幾何圖形結構之間的關係來辨認樣式，有助於圖形樣式思考層次的提升及代數知識的建造，鄭佳昇(2003)的研究中也發現學生喜歡「圖形題」表徵方式的比例高於「數字題」。陳滿(2003)的研究中，學生也比較喜歡圖形題（但有一高程度女生較喜歡數字表徵題）。本研究的對象為國小高年級學童，故採 Owen (1995)對樣式的分類，並僅選擇與增長樣式概念相似的序列為材料。也就是說，本研究所使用之「圖形樣式多元表徵」代數推理評量工具的圖形樣式，就是藉由圖形變化轉化為數量關係所創造出的序列，其數量變化是種數字序列，而「生活情境多元表徵」代數推理評量工具的生活情境數字，將數字抽出排列，亦可形成數字序列。無論是評量工具圖形樣式中的圖形排列，或是生活情境中出現的數字，皆有隱藏在內的規律、可預測性，具備序列的特質。 19.

(32) 三、樣式的相關研究 (一) Simon 和 Kotovsky「文字序列」的研究 Simon 和 Kotovsky (1963)針對 Thurston 基本心理力測驗(PMAT)中的文字序列完成測驗，進行了認知成分的分析，並對受試者解題的歷程進行研究，最後提出一個文字序列的解題歷程。此歷程分為四個階段-「關係偵查(relation detection)」、「週期性的發現(discovery of periodicity)」、「完成樣式描述(completion of pattern description)」、「推論(extrapolation)」。「關係偵查」是指受試者必須從整個系列找出該系列的特徵或找出系列中各文字彼此間的關係；「週期性的發現」是指從整個系列中發現其所形成的一個完整的循環文字個數；「完成樣式描述」則是指受試者在找出系列的循環週期後，結合各元素間是否存有「相同物」、「往前」、「往後」三個關係來發現序列的規則，用符號表徵來描述整個系列的規則，而且用以預測未知的答案；最後「推論」階段，則是利用上階段描述的規則，依循此規則去找到答案。 LeFevre 和 Bisanz (1986)以數字系列為材料，利用受試者在規則數列、無效數列與不規則數列三者間的差異表現，澄清了 Simon 和 Kotovsky (1963)所提出的「關係偵測」階段還可再細分為「記憶數列的再認」、「計算」、及「檢視」等。結果發現數列屬於解題者熟悉或日常運算時常處理的計數數列(counting series，如 2-4-6-8- ___；5-10-15-20-___)時，則不再需做計算，反之若屬於非計數數列 (noncounting series，如 4-7-10-13-___；4-9-14-19-24-___)，則必須動用計算的策略，然而每個人對所謂的計數數列或非計數數列認知是不同的、有所差異的。而後，Holzman, Pellegrino 和 Glaser (1983)驗證了 Simon 和 Kotovsky 所提的解題認知四階段，除了探討影響數字系列完成測驗試題難度的因素，發現影響試題難度的認知成分可分為程序性知識（受數字系列規則複雜度影響)及陳述性知識（受數字運算的大小、種類影響）外，更將這四個階段的解題歷程應用到數列樣. 20.

(33) 式的解題認知歷程的研究。另外，Butterfield, Nielsen, Tangen 和 Richardson (1985)認為文字系列作業的難度並非取決於週期長度，而是取決於字串的本質，也就是說「字母重複出現與否」此成分無法決定表徵的難易度，而是「重複字母所在的位置」影響了表徵的難易。舉例來說，「OEUOEI」這個字串，重複的字母出現在同一個字串中，若以「字母重複出現與否」來觀察，可看出第一個「O」、第二個「E」字母重複出現，第三個字母則不同，此系列較容易表徵；但若以「IHGHGFGFE」這個字串來看，重複字母是出現在不同的字串中，無法從「字母重複出現與否」找出規則，必須從「重複字母所在的位置」才能觀察出規則，「IHG」、「HGF」、「GFE」重複的是位於第二、第三的字母，而此系列表徵難度相對也較高。 (二) Orton 和 Orton「圖形序列」的研究 Orton 和 Orton (1999)探討 10~13 歲學童解決圖形樣式題時，在下一項、第 10 項、第 15 項和第 n 項的表現，將學童發展分為階段 0、1、2、3、4，其中再將階段 4 細分成 4a、4b、4c：階段 0：沒有進展。階段 1：能推理出下一項。階段 2：能推理出下一項及第 10 項。階段 3：能推理出下一項、第 10 項及第 15 項。階段 4：能推理出下一項、第 10 項、第 15 項及第 n 項。 4a：能用正確的文字描述圖形樣式。 4b：能嘗試使用代數式表示圖形樣式。 4c：能正確使用代數式表示圖形樣式。之後，根據學童解題時能否掌握到項次間之關係，進行不同層次的分類：層次 0：沒有進展；層次 1：學童注意到樣式中的一些特性，可描述出部分樣式。 21.

(34) 層次 2：學童注意到一個樣式中的特性，但未能將其完全描述出來，因此仍無法推理出下一項。層次 3：學童能利用樣式間的差距去推理出下一項；層次 4：學童能了解樣式之關係，並能推論出其他項次的樣式，但是可能無法使用代數式來表示。 Orton, Orton 和 Roper (1999)在研究中發現，不同的問題，學生所達到各層次的比例也不同，而題目的結構也會影響學童解題的表現。對學童而言，二階樣式的結構比線性樣式的結構困難，學童在線性樣式、二階樣式題型的解題表現上，也可看出處理二階樣式題型比處理線性樣式題型困難馬秀蘭(2008)以相關理論與 40 位國小高年級學童實際解線性圖形樣式題的表現，整合並細分 Orton 和 Orton (1999)所提出之層次分類，將層次 3 再細分成 3a、3b，即國小高年級學童解線性圖形樣式題能力層次分為：層次 0：沒有一點進展層次 1：學童已注意數的一些特性，或許可描述出部分樣式。層次 2：學童能注意一個樣式，但未將其描述出來，因此未能推理出下一項。層次 3a：能比較連續項次間的差異。層次 3b：能比較連續項次間的差異之外，尚可辨認項次結構之間關係。層次 4a：能做正確的文字描述。層次 4b：能作代數式的嘗試。層次 4c：能作正確的代數式（可不須簡化）。 (三)Hargreaves et al.「數字序列」的研究 Hargreaves, Threlfall, Frobisher 和 Shorrocks-Taylor (1999)為了解 7~11 歲學童在數列推理的表現情形，進行了研究，研究中將數列分為線性數列(linear sequences)、二階數列(quadratic sequences)與費波納齊數列(Fibonacci)。 1.. 線性數列 22.

(35) 所謂線性數列是指連續數字間的差距為常數的數列。如數列：3，7，11，15， 19，…，其數字間關係為連續數字間的差距為 3。又如數列：3，6，9，12，15，…，其數字間關係為連續數字間的差距為 3 或每個數字都是 3 的倍數。 2.. 二階數列所謂二階數列是指連續數字間的差距形成一種線性數列。如數列：1，3，6，. 10，15，…，其數字間關係為數字間的差距為 2，3，4，5，…，而 2，3，4，5，… 形成一種線性數列，其數字間的差距為 1。 3.. 費波納齊數列如數列：1，1，2，3，5，8…，其數字間關係為後項等於前兩項的和。依據 Hargreaves et al. (1999) 研究發現，受試者會依據不同的數列，選擇不. 同的解題方法、策略，研究也指出，無論是線性數列或二階數列，學童必須觀察相鄰數字之間的關係，找出數字間的關係，而學童最常使用尋找數字間的差距為解題策略。另外，在二階數列的解題上，年齡越大的學童越能察覺其連續項差距間之關係。 (四)樣式其他研究 Bishop (2000)以 23 名七、八年級學生在線性幾何的數樣式(linear geometric number patterns)解題表現之訪談資料進行研究，研究發現學生有四個不同層次的解題類型。層次 1：學生是利用具體物操作和點數計算，將具體的樣式規律模式化，但似乎還不能察覺數列的規律，只能在比較簡單的題目裡使用符號。層次 2：學生已能察覺數的位置、數量之間有某種關係，但往往會誤用比例來詮釋數量關係，也就是以為數量關係是建立在單純的倍數關係而已，單純的用乘法表示其關係，然而解釋時卻無法與其它數量作配合。層次 3：學生能聚焦於遞迴的關係，當開始察覺相鄰幾項的關係時，即可慢慢發現數列的規律，找出數形規律。層次 4：學生進一步聚焦於數列中數的位置與該數在數列中的值，找出兩者間的對應關係，並將數量關係以函數來分析、解釋，亦是將算則化成抽象一般化的符號規 23.

(36) 則以詮釋數量關係。對於辨識數樣式的發展，有些學生檢測數樣式或執行樣式的規則時，會用代入的方式、用具體例子的方式來辨識或表示樣式；而有些學生已經能夠更進一步將樣式的規則簡化成一個區塊，不需要逐步的檢測，能夠依靠前後幾項找出一個關係，甚至有些學生已經能夠掌握數樣式的概念，用函數想法表示數樣式。陳滿(2003)研究發現，學生在解數字題時，使用的推理策略較多樣化，但最常使用差距的特性去發覺序列間的關係，符合 Orton, Orton 和 Roper 的研究，且當學童在尋找規律時，發現似乎有某種規律存在，就會以其認定的規律持續下去，而不會考慮所有的項次是否都符合此規律。在圖形題方面，普遍將圖形直接換算成數列模式，有的看整體（完整的總數量），有的看部分（增加的數量），而較常使用的推理模式則偏向以尋找項次之間的差距以及尋求乘法表。鄭佳昇(2003)以網際網路為媒介，讓學生上網進行推理活動，藉以探究國小六年級學生進行樣式推理時常用的推理策略。研究結果發現，在樣式主題上學生常用的推理策略中，採用「整體性推理」策略多於「分析性推理」策略。學生在尋求規律的推理的過程中，單一運算式子的運用多於混合運算式子，加法運算式子的運用多於乘法運算式子；在一般化過程中，學生大部分都是以「文字敘述」來表示一般化，由此可見其推理時的獨創性明顯不足，且大部分的學生在發表完一種推理策略後，便不再尋找另外的推理策略，在回顧自己的推理過程上表現也不理想，學生對於所推論出的結果幾乎沒有回顧的跡象。在「圖形題」、「數字題」方面，學生喜歡「圖形題」表徵方式的比例高於「數字題」，但是學生在「圖形題」上的表現卻不如「數字題」，其主要的原因是發生在表徵的轉譯上，研究結果也發現，問題的表徵形式確實會影響學生的推理策略。李佩玟(2005)以基市及臺北縣市五所學校各二班，共計 319 人六年級學童為研究對象，探究六年級學童在數列推理解題的歷程、表現，研究者參考文獻後建立一套數列問題推理解題之認知歷程：編碼→發現樣式（單位化→計算與推論→ 24.

(37) 映射）→應用∕類化→反應，然後以兩個實驗結果來支持發現樣式階段中『單位化』、『計算與推論』、『映射』步驟之存在。研究結果若從答對率來探討，發現複合數列（必須分析數串個數而將數列分群，或發現週期長度與單一數列，例如： 7、16、13、22、19、28）較單一數列難，但複合數列兩種題型（複合數類分為第二數串為移動數列、第二數串為非移動數列）無顯著差異。研究也發現，在項次差距方面，低階關係數列的答對率比高階關係數列的答對率高（低階關係數列也就是本研究中的線性數列，高階關係數列也就是本研究中的二階數列）。陳亮君(2006)自編研發電腦化數學胚騰覺察測驗(MPAT)，以國小六年級及國中一年級學生共 632 人為研究對象，描述國中小學生數學胚騰覺察能力的現況，並探討電腦化學習輔具對胚騰學習弱勢學生的協助效益。研究結果顯示七年級的學生表現顯著優於六年級學生；男、女學生在數學胚騰覺察能力的表現並無顯著差異；電腦化數學胚騰學習輔具的介入有其效益，不管是實驗組還是控制組，後測的平均能力值均高於前測。黃子千(2006)探究國小六年級學生在樣式推理、數學創造力上之表現，與數學成就之分析比較與探討。研究結果：學生在樣式推理能力表現上，以數字推理能力最優異，圖形推理能力與形數推理能力次之；不論是在數字和形數的樣式推理類型上，學生在等差規律的推理表現較二級階差規律為優。國小六年級學生之樣式推理能力、數學創造力與數學成就間，存在某種程度的交互影響，其中以樣式推理能力預測數學成就之變異量高於以數學創造力預測數學成就之變異量。陳佳甫(2007)以臺中縣市五、六年級學生共 1063 名為研究對象，探討、分析國小高年級學生數列組型問題之表現及概念階層結構。研究結果發現：在數列組型測驗中，六年級在數列組型問題上的表現優於五年級；女生和男生在數列組型問題上的表現沒有差異；不同能力組別的表現由優至劣，依序為高分組、中分組、低分組。而在「理解關係」認知歷程中的概念階層結構上，五、六年級學生表現出的概念次序性是相同的，概念所在的階層由低至高分別為「固定」、「差距」、「倍 25.

(38) 數」，代表了「固定」數列試題較「差距」數列試題容易，而「差距」數列試題又較「倍數」數列試題容易。在「映射檢查」認知歷程中的概念結構上，五、六年級學生表現出的次序性也是相同的，「低階」概念成分的試題較「高階」概念成分的試題容易。趙曉燕(2010)以兩班國小六年級學童為研究樣本，探討數形規律之圖形增長樣式教學，對國小六年級學童在圖形樣式察覺能力與代數思考能力的影響。其中一班為實驗組，進行「察覺函數關係」的數形規律之圖形增長樣式教學，另一班為控制組，採一般的數形規律之圖形增長樣式教學。研究結果顯示，數形規律之圖形增長樣式各類題型中以「項次差距為相同差數」為最適合高年級學生學習；學生的圖形樣式覺察能力高低會影響學生的解題策略；圖形樣式覺察能力愈高的學生，所採用的解題策略愈簡潔、有效率。研究也發現「察覺函數關係」的數形規律之圖形增長樣式教學實驗設計，可以有效引導學童在解題中注意圖形樣式編號與數量間的對應關係，對提升「低組」與「中低組」學童圖形樣式覺察能力，有顯著成效，可做為未來代數學習的基礎。陳嘉皇(2010)以 997 位小學六年級學生為對象，探討六年級學生對線性問題一般化表現與策略應用的情形，並從中選取 30 位學童進行訪談，以質性方式加以轉譯分析。其研究工具－代數推理一般化測驗包括文字表徵、表格表徵、圖解表徵等 3 種表徵題目，並具項次階差為遞增與遞減各 1 題，測驗共有 6 題。結果發現學生在線性遞增問題一般化的表現較線性遞減問題反應佳，並達顯著水準；而表徵類型對學生一般化的表現並沒有像線性遞增、遞減因素影響來得顯著，且正確一般化的比例不高，大部分學生對具體變化的數量轉換成抽象的符號產生困難。謝思儀(2011)以國小五、六年級學生為樣本，探討高年級在數字樣式和圖形樣式的察覺情形。研究結果發現，學生解樣式題時大多會先找出項與項之間的差距，再觀察差距間的關係。在數列樣式的表現方面，五、六年級學生在線性數列 26.