4-3-4矩陣-二階方陣表示的線性變換
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(2) 【討論】 1. 旋轉: 在坐標平面上, 設將點 P( x, y) 以原點為中心旋轉 得點 P( x, y) , 且 x r cos , y r sin ,其中 r 0 ,如圖,. 則 x r cos( ) r cos cos r sin sin x cos y sin , y r sin( ) r sin cos r cos sin y cos x sin 。 x x cos y sin , y x sin y cos. 得到 . x cos sin x 即 。 y sin cos y x. 因此,點 P( x, y) 的坐標以矩陣 表示, y cos sin . 在其左邊乘上二階方陣 . sin , cos . x . 設所得矩陣為 , y . 則 P( x, y) 就是將點 P( x, y) 以原點為中心旋轉 所得的點, cos sin 而 稱為旋轉矩陣。 sin cos . 44.
(3) 2.. 鏡射: 在坐標平面上,設 L 是廣義角 終邊所在的直線, 點 P( x, y) 對直線 L 鏡射得點 P( x, y) (即 L 垂直平分 PP ), 令 x r cos , y r sin ,其中 r 0 ,如圖,. 則點 P 在廣義角 ( ) 2 的終邊上, 於是 x r cos(2 ) r cos2 cos r sin 2 sin x cos 2 y sin 2 , y r sin(2 ) r sin 2 cos r cos2 sin x sin 2 y cos 2 , x x cos 2 y sin 2 x cos 2 sin 2 x 得到 ,即 。 y sin 2 cos 2 y y x sin 2 y cos 2 習慣上,我們常取鏡射軸 L 的廣義角為 。 2. x. 於是,點 P( x, y) 的坐標以 表示, y sin , cos . cos sin . 在其左邊乘上 . x . 設所得的矩陣為 , y x cos 即 y sin . sin x , cos y . 則 P( x, y) 就是將點 P( x, y) 對直線 L : y x tan 鏡射所得的點, 2. cos sin . 而. sin 稱為鏡射矩陣。 cos . 由於 cos cos. 2. 2. sin. 2. 2. . cos 2 cos. 2. . 2. . 2. sin 2 sin. . 2. 2 . . 1 tan 2 1 tan. 2. . 2. 2,. . 2. 2sin cos 2 tan 2 2 2 。 sin 2sin cos 2 2 cos 2 sin 2 1 tan 2 2 2 2 當考慮鏡射軸為 y mx 時,可取斜率 m tan , 2 cos sin 於是在鏡射矩陣 中, sin cos cos . 1 m2 2m , sin 。 2 1 m 1 m2 45.
(4) 3.. 伸縮: 在坐標平面上, 設點 P( x, y) 的 x 坐標伸縮 r 倍( r 0 )﹑y 坐標伸縮 s 倍( s 0 ), 得到點 P( x, y) ,即 x rx, y sy , x . rx . r 0 x . 於是 。 y sy 0 s y 換言之, r. x. 0. 點 P( x, y) 的坐標以 表示,在其左邊乘上 , 0 s y x . 設所得的矩陣為 , y. 則 P( x, y) 是將點 P( x, y) 的 x 坐標﹑y 坐標分別伸縮 r 倍﹑s 倍得到的點, r 0 稱為伸縮矩陣。 0 s . 而. 特別地, r 0 只將 x 坐標伸縮 r 倍,y 坐標不變; 0 1 . 伸縮矩陣 . 1 0 0 s 只將 y 坐標伸縮 s 倍﹑x 坐標不變; r 0 而 將 x 坐標﹑y 坐標都伸縮 r 倍, 0 r r 0 將點 P( x, y) 伸縮 r 倍。 0 r . 也可稱 4.. 推移: x x ry , y y. 在坐標平面上,將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) ,其中 x . 1 r x . 以矩陣表示,則為 。 y 0 1 y 此變換是將點 P( x, y) 沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍,而得點 P( x, y) ; 另一方面,若將點 P( x, y) 沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍,得點 P( x, y) , x x , y sx y. 則. x . 1 0 x . 或以矩陣表為 。 y s 1 y 1 r 1 0 都稱為推移矩陣。 及 0 1 s 1 . 二階方陣 . 46.
(5) 5.. 以上介紹的四種變換,旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移, 都把一點 P 變換到一點 P (原點 O 經變換仍為原點 O)。 因此,這些變換會把一個圖形 G(點集合)變換成某個圖形 G 。 本節將會說明它們 把直線變換成直線﹑線段變換成線段﹑三角形變換成三角形。 茲將這四種變換整理成下表: 變換. 矩陣表示 cos sin . 旋轉. cos sin . 鏡射. 作用. 圖例(△OAB 變換成△OAB). sin 以原點為中心 cos 旋轉 . cos 45 sin 45 sin 45 cos 45 . 對直線 . sin cos . y x tan. cos90 sin 90 sin 90 cos90 . 2. 作鏡射. 變換. 矩陣表示. 作用. 伸縮. r 0 0 s . x 坐標伸縮 r 倍、 y 坐標伸縮 s 倍. 推移. 1 0 1 s . 圖例(△OAB 變換成△OAB). r 1 . 沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍. 0 1 . 沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍. 2 0 0 1 . 1 2 0 1 . 之前所介紹的旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移, 將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) 時, x x y 與 y 的關係都形如: x a1 b1 x y a b y 。 2 2 . 一般而言, 設 a1 , a2 , b1 , b2 是四個任意常數, 在坐標平面, 將每一點 P( x, y) 依上述等式映射到點 P( x, y) 的變換稱為線性變換。 因此,旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移都是線性變換。 當一線性變換將點 ( x, y) 映射到點 ( x, y) (a1 x b1 y, a2 x b2 y) , x. a x b y . a. b x. 1 1 1 即 1 a b y , a x b y y 2 2 2 2 . 47.
(6) a1 a2. b1 表示。 b2 . 此時,稱該線性變換以二階方陣 . x . 2. 1 x. 例如 ( x, y) (2 x y, 3x 4 y) 時, , y 3 4 y 2 1 表示。 3 4 . 即線性變換以 . a1 a2. 當線性變換以二階方陣 A a. 1 . b 1 . a . b1 表示時,也稱該線性變換為 A, b2 0 . a. b 0. b . 此時, A 1 1 1 , A 1 1 1 。 0 a2 b2 0 a2 1 a2 b2 1 b2 1 . a . 0. b . 反之,當線性變化以某二階方陣 A 表示,且滿足 A 1 , A 1 , 0 a2 1 b2 於是, x 1 0 1 0 A A( x y ) xA yA y 0 1 0 1 a b a x b1 y a1 b1 x x 1 y 1 1 , a2 b2 a2 x b2 y a2 b2 y a1 a2. 故 A. b1 。 b2 . 【性質】 1. 線性變換以二階方陣表示: 設 A 是平面上的線性變換, a1 a2. 則 A 2.. b1 1 a 0 b 的充要條件為 A 1 且 A 1 。 b2 0 a2 1 b2 . x. x . . . 在矩陣 左方乘上下列矩陣得到 時,可將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) 。 y y cos sin . sin :以原點為中心旋轉 。 cos . cos sin . sin :對直線 y x tan 作鏡射。 cos 2. (1)旋轉矩陣 . (2)鏡射矩陣 . r 0 :x 坐標伸縮 r 倍﹑y 坐標伸縮 s 倍。 0 s 1 r (4)推移矩陣 :沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍。 0 1. (3)伸縮矩陣 . 3.. 1 0 s 1 :沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍。 a b 二階方陣 A 1 1 將點 ( x, y) 映射到點 ( x, y) 時, a2 b2 x x a1 y A y a 2. b1 x ,即 ( x, y) (a1 x b1 y, a2 x b2 y) 。 b2 y . 48.
(7) 4.. a1 a2. 設 A 是線性變換,則 A . b1 1 a 0 b 的充要條件為 A 1 且 A 1 。 b2 0 a2 1 b2 . 49.
(8) 【討論】 1. 在之前例中, 一條給定的直線 L 經一個給定的線性變換 A 變換後的圖形仍是直線。 一般而言, 只要 A 的行列式不為 0 , 線性變換 A 就會將直線變換成直線, 說明如下: 設 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 是直線 L 上相異兩點, x x1 ( x2 x1 )t , y y1 ( y2 y1 )t. 則 L 的參數式為 . x (1 t ) x1 tx2 , y (1 t ) y1 ty2. 亦可表為 . x. x . x . . 1. . 以矩陣表示則為 (1 t ) 1 t 2 ,其中 t 是參數。 y y y 2. . 若線性變換 A 的行列式不為 0 , 且 A 將相異點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 分別變換成點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) , 則 P1 , P2 是相異點。 此時, x x x x x x x A A((1 t ) 1 t 2 ) (1 t ) A 1 tA 2 (1 t ) 1 t 2 , y1 y2 y y1 y1 y2 y2 . 所以 A 將直線 P1 P2 (即 L)變換成直線 P1 P2 。 若在上述參數式中取 0 t 1 , 則可見 A 將線段 P1 P2 變換成線段 P1 P2 。 在坐標平面上, a1 a2. 若二階方陣 A . b1 a 滿足 1 b2 a2. b1 0, b2. 則以 A 作線性變換時, 頂點為 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) 的單位正方形 被 A 映射成頂點為 (0, 0), (a1 , a2 ), (a1 b1 , a2 b2 ), (b1 , b2 ) 的平行四邊形, 亦即由向量 a (a1 , a2 ), 其面積為 |. a1 a2. a1 a2. 因此,以 . b (b1 , b2 ) 所張開的平行四邊形,. b1 |。 b2 a b1 作線性變換的面積變化率為 | 1 a2 b2 . 50. b1 |。 b2.
(9) 【性質】 1. 線性變換的面積變化率: a1 a2. 坐標平面上,以二階方陣 當 . a1 a2. b1 作線性變換, b2 . b1 0 時,其面積變化率為 | | 。 b2 a1 a2. 設線性變換 A . b1 a 的行列式 1 a2 b2 . b1 0, b2. 由於 A 將線段變換成線段, 故將 n 邊形變換成 n 邊形, 而任意多邊形經變換後的面積也是原來的 | | 倍。 事實上,平面上的任何有界區域的面積變化率恆為 | | 。 由於 cos sin cos 2 sin 2 1 , sin cos cos sin cos2 sin 2 1 , sin cos 故旋轉及鏡射的面積變換率都是 1。 其實,旋轉及鏡射都將線段變換成等長的線段, 也就將三角形變換成全等的三角形(SSS 全等性質), 所以任意圖形經變換後,都不改變其形狀及大小。 又 r 0, s 0 時,. r 0 rs 0 , 0 s. r 0 的面積變化率為 rs; 0 s 1 r 1 0 而推移 及 的面積變化率為 |1 0 | 1 。 0 1 s 1 . 故伸縮 . 伸縮可能改變圖形的形狀及大小; 推移則可能改變圖形的形狀,但不改變面積。 【性質】 1.. 設. a1 a2. b1 a 0 ,則 1 b2 a2. b1 x x x a 的充要條件為 1 b2 y y y a2. 51. 1. b1 x 。 b2 y.
(10) 【性質】 二階方陣所對應的平面變換: 以下四種基本的線性變換是針對點的平移、旋轉、伸縮、對稱 1. 旋轉(保持形狀與大小): 點 P( x, y) 以原點為中心旋轉 角後得點 P' ( x' , y' ) , x' cos sin x x 則 A , y ' sin cos y y. cos sin 稱矩陣 為旋轉矩陣。 sin cos 幾何意義: 點 P( x, y) 的輻角 旋轉 角得點 P' ( x' , y' ) 輻角的 ,長度不變, x y 2 2 x ' x cos y sin x y ( cos sin ) x 2 y 2 cos( ) 2 2 2 2 x y x y x y y ' x sin y cos x 2 y 2 ( sin cos ) x 2 y 2 sin( ) 2 2 2 2 x y x y . 說明: x'iy ' r cos( ) ir sin( ) (r cos cos r sin sin ) i(r sin cos r cos sin ) ( x cos y sin ) i( x sin y cos ) , x' cos sin x x A 。 即 y ' sin cos y y 或想成將 (1,0), (0,1) 變成 (cos , sin ), ( sin , cos ) , 且線性變換 T (( x, y)) AX , 1 cos 0 sin 故 A , A , 0 sin 1 cos . cos sin T (( x, y)) T ( x(1,0) y(0,1)) xT ((1,0)) yT ((0,1)) x y , sin cos . 52.
(11) cos sin 若A 表旋轉(圖形)變換, sin cos 在複數平面上的意義為將點 P( x iy ) 繞原點旋轉 角, 得到 P' ( x'iy ' ) ,即 x'iy ' ( x iy )(cos i sin ) , cos sin cos( ) sin( ) 則 A1 逆變換,即將圖形旋轉 sin cos sin( ) cos( ) 角。 2. 鏡射(保持形狀與大小): 假設 L 是與 x 軸夾角為 的直線, 若點 P( x, y) 對直線 L 鏡射後得點 P' ( x' , y' ) , x' cos 2 sin 2 x 則 。 y ' sin 2 cos 2 y 想法: x'iy ' r cos(2 ) ir sin(2 ) (r cos 2 cos r sin 2 sin ) i(r sin 2 cos r cos 2 sin ) ( x cos 2 y sin 2 ) i( x sin 2 y cos 2 ) , x' cos 2 sin 2 x 即 。 y ' sin 2 cos 2 y 或將變換分解成為兩步驟如下: x' cos 2 sin 2 1 0 x cos 2 sin 2 x y' sin 2 cos 2 0 1 y sin 2 cos 2 y 幾何意義如下圖形:. 53.
(12) 54.
(13) 3.. 伸縮(保持形狀): (a)點 P( x, y) 以原點為中心伸縮 k 倍 (k 0) 得點 P' ( x' , y' ) , x' k 0 x 則 。 y ' 0 k y . x ' k 0 x (b)水平方向的伸縮 。 y ' 0 1 y 當 k 1 時,表示沿水平方向放大 k 倍。 當 0 k 1 時,表沿示水平方向縮小 k 倍。 當 k 0 時,表示對 y 軸的鏡射以及沿水平方向的伸縮。 x' 1 0 x (c)鉛直方向的伸縮 。 y ' 0 k y 當 k 1 時,表示沿鉛直方向放大 k 倍。 當 0 k 1 時,表示沿鉛直方向縮小 k 倍。 當 k 0 時,表示對 x 軸的鏡射以及沿鉛直方向的伸縮。 4. 推移: (a)點 P( x, y) 沿著 x 軸推移 y 坐標的 k 倍得點 P' ( x' , y' ) , x' 1 k x 若 ( x' , y' ) ( x kx, y) ,即 。 y ' 0 1 y (b)點 P( x, y) 沿著 y 軸推移 x 坐標的 k 倍得點 P' ( x' , y' ) , x ' 1 0 x 則 ( x' , y' ) ( x, kx y) ,即 。 y ' k 1 y 5. 旋轉加伸縮的合成變換: x' a b x y ' b a y 。 6. 伸縮加推移的合成變換: x' a b x y ' 0 a y 。 【結論】 保長 保角 保積(面積) 平移 有 有 有 旋轉 有 有 有 伸縮 無 無 無 鏡射 有 有 有 推移 無 無 有. 55.
(14) 【性質】 1.. a b 假設 ABC 經線性變換 M 變成 A' B' C ' , c d 試證: A' B' C ' det M ABC 。 證明: ax1 by1 1 A' B' C ' | ax2 by 2 2 ax3 by3 . det M 2. x1 | x2 x3. cx1 dy1 1 cx 2 dy 2 1 | cx3 dy3 1. y1 1 y2 1 det M ABC 。 y3 1. 【問題】 1. 試寫出點 P( x, y) 對於直線 L : ax by c 0(a 2 b 2 0) 的鏡射點 P1 ( x' , y' ) 之間的關係。. ac b 2 a 2 2ab ac x ' x 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b2 ) (解: 2 2 bc bc a b 2ab y ' 2 y a b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a2 b2 2. 設 L1 與 L2 的交角為 ,點 P( x, y) 對於 L1 的對稱點 P1 ( x' , y' ) , P1 ( x' , y' ) 對於 L2 的對稱點 P2 ( x' ' , y' ' ) ,試找出 P( x, y) 與 P2 ( x' ' , y' ' ) 的關係。 (提示:兩次對稱等於一次旋轉) cos 2 sin 2 (解: ) sin 2 cos 2 3.. a n a 1 n ( a 0 ) 設A ,試證明 A 0 a 0. 56. na n 1 。 an .
(15) 【應用】 1.. 設 : ax 2 bxy cy 2 d b a 2 令M : x b a 2 對 M 對角化,. a y b 2. b 2 x d : x a y . x y M d y. 2 , 2 1 ,且 D 1 設 M PDP 1 ,其中 P 0 x 則 P 1 : x y PDP 1 d y y . 0 , 2 . 1 0. 0 x d 2 y 0 x y : x y x y 1 d 0 2 x y : x. x' x y 令 : x' y ' x y 2.. y ' 1 0. 0 x' d 1 x' 2 2 y' 2 d 。 2 y ' 3 1 設 : 3x 2 2 xy 3 y 2 1 ,令 M , 1 3. 1 3 det(M I ) det 0 3 1 4,2 。 x 1 1 1 x 0 t 。 (1) 4 ( M 4 I ) X y 1 1 1 y . x 1 1 1 x 0 t 。 (2) 2 ( M 2 I ) X y 1 1 1 y 1 1 2 ,且 D 4 0 , 對 M 對角化,設 M PDP 1 ,其中 P 2 0 2 1 1 2 2 則 P 1. 1 2 1 2. y x : 2 2. 1 2 : x 1 2 . x y PDP 1 d y. 4 0 x y 2 2 0 4 . 57. y 2 2 1 x y 2 2 . x. .
(16) x y x' 2 2 令 (即轉軸 45 ) 4 x' 2 2 y' 2 1。 x y y' 2 2. 58.
(17) 【定義】 1. 線性變換: 變換 T ( X ) AX ,若滿足 T ( X Y ) T ( X ) T (Y ) 者稱之, 其中矩陣 A 稱為線性變換 T 的矩陣表示式。 【例題】 1. : {( x, y) | 2 2 x y 4,2 x 5 y 5, x, y R} 解答: x' 2 x y 利用線性變換 y' x 5 y ': {( x, y) | 2 x' 4,2 y' 5, x' , y' R} 得( ' 的面積)=( 的面積) det | M | 18 9 ( 的面積) ( 的面積) 2 x2 y2 2. 試求 : 2 2 1 內接 ABC 之最大面積? 5 3 解答: x y 取線性變換 T ( x, y) ( , ) ( x' , y' ) 5 3 1 x' 5 0 x 即 y ' 0 1 y 3 2 代入得 : x' y' 2 1 因圓內接 A' B' C ' 之最大面積為正三角形的情形 得( A' B' C ' 的面積)=( ABC 的面積) | det M |. 1 3 3 ( ABC 的面積) 15 4 45 3 ( ABC 的面積) 4 1 3 3. 設線性變換的矩陣為 M 1 1 並將 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) 等四點變換成為 O' , A' , B' , C ' 等四點 試求 O' A' B' C ' 面積? 解答: ( O' A' B' C ' 面積)=( OABC 面積) | det M | 則 16 8 2 . 59.
(18) 【意義】 線性變換的意義: 𝑎 𝑏 設矩陣𝐴 = [ ],線性變換𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋, 𝑐 𝑑 𝑎 1 0 𝑏 單位向量𝑒⃑⃑⃑1 = [ ] , ⃑⃑⃑ 𝑒 = [ ],且𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ = [ ] , ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑒 ′ = [ ], 𝑐 2 0 2 1 𝑑 ⃑⃑⃑⃑⃑2 ′, 則𝑇(𝑥𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝑒 ⃑⃑⃑2 ) = 𝑥𝑇(𝑒⃑⃑⃑1 ) + 𝑦𝑇(𝑒 ⃑⃑⃑2 ) = 𝑥𝐴𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝐴𝑒 ⃑⃑⃑2 = 𝑥𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ + 𝑦𝑒 𝑎 𝑏 分別變換到𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ = 𝐴𝑒⃑⃑⃑1 = [ ] , ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑒 ′ = 𝐴𝑒⃑⃑⃑2 = [ ]。 𝑐 2 𝑑 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑥𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ + 𝑦𝑒 ⃑⃑⃑⃑⃑2 ′, ⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑥𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝑒⃑⃑⃑2 經過線性變換𝐴可以得到𝑂𝑃′ 可得𝑂𝑃 可知其相對的坐標不變。 【意義】 線性變換的面積變換倍率: 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑥2 設矩陣𝐴 = [ ],且[ ] [𝑦 𝑦 ] = [ 1 ], 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 1 𝑥1 𝑥2 向量𝑢 ⃑ = [𝑦 ] , 𝑣 = [𝑦 ]所張成的平行四邊形的面積為𝑅, 1 2 𝑥 ′ 𝑥 ′ ⃑⃑⃑ = [ 1 ] , ⃑⃑⃑ 且向量𝑢′ 𝑣′ = [ 2 ]所張成的平行四邊形的面積為𝑅′, 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 則| det 𝐴 | × 𝑅 = 𝑅′。 證明: 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑥2 因[ ] [𝑦 𝑦 ] = [ 1 ], 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 1 𝑥1 𝑥2 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 故|det [ ] | × |det [𝑦 𝑦 ] | = |det [ 1 ] |, 1 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 即| det 𝐴 | × 𝑅 = 𝑅′。. 60.
(19) 【性質】. cos cos sin 假設旋轉方陣 A( ) ,鏡射方陣 B ( ) sin sin cos 1 T 1. A( ) 1 且 ( A( )) ( A( )) 。. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. 9.. cos( ) sin( ) cos ( ( A( )) 1 sin( ) cos( ) sin A( ) A( ) A( ) A( ) A( ) 。. sin ,則 cos . sin (表圖形旋轉 ( ) 角)) cos . A( ) n A(n ) 。 B( ) 1 且 ( B( )) 1 ( B( ))T 。. B( ) B( ) A( ) 。 A( ) B( ) B( ) 。 B( ) A( ) B( ) 。 反矩陣: a b a b 設A ,且 ad bc 0 , c d c d b d 1 d b 1 d b 則 A1 ad bc ad bc 。 c a ad bc c a c a ad bc ad bc 反矩陣: cos sin cos( ) sin( ) cos sin 設A ,則 A1 。 sin cos sin( ) cos( ) sin cos . 61.
(20) 【問題】 1. 試說明 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 , 1 0, 0 1, 0 1, 0 1, 0 1, 1 0 , 1 0 等的線性變換涵義。 cos sin cos sin cos sin cos sin 2. 試說明 , , , sin cos sin cos sin cos sin cos 等的線性變換涵義。 3. 試寫出對於 x 軸的鏡射矩陣。 cos(2 0) sin(2 0) 1 0 (解: ) sin(2 0) cos(2 0) 0 1 4. 試寫出對於 y 軸的鏡射矩陣。. 5.. cos(2 2 ) sin(2 2 ) 1 0 (解: ) sin(2 ) cos(2 ) 0 1 2 2 試寫出對於直線 L : y x 的鏡射矩陣。. 6.. cos(2 4 ) sin(2 4 ) 0 1 (解: ) 1 0 sin(2 ) cos(2 ) 4 4 試寫出對於直線 L : y mx 的鏡射矩陣。. 7.. 8.. 9.. 1 tan 2 2 tan 1 m 2 2m cos 2 sin 2 1 tan 2 1 tan 2 1 m 2 1 m2 ) (解: 1 tan 2 2m 1 m2 sin 2 cos 2 2 tan 1 tan 2 1 tan 2 1 m 2 1 m 2 試寫出點 P( x, y) 對於直線 L : ax by c 0(a 2 b 2 0) 的鏡射點 P1 ( x' , y' ) 之間的關係。 ac b 2 a 2 2ab ac x ' x 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b2 ) (解: bc bc a 2 b 2 2ab y ' 2 y a b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a2 b2 設 L1 與 L2 的交角為 ,點 P( x, y) 對於 L1 的對稱點 P1 ( x' , y' ) , P1 ( x' , y' ) 對於 L2 的對稱點 P2 ( x' ' , y' ' ) ,試找出 P( x, y) 與 P2 ( x' ' , y' ' ) 的關係。 (提示:兩次對稱等於一次旋轉) cos 2 sin 2 (解: ) sin 2 cos 2 a n a 1 n ( a 0 ) 設A ,試證明 A 0 a 0. 62. na n 1 。 an .
(21) 【定義】 平面上的線性變換(Linear Transformation):(平移、旋轉、伸縮、鏡射)意 義: x 1. 坐標平面上每一點 P( x, y) 都有一個 21 階行矩陣 與之對應。 y 2.. 每一個 m n 階矩陣 A 可以把一個 n 元的行矩陣 X 1 變換成為 m 元的行矩陣 X 2 ,即 X 2 AX 1 。 a b a b x x' 3. 設 A ,則 f ( X ) AX 可以看成是一種函數變 c d c d y y ' 換,將點 P( x, y) 映至點 P' ( x' , y' ) ,也可視為一種向量的變換,如此是一種 x' ax by 從坐標平面到坐標平面的變換。此時 是一種線性關係,所以我 y ' cx dy 們稱此種由矩陣所決定的變換為線性變換。例如我們學過的平移、旋轉、 伸縮、對稱都是一種線性變換。 【問題】 a b a b x x' 1. 對於 A 的線性變換 f ( X ) AX c d y y ' ,是否一定每一 c d 點都可以對應到?. 63.
(22) 【定義】 各種二階方陣所對應到的線性變換: a b a b x x' 若A , f ( X ) AX c d c d y y ' (1)退化情形( det A 0 ): 0 0 (a)若 A 0 0 x 0 0 x 0 0 0 1.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 0 0 y 0 0 0 表示把每一點換成原點。 0 0 (b)若 A ,但 det A 0 0 0 x 1 0 x x 1 0 1.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 0 0 y 0 0 0 表示向 x 軸作正射影的變換。 x 0 0 x 0 0 0 2.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 0 1 y y 0 1 表示向 y 軸作正射影的變換。 x 0 1 x y 0 1 3.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 0 0 y 0 0 0 表示先對 y x 鏡射後,再向 x 軸作正射影的變換。 0 1 1 0 0 1 即 A 0 0 1 0 0 0 . x 0 0 x 0 0 0 4.若 A ,此時 det A 0 ,則 A y x , y 1 0 1 0 表示先對 y x 鏡射後,再向 y 軸作正射影的變換。 x 1 0 x x 1 0 5.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 1 0 y x 1 0 表示以鉛垂方向射向直線 y x 的變換。 x 0 1 x y 0 1 A 6.若 A ,此時 ,則 det A 0 y 0 1 y y , 0 1 表示以水平方向射向直線 y x 的變換。 1 1 x 1 1 x x y 7.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 0 0 y 0 0 0 表示變成 x 軸上的點 ( x y,0) 的變換,但非正射影變換。 0 0 x 0 0 x 0 8.若 A ,此時 det A 0 ,則 A , y 1 1 y x y 1 1 表示變成 y 軸上的點 (0, x y) 的變換,但非正射影變換。 a b 0 0 9.若 A ,若 A ,但 det A 0 , c d 0 0 64.
(23) a b a b 1 k ,即將每一點映至直線 y x 上,即 A 將坐標 c d k c d 平面全映至此直線上。 (2)不退化情形( det A 0 ): (a)基本矩陣:由 I n 經過基本列運算 Rij , rRi , rRi R j 所得到的n階矩陣,稱 則必. 為 n 階基本矩陣。 0 1 1.若 A ,即 R12 ,此時 det A 0 , 1 0 x 0 1 x y 則 A , y 1 0 y x 表示對於直線 y x 的變換 r 0 2.若 A ,即 rR1 ,此時 det A 0 , 0 1 x r 0 x rx 則 A , y 0 1 y y 表示對水平方向伸縮 r 倍,鉛垂方向不變的變換 1 0 3.若 A ,即 rR2 ,此時 det A 0 , 0 r x 1 0 x x 則 A , y 0 r y ry 表示對鉛垂方向伸縮 r 倍,水平方向不變的變換 1 0 4.若 A ,即 rR1 R2 ,此時 det A 0 , r 1. x 1 0 x x 則 A , y r 1 y rx y 表示鉛垂方向推移 ru 的變換 1 r 5.若 A ,即 rR2 R1 ,此時 det A 0 , 0 1 x 1 r x x ry 則 A , y 0 1 y y 表示水平方向推移 ry 的變換. 65.
(24) 【結論】 類型. det A. 幾何意義. 矩陣 0 0 0 0 . 將圖形 映到一點 退化. det A 0. a b 0 0 x' ax by c d 0 0 y ' cx dy 必在 y' mx' 之直線上 對原點旋轉 cos sin sin cos 對原點伸縮 h 0 0 k , h, k 0 對原點、 x 軸、 y 軸、 y x 、 y x 等鏡射 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1, 0 1, 0 1, 1 0, 1 0 以 x 軸、 y 軸為不變線之推移 1 r 1 0 0 1, r 1 . 將圖形映 至一直線. 旋轉. 伸縮 非退化. det A 0. 鏡射. 推移. 【性質】 1. 若 A 是一個 n 階方陣,且 det A 0 ,則 A 經過矩陣的列運算後必可以化成 1. 2. 3.. 1. 1. 為 I n ,即 Ek Ek 1 E1 A I n ,則 A1 E1 Ek 1 Ek 。 若 A 是一個 n 階方陣,且 det A 0 ,則 A 將坐標平面上的點映成為整個坐 標平面,且 A 所表示的變換為鏡射、伸縮、推移或其組合。 每個基本矩陣都有乘法反矩陣, 0 1 0 1 (1) A ,則 A1 。 1 0 1 0. 1 r 0 0 1 A (2) A ,則 。 r 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 。 (3) A ,則 A 0 0 r r 1 0 1 0 1 A (4) A ,則 r 1 。 r 1 1 r 1 r 1 A (5) A ,則 0 1 。 0 1 . 66.
(25) 【性質】 基本列運算: 1. 兩列交換。 2. 某列乘以 r 倍。 3. 某列乘以 r 倍再加到另一列。 上述三種基本列運算都可以對應到一個基本矩陣如下,且基本矩陣的反矩陣也 都是基本矩陣。 0 1 0 1 1. A (且 A1 )。 1 0 1 0. 1 1 0 r 0 1 0 0 1 1 1 )。 A (且 )或 (且 A A A r 0 r 0 0 1 0 1 r 1 0 1 r 1 0 1 r 3. A (且 A1 )或 A (且 A1 )。 r 1 0 1 r 1 0 1 【例題】 3 5 求A 的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算: 1 2 3 5 1 0 1 2 0 1 ( A | I ) 2.. 0 1 0 1 1 2 0 1 ( A I ) 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 ( A I ) 3 1 1 0 3 1 1 0 0 1 1 3 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 ( A I ) 0 1 3 1 1 0 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 1 0 2 5 0 1 1 3 1 2 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 ( A I ) 0 1 0 1 3 1 1 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 設 E4 , E , E , E 3 2 1 0 1 3 1 1 0 0 1 則最後一式可改成 [ E4 E3 E2 E1 A | E4 E3 E2 E1 I ] ,也就是 E4 E3 E2 E1 A I 1. 1. 1. A E1 E2 E3 E4 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 可得 ( E4 E3 E2 E1 )( E1 E2 E3 E4 ) ( E1 E2 E3 E4 )( E4 E3 E2 E1 ) I 故 E4 E3 E2 E1 為 A 之乘法反元素。 由 (det E4 )(det E3 )(det E2 )(det E1 )(det A) det I ,也可知當 det A 0 時,乘法反矩 陣存在。. 67.
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