國小六年級圓形與複合圖形面積之試題分析

全文

(1)國立臺中教育大學數學教育學系在職進修教學碩士論文. 指導教授：胡豐榮博士. 國小六年級圓形與複合圖形面積之試題分析. 研究生：彭傳家撰. 中華民國一○○ 年六月.

(2) 摘. 要. 本研究旨在編製一份優良「圓形與複合圖形面積」概念的測驗，以探討六年級學童對此份測驗的應答情形和可能出現的迷思概念，並藉此這份測驗來了解學童對圓形與複合圖形面積概念的學習情形及可能產生的迷思概念，以作為教師教學及補救教學之參考。根據研究結果，得到以下結論。一、測驗的試題特性和試卷特性分析（一）試題的平均難度是 .597，屬於中間偏易的試題。（二）試題的平均鑑別度是 .426，屬於鑑別度良好的試題。（三）整份試卷的信度值Cronbachα係數為 .776，為信度良好的試卷。（四）整份試卷具有良好的內容效度及專家效度。二、測驗的試題選項特徵曲線（一）正確選項特徵曲線依照其形狀，可歸納出六種類型。（二）每道試題的選項特徵曲線依照其形狀，可歸納出三種類型。三、國小六年級學童對於圓形與複合圖形面積概念的理解情形（一）基本面積測量概念：約有50%的學童對於圖形中包含非整數格面積的點數，細心度有待加強。（二）直線測量面積概念：大多數的學童對於圓形面積公式和扇形面積公式熟悉；大多數的學童對於圓形面積單位量的轉換是感到困難的。（三）在不同家庭背景的學童中，外籍與非外籍子女的得分情形均未達顯著差異；在不同性別的學童得分情形，只有「在給定的平方單位格內，透過點數、合成活動，算出不規則圖形之面積」和「圓形面積公式」達顯著差異，其餘部份皆未達顯著差異。關鍵字：面積、圓形與複合圖形面積概念、試題選項特徵曲線。 I.

(3) Abstract The purpose of this research is to edit a good measurement for “circle and complex graph areas” concept in order to study the reaction and misconception the sixth graders may have while doing the test. The study result will be used as a reference for teaching and a remedy instruction at school. Based on the results of this study, several findings have been concluded as below： I. The analysis of the test and items：： 1. The average item difficulty index of the items is .597, which categorizes this test as the middle slanting simple items. 2. The average item discrimination index of the items is .426, which shows this item with an excellent discrimination. 3. The reliability coefficient of of the Cronbach α of the test is .776, which ensures the test with a greater reliability. 4. The content validity and expert validity of the test are good. II. The features of the item option characteristic curve of the test：： 1. According to the shapes of the correct item option characteristic curve ,there are six different types of the test. 2. According to the item option characteristic curve of each question ,there are three different types of the test. III. The understanding conditions of the sixth grade students on the circle area and complex graph area concept：： 1. Standard measurement of area concept : About 50 percents of the students must be more careful while they are counting points of figures including non-integral gridded areas.. II.

(4) 2. Straight line measurement of area concept : Most students are familiar with circle and sector area formulas.. However,. most of them have difficulties in converting the measurement units of circle areas. 3. Based on this research, the score performances of students with foreign parents and non-foreign parents have no significant difference. As to the students with different genders, their score performances on “calculating the areas of irregular shapes through counting and composing activities within given squared grids” and “circle area formula” have a significant difference, but not to the rest. Keywords: area, circle area and complex graph area concept, item option characteristic curve.. III.

(5) IV.

(6) 目. 錄. 第一章緒論................................ 緒論 ...................................... ......................................1 第一節. 研究動機 .......................................... 1. 第二節. 研究目的與待答問題 ................................ 2. 第三節. 名詞解釋 .......................................... 3. 第四節. 研究範圍與限制 .................................... 4. 第二章文獻探討 ...................................... ...................................... 5 第一節. 兒童面積概念的發展 ................................ 5. 第二節. 九年一貫國小數學課程面積教材 ...................... 8. 第三節. 試題分析理論 ..................................... 12. 第四節. 試題選項特徵曲線 ................................. 15. 第三章研究方法與步驟研究方法與步驟............................... 21 第一節. 研究架構 ......................................... 21. 第二節. 研究對象 ......................................... 22. 第三節. 研究工具 ......................................... 23. 第四節. 資料處理 ......................................... 27. 第四章研究結果與討論............................... 29 第一節. 圓形與複合圖形面積正式測驗的試題與試卷特性分析 ... 29. V.

(7) 第二節. 圓形與複合圖形面積正式測驗的試題選項特徵曲線分析 . 33. 第三節. 六年級學童對圓形與複合圖形面積理解的情形分析 ..... 61. 第五章結論與建議 ................................... ................................... 85 第一節. 研究結論 ......................................... 85. 第二節. 研究建議 ......................................... 90. 參考文獻 .............................................. .............................................. 91 附. 錄 .............................................. .............................................. 95 附錄一. 預試試卷圓形與複合圖形面積試題與概念對照表 ....... 95. 附錄二. 預試試卷圓形與複合圖形面積試題雙向細目表 ......... 96. 附錄三. 試題檢核表 ....................................... 97. 附錄四. 正式試卷圓形與複合圖形面積試題與概念對照表 ....... 98. 附錄五. 正式試卷圓形與複合圖形面積試題雙向細目表 ......... 99. 附錄六. 預試試題 ........................................ 100. 附錄七. 正式試題 ........................................ 109. VI.

(8) 表次表 2-2-1 國小階段有關面積教材的能力指標 .......................... 10 表 2-2-2 國小階段有關面積教材的分年細目 .......................... 11 表 3-2-1 研究對象................................ 研究對象 ................................................ ................................................ 22 表 3-3-1 預試試卷信度分析 ........................................ ........................................ 24 表 3-3-2 預試試題難度及鑑別度分析 ................................ 25 表 3-3-2 預試試題難度及鑑別度分析( 預試試題難度及鑑別度分析(續) ............................ 26 表 4-1-1 正式試題難度及鑑別度分析 ................................ 30 表 4-1-2 正式試題難度統計 ........................................ ........................................ 30 表 4-1-3 正式試題鑑別度統計 ...................................... ...................................... 31 表 4-1-4 正式試卷信度分析 ........................................ ........................................ 32 表 4-3-1 正確選項的選答人數及選答率統計 .......................... 61 表 4-3-2 點數算出不規則圖形面積正確選項的點數算出不規則圖形面積正確選項的選答率統計 .............. 62 表 4-3-3 點數算出圓形面積正確選項的選答率統計 .................... 62 表 4-3-4 圓形面積公式正確選項的選答率統計 ........................ 62 表 4-3-5 扇形面積公式正確選項的選答率統計 ........................ 63 表 4-3-6 圓形面積單位量的轉換正確選項的選答率統計 ................ 63 表 4-3-7 圓形和複合圖形面積的圓形和複合圖形面積的包含關係正確選項的包含關係正確選項的選答率統計 ........ 63 表 4-3-8 不同族群學童不同族群學童整份試卷得分差異情形學童整份試卷得分差異情形 ........................ 65 表 4-3-9 不同家庭背景不同家庭背景學童家庭背景學童點數算出不規則圖形面積得分差異情形學童點數算出不規則圖形面積得分差異情形 ...... 65 表 4-3-10 不同家庭背景不同家庭背景學童家庭背景學童點數算出圓形面積得分差異情形學童點數算出圓形面積得分差異情形 ........... 66 表 4-3-11 不同家庭背景不同家庭背景學童家庭背景學童圓形面積公式得分差異情形學童圓形面積公式得分差異情形 ............... 66 表 4-3-12 不同家庭背景不同家庭背景學童家庭背景學童扇形面積公式得分差異情形學童扇形面積公式得分差異情形 ............... 67 表 4-3-13 不同家庭背景不同家庭背景學童家庭背景學童圓形面積單位量的轉換得分差異情形學童圓形面積單位量的轉換得分差異情形 ....... 67 VII.

(9) 表 4-3-14 不同家庭背景不同家庭背景學童圓形和複合圖形面積家庭背景學童圓形和複合圖形面積的學童圓形和複合圖形面積的包含關係得分差異情形 68 表 4-3-15 不同性別學童整份試卷得分差異情形 ....................... 69 表 4-3-16 不同性別學童點數算出不規則圖形面積得分差異情形 ......... 69 表 4-3-17 不同性別學童點數算出圓形面積得分差異情形 ............... 70 表 4-3-18 不同性別學童圓形面積公式得分差異情形 ................... 70 表 4-3-19 不同性別學童扇形面積公式得分差異情形不同性別學童扇形面積公式得分差異情形 ................... 71 表 4-3-20 不同性別學童圓形面積單位量的轉換得分差異情形 ........... 71 表 4-3-21 不同性別學童圓形和複合圖形面積包含關係得分差異情形 ..... 72 表 4-3-22 晤談資料................................ 晤談資料 ............................................... ............................................... 72. VIII.

(10) 圖次. 圖 2-4-1. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(一) ....................... 16. 圖 2-4-2. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(二) ....................... 16. 圖 2-4-3. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(三) ....................... 17. 圖 2-4-4. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(四) ....................... 17. 圖 2-4-5. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(五) ....................... 18. 圖 2-4-6. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(六) ....................... 18. 圖 2-4-7. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(七) ....................... 19. 圖 2-4-8. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(八) ....................... 19. 圖 2-4-9. 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(九) ....................... 20. 圖 3-1-1. 研究架構 ..................................... ..................................... 21. 圖 4-2-1. 正式試題 22 的正確選項特徵曲線圖............... 的正確選項特徵曲線圖............... 33. 圖 4-2-2. 正式試題 15 的正確選項特徵曲線圖............... 的正確選項特徵曲線圖............... 34. 圖 4-2-3. 正式試題 17 的正確選項特徵曲線圖............... 的正確選項特徵曲線圖............... 35. 圖 4-2-4. 正式試題 18 的正確選項特徵曲線圖............... 的正確選項特徵曲線圖............... 35. 圖 4-2-5. 正式試題 9 的正確選項特徵曲線圖................ 的正確選項特徵曲線圖................ 36. 圖 4-2-6. 正式試題 16 的正確選項特徵曲線圖............... 的正確選項特徵曲線圖............... 37. 圖 4-2-7. 正式試題 1 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 38 IX.

(11) 圖 4-2-8. 正式試題 2 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 39. 圖 4-2-9. 正式試題 3 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 40. 圖 4-2-10 正式試題 4 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 41 圖 4-2-11 正式試題 5 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 42 圖 4-2-12 正式試題 6 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 43 圖 4-2-13 正式試題 7 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 44 圖 4-2-14 正式試題 8 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 45 圖 4-2-15 正式試題 9 之試題選項特徵曲線.................. 之試題選項特徵曲線.................. 46 圖 4-2-16 正式試題 10 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 47 圖 4-2-17 正式試題 11 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 48 圖 4-2-18 正式試題 12 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 49 圖 4-2-19 正式試題 13 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 50 圖 4-2-20 正式試題 14 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 51 圖 4-2-21 正式試題 15 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 52 圖 4-2-22 正式試題 16 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 53 圖 4-2-23 正式試題 17 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 54 圖 4-2-24 正式試題正式試題 18 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 55 圖 4-2-25 正式試題 19 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 56 圖 4-2-26 正式試題 20 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 57. X.

(12) 圖 4-2-27 正式試題 21 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 58 圖 4-2-28 正式試題 22 之試題選項特徵曲線之試題選項特徵曲線................. 項特徵曲線................. 59 圖 4-2-29 正式試題 23 之試題選項特徵曲線................. 之試題選項特徵曲線................. 60 圖 4-3-1. 正確選項平均選答率統計圖 ..................... 64. XI.

(13) XII.

(14) 第一章緒論本研究的目的在於編製一份圓形與複合圖形面積的試題，來探討國小六年級學童對此試題的作答情形及可能出現的迷思概念，並可藉此試題來瞭解學童對於圓形與複合圖形面積的學習情形，針對需加強的部分給予補救教學。本章包含研究動機、研究目的和待答問題、名詞釋義及研究之範圍與限制。. 第一節研究動機「老師，這個披薩有多大？」、「老師，這個飛盤的面積要怎麼算？」、「老師，這個花瓣圖形的面積也能計算出來嗎？」在研究者還沒教到圓面積的單元時，班上有幾位求知慾較強的同學，常發問一些這類的問題。量與實測是國小數學的核心之一，其中量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常見的七種量。其中長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量 (教育部，2008 九年一貫課程綱要)。國小學童對幾何量概念的認知發展形成都要經歷下列四個階段才算完整： 1.初步認識：在初步階段，學生應從日常情境中認識該類量的意義，並能做簡單自然的度量，並進而體認該類量比較大小的意義。 2.常用單位：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，做量的比較、加、減、乘、除。 3.單位換算：在測量時，首先能用複名數來描述測量結果。然後再利用單位換算的約定，來進行換算。 4.量的計算：結合直式計算、複名數、單位換算的經驗，解決日常生活中量的計算問題。在九十七年國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的數與量主題裡，有關面積概念的能力指標有 N-1-10、N-2-21、N-2-22、N-3-22、 N-3-23、N-3-25，由此可知面積的概念是從低年級就開始學習的。但目前 1.

(15) 我國國小學童在面積概念的學習方式，普遍都只重視在學習規則性圖形面積的計算，注重面積公式的記憶，卻忽略面積概念的瞭解(譚寧君，1998)。在學生對面積的認知中，不過是一連串的公式，其所代表的只是兩個數量相乘的結果(譚寧君，1995)。而圓面積因牽涉到圓周率的使用，對於初接觸圓周率的學生，更是容易對圓面積感到陌生及不熟悉。由上述之理由，再加上研究面積概念的相關文獻中，大多以單一形狀的圖形做為研究的範圍，因此研究者選取圓面積和複合圖形面積作為探討的主題，擬編一份具有良好信度、效度的試題，並利用 SPSS 12.0 中文版、 Execl、TestGraf98 這三個軟體來分析、篩選試題，以探討國小六年級學童對於圓面積和複合圖形面積的學習情形和可能出現的迷思概念，進而作為教學內容之修正及補救教學之依據。. 第二節研究目的與待答問題研究目的與待答問題根據研究動機，本研究將編製一份圓形與複合圖形面積的試題，並藉由試題分析工具和 TestGraf98，來繪製選項特徵曲線，進而瞭解受試者和試題的各選項之間的反應情形，並由此反應情形來瞭解受試者在圓形與複合圖形面積的學習情形和可能產生的迷思概念。壹、研究目的一、瞭解國小六年級學童在圓形與複合圖形面積的理解情形。二、瞭解國小六年級學童非外籍與外籍子女對圓形與複合圖形面積理解的差異情形。三、瞭解國小六年級學童不同性別對圓形與複合圖形面積理解的差異情形。. 2.

(16) 貳、待答問題依據研究目的，本研究待答問題如下：一、探討國小六年級學童在圓形與複合圖形面積的理解情形。二、國小六年級學童非外籍與外籍子女對圓形與複合圖形面積理解的差異情形為何？三、國小六年級學童不同性別對圓形與複合圖形面積理解的差異情形為何？. 第三節名詞釋義一、六年級學生本研究中所稱之六年級學生是指已修習完五年級課程，並於九月份開學時升上六年級的學生。. 二、圓本研究中所稱的圓，係指平面上和一固定點等距離的所有點形成的圖形。. 三、複合圖形本研究所稱的複合圖形是指非單一形狀的圖形(如：正方形、長方形、三角形、圓形．．．)，而是由多種單一形狀圖形所組合而成的圖形。. 四、面積概念本研究的面積概念是以保留概念和測量概念為主。保留概念是指物體不受大小、位置、方向、形狀的改變而改變，此概念的形成需經由多次的經驗累計才能逐漸達到，無法藉由單次性的教學活動就能立即建立。測量. 3.

(17) 概念的形成則是建立於個別單位的掌握，接著進入普遍單位的使用，最後則是察覺測量公式。. 五、迷思概念指學生對某一概念，所產生的想法和教師、課本的公認想法有所不同。可能是因為知識的不足，再加上推理能力缺乏以及邏輯架構不完善，只依據個人的觀點來作為評斷，最後產生錯誤的概念。. 六、TestGraf98 加拿大麥克基爾大學心理計量學教授 Ramsay 發展出的軟體，可將選擇題的試題繪製出試題選項特徵曲線，並可利用此曲線來分析試題和選項的特徵。. 七、非機率抽樣即不採用隨機方法進行抽樣，而是憑主觀的判斷選擇樣本。. 第四節研究範圍與限制本研究基於時間、人力、資源等各項因素考量，研究的範圍以非機率抽樣的方式選取臺中市西屯區某國小的六年級學生為研究對象，本研究結果僅能作教學上的改進參考，無法作過度的推論。. 4.

(18) 第二章文獻探討本研究藉由自編的圓形與複合圖形面積概念測驗，評量國小六年級學童學習圓形與複合圖形面積概念之情形。本章將就其相關理論加以探討，共分四節：第一節為兒童面積概念的發展；第二節為九年一貫國小數學課程面積教材；第三節為試題分析理論；第四節為試題選項特徵曲線。. 第一節兒童面積概念的發展壹、面積的定義面積指的是對某一特定區域的覆蓋程度，也就是被覆蓋面的大小（譚寧君，1995）。面積指的是某一封閉區域的大小，亦即表示對此一特定區域被數個單位量所覆蓋的程度（譚寧君，1997）。學者陳鉪逸（1998）指出面積是一條有固定長度的線段或曲線，所掃出來的封閉區域可以對應到一個連續的量，此連續的量即為面積。由上述學者們對面積的定義，可以將面積的定義做個歸納整理，面積是指「在某一封閉的區域內部，被單位量所覆蓋的大小」，而且面積本身是一種量，並非是幾何圖形。貳、兒童的面積概念面積概念包含：一、面積的保留概念；二、面積的測量概念。其中面積的保留概念又可分為兩個層次：基本面積保留概念、互補面積保留概念；面積的測量概念又可分為三個層次：基本面積測量概念、單位面積測量概念、直線測量面積概念。一、面積的保留概念對某一封閉平面圖形，不論其形狀和位置如何改變，其面積恆常不變的認知能力即為對面積的保留概念（蔡春美，1982）。保留概念是無法透. 5.

(19) 過教學活動而建立的，必須經由多次的經驗累積才能逐步形成（Piaget,1960）。面積的保留概念又可分為兩個層次： (一)基本面積保留概念此層次的概念是在任何封閉區域內部的大小，不會因為位置的改變而有所改變。即圖形的面積不會因為位置的轉動、移動，或是切割而改變了面積的大小，此概念即為基本面積保留概念。 (二)互補面積保留概念互補面積保留概念的層次高於上述的基本面積保留概念。在兒童已具備基本面積保留概念後，始可提及互補面積保留概念（譚寧君，1995）。此層次的概念是在面積相等、形狀相同的的兩個圖形上，各自扣除形狀不同但面積相同的小圖形，其所剩下的面積仍舊相等，也就是等量減等量結果還是相等。二、面積的測量概念面積的測量概念來自兩個平面區域的面積比較（Tierney et al., 1990），學者譚寧君（1995）認為面積的測量概念就是在測量封閉範圍內的覆蓋程度。面積的測量概念又可分為三個層次： (一)基本面積測量概念基本面積測量概念表示在給定的平方單位格內，透過點數、合成活動，算出圖形的面積。. 6.

(20) (二)單位面積測量概念此層次的概念為面積測量是由各個不同單位量的覆蓋及拼湊而成的，例如：一個圖形可剛好被 10 個■蓋滿，此圖形的面積為 10 個■面積；若改用◢，則須 20 個◢才能剛好蓋滿，此圖形的面積為 20 個◢面積。雖然都是同一個圖形，但使用的單位量不同，則單位總數量也就跟著不同。 (三)直線測量面積概念此層次的概念和上述的基本面積測量概念及單位面積測量概念有很大的不同，基本面積測量概念及單位面積測量概念主要是透過單位數的累加和單位量的比較，而直線測量面積概念則是屬於較為抽象的推理層次，包含單位在數學上的相乘關係（譚寧君，1998）。除了單位在數學上的相乘關係(即面積公式)，直線測量面積概念尚包括面積作圖、單位量的轉換、以及面積的包含關係。. 7.

(21) 第二節第二節九年一貫國小數學課程面積教材壹、基本理念數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因：一、數學是人類最重要的資產之一二、數學是一種語言三、數學是人類天賦本能的延伸九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身學習為教育的目標。在進入 21 世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知，國民教育數學課程的目標，須能反映下列理念：(一)數學能力是國民素質的一個重要指標；(二)培養學生正向的數學態度，瞭解數學是推進人類文明的要素；(三)數學教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不同階段的需求，協助學童數學智能的發展；(四)數學作為基礎科學的工具性特質。要把每一位學生都帶上來，是九年一貫及國家教育政策既有的理念。在數學教育裡，強調每個學生都有權利要求受到良好的數學訓練，並充分認識重要的數學概念及提升厚實數學能力。教育應提供學生做有意義及有效率學習的機會，使學生能學好重要的核心數學題材，因為這些重要的數學概念和精熟的演算能力，是九年一貫所強調「帶著走」的能力。貳、課程目標基於上述的基本理念，九年一貫數學學習領域的課程綱要，是由下列四個原則來界定：一、參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。二、採用國際間數學課程必備的核心題材。三、考慮數學作為科學工具性的特質。. 8.

(22) 四、現有學生能夠有效學習數學的一般能力。具體而言，九年一貫數學學習領域的教學目標為：一、第一階段(國小一至二年級)：能初步掌握數、量、形的概念，其重點在自然數及其運算、長度與簡單圖形之認識。二、第二階段(國小三至四年級)：在數方面要能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；另外，應初步學習分數與小數的概念。在量上則以長度的學習為基礎，學習各種量的常用單位及其計算。幾何上則慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能以操作認識幾何圖形的性質。三、第三階段(國小五至六年級)：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算；能製作簡單的統計圖形。希望課程目標的達成，可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。參、能力指標九年一貫綱要能力指標係參酌：施行有年且有穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的特質、現有學生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」 9.

(23) 四個主題；第二碼表示階段，分別以1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，以強調其連結，此類指標皆以相關連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排，第一碼以字母C 表示主題，第二碼分別以字母R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。以下是國小階段有關面積教材的能力指標(參見表 2-2-1)及分年細目 (參見表 2-2-2)。. 表 2-2-1 國小階段有關面積教材的能力指標階段一. 能力指標 N-1-10 能認識容量、重量、面積(不含常用單位)。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。. 二. N-2-21 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。 N-2-22 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(S-2-08) S-2-01 能認識平面圖形的內部、外部及其周界與周長。 S-2-04 能透過平面圖形的組成要素，認識基本平面圖形。. 三. N-3-22 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(S-3-06) N-3-23 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。 (S-3-07) N-3-25 能計算正方體或長方體的表面積。(S-3-11) S-3-04 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例。. 10.

(24) 表 2-2-2 國小階段有關面積教材的分年細目階段. 年級. 一. 一二. 分年細目. 2-n-18 能認識面積。(同 2-s-04) 2-s-01 能認識周遭物體上的角、直線與平面 (含簡單立體形體)。. 二. 三. 3-n-18 能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。(同3-s-05) 3-s-01 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。. 四. 4-n-17 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並做相關計算。 4-n-18 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 (同4-s-09). 三. 五. 5-n-17 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。 5-n-18 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同5-s-05) 5-n-20 能理解長方體和正方體體積的計算公式，並能求出長方體和正方體的表面積。(同5-s-07). 六. 6-n-14 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形的面積。(同6-s-03). 11.

(25) 第三節試題分析理論藉由試題分析，可以評判出試題的良窳，進而修正不佳的試題，使試題的品質提升。此外試題分析還具有下列幾項功能：(一)提供回饋給學生；(二)作為教師實施補救教學之依據；(三)作為修改課程建議的憑據； (四)增進教師命題的技巧；(五)增進測驗題庫運用的效能（陳嘉陽， 2004）。傳統的試題分析方法，主要是在分析每一道試題所具備的三大統計特徵，即：難度、鑑別度與誘答力（Ebel ＆ Frisbie,1991）。壹、難度用來表示每一道試題難易程度的指標，有兩種不同的表示方法：答對百分比法和范氏試題分析表法（陳嘉陽，2004）。一、答對百分比法：計算全體受試者中，答對每一道試題的人數佔全體總人數的百分比。其計算公式如下： P＝. R × 100% N. 上面的公式中，P代表試題難度，N代表全體受試者人數，R代表答對該題的人數。因為試題分析時，常常難度分析與鑑別度分析兩者同時進行，故常以下列公式計算（陳嘉陽，2004）： P＝ P H + P L 2. 上面的公式中，P代表試題難度，PH代表高分組答對該題的百分比，PL 代表低分組答對該題的百分比。一般而言，P值愈大，則表示該道試題愈容易，愈多的受試者答對該試題；反之，P值愈小，則表示該道試題愈困難，愈少的受試者答對該試題。學者楊志強在2004年的「測驗品質考驗與TestGraf 98 的應用」一文中指出，根據Ebel and Frisbie（1991）、王文中等（1999）、余民寧（1997）、 12.

(26) 郭生玉（1985）、陳英豪與吳裕益（1992）…等提出之試題評鑑原則，個別試題的難度指數應介於.4 至.8 之間，整體試題的難度指數應在.5 左右。二、范氏試題分析表法： P值是一種次序尺度，差距單位並不相等，因此只能表示試題難易的相對位置，卻無法指示各難度之間差異的大小（簡茂發，1993）。美國教育測驗服務社(Educational Testing Service，ETS)於是建議以轉換過的分數來表示試題難度值，其轉換公式如下（陳嘉陽，2004）： △＝13 ＋ 4Z 其中，△代表試題難度，Z為標準化常態分配的標準分數。△值介於1 與25之間，平均難度值為13。△值越大，表示該道試題愈困難；反之，△ 值越小，表示該道試題愈容易。不過△值的計算若從常態機率表轉換而來的話，會很繁瑣（陳嘉陽，2004）。已有學者將P值、Z值和△值之間的轉換製作成表，稱作「范式試題分析表」，使用者可以直接查表得到適當的 △值（郭生玉，1995）。貳、鑑別度所謂「試題鑑別度」，是指在其他條件相等的情況下，試題會讓有能力、會答的受試者答對，而沒有能力、不會答的受試者答錯的分辨功能（陳嘉陽，2004）。鑑別度分析的計算公式如下： D＝PH － PL 上面的公式中，D代表試題鑑別度，PH代表高分組答對該題的百分比， PL代表低分組答對該題的百分比。鑑別度指數的值域在+1.00到-1.00之間，指數愈大代表試題鑑別程度愈好，指數愈小代表試題鑑別程度愈差。學者楊志強在2004年的「測驗品質考驗與 TestGraf 98 的應用」一文中指出，根據 Ebel and Frisbie （1991）、王文中等（1999）、余民寧（1997）、郭生玉（1985）、陳英 13.

(27) 豪與吳裕益（1992）…等提出之試題評鑑原則，鑑別度指數.4 以上是屬於非常優良試題；.3 至.39 屬於優良試題，但可能需要修改；.2 至.29 屬於尚可試題，但需做局部修改；.2 以下屬於劣質試題，建議刪除。參、誘答力客觀測驗之所以要進行選項的誘答力分析，乃因為藉此分析，可以進一步提供試題分析的指標，作為判斷試題編製的良窳和診斷受試者反應組型的依據（陳嘉陽，2004）。當受試者的知識不夠完整，無法做出正確作答時，僅能猜題，一個具有良好誘答力的非正確選項，能夠吸引該類受試者選擇（楊志強，2004）。要想分析選擇題型試題的非正確選項是否具有誘答的功能，可由下列兩點來判斷（郭生玉，1995）： (一)至少有一位低分組受試者選擇任何一個非正確選項。 (二)選擇非正確選項的低分組受試者人數應高於高分組受試者人數。. 14.

(28) 第四節試題選項特徵曲線壹、理論基礎不同於傳統的試題分析方式，加拿大麥克基爾大學心理計量學教授 Ramsay 結合高低試題鑑別指數與核平滑無參數估算法，發展出正確選項與非正確選項均可分析之核平滑法無參數試題特徵曲線估算法，且於 1991 年發表在 Psychometrika 期刊上。核平滑就是被估計的受試者加以排序後的函數和試題選項是否被選取（選取時指示值為 1，否則為 0）而成為二元變數之間的關係。此方法並無假設任何適當的模式，完全依據受試者實際作答資料來進行分析，是一種無參數的試題反應理論（Ramsay,1991）。Ramsay 根據上述理論，發展出 TestGraf98 軟體，可將選擇題的試題繪製出選項特徵曲線，並可利用此曲線來分析試題和選項的特徵（楊志強，2004）。貳、試題選項特徵曲線試題選項特徵曲線的最大特點為利用圖形來記錄和比較資料及數據，此種方式比起只用文字的敘述或數字的顯現更來得清楚易瞭解。試題選項特徵曲線以受試者的能力值為橫軸，受試者在某一試題之選答率為縱軸，事先並無假設其遵循某一特定之試題反應模式，而是完全依據受試者的作答資料，再配合上述之核平滑化法，繪製出一平滑之曲線圖。試題選項特徵曲線的正確選項以綠色曲線表示，非正確選項以紅色曲線表示。就四選一的單選選擇題來說，只要每個選項都有被受試者所選擇，每一道試題則皆會產生四條不同的曲線，其中一條為綠色的正確選項，另外三條為紅色的非正確選項。試題選項特徵曲線對於診斷試題是否為優良試題給了很大的幫助，它能幫助決定是否該重新命題或是除去不恰當的試題選項或者是提供較合理的誘答選項。. 15.

(29) 以下參考學者吳慧珉在2001年的「選項特徵曲線之研究－以核函數之平滑化為估計取向」一文與學者楊志強在2004年的「測驗品質考驗與 TestGraf 98 的應用」一文，利用常見試題選項特徵曲線圖來說明選項特徵曲線的意涵與解釋方式。圖2-4-1：此題的正確選項是選項3，而選項2對低、中能力值受試者有誘答力，這是一題較難的試題，只有高能力值的受試者才能答對。. 圖 2-4-1 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(一) 圖 2-4-2：此題的正確選項是選項 3，當受試者的能力值大於 1 後，選答率快速增加，表示受試者需具備某答題的概念才能答對此題，這是一題具有良好鑑別度的優良試題。. 圖 2-4-2 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(二) 16.

(30) 圖 2-4-3：此題的正確選項是選項 3，選項 4 和選項 3 的曲線幾乎形成了對稱，表示選項 4 具有高誘答力，容易誘導受試者選擇此選項，尤其是對於低、中能力值的受試者。. 圖 2-4-3 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(三). 圖 2-4-4：此題的正確選項是選項 2，而低能力值的受試者沒有具備正確答題的概念，反而具備選項 1 的錯誤答題的概念。. 圖 2-4-4 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(四). 17.

(31) 圖 2-4-5：此題的正確選項是選項 3，而中能力值以上的受試者具備正確答題的概念，選項 2 和選項 4 低能力值的受試者具有誘答力。. 圖 2-4-5 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(五) 圖 2-4-6：此題的正確選項是選項 3，選項 1 和選項 4 對低能力值的受試者稍具誘答力，這是一題簡單的試題，幾乎任何能力值的受試者都可答對。. 圖 2-4-6 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(六) 18.

(32) 圖 2-4-7：此題的正確選項是選項 2，但選答率不高，甚至遠低於誘答選項 4，表示大部分的受試者不清楚題意或是忽略了試題關鍵詞，導致選擇了非正確選項的選項 4。. 圖 2-4-7 試題選項特徵曲線圖試題選項特徵曲線圖(七) 圖2-4-8：此題的正確選項是選項1，但選項1和選項3互相纏繞，可能是選項的答案不明確，因此即便是高能力之受試者亦不容易答對此題，此題為有問題的試題。. 圖 2-4-8 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(八) 19.

(33) 圖2-4-9：此題的正確選項是選項3，但其選答率卻隨著能力值之升高而降低，能力值越高降得越低，此種曲線在參數型試題特徵曲線不可能出現，此題為有問題的試題。. 圖 2-4-9 試題選項特徵曲線圖( 試題選項特徵曲線圖(九). 20.

(34) 第三章研究方法本研究藉由自編的圓形與複合圖形面積試題，探討國小六年級學童對圓形與複合圖形面積的理解情形，並利用 TestGraf98 軟體繪製出試題選項特徵曲線，加以探討學童的答題表現。本章分別就研究架構、研究對象、研究工具、資料處理等四節來說明本研究的方法與步驟。. 第一節研究架構研究架構本研究依據研究動機、研究目的、待答問題及相關文獻資料，提出如圖 3-1-1 之研究架構。蒐集並閱讀兒童圓面積與複合圖形面積概念相關文獻. 國小圓面積與複合圖形面積教材. 圓面積與複合圖形面積測驗雙向細目表. 圓面積與複合圖形概念表. 編製試題進行預試修正試題正式施測. 試題分析. 探討圓面積與複合圖形面積概念理解的情形. 學生晤談. 不同家庭背景在圓形與複合圖形面積概念表現的差異 21. 圖 3-1-1 研究架構圖. 不同性別在圓形與複合圖形面積概念表現的差異.

(35) 第二節研究對象研究對象本研究的範圍以非機率抽樣的方式選取臺中市西屯區某國小的六年級學生為研究對象，以一個班級來進行預測試題的施測(樣本數 26 人)，而扣除預試外的班級外，選取三個班級來做正式試題的施測(樣本數 84 人)。施測時間在六年級上學期結束前幾週來進行，如表 3-1-1 所示：. 表 3-2-1 研究對象研究對象. 研究對象. 年級. 區域. 國小六年級. 臺中市. 學生. 西屯區. 正式施測預測樣本數. 施測時間樣本數六年級. 26 人. 84 人. 上學期結束前幾週. 22.

(36) 第三節研究工具壹、編製依據本研究根據九年一貫正式課程綱要數學科六年級所具備的面積概念，並參考國小現行數學各版本教材及教學指引，自行編製設計題目。貳、編製預試試卷預試試題的編製，除了依據上述的編製依據，並根據試題與概念對照表和試題雙向細目表(參見附錄一和附錄二)，再請教數學教育專家與多位國小資深教師共同審閱，最後自編出 29 題的試題(參見附錄六)。參、進行預試預試試題完成後，在臺中市西屯區某國小以隨機抽樣的方式選取六年級的一個班級，來進行預測試題的施測(樣本數 26 人)。預試試題共 29 題，測驗的時間為 50 分鐘。肆、預試試卷之試題分析預試施測完成的試卷回收後，將預試試卷的資料輸入 SPSS 12.0 中文版和 Excel 統計軟體，來求出預試試卷的信度、試題的難易度及鑑別度，並決定需要刪除或修改的試題。以下就預試試卷的分析過程加以說明：（一）預試試卷的信度分析本研究的預試試卷資料採取 Cronbach α 係數，分析整份試卷的信度和刪除每一試題後的信度(如表 3-3-1)，分析後得到整份試卷的 Cronbach α 係數是.786，表示這份預試試卷有良好的信度。. 23.

(37) 表 3-3-1 預試試卷信度分析題目. 刪除該題後的 Cronbach α 值. 題目. 刪除該題後的 Cronbach α 值. 第1題. .784. 第 16 題. .788. 第2題. .787. 第 17 題. .790. 第3題. .788. 第 18 題. .788. 第4題. .773. 第 19 題. .779. 第5題. .772. 第 20 題. .787. 第6題. .767. 第 21 題. .760. 第7題. .764. 第 22 題. .787. 第8題. .780. 第 23 題. .757. 第9題. .780. 第 24 題. .779. 第 10 題. .785. 第 25 題. .795. 第 11 題. .770. 第 26 題. .772. 第 12 題. .775. 第 27 題. .787. 第 13 題. .794. 第 28 題. .781. 第 14 題. .789. 第 29 題. .780. 第 15 題. .780. 預試施測樣本數=26 人預試施測試題數=29 題整份預試試卷的 Cronbach α 值=.786. 24.

(38) （二）預試試卷的難度及鑑別度分析先將預試樣本數 26 人，依總分的高低排序，選取前 27%(8 人)為高分組，後 27%(8 人)為低分組，再利用 Excel 統計軟體求出每一試題的難度及鑑別度(如表 3-3-2)。. 表 3-3-2 預試試題難度及鑑別度分析題號. PH. PL. P=(PH+PL)/2. D=PH-PL. 第1題第2題第3題第4題第5題第6題第7題第8題第9題第 10 題第 11 題第 12 題第 13 題第 14 題第 15 題第 16 題第 17 題第 18 題第 19 題第 20 題第 21 題第 22 題第 23 題第 24 題. 1.000 1.000 .625 1.000 .875 .875 .875 1.000 1.000 1.000 1.000 .750 .250 .750 1.000 .750 .375 .750 .625 1.000 1.000 1.000 .875 1.000. .750 1.000 .375 .250 .375 .125 .125 .750 .750 .750 .500 .125 .125 .500 .625 .500 .125 .500 .375 1.000 .125 1.000 0 .500. .875 1.000 .500 .625 .625 .500 .500 .875 .875 .875 .750 .438 .1875 .625 .813 .625 .250 .625 .500 1.000 .563 1.000 .438 .750. .250 0 .250 .750 .500 .750 .750 .250 .250 .250 .500 .625 .125 .250 .375 .250 .250 .250 .250 0 .875 0 .875 .500. 25. 保留、修正或刪除修正刪除修正保留保留保留保留保留保留保留保留保留刪除保留保留保留保留保留保留刪除保留刪除保留保留.

(39) 表 3-3-2 預試試題難度及鑑別度分析 (續) 題號. PH. PL. P=(PH+PL)/2. D=PH-PL. 第 25 題第 26 題第 27 題第 28 題第 29 題. .625 .750 1.000 .875 1.000. .625 .250 1.000 .625 .750. .625 .500 1.000 .750 .875. 0 .500 0 .250 .250. 保留、修正或刪除刪除保留刪除保留保留. 伍、編製正式試卷依據預試的分析結果，從 29 題的試題中，刪除 6 題不理想的試題，並修正 2 題試題，再配合試題與概念對照表和試題雙向細目表(參見附錄四和附錄五)以及試題檢核表(參見附錄三)，並請教數學教育專家與多位國小資深教師共同審閱，最後採用預試試卷中 23 題試題編製為正式試卷 (參見附錄七)。正式試題共 23 題，測驗的時間為 40 分鐘。. 26.

(40) 第四節資料處理壹、利用 Excel 分析統計測驗資料將受試者的測驗答案輸入 Excel，計算答對題數後，加以排出高、低分組，並進行統計。統計每一試題各選項的作答人數，再算出每一試題的難度和鑑別度。貳、利用 SPSS 12.0 中文版分析統計測驗資料中文版分析統計測驗資料使用 SPSS 12.0 中文版來分析整份試卷的信度和效度。參、利用 TestGraf98 繪製試題選項特徵曲線使用 TestGraf98 所繪製出的試題選項特徵曲線，來分析學童在每一題各個選項的作答情形。. 27.

(41) 28.

(42) 第四章研究結果與討論本研究藉由自編的圓形與複合圖形面積試題，針對國小六年級學童進行施測，再依據施測結果來加以分析討論。本章分為三節，第一節為圓形與複合圖形面積正式測驗的試題與試卷特性分析；第二節為圓形與複合圖形面積正式測驗的試題選項特徵曲線分析；第三節為六年級學童對圓形與複合圖形面積理解的情形分析。. 第一節圓形與複合圖形面積正式測驗的試題與試卷特性分析壹、圓形與複合圖形面積正式測驗的試題特性分析本研究的正式試卷編製完成後，由臺中市西屯區某國小六年級三個班級的學童進行施測(樣本數 84 人)。再將施測結果輸入 Excel 統計軟體，接著針對試題作分析。以下將分析結果加以說明：一、試題內容的品質分析正式試卷的全部試題皆依據九年一貫正式課程綱要數學科六年級所具備的面積概念和教學目標及命題原則來編製，並根據試題與概念對照表和試題雙向細目表，再請教數學教育專家與多位國小資深教師共同進行審題。因此，能夠確保正式試卷的試題具有內容效度和專家效度。二、試題內容的量化分析量化分析主要是用來分析每道試題的難度及鑑別度，量化分析的結果說明如下：先將正式施測樣本數 84 人，依總分的高低排序，選取前 27%(30 人) 為高分組，後 27%(25 人)為低分組，再利用 Excel 統計軟體求出每一試題的難度及鑑別度(如表 4-1-1)。. 29.

(43) 表 4-1-1 正式試題難度及鑑別度分析題號第1題第2題第3題第4題第5題第6題第7題第8題第9題第 10 題第 11 題第 12 題第 13 題第 14 題第 15 題第 16 題第 17 題第 18 題第 19 題第 20 題第 21 題第 22 題第 23 題. PH .800 .700 .600 .633 .833 .867 .933 .933 .700 1.000 .800 .867 .733 .933 .700 .200 .933 .867 .900 .867 1.000 1.000 .833. PL P=(PH+PL)/2 .480 .640 .320 .510 .320 .460 .240 .437 .320 .577 .560 .714 .680 .807 .320 .627 .360 .530 .560 .780 .320 .560 .280 .574 .720 .727 .440 .687 .080 .390 .160 .180 .240 .587 .040 .454 .320 .610 .240 .554 .600 .800 .720 .860 .520 .677. D=PH-PL .320 .380 .280 .393 .513 .307 .253 .613 .340 .440 .480 .587 .013 .493 .620 .040 .693 .827 .580 .627 .400 .280 .313. 在難度指標方面，學者主張應挑選難度值在.40 到.80 之間的試題作為選題標準，由表 4-1-2 可知，23 題試題中有 20 題的難度在學者所主張的.40 到.80 之間，而且平均難度是.597，因此本份試卷是屬於中間偏易的試題。表 4-1-2 正式試題難度統計難度題數百分比平均難度. .39 以下 2 8.70%. .40~.59 10 43.48%. .60~.79 8 34.78% .597. 30. .80 以上 3 13.04%. 合計 23 100%.

(44) 而在鑑別度的部分，試題鑑別度當然是愈高愈好，但一般而言，只要是.2 以上即為可接受；若低於.2，則視為較不佳的試題。由表 4-1-3 可知， 23 題試題中有 21 題的鑑別度高於.2，且有 12 題的鑑別度在.4 以上，而本份試卷平均鑑別度是.426，因此本份試卷是一份具有良好鑑別度的試題。表 4-1-3 正式試題鑑別度統計鑑別度題數百分比平均鑑別度. .19 以下 2 8.70%. .20~.29 3 13.04%. .30~.39 6 26.09% .426. .40 以上 12 52.17%. 合計 23 100%. 貳、圓形與複合圖形面積正式測驗的試卷特性分析一份優良的測驗需具有良好的信度和效度，本研究的正式試卷編製完成後，由臺中市西屯區某國小六年級三個班級的學童進行施測(樣本數 84 人)。再將施測結果輸入 SPSS 12.0 中文版統計軟體，接著針對正式試卷的信度和效度作分析。以下將分析結果加以說明：一、信度分析利用 SPSS 12.0 中文版統計軟體來分析本研究正式試卷的信度，本研究的正式試卷採取 Cronbach α 係數，分析整份試卷的信度和刪除每一試題後的信度(如表 4-1-4)，分析後得到整份試卷的 Cronbach α 係數是.776，雖然比起預試試卷的信度值.786 稍低，但因為測驗的題數變少，故相對的信度係數也會變低。不過一般而言，教師自編測驗的信度通常介於.70 到.85 之間，因此本份正式試卷是有良好信度的試卷。. 31.

(45) 表 4-1-4 正式試卷信度分析題目. 刪除該題後的 Cronbach α 值. 題目. 刪除該題後的 Cronbach α 值. 第1題. .770. 第 13 題. .790. 第2題. .770. 第 14 題. .765. 第3題. .777. 第 15 題. .761. 第4題. .775. 第 16 題. .787. 第5題. .768. 第 17 題. .753. 第6題. .772. 第 18 題. .748. 第7題. .772. 第 19 題. .762. 第8題. .757. 第 20 題. .757. 第9題. .779. 第 21 題. .765. 第 10 題. .763. 第 22 題. .767. 第 11 題. .774. 第 23 題. .779. 第 12 題. .759. 正式施測樣本數=84 人正式施測試題數=23 題整份正式試卷的 Cronbach α 值=.776 二、效度分析依據預試試卷施測後的分析結果，刪除不理想的試題，並修正一些試題，再配合試題與概念對照表、試題雙向細目表、試題檢核表及請教數學教育專家與多位國小資深教師共同審閱，最後自編出 23 題的正式試卷。故此份正式試卷具有良好的內容效度和專家效度。. 32.

(46) 第二節圓形與複合圖形面積正式測驗的試題選項特徵曲線分析本研究利用 TestGraf98 軟體，將正式試卷的資料繪製成每一道試題的試題選項特徵曲線(IOCC)，來分析學童在每道試題各選項的作答情形，並藉此試題選項特徵曲線圖來瞭解學童的理解情況和迷思概念。以下將針對正確選項的特徵曲線和每一道試題的選項特徵曲線加以分析說明：壹、正確選項的特徵曲線分析本研究參考學者許天維在 1995 年的「數學試題分析法」一文和學者楊志強在 2004 年的「測驗品質考驗與 TestGraf98 的應用」一文，將正確選項特徵曲線依據其曲線形狀大致歸納成六型，每一型皆代表不同的試題特性，分述如下：一、第一型：呈現嚴格遞增凹向下之曲線此類型的曲線在低能力值的受試者較具有鑑別度，而對於高能力值的受試者幾乎不具有鑑別度。如圖 4-2-1，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 7、8、21、22 題。. 圖 4-2-1 正式試題 22 的正確選項特徵曲線圖 33.

(47) 二、第二型：呈現嚴格遞增凹向上之曲線此類型的曲線正好和第一型相反，在高能力值的受試者較具有鑑別度，而對於低能力值的受試者幾乎不具有鑑別度。如圖 4-2-2，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 3、4、5、15 題。. 圖 4-2-2 正式試題 15 的正確選項特徵曲線圖三、第三型：呈現無水平嚴格遞增直線趨向此類型曲線的特點是從低能力值到高能力值範圍內的斜率變動不大，只有在小部分能力內的曲線斜率稍有變動而已，所以比較能夠區分出高能力值受試者和低能力值受試者，是屬於鑑別度較為優良的試題。如圖 4-2-3，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 12、14、17、19、20 題。. 34.

(48) 圖 4-2-3 正式試題 17 的正確選項特徵曲線圖四、第四型：呈現嚴格遞增S 型曲線（即先呈凹向上後，呈凹向下，且有一個反曲點之曲線）此類型曲線的特點是對於能力值在中間區段的受試者，有較高的鑑別度。但對於高能力值受試者和低能力值受試者的鑑別度則會出現明顯下降的情況，甚至幾乎不具有鑑別度。如圖 4-2-4，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 10、11、18 題。. 35.

(49) 圖 4-2-4 正式試題 18 的正確選項特徵曲線圖五、第五型：呈現嚴格遞增反S 型曲線（即先呈凹向下後，呈凹向上，且有水平反曲點之曲線）此類型的曲線正好和第四型相反，對於高能力值受試者和低能力值受試者具有良好的鑑別度，但能力值在中間區段的受試者卻幾乎不具有鑑別度。如圖 4-2-5，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 1、2、6、9、23 題。. 圖 4-2-5 正式試題 9 的正確選項特徵曲線圖六、第六型：呈現水平曲線此類型曲線的鑑別度極低，不論受試者的能力為低、中、高，皆無良好的鑑別度，此類型的試題不是過於容易就是過於困難。如圖 4-2-6，本份測驗中屬於此類型的試題有：第 13、16 題。. 36.

(50) 圖 4-2-6 正式試題 16 的正確選項特徵曲線圖貳、正式試卷的試題選項特徵曲線分析以下列出每一道試題的試題選項特徵曲線圖，並針對學童的答題情形來加以分析說明：. 37.

(51) 一、試題 1. 圖 4-2-7 正式試題 1 之試題選項特徵曲線題目：下面的第１、２題，請用點數的方式並根據下圖來作答，圖中的每一格面積是 1 平方公分。. 請問 A 圖的面積是多少平方公分？ (1) 14 (2) 14.5 (3) 15 (4) 15.5 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者具有誘答力，表示學童容易因粗心而計算錯誤。選項３：正確選項。對低能力值受試者和高能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對低能力值受試者稍有誘答力。 38.

(52) 二、試題２. 圖 4-2-8 正式試題 2 之試題選項特徵曲線題目：請問 C 圖的面積是多少平方公分？ (1) 14. (2) 14.5. (3) 15 (4) 15.5. 選項１：正確選項。對低能力值受試者和高能力值受試者具有高鑑別度。選項２：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者具有誘答力，表示學童容易因粗心而計算錯誤。選項３：對低、中能力值受試者和極少數高能力值受試者有誘答力。選項４：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者稍有誘答力。. 39.

(53) 三、試題３. 圖 4-2-9 正式試題 3 之試題選項特徵曲線題目：下面的第３、４題，請根據下圖來作答。下圖粗線條正方形是以圓的半徑為邊長。每一小方格的邊長是 1 公分，面積是 1 平方公分。. 若使用點數的方式來計算，圓的面積約是多少平方公分？ (1) 62. (2) 70 (3) 78 (4) 86. 選項１：對低能力值受試者具有誘答力。選項２：正確選項。對中、高能力值受試者和部分低能力值受試者具有高鑑別度。選項３：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者具有誘答力，表示學童直接利用圓形面積公式來計算，而非使用題目規定的點數方式，所以才選擇此選項。選項４：對所有受試者的誘答力都不高。 40.

(54) 四、試題４. 圖 4-2-10 正式試題 4 之試題選項特徵曲線題目：圓的面積大約是粗線條正方形面積的幾倍？ (1) 0.7 (2) 1 (3) 2.8 (4) 4 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對所有受試者的誘答力都不高。選項３：正確選項。對中、高能力值和部分低能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者具有誘答力，尤其是對低能力值受試者的誘答力更是甚高。表示學童是利用圓周率來計算出圓面積，而非使用題目規定的點數方式。雖然算出的結果應為 3.14 倍，但沒有考慮到較接近 3.14 的選項 3，反而選擇了整數值的選項 4。 41.

(55) 五、試題５. 圖 4-2-11 正式試題 5 之試題選項特徵曲線題目：Ａ、Ｂ兩個圓，Ａ圓的周長是Ｂ圓的周長４倍，Ａ圓的面積是Ｂ圓的面積幾倍？（圓周率≒3.14） (1) 2 (2) 4 (3) 8 (4) 16 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對低、中能力值受試者具有誘答力。選項３：對低、中能力值受試者具有誘答力。選項４：正確選項。對中、高能力值受試者具有高鑑別度，要對圓周長和圓面積的計算以及圓形面積單位量的轉換清楚者才能夠答對，低能力值受試者答對此題的人數較不高。. 42.

(56) 六、試題６. 圖 4-2-12 正式試題 6 之試題選項特徵曲線題目：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個圓，Ａ圓的周長 62.8 公分，Ｂ圓的直徑 30 公分，Ｃ圓的面積 314 平方公分，Ｄ圓的半徑 12 公分，哪個圓的面積最大？（圓周率≒3.14） (1) Ａ (2) Ｂ (3) Ｃ (4) Ｄ選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：正確選項。對低能力值受試者和高能力值受試者具有高鑑別度。選項３：對低能力值受試者具有高誘答力，表示對於圓面積和圓周長的計算混淆不清。選項４：對所有受試者的誘答力都不高。. 43.

(57) 七、試題７. 圖 4-2-13 正式試題 7 之試題選項特徵曲線題目：一個直徑 20 公分的披薩，面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 31.4 (2) 62.8 (3) 314 (4) 1256 選項１：對少數低能力值受試者稍有誘答力。表示對於使用圓形面積公式來計算圓面積還不夠熟悉。選項２：對所有受試者的誘答力都不高。選項３：正確選項。對低能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對少數低能力值受試者稍有誘答力。表示對於使用圓形面積公式來計算圓面積還不夠熟悉。. 44.

(58) 八、試題８. 圖 4-2-14 正式試題 8 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14）. (1) (4-1) × (4-1) × 3.14. (2) (4+3) × (4+3) × 3.14. (3) [(4+3) × (4+3) × 3.14 - (4-3) × (4-3) ×3.14] (4) [(4+3) × (4+3) × 3.14 - 3 × 3 × 3.14] 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：對低能力值受試者具有誘答力，對於圓形和複合圖形面積的包含關係不夠清楚。選項３：對低能力值受試者具有誘答力，對於圓形和複合圖形面積的包含關係不夠清楚。選項４：正確選項。對低能力值受試者具有高鑑別度。 45.

(59) 九、試題９. 圖 4-2-15 正式試題 9 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積是多少平方公分？（圓周率≒. (1) 88. (2) 154 (3) 308. 22 ） 7. (4) 616. 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：對所有受試者的誘答力都不高。選項３：正確選項。對低能力值受試者和高能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對低、中能力值受試者和少數高能力值受試者具有誘答力，尤其是對低能力值受試者的誘答力更是甚高，表示學童忘了計算半圓的面積時還要除以 2。 46.

(60) 十、試題１０. 圖 4-2-16 正式試題 10 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14）. (1) 15 × 15 × 3.14. (2) 15 × 15 × 3.14 × 4. (3) 30 × 30 × 3.14. (4) 30 × 30 × 3.14 × 4. 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：正確選項。對中能力值受試者具有高鑑別度。選項３：沒有學童選擇此選項。選項４：對低、中能力值受試者具有誘答力，表示對於圓形面積公式的使用以及圓形和複合圖形面積的包含關係不夠清楚。 47.

(61) 十一、試題１１. 圖 4-2-17 正式試題 11 之試題選項特徵曲線題目：Ａ圓的直徑是 48 公分，Ｂ圓的半徑是 16 公分，Ａ圓的面積是Ｂ圓的面積幾倍？（圓周率≒3.14） (1) 1 (2) 1.25 (3) 2.25 (4) 3 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對低能力值受試者具有誘答力，對圓形面積單位量的轉換不夠清楚。選項３：正確選項。對中能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對低能力值受試者具有誘答力，對圓形面積單位量的轉換不夠清楚。. 48.

(62) 十二、試題１２. 圖 4-2-18 正式試題 12 之試題選項特徵曲線題目：周長是 80 公分的正方形和圓周長是 125.6 公分的圓形，面積相差多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 400 (2) 846 (3) 856 (4) 1256 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對低、中能力值受試者具有誘答力，尤其是對低能力值受試者的誘答力更是甚高，表示出現了粗心的計算錯誤。選項３：正確選項。對所有受試者有鑑別度，對於正方形面積和圓形面積的計算皆清楚者才能答對此題。選項４：對低、中能力值受試者稍有誘答力。. 49.

(63) 十三、試題１３. 圖 4-2-19 正式試題 13 之試題選項特徵曲線題目：半徑 4 公分，弧長為 6.28 公分的扇形，面積是多少？（圓周率≒3.14） (1) 4 × 4 × 3.14 ×. 1 4. (2) 8 × 8 × 3.14 ×. 1 8. 1 8 1 (4) 8 × 8 × 3.14 × 4. (3) 4 × 4 × 3.14 ×. 選項１：正確選項。對所有受試者的鑑別度都不高，此題為簡易的試題。選項２：對所有受試者的誘答力都不高。選項３：對所有受試者稍有誘答力，對於扇形面積公式不夠熟悉。選項４：對所有受試者的誘答力都不高。. 50.

(64) 十四、試題１４. 圖 4-2-20 正式試題 14 之試題選項特徵曲線題目：時針長度 20 公分，當時鐘從下午 3 點到下午 6 點時，時針掃過的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 157 (2) 314 (3) 471 (4) 628 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：正確選項。對所有受試者有鑑別度，除了熟悉扇形面積公式外，還需清楚瞭解時鐘從下午 3 點到下午 6 點的時針所掃過的扇形角度才能答對此題。選項３：對低能力值受試者稍有誘答力。選項４：對低能力值受試者有誘答力。. 51.

(65) 十五、試題１５. 圖 4-2-21 正式試題 15 之試題選項特徵曲線題目：在一個長 20 公分，面積是 200 平方公分的長方形中，畫一個最大的圓，此圓的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 78.5 (2) 157 (3) 314 (4) 1256 選項１：正確選項。對中、高能力值受試者具有高鑑別度。選項２：對低能力值受試者稍有誘答力。選項３：對低、中能力值受試者有高誘答力，表示將長方形的長當成圓形的直徑，所以才會選擇此選項。選項４：對低、中能力值受試者稍有誘答力。. 52.

(66) 十六、試題１６. 圖 4-2-22 正式試題 16 之試題選項特徵曲線題目：Ａ圓的半徑是Ｂ圓的 2 倍，Ｂ圓的圓周長是 440 公分，Ａ圓的面積是多少平方公尺？（圓周率≒. 22 ） 7. (1) 4.4 (2) 6.16 (3) 440 (4) 61600 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：正確選項。對所有受試者的鑑別度都不高，此題為不易答對的試題。選項３：對所有受試者稍有誘答力。選項４：對所有受試者有高誘答力，尤其是對中、高能力值受試者的誘答力更是甚高，表示幾乎所有的受試者都忽略了單位的轉換。 53.

(67) 十七、試題１７. 圖 4-2-23 正式試題 17 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14）. (1) 57 (2) 114 (3) 158 (4) 228 選項１：對所有受試者的誘答力都不高。選項２：對低能力值受試者稍有誘答力。選項３：對低、中能力值受試者有誘答力，尤其是對低能力值受試者的誘答力更是甚高。選項４：正確選項。對所有受試者有鑑別度，要清楚的瞭解圓形和複合圖形面積的包含關係才能答對此題。 54.

(68) 十八、試題１８. 圖 4-2-24 正式試題 18 之試題選項特徵曲線題目：一條長 125.6 公分的緞帶可以繞圓柱 4 圈，此圓柱其中一個底面的面積為多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 5 × 5 × 3.14 (2) 10 × 10 × 3.14 (3) 15 × 15 × 3.14 (4) 20 × 20 × 3.14 選項１：正確選項。對中能力值受試者具有高鑑別度。選項２：對低能力值受試者有誘答力。選項３：對低能力值受試者有誘答力。選項４：對低能力值受試者有高誘答力，忽略了緞帶繞圓柱 4 圈，所以沒有將緞帶長除以 4。. 55.

(69) 十九、試題１９. 圖 4-2-25 正式試題 19 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14）. (1) 60.42 (2) 91.82 (3) 103.62 (4) 166.42 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力。選項２：對低能力值受試者有誘答力。選項３：正確選項。對所有受試者有鑑別度，要清楚的瞭解圓形和複合圖形面積的包含關係才能答對此題。選項４：對低能力值受試者有較高誘答力。 56.

(70) 二十、試題２０. 圖 4-2-26 正式試題 20 之試題選項特徵曲線題目：一條鐵絲可以剛好圍成一個直徑 40 公分的圓，若用這條鐵絲圍一個最大的正方形，此正方形的面積是多少平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 15.7 × 15.7 (2) 31.4 × 31.4 (3) 62.8 × 62.8 (4) 94.2 × 94.2 選項１：對低能力值受試者有誘答力。選項２：正確選項。對所有受試者有鑑別度，要清楚瞭解圓形面積單位量的轉換才能答對此題。選項３：對低、中能力值受試者有誘答力，尤其是對低能力值受試者的誘答力更是甚高。選項４：對所有受試者的誘答力都不高。 57.

(71) 二十一、試題２１. 圖 4-2-27 正式試題 21 之試題選項特徵曲線題目：蟹老闆有一塊半徑 7 公尺的圓形土地，如果他想以每 1 平方公尺 8000 元的價格賣出，那他可以賣得多少元？（圓周率≒. 22 ） 7. (1) 176000 (2) 352000 (3) 1232000 (4) 4928000 選項１：對中能力值受試者稍有誘答力。表示對於使用圓形面積公式來計算圓面積還不夠熟悉。選項２：對低能力值受試者稍有誘答力。選項３：正確選項。對低、中能力值受試者具有高鑑別度。選項４：對低能力值受試者稍有誘答力。. 58.

(72) 二十二、試題２２. 圖 4-2-28 正式試題 22 之試題選項特徵曲線題目：圓心角 144 度、半徑 10 公分的扇形，面積是幾平方公分？（圓周率≒3.14） (1) 10 × 10 × 3.14 ×. 144 360. (2) 10 × 10 × 3.14 ×. 144 ＋10 × 2 360. (3) 10 × 2 × 3.14 ×. 144 ＋10 × 2 360. (4) 10 × 10 × 3.14 選項１：正確選項。對低能力值受試者具有高鑑別度。選項２：對低能力值受試者稍有誘答力，對於扇形面積公式不夠熟悉。選項３：對低能力值受試者稍有誘答力，對於扇形面積公式不夠熟悉。選項４：對所有受試者的誘答力都不高。. 59.

(73) 二十三、試題２３. 圖 4-2-29 正式試題 23 之試題選項特徵曲線題目：下面圖形著色部分的面積大約是多少平方公分？（圓周率≒3.14）. (1) 200～300. (2) 300～400. (3) 400～500. (4) 500～600. 選項１：對低能力值受試者稍有誘答力選項２：對低能力值受試者稍有誘答力選項３：正確選項。對低能力值受試者和高能力值受試者具有鑑別度，要清楚的瞭解圓形和複合圖形面積的包含關係才能答對此題。選項４：對高能力值受試者稍有誘答力 60.

(74) 第三節六年級學六年級學童對圓形與複合圖形面積理解的情形分析本節將依據前一節施測的分析結果來做討論，分為全體學童的答題狀況分析、不同家庭背景學童的答題狀況分析、不同性別學童的答題狀況分析，利用晤談的方式來瞭解出現迷思概念的原因。壹、全體學童的答題狀況分析正式試卷施測人數有 84 人，表 4-3-1 為每一道試題正確選項選答人數及正確選項選答率統計。由表可知，大多數試題的正確選項選答率在.45 到.90 之間，表示試題多數為中間偏易的題目。其中以第 7 題和第 22 題的正確選項選答率為最高，表示大多數的學童對於圓形面積公式和扇形面積公式熟悉，而第 15 題和第 16 題的正確選項選答率為最低，代表大多數的學童對於圓形面積單位量的轉換是感到困難的。表 4-3-1 正確選項的選答人數及選答率統計正確選項選答. 正確選項. 正確選項選答. 正確選項. 人數. 選答率. 人數. 選答率. 1. 52. .62. 13. 59. .70. 2. 39. .46. 14. 63. .75. 3. 42. .50. 15. 29. .35. 4. 38. .45. 16. 13. .15. 5. 46. .55. 17. 49. .58. 6. 60. .71. 18. 41. .49. 7. 73. .87. 19. 52. .62. 8. 64. .77. 20. 46. .55. 9. 48. .57. 21. 67. .80. 10. 70. .83. 22. 75. .89. 11. 51. .61. 23. 56. .67. 12. 48. .57. 題號. 題號. 61.

(75) 表 4-3-2 到表 4-3-7 為六類概念的試題：在給定的平方單位格內，透過點數、合成活動，算出不規則圖形之面積（以下簡稱為：點數算出不規則圖形面積）；在給定的平方單位格內，透過點數、合成活動，算出圓形面積（以下簡稱為：點數算出圓形面積）；圓形面積公式；扇形面積公式這；圓形面積單位量的轉換；圓形和複合圖形面積的包含關係的正確選項選答人數及正確選項選答率統計表。表 4-3-2 點數算出不規則圖形面積正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 1. 52. .62. 2. 39. .46. 表 4-3-3 點數算出圓形面積正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 3. 42. .50. 4. 38. .45. 表 4-3-4 圓形面積公式正確選項的選答率統計圓形面積公式正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 7. 73. .87. 21. 67. .80. 62.

(76) 表 4-3-5 扇形面積公式正確選項的選答率統計扇形面積公式正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 13. 59. .70. 14. 63. .75. 22. 75. .89. 表 4-3-6 圓形面積單位量的轉換正確選項的選答率統計圓形面積單位量的轉換正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 5. 46. .55. 6. 60. .71. 11. 51. .61. 12. 48. .57. 15. 29. .35. 16. 13. .15. 20. 46. .55. 表 4-3-7 圓形和複合圖形面積的包含關係正確選項的選答率統計圓形和複合圖形面積的包含關係正確選項的選答率統計題號. 正確選項選答人數. 正確選項選答率. 8. 64. .77. 9. 48. .57. 10. 70. .83. 17. 49. .58. 18. 41. .49. 19. 52. .62. 23. 56. .67. 63.