TestGraf98在國小六年級小數除法概念之試題編製及其分析研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：許天維. 博士. TestGraf98 在國小六年級小數除法概念之試題編製及其分析研究. 研究生：盧建宏. 撰. 中華民國一百年六月.

(2) 摘. 要. 本研究旨在編製國小六年級小數除法概念之測驗，藉由 SPSS 及 TestGraf98 軟體來檢視試卷與試題的統計分析，並從受試者對試題之各選項的選答情形，來探討學童在小數除法概念的學習情況和迷思概念，以提供教師日後教學之參考。根據研究結果，獲致如下結論：一、大部分的學童在進行小數除法計算時，會受此單元所提示的「除法」所影響，直觀地將題目中出現的數字相除求解，而且一定會拿「大數除以小數」，未真正了解題目內容及實際情境為何。二、在小數(整數)除以小數，商為整數沒有餘數的狀況下，能力處於在後半段的學童未了解題意，而將小數當成整數來計算。三、在小數(整數)除以小數，商為小數沒有餘數的狀況下，部分學童在商的部分會出現未標小數點或標錯小數點的情形。四、學童在進行小數除法的運算時，仍有部分學童遇到不夠除時，商要補零的概念不清楚。五、學童對於對於四捨五入法的捨去與進位概念不清楚，當取到小數第二位時，應要算到小數第三位數，並判斷是否大於 5，而決定是否捨去或進位。學童在此概念薄弱，需再加強。六、判斷被除數、除數和商之間的關係時，有少部分的學童仍存有「除法會使商變小」的迷思概念。關鍵字：小數除法概念、試題選項特徵曲線、迷思概念. I.

(3) Abstract The aim of the research is to edit the decimal division concept test for elementary school 6th grade students. SPSS and TestGraf98 were used to check the statistical analysis of the test paper and the items. Students’ learning status and misconception regarding decimal division concept were discussed from the answers chosen under the options of the items to provide teachers teaching reference in the future. Based on the research results, the conclusions obtained are listed below: 1.. While doing decimal division calculations, most students would be affected by “division” that was hinted in the unit. They would intuitively divide the numbers in the questions and would “divide large number by small number” without truly understanding the question content and the actual situation.. 2.. For items where a decimal (integer) is divided by a decimal and the quotient is an integer without remainder, students with calculating ability in the second half category would not know the meaning of the item and calculate the decimals as if they were integers.. 3.. For items where a decimal (integer) is divided by a decimal and the quotient is a decimal without remainder, some students would forget to indicate the decimal point or mark in the wrong place for the quotient.. 4.. When calculating decimal division, there were some students who were unclear about the concept that the quotient needed to add 0 when the numbers cannot be divided any more.. 5.. Students were unclear about the rounding-off method and the carrying concept. When stopping at the second decimal place, the student should determine whether the third decimal place is larger than 5 and decide to round-off or carry. Students did not understand this concept and needed to work more on it. II.

(4) 6.. When determining the relationship between the dividend, the divider and the quotient, only a few students still had the misconception of “division makes the quotient small.”. Keywords: Decimal division concept, Item option characteristic curve, Misconception. III.

(5) IV.

(6) 目第一章. 次. 緒論 .............................................................................................. 1. 第一節. 研究動機 .................................................................................................. 1. 第二節. 研究目的與待答問題 .............................................................................. 3. 第三節. 名詞釋義 .................................................................................................. 3. 第四節. 研究範圍與限制 ...................................................................................... 5. 第二章. 文獻探討 ...................................................................................... 7. 第一節. 小數概念的發展 ...................................................................................... 7. 第二節. 小數除法之教材分析 .............................................................................11. 第三節. 小數除法迷思概念之實證性研究 ........................................................ 15. 第四節. 試題編製與試題選項特徵曲線 ............................................................ 18. 第三章. 研究方法與步驟........................................................................ 21. 第一節. 研究架構 ................................................................................................ 21. 第二節. 研究對象 ................................................................................................ 22. 第三節. 研究工具 ................................................................................................ 22. 第四節. 研究流程 ................................................................................................ 34. 第五節. 資料處理 ................................................................................................ 35. 第四章. 研究結果與分析........................................................................ 37. 第一節. 試卷與試題特性分析 ............................................................................ 37. 第二節. 試題之選項特徵曲線分析 .................................................................... 41. 第三節. 六年級學童小數除法之理解情形與迷思概念 .................................... 70. 第五章第一節. 結論與建議 ................................................................................ 75 結論 ........................................................................................................ 75. V.

(7) 第二節. 建議 ........................................................................................................ 78. 參考文獻 ..................................................................................................... 81 中文部分 ................................................................................................................ 81 外文部分 ................................................................................................................ 83. 附錄 ............................................................................................................. 85 附錄一. 小數除法預試試題 ................................................................................ 85. 附錄二. 國小六年級小數除法概念正式試卷之雙向細目表 ............................ 90. 附錄三. 選擇題試題檢核表 ................................................................................ 91. 附錄四. 小數除法正式試題 ................................................................................ 92. VI.

(8) 表. 次. 表 2-2-1. 九年一貫課程正式綱要小數教材之能力指標 .......................................... 12. 表 2-2-2. 九年一貫課程正式綱要各年段分段能力指標 .......................................... 13. 表 2-2-3. 康軒版國小數學教材內容分布表 .............................................................. 14. 表 2-3-1. 小數除法問題的相關研究 .......................................................................... 16. 表 3-3-1. 國小六年級小數除法概念預試試題內容架構分布表 .............................. 23. 表 3-3-2. 國小六年級小數除法概念預試試題內容之雙向細目表 .......................... 24. 表 3-3-3. 鑑別度的評鑑標準 ...................................................................................... 26. 表 3-3-4. 預試試題之難易度、鑑別度與信度指標分析表 ...................................... 26. 表 4-1-1. 正式測驗試題難度及鑑別度指數分析表 .................................................. 37. 表 4-1-2. 正式試題難度統計表 .................................................................................. 38. 表 4-1-3. 正式試題鑑別度統計表 .............................................................................. 39. 表 4-1-4. 正式測驗信度分析表 .................................................................................. 40. 表 4-3-1. 「小數除以整數」概念試題各選項選答率及平均通過率 ...................... 70. 表 4-3-2. 「小數(整數)除以小數」概念試題各選項選答率及平均通過率 ............ 71. 表 4-3-3. 「被除數、除數和商之間的關係」各選項選答率及平均通過率 .......... 72. VII.

(9) 圖. 次. 圖 3-1-1. 研究結構圖 .................................................................................................. 21. 圖 3-3-1. 小數除法概念結構圖 .................................................................................. 23. 圖 3-3-2. 預試試題 1 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 28. 圖 3-3-3. 預試試題 5 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 29. 圖 3-3-4. 預試試題 7 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 30. 圖 3-3-5. 預試試題 10 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 31. 圖 3-3-6. 預試試題 13 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 32. 圖 3-3-7. 預試試題 14 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 33. 圖 3-4-1. 研究流程圖 .................................................................................................. 34. 圖 4-2-1. 正式試題 22 之正確選項特徵曲線圖 ........................................................ 41. 圖 4-2-2. 正式試題 21 之正確選項特徵曲線圖 ........................................................ 42. 圖 4-2-3. 正式試題 11 之正確選項特徵曲線圖 ......................................................... 43. 圖 4-2-4. 正式試題 2 之正確選項特徵曲線圖 .......................................................... 44. 圖 4-2-5. 正式試題 15 之正確選項特徵曲線圖 ........................................................ 45. 圖 4-2-6. 正式試題 1 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 46. 圖 4-2-7. 正式試題 2 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 47. 圖 4-2-8. 正式試題 3 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 48. 圖 4-2-9. 正式試題 4 之試題選項特徵曲線圖 .......................................................... 49. 圖 4-2-10. 正式試題 5 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 50. 圖 4-2-11. 正式試題 6 之試題選項特徵曲線圖 ......................................................... 51. 圖 4-2-12. 正式試題 7 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 52. 圖 4-2-13. 正式試題 8 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 53. 圖 4-2-14. 正式試題 9 之試題選項特徵曲線圖 ........................................................ 54. VIII.

(10) 圖 4-2-15. 正式試題 10 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 55. 圖 4-2-16. 正式試題 11 之試題選項特徵曲線圖 ....................................................... 56. 圖 4-2-17. 正式試題 12 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 57. 圖 4-2-18. 正式試題 13 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 58. 圖 4-2-19. 正式試題 14 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 59. 圖 4-2-20. 正式試題 15 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 60. 圖 4-2-21. 正式試題 16 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 61. 圖 4-2-22. 正式試題 17 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 62. 圖 4-2-23. 正式試題 18 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 63. 圖 4-2-24. 正式試題 19 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 64. 圖 4-2-25. 正式試題 20 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 65. 圖 4-2-26. 正式試題 21 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 66. 圖 4-2-27. 正式試題 22 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 67. 圖 4-2-28. 正式試題 23 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 68. 圖 4-2-29. 正式試題 24 之試題選項特徵曲線圖 ...................................................... 69. IX.

(11) X.

(12) 第一章. 緒論. 本研究主要針對國小六年級學童「小數除法」概念編製一份試卷，並利用 SPSS 及 TestGraf98 軟體來檢視試卷的各試題通過率、難度、信度、鑑別度與特徵曲線，藉以探討學童應答的情況和迷思概念，以協助教師日後有關「小數除法」的試卷編製與教學。全章共分為四節：第一節先闡述研究動機；第二節為研究目的與待答問題；第三節就本研究所涉及的特定名詞加以定義與解釋；第四節說明研究範圍與限制。. 第一節研究動機現行的國民小學課程中，數學科絕對是教師最頭痛的幾個科目之一，而數學的學習則是注重循序累進的，隨著學童年紀增長，所學習到的數學知識越加深加廣，若再此之前沒有具備應有的數學基礎，對學童而言會學得很痛苦，甚至產生反感。在教學現場中，最常發生的現象是教師在台上費盡苦心的想要把數學知識傳授給學生，但就是有部分學生總是聽不懂、學不會，而教師又誤解這些學生不夠努力，要求他們不斷精熟學習，到頭來，不但造成反效果，反而會使這些學生更加厭惡數學。此時，教師如何以快速有效的方式來檢測學生的學習狀況，進而進行補救教學，會是一項非常重要的課題。現今，教師在課堂上的測驗方式仍以紙筆測驗為主，批閱快速、計分客觀，且又達到公平、公正，但卻不符合人性化、多元化等特質，所以一份編製優良的試卷就有其重要性，因為一份優良的試卷經過種種的試題分析軟體後，除了可以觀察出學生的概念理解情況與迷思，教師亦可作為補救教學策略的參考。以我國國小數學課程來看，「數」可分為整數、分數、小數與概數等四個主題 (教育部，2003)，在國民中小學九年一貫課程綱要中數學學習領域教學單元中，小數課程佔了一席之位。小數是「數」概念中最晚接觸的概念，它不但是整數位值. 1.

(13) 概念的延續，且與分數概念有密切的關係，因為人類當遇到一個不滿單位量的量時，需要被加以測量並描述時，就發展出分數的概念；而當印度-阿拉伯記數系統由整數推廣至分數時，便發展出小數的概念(國小數學教材分析—小數的數概念與運算，2001)。Hiebert and Wearne(1983)指出，近年來因為電腦及計算機普及的使用，及強調測量採用公制(metric)系統的影響，小數已經人類生活中不可或缺的數學語言(mathematic language)。在日常生活中，雖然我國所使用的最小幣值為一元，但歐美等國家卻天天接觸一元以下的幣值，話雖如此，周遭環境中仍有許多事物都跟小數有關，舉凡量身高與體重、計算路程距離、汽機車加油……等，再加上人們為了追求更精確的測量，許多電子儀器均是以小數來顯示，由此可知小數在生活中已是密不可分的關係。然而，根據一些研究成果與報告來看，發現學童在小數方面的表現不盡理想，吳金聰(1999)發現學童剛開始接觸小數課程就有許多的迷思概念，也提到分數概念會干擾到小數課程的學習。Hiebert(1985)曾提出：建構小數概念比分數概念會遭遇更多難題(引自 Irwin , 2000)。艾如昀(1994)發現學童在進行四則運算時，以除數是小數的題目類型最容易做錯。劉曼麗(2002)提及小數的迷思概念大都發生在國小四、五年級，而六年級則以小數乘除最易出錯。陳永峰 (1998)的研究中發現學生在小數除法文字題表現上，會受到數字大小的影響，把原本「小數÷大數」的文字題列為「大數÷小數」，且學生也易放錯商和餘數的小數點。林軍治(1986)在其研究提出學生較難接受除數小於 1，商比被除數大的事實。以上這些研究顯示學生在小數除法著實遇到很大的困難。從九年一貫數學課程標準可知，小數的學習是從三年級開始引入一位小數，四年級能認識二、三位小數並處理加、減與整數倍的計算，五年級能認識多位小數並處理加、減與乘數是小數的計算，直到六年級才開始討論除數為小數的計算。而國內眾多的研究報告亦顯示學生對於小數除法的概念與計算還存有諸多錯誤，此時若不加以追根究柢，將會影響學童往後在學習分數與小數四則混合計算問題及速率等單元。. 2.

(14) 隨著資訊科技的進步，電腦化之普及後，進而將資訊融入於教學中，各個出版商也將出版的教科書，隨書附上資源豐富且快速便捷的題庫光碟系統。正因如此，提供了老師在編製評量試卷時的方便性，只要透過題庫系統，選擇單元、難易度及類型就能快速產出一份試卷。但從另一角度來思考，這些由題庫光碟所產出的試卷，真的能測出學生的能力嗎？是否能達到教學評量的意義？因此，出題者須先就教學目標來審查試題內容的代表性，並在施測後，透過專業的試題分析軟體加以分析，才能真正達到教學評量的意義。承如上述，本研究以國小六年級小數除法概念為主軸，擬編製一份具有良好信度、效度的試題，並利用 SPSS 及 TestGraf98 軟體來檢視試卷，藉以探討學童應答的情況和迷思概念，以協助教師日後有關「小數除法」的試卷編製與教學。. 第二節研究目的與待答問題壹、基於上述研究動機，本研究之目的如下：一、探討自編六年級學童小數除法概念的試卷與試題特性。二、藉由 TestGraf98 分析六年級學童小數除法概念試卷的試題選項特徵曲線。三、探討六年級學童小數除法概念之理解情形。貳、基於上述之研究目的，本研究之待答問題如下：一、試卷的信度、效度，以及試題之難易度、鑑別度指數為何？二、由 TestGraf98 分析試卷各試題的特徵曲線為何？三、六年級學童在小數除法概念的理解情形和迷思概念為何？. 第三節名詞釋義以下針對本研究所提及之重要名詞，分別說明其定義：一、國小六年級學童. 3.

(15) 本研究中所稱國小六年級學童係指臺中市某幾所公立小學的六年級學生。二、小數本研究所提及的小數僅以一位、二位的純小數與帶小數來探討，並且只限於有理數的範疇內，三位以上的小數、循環小數與無理數不在此研究範圍內。三、小數除法依據現行的九年一貫課程，小數除法概念是放在六年級的教材中。本研究將其分成七個概念，茲列如下：一、小數除以整數，商為整數，有餘數。二、小數除以整數，商為小數，沒有餘數。三、小數(整數)除以小數，商為整數，沒有餘數。四、小數(整數)除以小數，商為整數，有餘數。五、小數(整數)除以小數，商為小數，沒有餘數。六、小數(整數)除以小數，當除不盡時，商用四捨五入法取到指定小數位數。七、在小數除法概念中，比較被除數、除數和商的關係。四、TestGraf98 TestGraf98 係由加拿大心理計量學者 Ramsay(1991)所發展的核平滑法無參數試題特徵曲線估算法(kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation)，對於試題中的正確選項與誘答選項均可分析。此方法並無假設任何適當的模式，完全根據受試者實際作答資料來進行分析，是一種無參數的試題反應理論，根據 TestGraf98 軟體，可估計選項特徵曲線(option characteristic curve，OCC)(引自楊志強，2004)。. 4.

(16) 第四節研究範圍與限制本研究是以小數的除法單元為例編製試題，國民小學六年級學童為研究對象，藉由試題分析軟體 TestGraf98 探究學童小數除法的理解情況與迷思概念，茲將本研究範圍與限制分成教材內容及研究對象兩方面來說明：一、教材內容本研究之測驗內容是根據康軒版六上之單元教材所編製的，至於其他版本的教材內容是否與本研究有無差異，則不在本研究範圍內。二、研究對象本研究旨在利用試題分析軟體 TestGraf98 分析六年級學童小數除法之理解情形與迷思概念，限於研究人力、時間和經費等因素，僅以臺中市某幾所六年級數學科採用採用康軒版之學校，採樣六年級男女學童共計 236 人為研究對象，因選取樣本有地域性限制，故研究所產生的推論結果，不可作普遍性的類推與解釋。. 5.

(17) 6.

(18) 第二章. 文獻探討. 本章主要在探討與本研究相關之理論，並參考這些文獻自編小數除法概念試題，藉以瞭解學童之學習情況。本章共分為四節：第一節探討小數概念的發展；第二節小數除法之教材分析；第三節探究小數除法概念之相關實證性研究；第四節則針對試題編製與試題選項特徵曲線進行討論。. 第一節小數概念的發展一、小數的起源在現今的社會中，小數已經是我們生活中常使用到的數學知識，舉凡建造房屋、股票交易、幣值兌換、測量一些精確性高的事物(如長度、重量、容量等)，都需要利用小數來表示。換句話說，當我們發現用整數來描述生活周遭根本不夠時，就會研究一種符號，其大小要比整數還要小，以符合我們的需求，小數就因此產生了。由此可知，小數是在以某單位測量時所產生的餘量，也就是小數是指比單位 1 還小的數(劉曼麗，1998)。小數的英文是「decimal」，其字面上的意思是來自於拉丁文「decima」，意指「a tenth part」也就是十分之一的部份。回顧人類使用小數的歷史，Thipkong(1988)指出，人類早從西元前二千多年，巴比侖人在刻劃時間時，就是利用小數記號，只不過當時的記數系統是六十進位制，而非現今所熟悉的十進位制，所以小數的實用性沒有那麼廣泛。然而，說到最先使用小數的國家就是中國，早在公元 263 年，魏晉時期的數學家劉徽所注的《九章算術》中，當開方開不盡時所說的「微數」，就是指小數，況且我國自古以來的記數系統就是用十進位制，所以在其性質與運算都發展的比西方早。到了元朝劉瑾(公元 1300 年左右)所著的《律呂成書》將 106368.6312 之小數部分降低一行來記，可謂是世界上最早的小數表示法。而在歐洲方面，比利時科學家Stevin在 1585 123. 年提出小數符號的記法，例如：4.519 記成 4 0 5 1 1 2 9 3 或是 4519，由於，他將. 7.

(19) 小數引進整個算術，使得大眾了解到小數其實也可以應用於四則運算上。事實上，許多國家對於小數都有不同的記法，直到法國與美國相繼地採用公制單位後，才有現今所認識的小數。(Thipkong，1988) 二、小數的意義要了解小數的意義，必須要先從分數的意義開始著手。小數對於初學者來說雖然很陌生，但卻是分數的一種表示方式，同樣都可以用於部分量的計算，小數的計算既可以延續整數的運算法則，更不用像分數一樣另外創造一套新的運算規則(趙文敏，1985)。由此可見，若要理解小數的意義，就必須從兩個層面著手：分數的意義(部分與全體)和整數的多單位記數系統觀點(位值概念)(劉曼麗，1998)，以下分別說明之：（一）分數的意義分數的意義可從「部分與全體」的關係來了解，亦即把一個或多個基準單位量(例如一打雞蛋、兩盒餅乾等等)透過實作或心理的等分割活動分成為 a 等分，再聚集其中一部分的量成為 b，命名為 a 分之 b，分數就是用來表示或記錄此指定的部分與全體的關係。而當整體被等分成十等分、百等分、千等分…時也就是十的冪數等分時，則分數有了另外一種記法，例如： 0.1，. 1 可記成 10. 2 可記成 0.02，一位小數可以記成十分之幾的分量，二位小數可以記 100. 成百分之幾的分量，以此類推，此類記法就成為小數的記法(劉曼麗，1998；邱顯場，1998)，因此，小數的意義可以從分數的角度與分割的活動來了解。(劉曼麗，1998)。我國九年一貫課程綱要中亦提及在「數」的課程安排上要從較容易的平分或測量入手，運用數線作為模型，才能自然數、分數與小數結合在一起，匯聚成「數」的概念，所以透過分數的「部分與全體」關係，可以協助學童掌握小數的數字與數詞的意義。. 8.

(20) （二）整數的多單位記數系統觀點整數記數系統是利用位值概念來組成的，並進而藉以描述數量，而所有的記數系統都是有結構的，目前我國的數與計算教材都是採用印度─阿拉伯記數系統(十進位制)，所以學童在數概念除了具備以 1 為單位的數概念結構外，至少還需要能多使用其他的單位，例如：十、百、千、萬等來組織並合成一個數。這種學習利用多單位來組織數概念，就是在學習印─阿記數系統的位值概念(甯自強，1997)。小數的記數系統其實就是從整數的多單位記數系統延伸而來的，採用 0-9 的十個數字和滿十進一的原則，以及其被置放的相對位置，來表徵所有的非負整數(劉曼麗，1998)。例如 0.826 可以把它看成是由 8 個「0.1」、2 個「0.01」和 6 個「0.001」所合成的結果。此外，另外，Hart 等人研究(1981)提出必須具有整數位值概念才能發展學童的小數位值概念，並將其認知層次區分如下：層次一：千位數以內的位值概念。層次二：一位小數的位值概念。層次三：二、三位小數的位值概念。層次四：與左邊的位值關係(例如：3.71×10 後的結果與 3.71 來做比較有何變化)。層次五：更複雜的位值關係(例如：5.2 分成 100 等分，每一等分是多少)。層次六：從除法(商為小數)發展到小數之間有無限多的小數(例如：介於 0.34 與 0.35 之間的小數有無限多個)。他們的研究進一步指出 12 歲的學童大多能達到層次三，但層次六能達到的學童不超過 10％。 Hiebert(1992)亦指出小數有三個重要的定理，整理如下：定理 1：小數中的每一個數字的位值是緊鄰其右邊的數字位值的十倍，反之，. 9.

(21) 則為十分之一。定理 2：小數中每一個數字的大小是由其位值來決定。例如：27.51，第一個數字是 2，位值大小是 10，所以它的數值為 2×10；以此類推，最後一個數字是 1，位值大小是 0.01，它的數值為 1×0.01。定理 3：小數的數值等於是它每一個數字所具有數值的總合(例如：35.16=3× 10+5×1+1×0.1+6×0.01)。綜合以上觀點，可知小數的意義是來自於分數的「部分與全體」概念；小數的結構是來自於整數的位值概念。而在課程規劃中，亦可發現分數與小數的概念學習始於等分割與合成活動，所以小數可說是分數的另外一種表徵方式。同時，小數位值系統也是依據印度─阿拉伯記數系統的位值概念。因此分數與整數概念是否融會貫通將大大影響學童在小數上的學習。三、小數概念學習 Wearne and Hiebert(1983)指出：學童在學習小數時，若沒有充分的瞭解分數概念與整數系統，那學習小數過程中，將可能只獲得部分的知識。那學童學習小數時，到底該獲得哪些知識才算是真正具有小數概念呢？Hiebert(1992)將小數概念具體分類為三種小數知識：（1）符號系統的知識：學童能夠明辨什麼是小數。例如：0.52 與. 52 哪一個是小 100. 數？（2）運算符號規則的知識：學童能從所學的各種運算符號意義去操弄運算規則以產生正確答案的小數知識。例如：小數加減時要先對齊小數點、分數轉換為小數、做小數運算時遇到不夠位時記得在最右邊補 0。（3）數量表示的知識：能了解小數所表示的數量。例如：測量一支竹竿有多長？請用公尺、公分、毫公分來表示。換句話說，就是能知道物體可以被一個單位、十分之一個單位或百分之一個單位所測量。. 10.

(22) 國內學者劉曼麗(2002)亦將小數概念具體分為小數符號意義、小數符號結構、小數應用等三部分。（1）小數符號意義：區分為小數圖像表徵、小數與分數雙向連結二類。（2）小數符號結構：區分為小數符號的辨識、小數的寫法、小數的讀法、小數的位值、小數的位名、小數的化聚六類。（3）小數應用：區分為小數單複名數轉換、小數的估測、小數大小比較、小數的稠密性、小數的計算、小數的估算、文字題七類。無論國內外學者均明確地指出小數概念包含哪些知識，但學童一開始接觸小數時卻是困難重重，必須透過指示物具體操作後，才能和小數概念產生連結，避免日後產生更多的迷思。Wearne 和 Hiebert(1988)所提出學習小數的四個階段(連結、發展、精緻與熟練、抽象化)認為學童剛開始學習小數時，必須將符號和周遭的實物做連結，透過具體物操作協助學童建立正確的小數概念。黃偉洲(2001)研究中指出學童在親自操弄指示物的情形下，能夠使具有小數迷思概念的國小六年級學童建構出正確的小數概念。綜合以上，小數對剛開始學習的學童來說是抽象的，教師如何在學習過程中適時引入具體物(如數學積木、百格板、真尺)讓學童實際操作是非常重要的步驟，讓小數概念與具體物產生連結，才能讓學童的小數概念更加穩固。. 第二節小數除法之教材分析隨著時代的變遷，課程改革也須符合當代的標準，為了要把每一位學生都帶上來，並讓學童自動自發地學習，新課程勢必要添加一些多元化、生活化及趣味化的因素，讓學童快樂學習。而本研究之研究對象為九十九學年度六年級的學童，其數學課程屬於九年一貫課程正式綱要(2003)，茲將九年一貫課程正式綱要有關小數之能力指標分析如下(如表 2-2-1 所示)。. 11.

(23) 表 2-2-1. 九年一貫課程正式綱要小數教材之能力指標. 階段. 能力指標說明. N-1-10. 能認識一位小數，並作比較與加減計算。能認識多位小數，理解並比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，. N-2-10 並解決生活中的問題。 N-2-12. 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。. N-2-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. N-3-04. 能用直式處理除數是小數的計算，並解決生活中的問題。. 由表 3-2-1 可知，小數教材的編排是由淺入深，從認識一位小數到多位小數，而在運算法則使用上，先從第一階段中的小數比較與加減計算到第二階段的小數乘法及分數之間做轉換，並延伸到數線上，直到第三階段安排小數除法，並解決生活中的問題。而關於各年段的分年細目分析如下(如表 2-2-2 所示). 12.

(24) 表 2-2-2. 九年一貫課程正式綱要各年段分段能力指標. 年段. 分年細目說明. 一年級. 無. 二年級. 無. 三年級. 3-n-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 4-n-09 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。. 四年級 4-n-10 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 4-n-11 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 5-n-08 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。 5-n-09 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。五年級 5-n-10 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。六年級. 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。. 由上表 3-2-2 可知，國小階段小數的教材分佈於三～六年級，即以學生先前學習的整數與分數為基礎，進而開始學習小數的教材。到了四、五年級的小數教材分佈的比例佔得較重，直到六年級學習小數的除法，才因此告一段落。此外，三年級的長度單元(3-n-12)及容量單元(3-n-14)、五年級的重量單元(5-n-14)及面積單元(5-n-15)、六年級的速度單元(6-n-08)其分年細目說明中亦指出應與小數教學相互加強，由此可知課程相當重視小數的學習要和日常生活中做連結。. 13.

(25) 目前因實施一綱多本的政策，所以市面上充斥著許多數學教科書，例如：康軒版、翰林版、南一版、部編版…等，但因為研究者所欲施測的臺中市地區學校的學生，經隨機取樣下發現，研究對象所使用的數學教材版本為康軒版，以下就康軒版的小數教材討論之。表 2-2-3. 康軒版國小數學教材內容分布表. 年段. 教材內容 . 認識一位小數。. . 了解一位小數的位值與化聚。. . 生活中應用一位小數，並比較其大小。. . 使用直式計算一位小數的加、減問題。. . 認識二、三位小數，並能描述其具體的量。. . 認識「百分位」及「千分位」及其關係。. . 二、三位小數的大小比較。. . 小數的生活應用(1 公分＝0.01 公尺、1 公尺＝0.001 公. 第六冊(三下). 第七冊(四上). 里等)。. 第八冊(四下). . 二、三位小數的加、減直式計算。. . 二階單位化聚的加減問題。. . 小數的加減應用。. . 二、三位小數整數倍的計算。. . 小數除以整數。. . 認識多位小數。. . 二階單位化聚的加減問題。. . 多位小數的加、減計算及整數倍。. . 認識小數數線。. 第九冊(五上). 14.

(26) 表 2-2-3 (續) . 解決生活中的小數乘法問題，並嘗試理解直式算則。. . 察覺乘法問題中，被乘數、乘數與積的變化關係。. . 解決小數(或整數)除以小數的除法問題。. . 利用乘除互逆，來驗算除法的答數。. . 能藉由除法與 1 的大小關係，判斷被除數與商的大小. 第十冊(五下). 第十一冊(六上). 關係 . 解決生活情境中，有關小數除法的問題。. . 解決小數加、減、乘、除混合的四則問題。. . 能透過化聚做時速、分速或秒速之間的換算，並用以. 第十二冊(六下). 比較不同速率單位的換算。 . 能應用距離、時間和速度三者的關係，解決生活中有關速度的問題。. 從表 2-2-3 中可以知道小數的概念是從三年級下學期開始介紹的，到了四年級才擴及到二、三位小數的認識，直到五年級已學會多位小數的基本概念，而在六年級的學童已全掌握小數的概念及其運算。本研究是以六年級學童為研究對象，主要探討六年級學童小數除法概念學習的情況和可能出現的迷思概念，藉此協助教師日後有關小數除法概念之試題編制及教學。. 第三節小數除法迷思概念之實證性研究課前分析學生在此單元可能會出現迷思概念的成因，有助於教學者運用適當的教學策略，來製造學生的認知衝突，及調整其原有的認知(江愛華，2002)。而小數除法概念算是國小六年級最後學習的小數計算規則，許多學童只講求如何計算卻忽略其中的意義，進而產生迷思。國內外許多研究亦指出，學童的小數除法表. 15.

(27) 現不理想，茲將國內外學者有關小數除法問題之研究報告整理如下：表 2-3-1. 小數除法問題的相關研究研究者. Radatz(1979). 研究發現解決除數為小數文字題方面時，轉譯題意有困難。. Liu(1995). 研究非數理系師院生的小數概念時，發現有將近四分之三的學生把餘數的小數點標錯。. Chein(1998). 六年級的學生持有穩固的小數稠密性、位值、數線之概念性知識，但只要涉及小數除法，這些概念就會變得不穩固。. Fishbein,Deri,Nello,&Marino(1985). 學童在列式策略上受「暗隱模式」的影響，認為「除數必小於被除數」的迷思概念。且在除法的表現上，當除數為小數時，學童答對率下降。. Bell, Swan, & Taylor(1981)；. 「除法會使商變小」的迷思概念。. Fishbein,Deri,Nello,&Marino(1985)；林原宏(1994)；劉曼麗(2002)；阮正誼(2002)；周筱亭、黃敏晃(2002)； Bell, Swan, & Taylor(1981). 學生認為除法應為 a ÷ b = a b 。. Bell, Swan, & Taylor(1981)；. 使用關鍵字策略來決定是否要用乘法或除法。. 林原宏(1994)；. 16.

(28) 表 2-3-1(續) 艾如昀(1994). 五年級學生在處理文字題時，若遇到除數是小數的題目，最容易答錯。. 林軍治(1986). 學童很難去接受「除數小於 1，商比被除數大」的觀念。. Bell, Swan, & Taylor(1981)；. 在除法的文字題中，學童在列式時認為應以. 劉曼麗(2002)；. 「大數÷小數」，因此出錯。. 陳永峰(1998)；劉曼麗(2002). 1.. 學童在小數除法的計算過程中，關於餘數部分會出現「未標小數點」或「所標的小數點對齊商數的小數點」兩種迷思概念。. 2.. 進行小數乘除法的過程中，最易犯的錯誤來自於對「.」的處理。. 簡茂發、劉湘川(1993)；. 學生在處理小數除法的過程中，會誤用算則而. 艾如昀(1994)；. 將商的小數點點錯，或是未點餘數之小數點。. 陳永峰(1998)；劉曼麗(2002)；簡茂發與劉湘川(1993). 1.. 對於選出「18.1÷2.97」正確的商與餘數時，只有 33﹪的學生答對。. 2.. 進行小數除法時，學童會把小數當成整數計算，導致除法時結果會變小。. 林原宏(1994). 學生在處理乘除法問題的列式時，若問題的數字為純小數時則表現較差。學生會先預期結果作為選擇運算符號的基準，若要使結果變大就用乘，使結果變小就用除。. 17.

(29) 綜觀以上有關小數除法的文獻中，不難發現學童在小數除法上易產生許多迷思概念，Huinker(1992)亦指出大多數學生用太少時間去發展小數符號的意義，一昧的去記憶規則與符號運算，而不去了解其意義，所以會產生錯誤的結果。因此教師不該只是重視學生的成績，應更要注意學生選答錯誤的情形，探討其原因，適時補救教學，導正學童錯誤的想法與觀念。. 第四節試題編製與試題選項特徵曲線壹、試題編製試題是構成測驗最基本的單位，其優劣自然會影響到整份測驗的品質。而試題的類型有很多種，在國小階段比較常見到的是選擇題題型，其主要原因是因為評分很客觀，對就是對，錯就是錯，沒有模擬兩可的情況發生，且選擇題又可適用於各種不同的教材，再加上能快速的給分，因此獲得許多喜愛者的採用，尤其近代配合電腦的使用，使得閱卷、計分都可以在短時間完成，若藉由選項的誘答力分析，可以進一步提供試題分析的指標，作為判斷試題編製的良窳與學生學習狀況之依據(余民寧，1997)。因此，本研究採用國小較常見的單選選擇題題型進行施測。基本上，構成單選選擇題的基本因素主要有二：一為「題幹」(stem)；另一為「選項」(options)。題幹的敘寫方式可分為直接問句(direct question)，或不完全的敘述句(incomplete statement)。而選項方面則包含一個正確或較佳選項，其餘的則為誘答選項，一般選項個數通常為 3～5 個不等。所以單選選擇題的編製是必須經過精心設計的，要能使具備正確觀念的學生選出正確答案，並吸引無解答能力的學生選擇錯誤選項，藉以區別出兩組不同考生的反應組型。為了讓單選選擇題發揮應有的功能，因此在設計題幹和選項時應符合以下原則(郭生玉，1995；陳英豪、吳裕益，1994；王文科，1999；余民寧，1997；. 18.

(30) Osterlind,2001)：一、題幹部分 1、題幹以直接問句為佳，且敘述上應力求直接、明確並清楚表達題意。 2、題幹的敘述盡可能要以正面陳述，若著重在辨識錯誤選項的能力，則必須將否定字詞加以強調。 3、題幹的敘述應使用肯定句，避免否定用語。 4、題幹宜保持完整，避免被選項分割成兩半，增加作答的困難度。 5、題幹的敘述要簡潔有力，避免無關的修飾與冗長的贅語。二、選項部分 1、整份測驗的每個試題其選項數目要一致，一般以 4 個選項為佳，過多選項只會增加試題的困難度。 2、整份測驗的標準答案位置應均勻分布，正確選項出現的次數應大致相等且隨機排列。 3、選項的長度應保持一致，最好以各佔一列為原則，方便受試者閱讀與比較。 4、避免提供正確答案的線索。 5、選項中應只有一個正確或最佳的答案。 6、選項的敘述應簡單扼要。 7、錯誤選項應具有誘答力。 8、選項之間的內容要互相獨立，不應有重疊的狀況。 9、選項中應避免出現「以上皆是」、「以上皆非」的選項。單選選擇題因計分快速、正確又可兼顧測驗理論及受試者的心理，因此成為當今教師自編成就測驗普遍使用的一種命題類型。但唯有掌握試題編製原則，精心設計試題，才能輔以學童與教師在課堂中互相成長。貳、試題選項特徵曲線. 19.

(31) 單選選擇題是否撰寫良好，主要的關鍵因素在於錯誤選項是否具有誘答力、創意及區別力，而要知道是否具有此功能必須透過選項分析，它是透過高分組與低分組的選答率進行比較，若分析結果符合(一)每一個誘答選項均有低分組的受試者選擇，且低分組的選答率高於高分組。(二)正確選項的選答率，高分組必須高於低分組。則表示該試題的所有選項是合理有效的(郭生玉，1995)。隨著社會的變遷及科技的進步，測驗形式不斷的改變，為了因應龐大的測驗需求量，測驗理論不斷地改良，一直到現在許多專家學者常以試題反應理論為架構研發各種測驗工具，而試題反應理論最主要的目的就是從大量的資料中找出試題或選項特徵函數(option characteristic function)並作有效的估計。所謂的選項特徵函數是將受試者能力與試題選項反應結果之間的關係以數學模式表示，若將表達方式改以圖形化顯示，則稱為選項特徵曲線(option characteristic curve；簡稱 OCC)(林子幼，2002)。本研究是採用加拿大心理計量學者 Ramsay 所發展的核平滑法無參數試題特徵曲線估算法(kernel smoothing approaches to nonparametric item characteristic curve estimation)，它是結合高低試題鑑別指數與核平滑無參數估算法，對於試題中的正確選項與誘答選項均可分析。此方法並無假設任何適當的模式，完全根據受試者實際作答資料來進行分析，是一種無參數(nonparameter)的試題反應理論(Ramsay， 1991)。Ramsay 根據上述理論，發展出 TestGraf98 軟體，可估計選項特徵曲線(option characteristic curve，OCC)。(引自楊志強，2004) 選項特徵曲線是以受試者的能力為橫軸，並以受試者在某一試題之選答率為縱軸，事先並無假設其服從某一特定之試題反應模式，得一平滑之曲線圖。由於它是以圖形化的方式來記錄或比較資料，讓許多研究者透過圖形就能快速且清楚的了解測驗中所隱藏的含意，並對於診斷試題的問題能提供有效的幫助(楊志強、楊志堅，2003)。. 20.

(32) 第三章. 研究方法與步驟. 本研究依據前述之教材分析與相關的文獻探討，自行編製一份小數除法概念試卷，並利用 SPSS、Excel、TestGraf98 軟體來分析試題的優劣良窳，藉以了解學童對小數除法概念的學習情形和可能出現的迷思概念。本章分別就研究架構、研究對象、研究工具、研究流程及資料處理等五節加以說明。. 第一節研究架構本研究根據研究動機、研究目的與文獻資料，提出研究架構，如圖 3-1-1：閱讀兒童小數除法相關文獻. 參考國小小數除法相關教材. 編製一份小數除法之試題抽樣班級進行預試. 信效度分析並確定正式試題抽樣班級正式施測. 試題選項分析（TestGraf98）. 試題資料分析（SPSS、Excel）. 1. 探討小數除法測驗之試卷與試題特性 2. 分析測驗之試題選項特徵曲線。 3. 探討六年級學童小數除法概念理解情況及所產生的迷思圖 3-1-1. 研究結構圖. 21.

(33) 第二節研究對象本研究的研究對象為國小六年級的學童，這些學童在九十九學年度六年級上學期課程結束後接受測驗。預試對象是以立意取樣的方式選取研究者所服務的學校其中二班進行施測，共 63 人。正式施測的對象則採用隨機抽樣的方式在臺中市地區選取四所學校，每所學校分別選取兩個班級，合計八班，共 236 人。. 第三節研究工具本研究之主要研究工具為「小數除法試題」，及相關的統計軟體，說明如下：壹、國小六年級學童小數除法概念測驗一、試題編製依據本研究之試題內容的編製除了依據九年一貫課程正式綱要數學學習領域六年級學童所應具備的小數概念，並參考康軒、南一、部編、翰林等出版社所編輯的教材，再加上國內外學者對於小數概念所提出的各項研究，自行設計題目而成。此預試試卷編製完成後，商請數學教育的專家及多位具有教學實務經驗的國小老師檢視其試題內容，提出修改建議，最後形成「小數除法預試試題」(參見附錄一)。二、試題內容架構根據九年一貫課程正式綱要數學領域及康軒、南一、部編、翰林等出版社所編輯的教科書和教學指引，建構出小數除法概念結構圖(如圖 3-3-1)，並依此結構圖製成「國小六年級小數除法概念預試試題內容架構分布表」(如表 3-3-1)，共有 30 題單選選擇題。. 22.

(34) 商為整數，有餘數國小小數除法概念. 小數除以整數商為小數，沒有餘數. 沒有餘數商為整數. 有餘數. 小數(整數)除以小數沒有餘數商為小數有餘數（商使用四捨五入法取到指定小數位數）圖 3-3-1. 表 3-3-1. 小數除法概念結構圖. 國小六年級小數除法概念預試試題內容架構分布表教材內容. 小數除法概念. 商. 餘數. 題號. 整數. 有. 5、13、19、30. 小數. 無. 1、9、17、21、28. 整數. 無. 3、10、14、23、26. 整數. 有. 7、15、22、27. 小數. 無. 4、11、18、24. 有. 6、12、20、25、29. 小數除以整數. 小數(整數)除以小數. 商用四捨五入法取到指定的小數位數被除數、除數和商的關 2、8、16. 係 23.

(35) 三、建立內容效度本研究根據表 3-3-1 之「國小六年級小數除法概念預試試題內容架構分布表」，及 2001 年版 Bloom 所提出的認知領域教學目標來擬定出「國小六年級小數除法概念預試試題內容之雙向細目表」，並據此編製預試試題。表 3-3-2. 國小六年級小數除法概念預試試題內容之雙向細目表認知層次. 概念. 主題記憶. 了解. 應用. 5、13、30. 19. 1、9、28. 17、21. 10、14、26. 3、23. 7、15. 22、27. 11、24. 4、18. 6、20、29. 12、25. 2. 8. 商為整數，有餘數小數除以整數商為小數，沒有餘數商為整數，沒有餘數商為整數，有餘數小數 (整數)除商為小數，以小數沒有餘數用四捨五入法取到指定的小數位數被除數、除數和商之間的關係. 16. 貳、建立專家效度此預試試卷編製完成後，經由指導教授的指點，並商請 6 位任教於高年級且. 24.

(36) 數學教學經驗豐富的國小教師共同檢視，判斷題目是否合乎國小學童的認知能力發展，遣詞用字是否清楚、合宜，並針對試題提出修改建議，以確認試題內容具有代表性和適合性。. 參、預試結果分析編定研究工具後，採立意取樣之原則，選擇臺中市某國小六年級學生二班學生，共 63 位學生進行預試。因小數除法計算較繁複，且預試題目有將近 30 題，所以將施測時間定為 60 分鐘，以讓每位小朋友有足夠的時間完成測驗。預試試卷回收後，以 SPSS 及 Excel 統計軟體進行各項資料的基本分析(如表 3-3-4)，包含試卷的信度、試題的難易度與鑑別度。一、信度分析將預試資料以 SPSS 12.0 版軟體進行信度分析，以 Cronbach α係數來表示此試卷之內部一致性，得到的α值為 0.869，顯示具有不錯的內部一致性，顯示這份預試試卷具有良好的信度。二、難度與鑑別度分析本研究將 63 名預試樣本依總分高低排列，由最高分向下選取全體受試人數的 28%編為高分組，並計算高分組在每一個試題的答對率，以 PH 表示；同理，由最低分向上選取全體受試人數的 28%為低分組，並計算低分組在每一個試題的答對率以 PL 表示。而試題的難易度指標以 P=. PH + PL 表示。鑑別度 2. 以 D=PH－PL 來進行分析，一般而言，依照美國學者 Ebel 與 Frisbie 所提出的鑑別度標準(如表 3-3-3)作為挑選預試試題的基準。. 25.

(37) 表 3-3-3. 表 3-3-4. 鑑別度的評鑑標準鑑別度指標. 試題評鑑結果. .40 以上. 非常優良. .30-.39. 優良，但可能需要修改. .20-.29. 尚可，但需要作局部修改. .19 以下. 劣，需要刪除或修改. 預試試題之難易度、鑑別度與信度指標分析表難度. 鑑別度. 題號. PH. PL. 全體答對率. (PH+PL)/2. PH-PL. rxy. 刪除後信度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22. .96 .63 .67 .83 1.00 .83 1.00 .96 1.00 1.00 .96 .92 .96 1.00 1.00 1.00 .71 1.00 .58 .88 1.00 1.00. .72 .28 .11 .28 .89 .39 .94 .39 .61 .83 .61 .33 .78 .72 .67 .61 .11 .44 .06 .33 .22 .61. .89 .57 .43 .54 .97 .68 .95 .68 .87 .95 .87 .62 .90 .89 .90 .86 .35 .79 .35 .57 .70 .84. .84 .45 .39 .56 .94 .61 .97 .67 .81 .92 .78 .63 .87 .86 .83 .81 .41 .72 .32 .60 .61 .81. .24 .35 .56 .56 .11 .44 .06 .57 .39 .17 .35 .58 .18 .28 .33 .39 .60 .56 .53 .54 .78 .39. 0.38** 0.32** 0.50*** 0.41** 0.30* 0.48*** 0.19 0.43*** 0.62*** 0.52*** 0.57*** 0.49*** 0.38** 0.44*** 0.65*** 0.41** 0.47*** 0.61*** 0.46*** 0.43*** 0.66*** 0.52***. .867 .870 .865 .868 .868 .865 .870 .867 .862 .865 .863 .865 .867 .866 .862 .866 .865 .861 .866 .867 .859 .864. 26.

(38) 表 3-3-4 23 24 25 26 27 28 29 30 *. .67 .96 .96 .92 .63 1.00 .83 1.00 p＜.05. 預試試題之難易度、鑑別度與信度指標分析表(續). .33 .44 .44 .50 .17 .56 .33 .61 **. p＜.01. .52 .67 .81 .81 .40 .78 .60 .87 ***. .50 .70 .70 .71 .40 .78 .58 .81. .33 .51 .51 .42 .46 .44 .50 .39. 0.35** 0.46*** 0.59*** 0.49*** 0.46*** 0.42** 0.47*** 0.53***. .870 .866 .862 .865 .866 .866 .866 .864. p＜.001. 肆、編製正式問卷依據上述分析結果，將這 30 道試題依據 TestGraf98 之試題選項特徵曲線圖，並輔以表 3-3-4 之各項基本分析，刪除 6 道不理想的題目，將最後 24 道試題編製成正式試卷。茲將刪除題目的理由說明如下：. 27.

(39) 一、預試試題第 1 題 (3)將一袋 0.72 公斤的地瓜，平分成 8 份，則每一份是幾公斤？ ○ 19. ○ 2 0.9. 圖 3-3-2. ○ 3 0.09. ○ 4 0.009. 預試試題 1 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-2 顯示，可以發現正確選項 3 在能力值在-0.6 以上者都能答對，且誘答選項對中、高能力者不具鑑別度。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為.89，難度 P=.84，鑑別度 D=.24，整體而言過於簡單，故將此題刪除。. 28.

(40) 二、預試試題第 5 題 (2)有一批重 98.7 公斤的蘋果，每 12 公斤打包成一箱，最多可裝成幾箱？還剩下幾公斤的蘋果？ ○ 1 可裝 8 箱，還剩下 27 公斤。. ○ 2 可裝 8 箱，還剩下 2.7 公斤。. ○ 3 可裝 9 箱，還剩下 2 公斤。. ○ 4 可裝 9 箱，還剩下 0.7 公斤。. 圖 3-3-3. 預試試題 5 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-3 顯示，可以發現這是一題非常簡單的試題，能力值在百分之二十五以上的受試者近乎全對，且錯誤選項僅對低能力者稍具誘答力。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為.97，難度 P=.94，鑑別度 D=.11，顯示此題對大部分的學生而言都能輕鬆答對，故將此題刪除。. 29.

(41) 三、預試試題第 7 題 (1)製作一個包子需要用掉 0.24 公斤的麵粉，老闆今天共進貨 53.16 公斤的麵粉，請問最多可以做成幾個包子？還剩下多少公斤的麵粉？ ○ 1 可做 221 個包子，還剩下 0.12 公斤。 ○ 2 可做 221 個包子，還剩下 1.2 公斤。 ○ 3 可做 221 個包子，還剩下 12 公斤。 ○ 4 可做 221 個包子，還剩下 0.2 公斤。. 圖 3-3-4. 預試試題 7 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-4 顯示，可以發現這是一題非常容易之試題，幾乎全部受試者都答對，且誘答選項亦幾乎無人選取。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為.95，難度 P=.97，鑑別度 D=.06，顯示此題過於簡單，故將此題刪除。. 30.

(42) 四、預試試題第 10 題 (3)老師去市場買了 3 瓶共計 6 公升的冬瓜茶，要全部分裝在杯子裡請全班小朋友喝，每杯裝 0.3 公升，可以分裝成幾杯？ ○ 12. ○ 23. 圖 3-3-5. ○ 3 20. ○ 4 21. 預試試題 10 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-5 顯示，可以發現正確選項 3 對能力值在百分之二十五以上的學生而言答對率接近 1.0，因此只對能力值在-0.6 以下的受試者具鑑別度，其餘選項幾乎不具誘答力。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為.95，難度 P=.92，鑑別度 D=.17，顯示此題對大部分的學生而言偏易，故將此題刪除。. 31.

(43) 五、預試試題第 13 題 (2)有 70.2 公斤的糖果，每 6 公斤裝成一袋，最多可裝滿幾袋？還剩下多少公斤？ ○ 1 可以裝滿 11 袋，還剩下 42 公斤。 ○ 2 可以裝滿 11 袋，還剩下 4.2 公斤。 ○ 3 可以裝滿 11 袋，還剩下 0.42 公斤。 ○ 4 可以裝滿 11 袋，還剩下 0.042 公斤。. 圖 3-3-6. 預試試題 13 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-6 顯示，可以發現正確選項 2 在能力值-0.6 以上的受試者有 8 成以上的答對率，在能力值-2.0 到-0.6 之間的曲線斜率為向上爬升的正數，表示只對中低能力者具有鑑別度。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為.9，難度 P=.87，鑑別度 D=.18，整體而言對中高能力者不具鑑別度，故將此題刪除。. 32.

(44) 六、預試試題第 14 題 (3)一根筷子的長度是 0.16 公尺，若有一條長 16.8 公尺的繩子，則需要連接幾根筷子才能和這條繩子一樣長？ ○ 1 15. ○ 2 16. 圖 3-3-7. ○ 3 105. ○ 4 106. 預試試題 14 之試題選項特徵曲線圖. 由圖 3-3-7 顯示，可以發現正確選項為第 3，能力值在 0 以上的受試者皆可答對，而錯誤選項 1 在能力值-2.0 到-0.6 具有鑑別度，其餘的錯誤選項對受試者幾乎不具誘答力。且根據表 3-3-4，此題的全部通過率為. 89，難度 P=.86，鑑別度 D=.28，整體而言，此試題對大部分的學生而言偏易，故將此題刪除。. 33.

(45) 第四節研究流程本研究針對國小學童小數除法概念作研究，為了能流暢且明確地進行本研究，將研究流程以圖 3-4-1 呈現：閱讀小數除法之相關文獻. 閱讀國小小數教材資料. 擬定試題內容架構分布表. 編製試題. 不通過. 學科專家檢核通過. 不通過. 預試. 預試試題分析. 正式施測. 試題選項分析. 完成論文圖 3-4-1. 研究流程圖. 34.

(46) 第五節資料處理本研究中藉由自編的國小六年級小數除法測驗，來分析與探討學童對於小數除法學習理解情況，在紙筆測驗分析處理上，使用 SPSS、Excel 及 TestGraf98 套裝軟體，將分析的處理工具敘述如下：壹、使用 SPSS 套裝軟體：利用 SPSS 12.0/window 來輸入學童的答題情形，並進行試題性質的分析，包含測驗的信度與相關係數。貳、使用 Excel 套裝軟體：利用 Excel2007/window 算出每道試題的難易度與鑑別度。參、使用 TestGraf98 軟體：利用 TestGraf98 繪製正式試卷的試題選項特徵曲線，以分析學童在每一道試題作答的情形。. 35.

(47) 36.

(48) 第四章. 研究結果與分析. 本章根據研究目的、研究問題及研究方法，藉由研究者編製的「國小六年級小數除法正式測驗試卷」，對國小六年級學童進行施測，再依所得的統計數據進行分析與討論。本章共分成四節：第一節為試卷與試題特性分析，第二節為試題之選項特徵曲線分析，第三節則藉由前兩節的分析結果來探討六年級學童小數除法之理解情形與迷思概念。. 第一節試卷與試題特性分析正式測驗試卷編製完成後，採隨機抽樣的方式，選擇臺中市某四所國小六年級學生，共 8 個班級(樣本數為 236 人)進行施測，施測時間為 40 分鐘。施測結束後，將學童作答答案輸入 SPSS 及 Excel 統計軟體進行分析，而本節將就試題的難度、鑑別度、信度與效度分別加以說明之。壹、正式測驗試題難度與鑑別度分析將施測結果輸入 SPSS 及 Excel 統計軟體後，選出前約 28％高分者編為高分組 (66 人)，後約 28％低分者編為低分組(64 人)，分別記為 PH 與 PL，再依試題分析原則求出各試題的難度與鑑別度，將資料整理如下(如表 4-1-1)。. 表 4-1-1. 正式測驗試題難度及鑑別度指數分析表難度. 鑑別度. 題號. PH. PL. 全體答對率. (PH+PL)/2. PH-PL. 1 2 3 4. .71 .89 .92 .88. .41 .20 .34 .33. .53 .61 .65 .61. .56 .55 .63 .60. .31 .69 .58 .55. 37. rxy 各題與總分之間的相關係數 .23*** .57*** .46*** .43***.

(49) 表 4-1-1 (續) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 *. .98 .94 .92 .95 1.00 .92 .68 .97 .95 .89 .56 1.00 .74 .98 .98 .98 .73 .98 .92 .94. .45 .45 .59 .34 .64 .47 .19 .61 .19 .42 .22 .53 .34 .31 .39 .53 .11 .38 .31 .42 **. p＜.05. p＜.01. .80 .78 .83 .66 .84 .75 .41 .81 .58 .63 .30 .83 .48 .72 .78 .81 .41 .74 .58 .74 ***. .72 .70 .76 .65 .82 .70 .43 .79 .57 .66 .39 .77 .54 .65 .69 .76 .42 .68 .62 .68. .53 .49 .33 .61 .36 .46 .49 .36 .77 .47 .34 .47 .40 .67 .59 .45 .62 .61 .61 .52. .57*** .50*** .36*** .50*** .40*** .44*** .43*** .36*** .61*** .42*** .27*** .53*** .32*** .64*** .59*** .46*** .44*** .60*** .50*** .48***. p＜.001. 一、正式試題難度分析依據表 4-1-1 的資料，將正式試題難度統計表整理如下(如表 4-1-2) 表 4-1-2. 正式試題難度統計表. 難度. 0～.19. .2～.39. .4～.59. .6～.79. .8～1. 題數. 0. 1. 6. 16. 1. 百分比. 0.00％. 4.17％. 25.00％. 66.66％. 4.17％. 平均難度. .64. 難度即每個試題的難易程度，根據專家學者的統計，當難度指數在.50 左右為 38.

(50) 最佳，代表此試題的難易度適中，但要所有試題難度指數在.50 左右實屬困難，所以 Chase(1978)主張試題選擇題的難易度指標值範圍以.40 到.80 之間為佳。從表 4-1-2 可知整份試卷的平均難度為.64，屬於中間偏易，且在 24 題試題中有 22 題的難度在.4～.8 之間，也就是大約有 92％的試題落在此區間，符合學者主張的難度指標範圍標準。二、正式試題鑑別度分析依據表 4-1-1 的資料，將正式試題鑑別度統計表整理如下(如表 4-1-3) 表 4-1-3. 正式試題鑑別度統計表. 鑑別度. .19 以下. .2～.29. .3～.39. .4 以上. 題數. 0. 0. 5. 19. 百分比. 0.00％. 0.00％. 20.83％. 79.17%. 平均鑑別度. .51. 鑑別度即試題能區辨受試者潛在特質高低的程度，其指數的最大值為+1，最小值為-1，一般可接受的指標為.2 以上，本測驗的試題將根據 Ebel 與 Frisbie 所提出的鑑別度標準(如表 3-3-3)進行核對。從表 4-1-3 可知在 24 題試題中有 19 題試題的鑑別度在.4 以上，屬於非常優良的試題，位於.3～.39 也有 5 題，屬於優良的試題。有其他學者亦主張可透過相關係數分析法來表示該題的鑑別度，即該試題得分愈高，與測驗總分的關聯性就愈高，代表該試題鑑別度愈高。根據表 4-1-1 可發現，所有試題的相關係數皆達顯著水準。整體而言，本正式試卷是一份具有良好鑑別度的測驗。. 貳、正式測驗信度分析信度即指測驗結果的穩定性，本研究採用 Cronbach’s α 作為信度考驗之依據，來判斷此正式試卷是否有一致性，而根據表 4-1-4 可知本試卷的 Cronbach’s α 係數 39.

(51) 為.837，表示此測驗是有相當的可信度。再從刪除各試題後的 Cronbach’s α 值來看，測驗全體的 Cronbach’s α 係數並沒有因為刪除某試題後出現異常的情況，因此，這份正式試卷具有良好的信度。表 4-1-4. 正式測驗信度分析表刪除此題後之整體. 題號. 刪除此題後之整體題號. Cronbach’s α 值. Cronbach’s α 值. 1. 0.842. 13. 0.825. 2. 0.826. 14. 0.833. 3. 0.831. 15. 0.839. 4. 0.833. 16. 0.828. 5. 0.827. 17. 0.838. 6. 0.829. 18. 0.823. 7. 0.834. 19. 0.826. 8. 0.829. 20. 0.831. 9. 0.833. 21. 0.833. 10. 0.832. 22. 0.825. 11. 0.833. 23. 0.830. 12. 0.834. 24. 0.830. 正式測驗整體 Cronbach’s α 值為.837. 參、正式測驗效度分析正式試卷編製完成後，經由指導教授的指點，並請諸位服務十餘年之資深現職國小教師，依照正式試卷雙向細目表(附錄二)與試題檢核表(附錄三)逐題檢閱，判斷每道試題是否合於教學目標，每個錯誤選項是否具有誘答力，遣詞用字是否清楚、合宜。 40.

(52) 第二節試題之選項特徵曲線分析為了控制測驗試題的品質，保留鑑別度良好之試題選項，本研究採用 TestGraf98 軟體對正式試卷中每個試題繪製出選項特徵曲線，並針對各試題選項特徵曲線加以詳細分析，來檢驗學童之作答情形與對小數除法概念理解的情況。壹、正確選項特徵曲線本研究將此測驗中的 24 題試題之正確選項特徵曲線，依據學者許天維在 1995 年的「數學試題分析法」一文中提及，將正確選項無參數特徵曲線依其形狀，可歸納為五種類型(A、B、C、D、E)，分別說明如下：一、A 型：呈現嚴格遞增凹向下之曲線此種類型對能力值低的受試者較具鑑別度，因為從圖 4-2-1 可以發現在能力值 0 以下的受試者在此區域的斜率較大；再者亦可以發現在能力值 0 以上的受試者在此區域幾乎成水平，也就是說能力值在前二分之一或三分之一的受試者則幾乎無鑑別度可言。此份測驗中的試題 5、試題 6、試題 7、試題 9、試題 10、試題 13、試題 16、試題 18、試題 19、試題 22 可歸納為此類。. 圖 4-2-1. 正式試題 22 之正確選項特徵曲線圖. 41.

(53) 二、B 型：呈現嚴格遞增凹向上之曲線此種類型曲線正好與 A 型曲線相反，對能力值高的受試者較具鑑別度，從圖 4-2-2 可以發現能力值在 0 或-0.6 以下的受試者在此區域的斜率變動不大，而能力值在 0 以上的受試者斜率為正的且維持定值，換句話說對能力值在後二分之一或三分之一的受試者幾乎無鑑別度。此份測驗中的試題 17、試題 21 可歸納為此類。. 圖 4-2-2. 正式試題 21 之正確選項特徵曲線圖. 三、C 型：呈現無水平嚴格遞增直線趨向此種類型曲線能區分能力值高與能力值低的受試者之鑑別度，從圖 4-2-3 可以發現從低能力者到高能力者範圍內之斜率幾乎維持定值，只有小部分能力範圍內之曲線斜率有稍微的變動而已，影響不大，所以此種類型是屬於鑑別度較優良的試題。此份測驗中的試題 3、試題 4、試題 11、試題 14 可歸納為此類。. 42.

(54) 圖 4-2-3. 正式試題 11 之正確選項特徵曲線圖. 四、D 型：呈現嚴格遞增 S 型曲線(先呈凹向上，再凹向下，且有一個反曲點之曲線) 此種類型曲線對能力值在中間區域範圍的受試者較具鑑別度，從圖 4-2-4 可以發現能力值在-0.6 到 0.6 區域的受試者在此區域的斜率較大，而只要離開此一範圍，則鑑別度明顯下降甚至趨近於零，也就是說對於高能力值與低能力值的受試者較不具鑑別度。此份測驗中的試題 2、試題 8、試題 12、試題 20、試題 24 可歸納為此類。. 43.

(55) 圖 4-2-4. 正式試題 2 之正確選項特徵曲線圖. 五、E 型：呈現嚴格遞增反 S 型曲線(即先呈凹向下後，呈凹向上，且有水平反曲點之曲線) 此種類型曲線恰好與 D 型曲線意義相反，對能力值在中間區域範圍的受試者幾乎不具鑑別度，反而對兩端(高能力值與低能力值)的受試者則具有相當的鑑別度，從圖 4-2-5 可以發現能力值在-0.6 到 0.6 區域的受試者在此區域的斜率幾乎成水平，相對地，在能力值在兩旁的斜率卻為正的。此份測驗中的試題 1、試題 15、試題 23 可歸納為此類。. 44.

(56) 圖 4-2-5. 正式試題 15 之正確選項特徵曲線圖. 貳、試題選項特徵曲線及選項分析以下列出每一道試題的選項特徵曲線圖，並針對學童的選答情形來加以分析說明：. 45.

(57) 一、試題 1. 圖 4-2-6. 正式試題 1 之試題選項特徵曲線圖. 題目：關於小數除以小數的敘述，下列何者正確？ 1 商小於被除數。 ○. 2 商大於被除數。 ○. 3 商等於被除數。 ○. 4 商與被除數兩者之間的大小不一定。 ○. 選項 1：對所有受試者皆具誘答力。尤其對能力值在 0 以下的受試者選答率更高，表示學童對於小數除法仍存有「除法會使商變小」的迷思概念。選項 2：對中、低能力受試者具有誘答力。選項 3：對低能力受試者稍具誘答力，中、高能力者則不具誘答力。選項 4：正確選項。對能力值在-0.6 以上較具鑑別度，隨著能力值越高答對率亦越高。. 46.

(58) 二、試題 2. 圖 4-2-7. 正式試題 2 之試題選項特徵曲線圖. 題目：有一條長為 0.12 公尺的繩子，每 0.6 公分剪成一段，共可剪多少段？ ○ 12. ○ 25. ○ 36. ○ 4 20. 選項 1：與正確選項的特徵曲線呈大交叉，對低能力受試者具有高度的誘答力，選答率高達八成，顯示學童進行小數除法時，未深入了解題意，而把小數當成整數計算。選項 2：對於能力值在-0.6 以下的受試者具有誘答力。選項 3：對所有受試者誘答力極低。選項 4：正確選項。能力值在-1.2～0.6 之間的曲線斜率呈穩定正值，亦即對能力值在中間區域的受試者較具鑑別度。. 47.

(59) 三、試題 3. 圖 4-2-8. 正式試題 3 之試題選項特徵曲線圖. 題目：已知三角形的面積為 39.24 公分，底為 7.2 公分，求其高為幾公分？ ○ 1 109. ○ 2 10.9. ○ 3 545. ○ 4 5.45. 選項 1：對所有受試者不太具有誘答力。選項 2：正確選項。斜率為正值且維持定值，亦即隨著能力值越高選答率越高，對所有受試者皆具有鑑別度。選項 3：對低能力者具有誘答力，選此答案的受試者直接將題目中的兩個數字相除，且在商的部分會出現「未標小數點」的迷思概念。選項 4：對中、低能力受試者具誘答力，學童直接將題目中的兩個數字相除，未考慮到三角形的面積算法。. 48.

(60) 四、試題 4. 圖 4-2-9. 正式試題 4 之試題選項特徵曲線圖. 題目：高麗菜一公斤的批發價格是 16.2 元，新鮮超級市場買進了 104.3 元的高麗菜，是買進了多少公斤？(用四捨五入法，求商到小數第二位) ○ 1 6.4. ○ 2 6.5. ○ 3 6.43. ○ 4 6.44. 選項 1：對低能力受試者具誘答力。選項 2：對於能力值在-1.5 以下的受試者具有誘答力，其餘不具誘答力。顯示低能力者對於四捨五入，求商到指定位置的概念尚不清楚。選項 3：對於能力值在 0 以下的受試者具有誘答力，學童對於四捨五入法的捨去與進位的概念尚不清楚。選項 4：正確選項。斜率為正值且維持定值，亦即隨著能力值越高選答率越高，對所有受試者皆具有鑑別度。. 49.

(61) 五、試題 5. 圖 4-2-10. 正式試題 5 之試題選項特徵曲線圖. 題目：下列哪一個算式的答案和 4.82÷0.05 的一樣？ ○ 1 4.82÷0.5. ○ 2 48.2÷0.05. ○ 3 48.2÷5. ○ 4 48.2÷0.5. 選項 1：對能力值-0.6 以下的受試者具誘答力，顯示學童在小數除法的運算中還不清楚小數點的應用。選項 2：對低能力受試者稍具誘答力。學童不清楚小數點的應用。選項 3：對低能力受試者具誘答力。學童不清楚小數點的應用。選項 4：正確選項。能力值在 0 以上的受試者都能答對。對低能力者較具鑑別度。. 50.

(62) 六、試題 6. 圖 4-2-11. 正式試題 6 之試題選項特徵曲線圖. 題目：有一正三角形其周長是 12.18 公尺，求邊長是多少公尺？ ○ 1 4.6. ○ 2 4.06. ○ 3 4.006. ○ 4 46. 選項 1：對低能力受試者具誘答力，顯示學童進行小數除法的運算中，商數未補零。選項 2：正確選項。能力值在 0 以上的受試者答對率高達八成以上，僅對低能力者具鑑別度。選項 3：對低能力受試者具誘答力，學童進行小數除法運算中，商數多補了一個零。選項 4：對低能力受試者具誘答力，學童進行小數除法時，會把小數直接當成整數計算。. 51.

(63) 七、試題 7. 圖 4-2-12. 正式試題 7 之試題選項特徵曲線圖. 題目：面積為 27.5 平方公尺的長方形花圃，其長為 6.25 公尺，求其寬為多少公尺？ ○ 1 0.044. ○ 2 0.44. ○ 3 4.4. ○ 4 44. 選項 1：對低能力受試者稍具誘答力，學童在商的小數點位置標錯。選項 2：對低能力受試者具誘答力，學童在商的小數點位置標錯。選項 3：正確選項。能力值在前二分之一的受試者皆能順利寫出答案。對低能力的受試者具鑑別度。選項 4：對低能力受試者具誘答力，學童進行小數除法時，會把小數直接當成整數計算。. 52.

(64) 八、試題 8. 圖 4-2-13. 正式試題 8 之試題選項特徵曲線圖. 題目：大水管每分鐘可注水 10.3 公升，小水管每分鐘可注水 5.1 公升，請問若大、小水管同時注水，要注滿 52.86 公升的容器，大約要花多久？(用四捨五入法，求商到小數第二位) ○ 1 3.43 分鐘. ○ 2 3.44 分鐘. ○ 3 3.5 分鐘. ○ 4 3.4 分鐘. 選項 1：正確選項。對能力值在-1.5 以上的曲線斜率呈正值且穩定，亦即對中高能力受試者具有高鑑別度。選項 2：對中低能力受試者具誘答力，學童對於四捨五入法的捨去與進位的概念尚不清楚。選項 3：對能力值-0.6 以下的受試者具誘答力，顯示低能力者對於四捨五入，求商到指定位置的概念尚不清楚。選項 4：對低能力受試者具誘答力，顯示低能力者對於四捨五入，求商到指定位置的概念尚不清楚。. 53.

(65) 九、試題 9. 圖 4-2-14. 正式試題 9 之試題選項特徵曲線圖. 題目：班上舉辦吃湯圓活動，老師準備了 5.6 公斤的湯圓，每組學生分給 1.25 公斤，最多可分給幾組？還剩下幾公斤？ 1 可以分成 4 組，還剩下 0.48 公斤。○ 2 可以分成 4 組，還剩下 6 公斤。 ○ 3 可以分成 4 組，還剩下 0.6 公斤。○ 4 可以分成 4 組，還剩下 0.06 公斤。 ○. 選項 1：對中低能力受試者具誘答力。選項 2：對低能力受試者頗具誘答力，顯示學童在小數除法運算過程中，在餘數部分會出現「未標小數點」的情形。選項 3：正確選項。能力值在 0 以上的受試者有高於八成的答對率。選項 4：對能力值在-1.2 以下的受試者具誘答力，其餘不具誘答力。. 54.