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4-3-4矩陣-二階方陣表示的線性變換

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Academic year: 2021

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(1)3-4 二階方陣表示的線性變換 【目標】 首先能理解平面上的四種基本的幾何變換,包括:旋轉﹑鏡射﹑伸縮與推移等 四種變換的意涵及其二階方陣的表示。再者,能理解平面上的線性變換的意 義,以及線性變換的二階方陣表示;進而能理解平面上的線性變換能將直線變 換成直線的性質,以及線性變換下面積的變化率。 【討論】 近年來由於電腦科技的進步,電腦動畫的發展也是一日千里。它能讓年輕人喜愛, 甚至著迷,優質的音效固然功不可沒,但主要還是生動逼真並具立體感的 3D 畫 面,令人愛不釋手。電腦繪圖的原理。應用了許多數學知識。首先,整個電腦螢 幕被作為一個坐標平面。當顯示靜態畫面時,只要在預定的坐標打上各種顏色的 光點,即呈現所需圖案;但要展現動態畫面時,便須逐次變換圖案的位置﹑角度 及大小,這就牽涉到平面變換的概念。基本的平面變換大致有平移﹑旋轉﹑鏡射﹑ 伸縮﹑推移等五種,其中平移的概念比較簡單,而後四者屬於線性變換,都可以 用二階方陣表示。. 43.

(2) 【討論】 1. 旋轉: 在坐標平面上, 設將點 P( x, y) 以原點為中心旋轉  得點 P( x, y) , 且 x  r cos , y  r sin  ,其中 r  0 ,如圖,. 則 x  r cos(   )  r cos cos  r sin  sin  x cos  y sin  , y  r sin(   )  r sin  cos  r cos sin  y cos  x sin  。  x  x cos  y sin  ,  y  x sin   y cos. 得到 .  x  cos  sin    x  即     。  y  sin  cos   y  x. 因此,點 P( x, y) 的坐標以矩陣   表示, y cos  sin . 在其左邊乘上二階方陣 .    sin   , cos .  x . 設所得矩陣為   , y  . 則 P( x, y) 就是將點 P( x, y) 以原點為中心旋轉  所得的點, cos  sin   而  稱為旋轉矩陣。  sin  cos . 44.

(3) 2.. 鏡射: 在坐標平面上,設 L 是廣義角  終邊所在的直線, 點 P( x, y) 對直線 L 鏡射得點 P( x, y) (即 L 垂直平分 PP ), 令 x  r cos , y  r sin  ,其中 r  0 ,如圖,. 則點 P 在廣義角   (   )  2   的終邊上, 於是 x  r cos(2   )  r cos2 cos  r sin 2 sin   x cos 2  y sin 2 , y  r sin(2   )  r sin 2 cos  r cos2 sin   x sin 2  y cos 2 ,  x  x cos 2  y sin 2  x  cos 2 sin 2   x  得到  ,即       。  y  sin 2  cos 2   y   y  x sin 2  y cos 2  習慣上,我們常取鏡射軸 L 的廣義角為 。 2. x. 於是,點 P( x, y) 的坐標以   表示, y   sin   ,  cos . cos  sin . 在其左邊乘上 .  x . 設所得的矩陣為   , y  x  cos 即    y  sin .   sin    x  ,  cos   y .  則 P( x, y) 就是將點 P( x, y) 對直線 L : y  x tan 鏡射所得的點, 2. cos  sin . 而. sin   稱為鏡射矩陣。  cos . 由於 cos  cos. 2. 2.  sin. 2. 2. . cos 2 cos. 2. .  2. . 2.  sin 2  sin. . 2.  2 . . 1  tan 2 1  tan. 2. . 2.  2,. . 2. 2sin cos 2 tan   2 2  2 。 sin   2sin cos  2 2 cos 2   sin 2  1  tan 2  2 2 2  當考慮鏡射軸為 y  mx 時,可取斜率 m  tan , 2 cos sin   於是在鏡射矩陣   中,  sin   cos  cos . 1  m2 2m , sin   。 2 1 m 1  m2 45.

(4) 3.. 伸縮: 在坐標平面上, 設點 P( x, y) 的 x 坐標伸縮 r 倍( r  0 )﹑y 坐標伸縮 s 倍( s  0 ), 得到點 P( x, y) ,即 x  rx, y  sy ,  x .  rx .  r 0  x . 於是         。  y  sy  0 s   y  換言之, r. x. 0. 點 P( x, y) 的坐標以   表示,在其左邊乘上  , 0 s   y  x . 設所得的矩陣為   , y.   則 P( x, y) 是將點 P( x, y) 的 x 坐標﹑y 坐標分別伸縮 r 倍﹑s 倍得到的點,  r 0  稱為伸縮矩陣。 0 s . 而. 特別地,  r 0  只將 x 坐標伸縮 r 倍,y 坐標不變; 0 1 . 伸縮矩陣 . 1 0  0 s  只將 y 坐標伸縮 s 倍﹑x 坐標不變;    r 0 而  將 x 坐標﹑y 坐標都伸縮 r 倍, 0 r   r 0  將點 P( x, y) 伸縮 r 倍。 0 r . 也可稱  4.. 推移:  x  x  ry ,  y  y. 在坐標平面上,將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) ,其中   x . 1 r   x . 以矩陣表示,則為      。  y   0 1  y  此變換是將點 P( x, y) 沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍,而得點 P( x, y) ; 另一方面,若將點 P( x, y) 沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍,得點 P( x, y) ,  x  x ,  y  sx  y. 則.  x . 1 0  x . 或以矩陣表為      。  y   s 1   y  1 r  1 0   都稱為推移矩陣。 及 0 1  s 1 . 二階方陣 . 46.

(5) 5.. 以上介紹的四種變換,旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移, 都把一點 P 變換到一點 P (原點 O 經變換仍為原點 O)。 因此,這些變換會把一個圖形 G(點集合)變換成某個圖形 G  。 本節將會說明它們 把直線變換成直線﹑線段變換成線段﹑三角形變換成三角形。 茲將這四種變換整理成下表: 變換. 矩陣表示 cos  sin  . 旋轉. cos  sin  . 鏡射. 作用. 圖例(△OAB 變換成△OAB).  sin   以原點為中心 cos  旋轉 . cos 45  sin 45  sin 45 cos 45   . 對直線 . sin    cos . y  x tan. cos90 sin 90   sin 90  cos90  . 2. 作鏡射. 變換. 矩陣表示. 作用. 伸縮.  r 0 0 s   . x 坐標伸縮 r 倍、 y 坐標伸縮 s 倍. 推移. 1 0  1 s . 圖例(△OAB 變換成△OAB). r 1 . 沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍. 0 1 . 沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍. 2 0 0 1  . 1 2  0 1   . 之前所介紹的旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移, 將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) 時,  x  x  y  與  y  的關係都形如:       x   a1 b1   x   y    a b   y  。    2 2 . 一般而言, 設 a1 , a2 , b1 , b2 是四個任意常數, 在坐標平面, 將每一點 P( x, y) 依上述等式映射到點 P( x, y) 的變換稱為線性變換。 因此,旋轉﹑鏡射﹑伸縮﹑推移都是線性變換。 當一線性變換將點 ( x, y) 映射到點 ( x, y)  (a1 x  b1 y, a2 x  b2 y) ,  x. a x  b y . a. b   x. 1 1 1 即    1   a b   y  ,  a x  b y y    2 2   2 2 . 47.

(6)  a1  a2. b1  表示。 b2 . 此時,稱該線性變換以二階方陣 .  x . 2. 1   x. 例如 ( x, y)  (2 x  y, 3x  4 y) 時,       ,  y  3 4  y  2 1   表示。  3 4 . 即線性變換以 .  a1  a2. 當線性變換以二階方陣 A   a. 1 . b  1 . a . b1  表示時,也稱該線性變換為 A, b2  0 . a. b  0. b . 此時, A     1 1      1  , A     1 1      1  。 0  a2 b2  0  a2  1   a2 b2  1  b2  1 . a . 0. b . 反之,當線性變化以某二階方陣 A 表示,且滿足 A     1  , A     1  , 0  a2  1  b2  於是,  x 1  0 1  0 A    A( x    y   )  xA    yA    y 0 1  0 1  a   b   a x  b1 y   a1 b1   x   x 1  y 1   1   ,  a2  b2   a2 x  b2 y   a2 b2   y   a1  a2. 故 A. b1  。 b2 . 【性質】 1. 線性變換以二階方陣表示: 設 A 是平面上的線性變換,  a1  a2. 則 A 2.. b1  1   a  0   b  的充要條件為 A     1  且 A     1  。  b2  0  a2  1  b2 . x.  x .  .  . 在矩陣   左方乘上下列矩陣得到   時,可將點 P( x, y) 變換成點 P( x, y) 。 y y cos  sin .  sin   :以原點為中心旋轉  。 cos . cos  sin . sin    :對直線 y  x tan 作鏡射。   cos  2. (1)旋轉矩陣 . (2)鏡射矩陣 .  r 0  :x 坐標伸縮 r 倍﹑y 坐標伸縮 s 倍。 0 s  1 r  (4)推移矩陣   :沿 x 軸方向推移 y 坐標的 r 倍。 0 1. (3)伸縮矩陣 . 3.. 1 0   s 1  :沿 y 軸方向推移 x 坐標的 s 倍。   a b  二階方陣 A   1 1  將點 ( x, y) 映射到點 ( x, y) 時,  a2 b2   x   x   a1  y  A  y    a      2. b1   x  ,即 ( x, y)  (a1 x  b1 y, a2 x  b2 y) 。 b2   y . 48.

(7) 4..  a1  a2. 設 A 是線性變換,則 A  . b1  1   a  0   b  的充要條件為 A     1  且 A     1  。  b2  0  a2  1  b2 . 49.

(8) 【討論】 1. 在之前例中, 一條給定的直線 L 經一個給定的線性變換 A 變換後的圖形仍是直線。 一般而言, 只要 A 的行列式不為 0 , 線性變換 A 就會將直線變換成直線, 說明如下: 設 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 是直線 L 上相異兩點,  x  x1  ( x2  x1 )t ,  y  y1  ( y2  y1 )t. 則 L 的參數式為 .  x  (1  t ) x1  tx2 ,  y  (1  t ) y1  ty2. 亦可表為 .  x. x . x .  .  1. . 以矩陣表示則為    (1  t )  1   t  2  ,其中 t 是參數。 y y y 2. . 若線性變換 A 的行列式不為 0 , 且 A 將相異點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 分別變換成點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) , 則 P1 , P2 是相異點。 此時, x   x  x  x  x  x   x A    A((1  t )  1   t  2  )  (1  t ) A  1   tA  2   (1  t )  1   t  2  ,  y1   y2   y  y1   y1   y2   y2 . 所以 A 將直線 P1 P2 (即 L)變換成直線 P1 P2 。 若在上述參數式中取 0  t  1 , 則可見 A 將線段 P1 P2 變換成線段 P1 P2 。 在坐標平面上,  a1  a2. 若二階方陣 A  . b1  a 滿足 1  b2  a2. b1  0, b2. 則以 A 作線性變換時, 頂點為 (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) 的單位正方形 被 A 映射成頂點為 (0, 0), (a1 , a2 ), (a1  b1 , a2  b2 ), (b1 , b2 ) 的平行四邊形, 亦即由向量 a  (a1 , a2 ), 其面積為 |. a1 a2.  a1  a2. 因此,以 . b  (b1 , b2 ) 所張開的平行四邊形,. b1 |。 b2 a b1  作線性變換的面積變化率為 | 1  a2 b2 . 50. b1 |。 b2.

(9) 【性質】 1. 線性變換的面積變化率:  a1  a2. 坐標平面上,以二階方陣  當 . a1 a2. b1  作線性變換, b2 . b1  0 時,其面積變化率為 |  | 。 b2  a1  a2. 設線性變換 A  . b1  a 的行列式   1  a2 b2 . b1  0, b2. 由於 A 將線段變換成線段, 故將 n 邊形變換成 n 邊形, 而任意多邊形經變換後的面積也是原來的 |  | 倍。 事實上,平面上的任何有界區域的面積變化率恆為 |  | 。 由於 cos  sin   cos 2   sin 2   1 , sin  cos cos sin    cos2   sin 2   1 , sin   cos 故旋轉及鏡射的面積變換率都是 1。 其實,旋轉及鏡射都將線段變換成等長的線段, 也就將三角形變換成全等的三角形(SSS 全等性質), 所以任意圖形經變換後,都不改變其形狀及大小。 又 r  0, s  0 時,. r 0  rs  0 , 0 s.  r 0  的面積變化率為 rs; 0 s  1 r  1 0  而推移  及  的面積變化率為 |1  0 |  1 。 0 1  s 1 . 故伸縮 . 伸縮可能改變圖形的形狀及大小; 推移則可能改變圖形的形狀,但不改變面積。 【性質】 1.. 設. a1 a2. b1 a  0 ,則  1 b2  a2. b1   x   x   x a    的充要條件為     1    b2   y   y  y   a2. 51. 1. b1   x  。 b2   y.

(10) 【性質】 二階方陣所對應的平面變換: 以下四種基本的線性變換是針對點的平移、旋轉、伸縮、對稱 1. 旋轉(保持形狀與大小): 點 P( x, y) 以原點為中心旋轉  角後得點 P' ( x' , y' ) ,  x' cos   sin    x  x  則     A  ,     y '  sin  cos    y   y. cos   sin   稱矩陣   為旋轉矩陣。  sin  cos   幾何意義: 點 P( x, y) 的輻角  旋轉  角得點 P' ( x' , y' ) 輻角的    ,長度不變, x y  2 2 x '  x cos   y sin   x  y ( cos   sin  )  x 2  y 2 cos(   )  2 2 2 2 x y x y   x y  y '  x sin   y cos   x 2  y 2 ( sin   cos  )  x 2  y 2 sin(   ) 2 2 2 2  x y x y . 說明: x'iy '  r cos(   )  ir sin(   )  (r cos  cos   r sin  sin  )  i(r sin  cos   r cos  sin  )  ( x cos   y sin  )  i( x sin   y cos  ) ,  x' cos   sin    x  x   A  。 即        y '  sin  cos    y   y 或想成將 (1,0), (0,1) 變成 (cos , sin  ), ( sin  , cos ) , 且線性變換 T (( x, y))  AX , 1  cos   0  sin   故 A     , A    , 0  sin   1   cos  . cos    sin   T (( x, y))  T ( x(1,0)  y(0,1))  xT ((1,0))  yT ((0,1))  x   y  ,  sin    cos  . 52.

(11) cos   sin   若A  表旋轉(圖形)變換,  sin  cos   在複數平面上的意義為將點 P( x  iy ) 繞原點旋轉  角, 得到 P' ( x'iy ' ) ,即 x'iy '  ( x  iy )(cos   i sin  ) ,  cos  sin   cos( )  sin( ) 則 A1     逆變換,即將圖形旋轉    sin  cos    sin( ) cos( )  角。 2. 鏡射(保持形狀與大小): 假設 L 是與 x 軸夾角為  的直線, 若點 P( x, y) 對直線 L 鏡射後得點 P' ( x' , y' ) ,  x' cos 2 sin 2   x  則      。  y '  sin 2  cos 2   y  想法: x'iy '  r cos(2   )  ir sin(2   )  (r cos 2 cos   r sin 2 sin  )  i(r sin 2 cos   r cos 2 sin  )  ( x cos 2  y sin 2 )  i( x sin 2  y cos 2 ) ,  x' cos 2 sin 2   x  即      。  y '  sin 2  cos 2   y  或將變換分解成為兩步驟如下:  x' cos 2  sin 2  1 0   x  cos 2 sin 2   x   y'   sin 2 cos 2  0  1  y    sin 2  cos 2   y           幾何意義如下圖形:. 53.

(12) 54.

(13) 3.. 伸縮(保持形狀): (a)點 P( x, y) 以原點為中心伸縮 k 倍 (k  0) 得點 P' ( x' , y' ) ,  x' k 0   x  則      。  y ' 0 k   y .  x '   k 0  x  (b)水平方向的伸縮       。  y ' 0 1  y  當 k  1 時,表示沿水平方向放大 k 倍。 當 0  k  1 時,表沿示水平方向縮小 k 倍。 當 k  0 時,表示對 y 軸的鏡射以及沿水平方向的伸縮。  x' 1 0   x  (c)鉛直方向的伸縮       。  y ' 0 k   y  當 k  1 時,表示沿鉛直方向放大 k 倍。 當 0  k  1 時,表示沿鉛直方向縮小 k 倍。 當 k  0 時,表示對 x 軸的鏡射以及沿鉛直方向的伸縮。 4. 推移: (a)點 P( x, y) 沿著 x 軸推移 y 坐標的 k 倍得點 P' ( x' , y' ) ,  x' 1 k   x  若 ( x' , y' )  ( x  kx, y) ,即       。  y ' 0 1   y  (b)點 P( x, y) 沿著 y 軸推移 x 坐標的 k 倍得點 P' ( x' , y' ) ,  x '   1 0  x  則 ( x' , y' )  ( x, kx  y) ,即       。  y ' k 1  y  5. 旋轉加伸縮的合成變換:  x' a  b   x   y '  b a   y  。      6. 伸縮加推移的合成變換:  x' a b   x   y '  0 a   y  。      【結論】 保長 保角 保積(面積) 平移 有 有 有 旋轉 有 有 有 伸縮 無 無 無 鏡射 有 有 有 推移 無 無 有. 55.

(14) 【性質】 1.. a b  假設 ABC 經線性變換 M    變成 A' B' C ' , c d  試證: A' B' C '  det M  ABC 。 證明: ax1  by1 1 A' B' C '   | ax2  by 2 2 ax3  by3 . det M 2. x1  | x2 x3. cx1  dy1 1 cx 2  dy 2 1 | cx3  dy3 1. y1 1 y2 1  det M  ABC 。 y3 1. 【問題】 1. 試寫出點 P( x, y) 對於直線 L : ax  by  c  0(a 2  b 2  0) 的鏡射點 P1 ( x' , y' ) 之間的關係。. ac   b 2  a 2 2ab   ac   x '  x 2  2 2 2  2 2 2   a  b  a  b a b  a  b2  ) (解:   2 2  bc bc  a  b   2ab  y ' 2   y  a  b 2   a 2  b 2 a 2  b 2   a2  b2   2. 設 L1 與 L2 的交角為  ,點 P( x, y) 對於 L1 的對稱點 P1 ( x' , y' ) , P1 ( x' , y' ) 對於 L2 的對稱點 P2 ( x' ' , y' ' ) ,試找出 P( x, y) 與 P2 ( x' ' , y' ' ) 的關係。 (提示:兩次對稱等於一次旋轉) cos 2  sin 2  (解:  )  sin 2 cos 2  3.. a n a 1  n ( a  0 ) 設A ,試證明 A    0 a  0. 56. na n 1  。 an .

(15) 【應用】 1.. 設  : ax 2  bxy  cy 2  d b  a 2 令M      : x b  a 2  對 M 對角化,.  a y  b  2. b 2   x   d   : x   a   y .  x y M    d  y.     2  ,    2  1 ,且 D   1 設 M  PDP 1 ,其中 P       0  x    則 P 1     : x y PDP 1    d   y      y  . 0 , 2 .    1    0. 0     x d 2       y  0   x  y     : x  y  x  y  1  d  0 2   x  y    : x.  x'  x  y 令   : x'  y '    x  y 2..  y ' 1 0. 0   x'  d  1 x' 2 2 y' 2  d 。    2   y ' 3 1 設  : 3x 2  2 xy  3 y 2  1 ,令 M   , 1 3. 1  3   det(M  I )  det  0 3     1    4,2 。  x  1  1 1   x   0     t  。 (1)   4  ( M  4 I ) X       y  1  1  1  y .  x   1 1 1  x   0     t  。 (2)   2  ( M  2 I ) X       y  1  1 1  y  1   1   2  ,且 D  4 0 , 對 M 對角化,設 M  PDP 1 ,其中 P   2 0 2 1     1  2 2  則 P 1.  1   2  1  2. y  x :  2  2. 1  2    : x 1  2 .  x y PDP 1    d  y.  4 0  x y       2 2  0 4   . 57. y  2 2   1 x y   2 2 . x. .

(16) x y   x'  2  2 令 (即轉軸 45 )  4 x' 2 2 y' 2  1。 x y  y'     2 2. 58.

(17) 【定義】 1. 線性變換: 變換 T ( X )  AX ,若滿足 T ( X  Y )  T ( X )  T (Y ) 者稱之, 其中矩陣 A 稱為線性變換 T 的矩陣表示式。 【例題】 1.  : {( x, y) | 2  2 x  y  4,2  x  5 y  5, x, y  R} 解答:  x'  2 x  y 利用線性變換   y'  x  5 y  ': {( x, y) | 2  x'  4,2  y'  5, x' , y' R} 得( ' 的面積)=(  的面積)  det | M |  18  9  (  的面積)  (  的面積)  2 x2 y2 2. 試求  : 2  2  1 內接 ABC 之最大面積? 5 3 解答: x y 取線性變換 T ( x, y)  ( , )  ( x' , y' ) 5 3 1    x'  5 0   x  即       y '  0 1   y  3  2 代入得  : x'  y' 2  1 因圓內接 A' B' C ' 之最大面積為正三角形的情形 得( A' B' C ' 的面積)=( ABC 的面積)  | det M |. 1 3 3  ( ABC 的面積)  15 4 45 3  ( ABC 的面積)  4 1 3 3. 設線性變換的矩陣為 M    1 1 並將 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) 等四點變換成為 O' , A' , B' , C ' 等四點 試求 O' A' B' C ' 面積? 解答: ( O' A' B' C ' 面積)=( OABC 面積)  | det M | 則 16  8  2 . 59.

(18) 【意義】 線性變換的意義: 𝑎 𝑏 設矩陣𝐴 = [ ],線性變換𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋, 𝑐 𝑑 𝑎 1 0 𝑏 單位向量𝑒⃑⃑⃑1 = [ ] , ⃑⃑⃑ 𝑒 = [ ],且𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ = [ ] , ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑒 ′ = [ ], 𝑐 2 0 2 1 𝑑 ⃑⃑⃑⃑⃑2 ′, 則𝑇(𝑥𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝑒 ⃑⃑⃑2 ) = 𝑥𝑇(𝑒⃑⃑⃑1 ) + 𝑦𝑇(𝑒 ⃑⃑⃑2 ) = 𝑥𝐴𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝐴𝑒 ⃑⃑⃑2 = 𝑥𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ + 𝑦𝑒 𝑎 𝑏 分別變換到𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ = 𝐴𝑒⃑⃑⃑1 = [ ] , ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑒 ′ = 𝐴𝑒⃑⃑⃑2 = [ ]。 𝑐 2 𝑑 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑥𝑒⃑⃑⃑⃑⃑1 ′ + 𝑦𝑒 ⃑⃑⃑⃑⃑2 ′, ⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑥𝑒⃑⃑⃑1 + 𝑦𝑒⃑⃑⃑2 經過線性變換𝐴可以得到𝑂𝑃′ 可得𝑂𝑃 可知其相對的坐標不變。 【意義】 線性變換的面積變換倍率: 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑥2 設矩陣𝐴 = [ ],且[ ] [𝑦 𝑦 ] = [ 1 ], 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 1 𝑥1 𝑥2 向量𝑢 ⃑ = [𝑦 ] , 𝑣 = [𝑦 ]所張成的平行四邊形的面積為𝑅, 1 2 𝑥 ′ 𝑥 ′ ⃑⃑⃑ = [ 1 ] , ⃑⃑⃑ 且向量𝑢′ 𝑣′ = [ 2 ]所張成的平行四邊形的面積為𝑅′, 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 則| det 𝐴 | × 𝑅 = 𝑅′。 證明: 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 𝑥1 𝑥2 因[ ] [𝑦 𝑦 ] = [ 1 ], 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 1 𝑥1 𝑥2 𝑥 ′ 𝑥2 ′ 𝑎 𝑏 故|det [ ] | × |det [𝑦 𝑦 ] | = |det [ 1 ] |, 1 2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ 𝑐 𝑑 即| det 𝐴 | × 𝑅 = 𝑅′。. 60.

(19) 【性質】. cos  cos   sin   假設旋轉方陣 A( )   ,鏡射方陣 B (  )   sin     sin  cos   1 T 1. A( )  1 且 ( A( ))  ( A( )) 。. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. 9.. cos( )  sin( )  cos  ( ( A( )) 1     sin( ) cos( )   sin  A( ) A( )  A(   )  A( ) A( ) 。. sin   ,則  cos  . sin   (表圖形旋轉 ( ) 角)) cos  . A( ) n  A(n ) 。 B( )  1 且 ( B( )) 1  ( B( ))T 。. B( ) B( )  A(   ) 。 A( ) B( )  B(   ) 。 B( ) A( )  B(   ) 。 反矩陣: a b a b  設A ,且    ad  bc  0 ,  c d c d  b   d   1  d  b 1  d  b 則 A1   ad  bc ad  bc      。 c a   ad  bc  c a    c a   ad  bc ad  bc  反矩陣:  cos  sin   cos( )  sin( ) cos   sin   設A ,則 A1     。  sin  cos    sin( ) cos( )   sin  cos  . 61.

(20) 【問題】 1. 試說明 0  1  0 1  1 0 1 0   1 0  1 0  0  1 0 1 1 0 ,  1 0,  0 1, 0  1,  0  1, 0 1,  1 0 , 1 0                 等的線性變換涵義。 cos   sin    cos  sin   cos  sin    cos  sin   2. 試說明  ,  ,  ,    sin  cos    sin  cos    sin   cos    sin  cos   等的線性變換涵義。 3. 試寫出對於 x 軸的鏡射矩陣。 cos(2  0) sin(2  0)  1 0  (解:  )    sin(2  0)  cos(2  0) 0  1 4. 試寫出對於 y 軸的鏡射矩陣。. 5..     cos(2  2 ) sin(2  2 )   1 0 (解:   )      sin(2  )  cos(2  )  0 1 2 2   試寫出對於直線 L : y  x 的鏡射矩陣。. 6..     cos(2  4 ) sin(2  4 )  0 1 (解:  )     1 0  sin(2  )  cos(2  ) 4 4   試寫出對於直線 L : y  mx 的鏡射矩陣。. 7.. 8.. 9.. 1  tan 2  2 tan   1  m 2 2m   cos 2 sin 2  1  tan 2  1  tan 2   1  m 2 1  m2  )   (解:      1  tan 2    2m 1  m2   sin 2  cos 2   2 tan    1  tan 2  1  tan 2   1  m 2 1  m 2  試寫出點 P( x, y) 對於直線 L : ax  by  c  0(a 2  b 2  0) 的鏡射點 P1 ( x' , y' ) 之間的關係。 ac   b 2  a 2 2ab   ac   x '  x 2  2 2 2  2 2 2   a  b  a  b a b  a  b2  ) (解:    bc bc  a 2  b 2   2ab  y ' 2   y  a  b 2   a 2  b 2 a 2  b 2   a2  b2   設 L1 與 L2 的交角為  ,點 P( x, y) 對於 L1 的對稱點 P1 ( x' , y' ) , P1 ( x' , y' ) 對於 L2 的對稱點 P2 ( x' ' , y' ' ) ,試找出 P( x, y) 與 P2 ( x' ' , y' ' ) 的關係。 (提示:兩次對稱等於一次旋轉) cos 2  sin 2  (解:  )  sin 2 cos 2  a n a 1  n ( a  0 ) 設A ,試證明 A    0 a  0. 62. na n 1  。 an .

(21) 【定義】 平面上的線性變換(Linear Transformation):(平移、旋轉、伸縮、鏡射)意 義:  x 1. 坐標平面上每一點 P( x, y) 都有一個 21 階行矩陣   與之對應。  y 2.. 每一個 m n 階矩陣 A 可以把一個 n 元的行矩陣 X 1 變換成為 m 元的行矩陣 X 2 ,即 X 2  AX 1 。 a b  a b   x   x'  3. 設 A   ,則 f ( X )  AX         可以看成是一種函數變  c d   c d   y   y ' 換,將點 P( x, y) 映至點 P' ( x' , y' ) ,也可視為一種向量的變換,如此是一種  x'  ax  by 從坐標平面到坐標平面的變換。此時  是一種線性關係,所以我  y '  cx  dy 們稱此種由矩陣所決定的變換為線性變換。例如我們學過的平移、旋轉、 伸縮、對稱都是一種線性變換。 【問題】 a b  a b   x   x'  1. 對於 A   的線性變換 f ( X )  AX   c d   y    y ' ,是否一定每一  c d       點都可以對應到?. 63.

(22) 【定義】 各種二階方陣所對應到的線性變換: a b  a b   x   x'  若A , f ( X )  AX         c d   c d   y   y ' (1)退化情形( det A  0 ): 0 0  (a)若 A    0 0   x  0 0  x  0 0 0  1.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A         ,   y  0 0  y  0 0 0  表示把每一點換成原點。 0 0  (b)若 A    ,但 det A  0 0 0   x  1 0  x   x  1 0 1.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A         ,   y  0 0  y  0 0 0  表示向 x 軸作正射影的變換。  x  0 0  x   0  0 0  2.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A         ,   y  0 1  y   y  0 1  表示向 y 軸作正射影的變換。  x  0 1  x   y  0 1  3.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A         ,   y  0 0  y   0  0 0  表示先對 y  x 鏡射後,再向 x 軸作正射影的變換。 0 1 1 0 0 1 即 A    0 0 1 0 0 0     .  x  0 0  x  0 0 0  4.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A      y    x ,  y 1 0 1 0          表示先對 y  x 鏡射後,再向 y 軸作正射影的變換。  x  1 0  x   x  1 0 5.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A         ,   y  1 0  y   x  1 0 表示以鉛垂方向射向直線 y  x 的變換。  x  0 1  x   y  0 1 A 6.若 A   ,此時 ,則 det A  0  y   0 1  y    y  ,         0 1 表示以水平方向射向直線 y  x 的變換。 1 1  x  1 1  x   x  y  7.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A        ,   y  0 0  y   0  0 0  表示變成 x 軸上的點 ( x  y,0) 的變換,但非正射影變換。 0 0   x  0 0  x   0  8.若 A   ,此時 det A  0 ,則 A        ,   y  1 1  y   x  y  1 1 表示變成 y 軸上的點 (0, x  y) 的變換,但非正射影變換。 a b  0 0  9.若 A   ,若 A     ,但 det A  0 , c d  0 0  64.

(23) a b  a b 1   k ,即將每一點映至直線 y  x 上,即 A    將坐標 c d k c d  平面全映至此直線上。 (2)不退化情形( det A  0 ): (a)基本矩陣:由 I n 經過基本列運算 Rij , rRi , rRi  R j 所得到的n階矩陣,稱 則必. 為 n 階基本矩陣。 0 1  1.若 A    ,即 R12 ,此時 det A  0 , 1 0  x  0 1  x   y  則 A         ,  y  1 0  y   x  表示對於直線 y  x 的變換  r 0 2.若 A    ,即 rR1 ,此時 det A  0 , 0 1   x  r 0  x  rx 則 A         ,  y  0 1  y   y  表示對水平方向伸縮 r 倍,鉛垂方向不變的變換 1 0 3.若 A    ,即 rR2 ,此時 det A  0 , 0 r   x  1 0  x   x  則 A         ,  y  0 r   y  ry 表示對鉛垂方向伸縮 r 倍,水平方向不變的變換 1 0 4.若 A    ,即 rR1  R2 ,此時 det A  0 , r 1.  x  1 0  x   x  則 A        ,  y  r 1  y  rx  y  表示鉛垂方向推移 ru 的變換 1 r  5.若 A    ,即 rR2  R1 ,此時 det A  0 , 0 1  x  1 r   x   x  ry 則 A        ,  y  0 1  y   y  表示水平方向推移 ry 的變換. 65.

(24) 【結論】 類型. det A. 幾何意義. 矩陣 0 0  0 0   . 將圖形 映到一點 退化. det A  0. a b  0 0  x' ax  by   c d   0 0   y '  cx  dy          必在 y'  mx' 之直線上 對原點旋轉 cos   sin    sin  cos     對原點伸縮 h 0  0 k , h, k  0   對原點、 x 軸、 y 軸、 y  x 、 y   x 等鏡射  1 0  1 0   1 0 0 1  0  1  0  1, 0  1,  0 1, 1 0,  1 0        以 x 軸、 y 軸為不變線之推移 1 r  1 0 0 1, r 1   . 將圖形映 至一直線. 旋轉. 伸縮 非退化. det A  0. 鏡射. 推移. 【性質】 1. 若 A 是一個 n 階方陣,且 det A  0 ,則 A 經過矩陣的列運算後必可以化成 1. 2. 3.. 1. 1. 為 I n ,即 Ek Ek 1 E1 A  I n ,則 A1  E1  Ek 1 Ek 。 若 A 是一個 n 階方陣,且 det A  0 ,則 A 將坐標平面上的點映成為整個坐 標平面,且 A 所表示的變換為鏡射、伸縮、推移或其組合。 每個基本矩陣都有乘法反矩陣, 0 1  0 1  (1) A   ,則 A1   。  1 0 1 0. 1   r 0 0 1  A  (2) A   ,則 。 r   0 1 0 1    1 0  1 0 1 1 。  (3) A   ,則 A   0 0 r    r  1 0  1 0 1 A  (4) A   ,則   r 1 。 r 1   1 r  1  r  1 A  (5) A   ,則  0 1  。 0 1  . 66.

(25) 【性質】 基本列運算: 1. 兩列交換。 2. 某列乘以 r 倍。 3. 某列乘以 r 倍再加到另一列。 上述三種基本列運算都可以對應到一個基本矩陣如下,且基本矩陣的反矩陣也 都是基本矩陣。 0 1  0 1  1. A   (且 A1    )。  1 0 1 0. 1  1 0   r 0 1 0 0 1 1  1  )。 A  (且 )或 (且 A A   A  r 0 r   0  0 1  0 1    r     1 0 1 r   1 0 1  r  3. A   (且 A1   )或 A   (且 A1       )。 r 1 0 1  r 1 0 1  【例題】 3 5 求A  的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算: 1 2 3 5 1 0 1 2 0 1 (  A | I  )   2..  0 1  0 1   1 2 0 1 (    A I  )   1 0 1 0  3 5 1 0   1 0 0 1  1 0 0 1  1 2 0 1   (    A  I  )    3 1 1 0  3 1 1 0  0  1 1  3  1 0   1 0 0 1 1 0   1 0 0 1  1 2 0 1  (     A   I  )   0  1  3 1 1 0 0  1  3 1 1 0  0 1  1 3 1 0 2  5   0 1  1 3  1  2 1 0   1 0 0 1 1  2 1 0   1 0 0 1  (      A    I  ) 0 1  0  1  3 1 1 0 0 1  0  1  3 1 1 0  1  2 1 0   1 0 0 1 設 E4   , E  , E  , E  3 2 1  0  1  3 1 1 0 0 1        則最後一式可改成 [ E4 E3 E2 E1 A | E4 E3 E2 E1 I ] ,也就是 E4 E3 E2 E1 A  I 1. 1. 1.  A  E1 E2 E3 E4 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 可得 ( E4 E3 E2 E1 )( E1 E2 E3 E4 )  ( E1 E2 E3 E4 )( E4 E3 E2 E1 )  I 故 E4 E3 E2 E1 為 A 之乘法反元素。 由 (det E4 )(det E3 )(det E2 )(det E1 )(det A)  det I ,也可知當 det A  0 時,乘法反矩 陣存在。. 67.

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參考文獻

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