國 立 交 通 大 學
土木工程學系
碩 士 論 文
構架非線性側推分析模式探討
Frame Model of Nonlinear Pushover Analysis
研 究 生：謝秉坤
指導教授：林昌佑 博士
構架非線性側推分析模式探討
Frame Model of Nonlinear Pushover Analysis
研 究 生：謝秉坤 Student：Bing-Kun Xie
指導教授：林昌佑 博士 Advisor：Dr. Chang-Yu Lin
國 立 交 通 大 學
土 木 工 程 學 系
碩 士 論 文
A Thesis
Submitted to Department of Civil Engineering
College of Engineering
National Chiao Tung University
In Partial Fulfillment of the Requirements
For the Degree of
Master of Science
In
Civil Engineering
July 2013
HsinChu, Taiwan, Republic of China
中華民國一百零二年六月
i
構架非線性側推分析模式探討
研究生 : 謝秉坤 指導教授 : 林昌佑 博士
國立交通大學 土木工程學系碩士班
摘 要
本研究以不同非線性分析方法模擬鋼筋混凝土構架，並整理出側推分
析方法之流程與應用，一是考慮鋼筋混凝土材料非線性，將斷面切割成數
元素以進行分析，二是計算鋼筋混凝土斷面彎矩與曲率非線性關係，並利
用彎矩與曲率來進行構架分析，最後則是先將鋼筋混凝土柱進行非線性側
推分析，利用容量曲線圖定義以模擬集中彈簧彎矩與轉角行為分析方式模
擬。
本研究以所建立非線性分析程式與國家地震工程研究中心所模擬塑性
鉸模式進行門型構架之非線性側推分析，並討論之間差異。最後則進行較
大構架實例分析，以非線性材料之側推分析導出集中彈簧係數進行分析，
將分析結果之容量曲線圖與彎矩位移關係圖進行比對判斷塑性鉸發生位置
與順序。
關鍵字：非線性側推分析、鋼筋混凝土、OpenSees。
ii
Frame Model of Nonlinear Pushover Analysis
Student: Bing-Kun Xie Adviser: Dr. Chang-You Lin
Institute of Civil Engineering
National Chiao Tung University
Abstract
This research simulates the reinforced concrete frame in different nonlinear
analysis method, and reorganizes the flow and the application pushover analysis
method; first, to consider the reinforced concrete material nonlinear, cuts the
round number element by to analyze the cross section; second, to calculate the
reinforced concrete cross section bending moment and curvature nonlinear
relationship, and carries on the frame analysis using the bending moment and
curvature, finally first carries on the nonlinear pushover analysis the reinforced
concrete column, to simulate the centralized spring bending moment and corner
behavioral analysis way simulation using the capacity diagram of curves
definition.
This research by establishes the nonlinear analysis program and national
center for research on earthquake engineering the simulation plastic hinge
pattern carries on the portal frame the nonlinear pushover analysis, and
discussed the difference. Finally carries on big frame case study, derives the
centralized spring constant to analyze by pushover of analysis the nonlinear
material, capacity of diagram of curves and bending moment displacement
relational graph the results analysis will carry on the contrast judgment plastic
hinge to have the position and order.
iii
誌 謝
在交大研究所期間，首先感謝我的指導教授 林昌佑老師在課業及生活
上的辛勤指導與悉心教誨，在我為學與處事上多有啟迪；老師耐心指導論
文研究方向並提供研究資訊，幫助我順利完成研究論文，師恩浩瀚，學生
銘記在心。
同時，論文口試期間，承蒙交通大學土木工程學系老師， 洪士林教授
及 趙文成教授於口試期間提供寶貴的意見，使本文更臻完善，在此表達最
由衷的謝意。
研究期間承蒙學長陳冠寰、蔡呈祥的照顧與提攜；文平、志瑜兩位好
夥伴一起互相勉勵與支持；感謝社團上的學長、學弟、學妹們陪伴與支持，
使在研究生生活上多采多姿；交大室友好夥伴維志、閔邑等，謝謝你們提
點與鼓勵我。謝謝大家生活中的相伴，豐富我的研究生活！
同時感謝我的家人爸爸、媽媽、外公、外婆、舅舅們，在我研究所求
學期間的照顧及支持，讓我在學業上無後顧之憂，專心致力於論文的研究。
最後再次感激於交大所結識的師長及朋友們，衷心祝福你們萬事順利、
平安。
iv
目 錄
頁次
中文摘要...i
英文摘要...ii
誌謝...iii
目錄...iv
表目錄...vii
圖目錄...viii
第一章 緒論...1
1.1 研究背景...1
1.2 研究動機與目的...2
1.3 論文架構...3
第二章 文獻回顧...5
2.1 側推分析介紹與原理…...5
2.2 鋼筋混凝土斷面之非線性分析行為...6
2.3 耐震評估之相關研究...7
2.3.1 鋼筋混凝土柱之非線性塑性鉸定義...8
第三章 OpenSees之介紹與應用...11
3.1 OpenSees簡介...11
3.2 OpenSees分析架構...12
3.2.1 Model Object...12
3.2.2 Output Object...12
3.2.3 Anslysis Object...13
3.3 OpenSees指令功能...13
3.3.1 建模指令...13
v
3.3.2 輸出指令...22
3.3.3 分析指令...23
3.4 OpenSees側推分析流程...27
第四章 非線性側推分析流程...29
4.1 材料非線性之分析程式...29
4.2 鋼筋混凝土斷面非線性行為分析...30
4.2.1 鋼筋混凝土斷面非線性行為分析之基本假設...31
4.2.2 計算鋼筋混凝土斷面彎矩與曲率之流程…...32
4.2.3 彎矩與曲率非線性關係之定義與建立...34
4.3 非線性集中彈簧之側推分析...36
4.3.1 集中彈簧之分析建立...37
第五章 側推分析實例展示行為及討論...40
5.1 懸臂柱...40
5.2 門型構架...43
5.3 二樓-五跨構架...47
第六章 結論與建議...50
6.1 結論...50
6.2 建議...51
參考文獻...52
圖表附錄...57
附錄 OpenSees之程式碼...98
附錄一 懸臂柱(材料非線性之側推分析)...98
附錄二 懸臂柱(鋼筋混凝土斷面非線性行為分析)...103
附錄三 懸臂柱(非線性集中彈簧之側推分析)...108
附錄四 懸臂柱(非線性塑性區之側推分析)...112
vi
附錄五 門型構架(材料非線性之側推分析)...116
附錄六 門型構架(鋼筋混凝土斷面非線性行為分析)...123
附錄七 門型構架(非線性集中彈簧之側推分析)…...129
附錄八 門型構架(非線性塑性區之側推分析)...134
附錄九 二樓-五跨構架之鋼筋混凝土柱(材料非線性之側推分析)...138
附錄十 二樓-五跨構架(非線性集中彈簧之側推分析)...143
vii
表目錄
頁次
表2.1 鋼筋混凝土柱彎矩非線性鉸之參數[22]...57
表2.2 鋼筋混凝土柱剪力非線性鉸之參數[22]...57
表4.1 材料非線性之鋼筋混凝土柱建模指令...58
表4.2 自重分析之建構指令...58
表4.3 側推分析之建構指令...59
表4.4 鋼筋混凝土斷面之彎矩與曲率...59
表4.5 彎矩與曲率之鋼筋混凝土柱建模指令...60
表4.6 集中彈簧之鋼筋混凝土柱建模指令...61
表4.7 塑性區之鋼筋混凝土柱建模指令...62
viii
圖目錄
頁次
圖 2.1 側推分析之容量曲線[22]...63
圖 2.2 鋼筋混凝土斷面之纖維元素[17]...63
圖 2.3 彎矩非線性鉸性質與側向載重位移曲線[22] ...64
圖 2.4 軸向破壞時的變未繳之修正係數
[22] ...64
圖 2.5 剪力非線性鉸性質與側向載重位移曲線[22] ...65
圖 3.1 OpenSees 主要物件[26]...65
圖 3.2 OpenSees 模型物件[26]...66
圖 3.3 OpenSees 分析物件[26]...66
圖 3.4 Steel01 Material [26]...67
圖 3.5 Concrete01 Material [26]...67
圖 3.6 Bilin Material [26]...68
圖 3.7 Quad Fiber Section [26]...69
圖 3.8 Rect Fiber Section [26] ...69
圖 3.9 Circ Fiber Section [26]...70
圖 3.10 Straight Steel [26]...70
圖 3.11 Circ Steel [26]...71
圖 3.12 Aggregator Section [26]...71
圖 3.13 Element Classes Object [26]...72
圖 3.14 BeamWithHinges Element [26]...72
圖 3.15 載重模式架構圖[26]...73
圖 4.1 鋼筋混凝土斷面...73
ix
圖 4.3 鋼筋混凝土柱之桿件元素切割...74
圖 4.4 鋼筋混凝土斷面之彎矩－曲率關係圖...75
圖 4.5 彎矩與曲率關係之歷程曲線圖[19]...75
圖 4.6 鋼筋之應力－應變曲線...76
圖 4.7 混凝土之應力－應變曲線...76
圖 4.8 鋼筋混凝土之斷面幾何...77
圖 4.9 混凝土斷面開裂但仍為彈性階段...77
圖 4.10 門型構架之模擬 ...78
圖 4.11 彎矩－轉角關係曲線圖...78
圖 4.12 鋼筋混凝土柱之建模圖...79
圖 4.13 鋼筋混凝土柱之容量曲線圖...79
圖 4.14 降伏破壞點之剪力
與位移
...80
圖 4.15 極限破壞點之剪力
與位移
...80
圖 4.16 非線性彈簧模擬...81
圖 5.1 材料非線性之側推分析之模型...81
圖 5.2 鋼筋混凝土斷面非線性行為分析之模型...82
圖 5.3 懸臂柱之側推分析曲線圖...82
圖 5.4 懸臂柱之側推分析曲線圖...83
圖 5.5 集中彈簧之彎矩－轉角曲線圖...83
圖 5.6 懸臂柱之側推分析曲線圖...84
圖 5.7 懸臂柱之側推分析曲線圖...84
圖 5.8 懸臂柱之側推分析曲線圖...85
圖 5.9 門型構架之模型...85
圖 5.10 集中彈簧之構架模型...86
圖 5.11 塑性區之構架模型...86
x
圖 5.12 門型構架之側推分析曲線圖...87
圖 5.13 門型構架之集中彈簧側推分析曲線圖...87
圖 5.14 門型構架之彎矩－位移關係曲線圖...88
圖 5.15 塑性鉸發生順序與位置...88
圖 5.16 門型構架之彎矩－轉角關係曲線圖...89
圖 5.17 門型構架之側推分析曲線圖...89
圖 5.18 鋼筋混凝土斷面之元素切割...90
圖 5.19 鋼筋混凝土柱之側推分析曲線圖...90
圖 5.20 二樓-五跨構架之模型...91
圖 5.21 二樓-五跨構架之側推分析曲線圖...91
圖 5.22 二樓-五跨構架之柱編號...92
圖 5.23 二樓-五跨構架之彎矩-位移關係曲線圖...92
圖 5.24 二樓-五跨構架之彎矩-位移關係曲線圖...93
圖 5.25 二樓-五跨構架之彎矩-位移關係曲線圖...93
圖 5.26 二樓-五跨構架之彎矩-位移關係曲線圖...94
圖 5.27 二樓-五跨構架之彎矩-位移關係曲線圖...94
圖 5.28 二樓-五跨構架之塑性鉸發生順序與位置...95
圖 5.29 二樓-五跨構架之塑性鉸發生順序與位置...96
圖 5.30 二樓-五跨構架之塑性鉸發生順序與位置...97
1
第一章 緒論
1.1 研究背景
經九二一大地震慘痛教訓後，台灣位於歐亞板塊和菲律賓板塊的聚合
交界地帶，經常發生中、小型地震，而近年來台灣對耐震設計越來越重視
與要求，並做了許多相關耐震研究。
耐震設計理念以大地震不倒塌，小地震不壞，強柱弱梁為原則，並考
慮結構韌性設計，而結構分析是以非線性側推分析(Nonlinear Pushover
Analysis)模式模擬，需考慮許多條件，如材料性質、斷面幾何、元素切割
等等，並可反應出真實結構狀況，在分析上是非常可靠，若是遇到大型結
構就相當麻煩，會花費太多時間與成本，為了節省時間與成本上的問題，
在ATC-40[1]與FEMA273[2] 之建議針對老舊建築物的耐震評估與補強。
台灣建築物有一半以上都是用鋼筋混凝土構造，尤其是低矮樓層建築
物受到地震力影響很大，而老舊建築物的鋼筋混凝土柱通常箍筋不足或是
間距太大，在評估上須要鑑定與補強，並加強建築物之耐震能力，而在評
估建築物時，須要一份詳細數據與試驗報告，才能有效掌握結構分析準確
度，及預測建築物的破壞位置及順序，並有效提高老舊建築物的耐震評估
與補強。
2
1.2 研究動機與目的
近年來資訊發達，結構分析軟體便利與使用者需求也越來越多，如今
市面上結構分析軟體比較常見有 ETABS、SPA2000、MIDAS 等等；本文研
究則採用有限元素法分析軟體 OpenSees，而 OpenSees 分析軟體所提供資源
上可以任意使用，可由 OpenSee 網站參訪。
由於使用 OpenSees 軟體分析在建立分析模式非常多元，在分析上非常
可靠，但是在建立過程沒有像商業分析設計軟體有圖形前處理方式，所以
在建立前必須先構思，才能避免在建立過程中錯亂。
在國家地震工程研究中心所模擬非線性塑性鉸定義較為保守，可能會
造成補強上浪費，而本研究提出不同側推分析方法模擬鋼筋混凝土構架，
其一是考慮鋼筋與混凝土材料非線性組成來進行分析，其二是以計算鋼筋
混凝土斷面之彎矩與曲率，並以彎矩與曲率來進行分析，最後則是以集中
彈簧方式模擬，並由 OpenSees 分析軟體來分析模擬，並詳敘說明如何應用
OpenSees 分析軟體來建立與定義，以及整理出側推分析流程。
本研究先以鋼筋混凝土柱與門型構架為例子說明，並討論側推分析模
式與分析結果，並了解在分析上是否有達到預期效果及在使用上準確與方
便，最後則是用集中彈簧方式模擬進行大型構架為實例展示。
3
1.3 論文架構
本論文共分五個章節。第一章緒論、第二章文獻回顧、第三章 OpenSees
之介紹與應用、第四章非線性側推分析流程、第五章側推分析實例展示行
為及討論、第五章結論與建議，其各章內容分別敘述如下：
第一章、 緒論
詳述本論文的研究背景、研究動機與目的、論文架構，並探討耐震重
要性，以及為何使用 OpenSee 分析軟體。
第二章、 文獻回顧
把相關的知識與文獻進行彙整，內容主要以側推分析介紹、鋼筋混凝
土斷面之非線性行為及相關耐震評估研究，並概述對側推分析的發展與應
用。
第三章、 OpenSees 之介紹與應用
此章大概講述 OpenSees 分析軟體與應用，並說明分析架構與分析建立
流程，以及相關指令功能說明及應用。
第四章、 非線性側推分析流程
此章敘述非線性側分析方法及流程，並說明流程之建立與定義，最後統
整建模指令與分析指令建立。
第五章、 側推分析實例展示行為及討論
4
此章將用實例展示側推分析模式，並探討分析模式行為。
第六章、 結論與建議
5
第二章 文獻回顧
2.1 側推分析介紹與原理
側推分析(Pushover analysis)模式是以特定豎向比例於每一層樓之側向
力，並以位移控制方式增加，直到結構物無法承受承載能力，即為倒塌。
目前側推分析是以美國ATC-40[1]與FEMA273[2]建議同時考量結構物的側
力抵抗能力及非線性位移能力，是將結構物在側推過程中把每一層樓層側
力總和，即為基底剪力，並與在非線性側推分析過程中所得屋頂側向位移
來建立關係曲線，此關係曲線定義為容量曲線(Capacity curve) ，如圖2.1。
容量曲線圖是以基底剪力與屋頂位移的關係曲線，可用來評估結構物
耐震能力，由容量曲線圖了解結構物的破壞狀況，並預測結構物行為及梁、
柱桿件上的塑性鉸發生位置；而目前分析軟體具備了側推分析能力如
ETABS、SAP2000、PISA3D、MIDAS、NASTRAN、PERFORM-3D等商業
軟體，在分析上使用非常方便與可靠。
側 推 分 析 方 法 是 由 Freeman 和 Nicoletti[3] 等 人 最 先 提 出 ， 而 Saiidi
Mehdi[4]提出等效單自由度體進行非線性地震分析簡化方法，使分析上方便
使用；而在非線性側推分析上所使用之豎向力分配方式，由Miranda[5]和
FEMA440[6]建議將地震力簡化成倒三角形型式分配做為側向力或是用耐
震設計規範[7]建議用水平地震力之豎向分配方式，用位移控制方式逐步增
6
加，直到結構物倒塌。
在側推分析基本假設有三個部分[8]：
1.
實際結構的地震反應與等效單自由度相關，是說結構的地震反應僅由
結構的第一振態控制；
2.
在地震作用過程中，不管結構變形大小，其形狀向量保持不變；
3.
樓板在本身平面內的勁度無限大，所以在樓板平面內只有剛體位移、
平移和轉動，不改變形狀；
但在朱杰江和呂西林等人[9]卻提出了該假設上缺失，認為實際結構相對位
移是由所有振態共同決定，且各振態會隨結構勁度的改變而改變。
另外在側推分析方法中可用來檢驗新設計的建築結構，評估結構性能
是否滿足在地震力作用下的性能目標[10、11]，經由Fajfar和Kilar[12]建議之
分析過程建立基底剪力與頂層變位關係，可用來檢驗結構損害程度。
2.2 鋼筋混凝土斷面之非線性分析行為
近年來鋼筋混凝土結構之非線性側推分析是熱門研究，一般中、低層
結構物都由鋼筋與混凝土組成，在分析鋼筋混凝土結構行為須三大原則力
平衡(Equilibrium)、材料組成律(Constitutive Law)、變形諧和(Compatibility)；
另外須透過實驗，分別建構鋼筋與混凝土的應力-應變關係並建立其數學模
7
式[13、14]，在與三大原則配合可分析得到鋼筋混凝土構材的力學行為。
構材之韌性可行為由斷面變形決定出曲率，在Park與Paulay[15、16]之
研究出梁、柱桿件斷面之彎矩-曲率關係，且詳細定義梁、柱桿件斷面於降
伏及極限變形的情況下所對應之降伏曲率與極限曲率；宋裕祺教授、劉光
晏等人[17、18]研究提出用纖維元素法來分析柱斷面彎矩-曲率的方法，將
斷面切成很多纖細的條狀纖維元素(圖2.2)，當梁、柱桿件斷面受到撓曲行
為，先假設中性軸位置，在最外層壓應變已知前提下，線性內插求得各纖
維元素之應變，再利用鋼筋與混凝土材料組成律，計算每一元素內力，分
別將鋼筋與混凝土的應力乘以相對應纖維元素並進行累加；另外在「土木
406-100 鋼筋混凝土學」[19]裡有詳細介紹用鋼筋混凝土斷面計算出彎矩與
曲率並建立關係。
2.3 耐震評估之相關研究
近年來國內做了許多相關耐震評估研究，用側推分析方法來進行評估
老舊建築物，在ATC-40[1]規範採用容量震譜法(Capacity Spectrum Method)
做為建築物耐震評估之標準程序，用容量震譜(Capacity Spectrum)與需求震
譜 (Demand Spectrum) 之 分 析 結 果 繪 於 ADRS(Acceleration-Displacement
Response Spectra)[20]之同一張圖上，而兩個震譜圖之交點可求得崩塌時之
8
需求點(Demand point)，以判定建築物之韌性容量；在內政部建築研究所於
民國88年公布了「鋼筋混凝土建築物耐震能力評估及推廣」[21]，檢核個別
構件的破壞模式是屬於剪力破壞或撓曲破壞，再檢核每一節點是梁或是柱
先破壞。
國內校舍的耐震評估是以國家地震工程研究中心「校舍結構耐震評估
與補強技術手冊」[22]之建議，是由理論分析、數值模擬、試驗驗證及文獻
比較等之探討，並對結構物之梁、柱及磚牆來定義非線性塑性鉸之性質，
並與MATLAB撰寫一套耐震詳細評估輔助分析程式搭配，方便於評估者設定
非線性塑性鉸性質，並對鋼筋混凝土耐震補強設計為參考。
2.3.1 鋼筋混凝土柱之非線性塑性鉸定義
在 地 震 力 作 用 下 所 造 成 鋼 筋 混 凝 土 柱 有 三 種 破 壞 可 能 撓 剪 破 壞
(flexure-shear failure)、剪力破壞(shear failure)、撓曲破壞(flexure failure)，
在分析上相當麻煩，無法決定鋼筋混凝土柱破壞模式，為了能表現鋼筋混
凝土柱破壞分析模擬，在國家地震工程研究中心「校舍結構耐震評估與補
強技術手冊」[22]建議鋼筋混凝土柱之塑性鉸模擬方式，在鋼筋混凝土柱兩
端考慮撓剪或撓曲模式，而剪力設置在鋼筋混凝土柱中間，其塑性鉸參數
定義說明如下：
1. 彎矩塑性鉸參數定義，如圖2.3：
9
，
其中 式中
是由Elwood及Moehle等人研究[23]，用最小平方差法
的數值方法，歸納出撓剪破壞的變位角，其算法：
為柱淨高；
為剪力箍筋體積比；
為剪應力；
為混凝土抗壓強度；
為柱承受之軸力；
柱之斷面積。
且在 式中
是由側向位移達到時所造成主筋降伏狀態，其計算：
為柱之撓曲強度；
為柱勁度；
為柱淨高；
為柱開裂斷面的撓曲勁度，由ACI318-05規範[24]所建議為0.35。
10
另外在 式中也由Elwood及Moehle等人[25]在試驗得到軸向與變位角
關係，其計算：
為柱淨高；
為剪力裂縫與水平的夾角，一般定為
；
為柱承受之軸力；
為箍筋間距；
為剪力箍筋總斷面積；
為箍筋降伏強度；
為柱核心混凝土的深度，由箍筋中心至中心間距；
為Moehle等人[26]所提出對箍筋剪力強度之影響，如圖2.4。
最後將(2.3)、(2.4)、(2.5)式子結果代入(2.1)、(2.12)得到a、b值，將其a、
b值填入表2.1中，然後定出如圖2.3。
2. 剪力塑性鉸參數定義，如圖2.5：
，
其中
是由(2.5)式代入，並得到c，將c值填入表2.2中，並定出如圖2.5。
11
第三章 OpenSees之介紹與應用
3.1 OpneSees 簡介
本研究所採用有限元素分析軟體 OpenSees(Open System for Earthquake
Engineering Simulation)，並以 OpenSees 分析軟體進行側推分析，更詳細
OpenSees 分析軟體應用及資源，可參照官網[27]。
OpenSees 是由 1999 年由美國加州柏克萊分校的太平洋地震工程研究中
心所發表，可用在結構與岩石方面地震模擬。OpenSees 提供開放性的源始
碼(Open Source)，且具有高擴充性與維護性，而研究人員可在不更動主程式
下利用程式中物件進行增加與替換，分析上使用非常自由，而且資源上完
全免費。
OpenSees 是物件導向有限元素法分析軟體，利用 TCL(Tool Command
Language)建立，以 C++所建構物件導向和 Fortran 數值庫。OpenSees 提供
基本的命令與控制結構，可撰寫 C 程式與之鍵結增加新命令，在程式中所
有指令名稱與所需參數可從 TCL 所建立的函數讀取。
在官方網站上可取得有限元素法分析軟體 OpenSees 程式，而指令運用
與說明必須要從官方網站上取得，在官方網站上也有許多有關側推分析例
子，還可應用結構分析也可能用在大地工程方面。
另外可從官方網站上下載 OpenSeesNavigator 軟體程式，它與 Matlab
12
程式相容應用，其優點為模型建立可顯示於視窗上，節點與桿件編號自動
定義，而材料性質、斷面幾何及桿件元素選用是以下拉式選單方式，使用
上非常方便，但缺點是版本更新慢，軟體視窗較簡潔，而選單項目並不完
整。
OpenSees 在非線性功能與數值分析非常可靠，可進行靜力和動力線彈
性分析、模態分析、靜力非線性分析、動力非線性分析。
3.2 OpenSees分析架構
OpenSees 分析架構可分為四個物件，分別是 Domain Object、Model
Object、Analysis Object、Output Object 四個物件，如圖 3.1，其中 Model Object
所建立建模指令儲存到 Domain Object，而 Analysis Object 提供了不同分析
指令物件，以及 Output Object 取得模型輸出資料。
3.2.1 Model Object
此物件是由建模指令所組成，而建模指令物件定義分別有節點定義、
單軸材料定義、斷面定義、桿件元素定義等等，如圖 3.2，依據資料條件與
使用者需求輸入建模指令條件，另外可自行定義建模指令條件，最後並將
這些建模指令物件儲存 Domain Object。
3.2.2 Output Object
13
此物件是由輸出指令組成，可將分析結果建立於記錄檔供使用者利用，
而使用者可依造所需要分析結果，寫入所需讀取資料之輸出指令，而資料
之資訊由 Domain 監控記錄，並寫入檔案中[28]，得到輸出結果，而輸出檔
案只顯示數據部分，若要建立圖表必須要用輔助工具，可用 Excel、Matlab
等。
3.2.3 Anslysis Object
此物件是由分析指令所組成，如圖 3.3，並將分析結果更新至 Domain
Object，而分析模式可依照模型需求與喜好建立分析指令，可節省分析時間，
並提高分析結果。
3.3 OpenSees指令功能
OpenSees分析指令有很多種，在結構分析建立可由使用者喜好選擇所
需分析指令，除此之外也可以自行自定條件，使用上非常自由與方便，而
OpenSees指令是利用記事本方式輸入與修改，在輸入上必須注意指令大小
寫之分，其本文所應用到指令說明如下：
3.3.1 建模指令
建模指令有些部分可依照使用者需要方式來建立，在此大概介紹幾個
在本文研究所用到部分，若要詳細部分或是資訊可以透過 OpenSees 網站上
14
得到，建模指令說明如下:
1. 模型定義:
此指令定義功用在於決定構架維度與自由度，而 OpenSees 指令輸入
定義為 model BasicBuilder –ndm $ndm -ndf $ndf，$ndm 為維度空間；
$ndf 為自由度；使用方式如：
model BasicBuilder –ndm 2 –ndf 3；ndm 2 指在二維空間，ndf 3 指構
架上的桿件兩端點各自由度為 3。
2. 節點定義:
本指令定義功用在於決定節點位置，而使用者先自行座標象限定義，
才能決定節點位置，並定義長度單位，一般採用為 X 水平向右、Y 垂直
向上，而 Z 為右手定則拇指方向，其 OpenSees 指令輸入定義為 node
$nodeTag $coords，$nodeTag 為節點編號定義；$coords 為 X、Y、Z 三
個方向；使用方式如：
node 1 400 360，在節點 1，X 水平距離向右為 400 公分，Y 垂直距離
向上為 360 公分。
3. 邊界條件定義:
功用在於決定邊界條件是否為束制，其 OpenSees 指令輸入定義為 fix
$nodeTag $constrValues ， $nodeTag 為 所 對 應 的 節 點 編 號 定 義 ；
15
$constrValues 根據使用者所定義 X、Y、Z 座標像限方向對應節點的束制
條件，0 為未束制，1 為束制；使用方式如：
fix 1 1 1 0，若構架假設為二維，其座標像限定義為 X 水平向右，Y 垂
直向上，Z 為右手定則拇指方向；其在節點 1，X 與 Y 為束制無法在左
右與上下移動，Z 為未束制可旋轉，如同鉸支承型式。
4. 單軸材料定義:
此指令功用在於定義材料性質與材料種類，在有些材料種類除了可
以定義應力-應變關係，也可以做為力-變形關係方式；OpenSees 指令輸
入定義為 uniaxialMaterial $matType，$matType 根據使用者喜好選擇材
料種類與定義材料性質，如 Steel01、Steel02、Concrete01、Concrete02
等；在本研究$matType 材料種類選擇為 Steel01、Concrete01、Bilin，分
別說明如下：
(1) Steel01，此材料定義可當作一般鋼筋應力-應變關係，另外也可以轉
換 成 力 - 變 形 關 係 ， 如 圖 3.4 ， 而 OpenSees 指 令 輸 入 定 義 為
uniaxialMaterial Steel01 $matTag $Fy $E0 $b；$matTag 為材料編號
定義；$Fy 為降伏應力；$E0 為彈性模數；$b 為應變硬化比例，官方
網站建議[27]為 0.01。
16
如圖 3.5，其 OpenSees 指令輸入定義為 uniaxialMaterial Concrete
$matTag $fpc $epsc0 $fpcu $epsU；$matTag 為材料編號定義；$fpc
為降伏應力；$epsc0 為降伏應變；$fpcu 為極限應力；$epsU 為極限
應變。
(3) Bilin ，此材料指令用在定義彎矩-轉角關係，如圖 3.6，其 OpenSees
指令輸入定義為 uniaxialMaterial Bilin $matTag $Ke $as_Plus $as_Neg
$My_Plus $My_Neg $Lamda_S $Lamda_C $Lamda_A $Lamda_K $c_S
$c_C $c_A $c_K $theta_p_Plus $theta_p_Neg $theta_pc_Plus
$theta_pc_Neg $Res_Pos $Res_Neg $theta_u_Plus $theta_u_Neg
$D_Plus $D_Neg；$matTag 為材料定義編號；$Ke 為彈性勁度；as_Plus、
$as_Neg 為正、負應變硬化比例；$My_Plus、$My_Neg 為正、負彎矩；
$Lamda_S、$Lamda_C、$Lamda_A、$Lamda_K為循環退化參數；$c_S、
$c_C、$c_A、$c_K 為預設值 1；$theta_p_Plus、$theta_p_Neg 為正、
負轉角值從降伏到塑性；$theta_pc_Plus、$theta_pc_Neg 為正、負轉
角值從塑性到極限；$Res_Pos、$Res_Neg 為正、負殘留強度比值；
$theta_u_Plus、$theta_u_Neg 為正、負極限轉角；$D_Plus、$D_Neg
為預設值 1。
5. 斷面定義:
17
本指令定義功用除了取決於斷面種類及幾何條件，另外特定斷面指
令 定 義 可 將 單軸 材 料 定 義應 力 - 應 變 關 係 轉 換 成 力 - 變形 關 係， 其
OpenSees 指令輸入定義為 secetion $secType，$secType 根據使用者喜好
選擇斷面種類與幾何條件；而本文採用斷面種類$secType 為 Elastic、Fiber、
Uniaxial、Aggregator，分別說明如下：
(1) Elastic，此斷面種類功用為斷面幾何條件性質，而 OpenSees 指令輸
入定義為 section Elastic $secTag $E $A $Iz；$secTag 為斷面編號定
義；$E 為彈性模數；$A 為斷面面積；$Iz 為斷面慣性矩。
(2) Fiber，此斷面種類功用在於非線性材料性質定義與位置、斷面幾何
條件定義，並將斷面幾何條件元素進行切割，其 OpenSees 指令輸入
定義為 section Fiber $sctTag {patch $patch layer $layer}；$sctTag
為斷面編號定義；$patch 為斷面幾何形狀，其指令有 quad(圖 3.7)、
rect(圖 3.8)、circ(圖 3.9)，圖中 I、J、K、L 代表區域座標位置，
而將區域位置所圍成元素切成小元素，且每塊元素對應材料性質；
$layer 為斷面幾何的鋼筋排列方式，其指令有 straight(圖 3.10)、
circ(圖 3.11)，在將鋼筋位置座標、鋼筋面積、鋼筋數量輸入，其指
令使用方式如：section Fiber 1 {patch rect $concMaterial 10 1 -25 -15
25 15 layer $SteelMaterial 3 $As_8 19 -9 19 9}，斷面纖維編號定
18
義為 1，$concMaterial 為混凝土材料，並將混凝土材料區域座標為
(-25,-15)至(25,15)，並切成 10x1=10 塊元素，而$As_8 為鋼筋號數
#8，且排列位置從(19,-9)至(19,9)為縱向排放 3 根鋼筋。
(3) Uniaxial ，此斷面種類功用對應單軸材料，可將單軸材料應力-應變
關係轉換成力-變形關係；OpenSees 指令輸入定義為 section Uniaxial
$sctTag $matTag $quantity；$sctTag 為斷面編號定義；$matTag 為對
應材料編號定義；$quantity 為力與變形關係。
(4) Aggregator ，此斷面種類功用將可以數個力-變形關係做為疊加，如
圖 3.12；OpenSees 指令輸入定義為 section Aggregator $secTag
$matTag $quantity –section $secionTag；$secTag 為斷面編號定義；
$matTag 為對應材料編號定義；$quantity 為力與變形關係；$secionTag
為對應先前斷面編號定義。
6. 幾何定義:
此指令功用定義座標轉換，OpenSees 指令輸入定義為 geomTransf
$transfType，$transfType 為幾何轉換種類，如 Linear、Corotational、PDelta，
本文所採用$transfType 為 PDelta，說明如下：
geomTransf PDelta $transfTag；$transfTag 為幾何轉換編號定義，座標轉
換為 PDelta 效應。
19
7. 桿件元素定義:
此指令功用在於建立桿件元素，而桿件元素是由材料性質與斷面幾
何條件所構成，如圖 3.13，其 OpenSees 指令輸入定義為 element $eleType，
$eleType 根據使用者桿件元素種類與斷面條件組成，本文所採用的元素
zeroLength、elasticBeamColumn、nonlinearBeamColumn、beamWithHinges，
分別說明如下：
(1) zeroLength，此功能定義在為在相同位置有兩個節點存在，而兩節點
間所連接是由單軸材料定義的力-變形關係；此指令輸入定義為
element zeroLength $eleTag $iNode $jNode –mat $matTag –dir $dir；
$eleType 為桿件元素編號定義；$iNode、$jNode 為桿件元素的首尾
兩端所對應節點編號；$matTag 為對應材料編號定義；$dir 為材料
方向，1、2、3 為對應區域座標 x、y、z 軸方向移動，4、5、6 為對
應區域座標 x、y、z 軸方向旋轉。
(2) elasticBeamColumn ，將桿件元素視為線彈性，指令輸入定義 element
elasticBeamColumn $eleTag $iNode $jNode $A $E $Iz $transfTag；
$eleTag 為桿件元素編號定義；$iNode、$jNode 為桿件元素首尾兩端
所對應節點編號；$A 為桿件元素的斷面面積；$E 為桿件元素的彈性
模數；$Iz 為桿件元素的斷面慣性矩；$transfTag 為桿件元素對應幾
20
何轉換編號定義。
(3) nonlinearBeamColumn ，將桿件 元素視為非線性，指令輸入定 義
element nonlinearBeamColumn $eleTag $iNode $jNode $numIntgtPts
$secTag $transfTag；$eleTag 為桿件元素編號定義；$iNode、$jNode
為桿件元素首尾兩端所對應節點編號；$numIntgtPts 為積分點數量，
另外在 Michael H.Scoot[29]提出積分點使用；$secTag 為桿件元素所
對應斷面編號定義；$transfTag 為桿件元素所對應幾何轉換編號定
義。
(4) beamWithHinges ，此指令功用在於端點桿件元素為非線性，而中間
桿 件 元 素 為 線 彈 性 ， 如 圖 3.14 ， 其 指 令 輸 入 定 義 為 element
beamWithHinges $eleTag $iNode $jNode $secTagi $Lpi $secTagj $Lpj
$E $A $Iz $transfTag；$eleTag 為桿件元素編號定義；$iNode、$jNode
為桿件元素首尾兩端所對應節點編號；$secTagi、$secTagj 為桿件元
素首尾兩端所對應斷面編號定義；$Lpi、$Lpj 為桿件元素首尾兩端
塑性鉸長度；$E 為桿件元素的彈性模數；$A 為桿件元素的斷面面積；
$Iz 為桿件元素的斷面慣性矩；$transfTag 為桿件元素對應幾何轉換
編號定義。
8. 對應節點定義:
21
此 指 令 功 用 在 於 將 兩 節 點 自 由 度 一 致 性 ， 其 指 令 輸 入 定 義 為
equalDOF $rNodeTag $cNodeTag $dof；$rNodeTag、$cNodeTag 分別為
對應節點編號；$dof 為自由度；使用方式如：
equalDOF 3 4 1 2；節點 3 和節點 4 的自由度 1、2 的 x 與 y 方向相同。
9. 區域定義:
此功用在於將某一段區域定義為相同材料性質，指令輸入定義為
region $regTag –ele $ele；$regTag 為區域編號定義；$ele 為區域所對
應桿件元素編號定義；使用方式如：
Region 1 –ele 12，區域編號定義 1；區域所對應桿件元素編號定 12。
10. 載重型態定義:
此指令功用定義在於載重形式及時間對載重變化，而載重模式命令
架構為圖 3.15，其指令輸入定義為 pattern Plain $patternTag $tsType {load
$nodeTag $nodeForce eleLoad –ele $eleTag –type $beamType}；$patternTag
為載重型態編號定義；$tsTag 對時間函數類型；$nodeTag 為對應節點編
號定義；$nodeForce 為節點上受力型式；$eleTag 為對應桿件元素編號定
義；$beamType 為桿件元素上之載重型式種類，使用方式如：
(1) pattern Plain 1 Linear {load 2 500 -20 0}；若座標象限 X 為水平向
右，Y 為垂直向上，Z 為右上定則拇指方向，單位為 kgf，載重型態
22
編號為 1，則在節點 2 上力量 500 為 X 向右正方向、-20 為 Y 向下
負方向力量， 0 為在 Z 上沒有力量作用，Linear 是指載重時間函數
為線性變化。
3.3.2 輸出指令
依據分析方式，可讀取構架資訊部分，如節點位移、桿件內力、層間
位移等，其大概如下:
1. 節點記錄器定義:
此指令功用在於記錄在節點上狀態變化，如節點受力狀況或是節點
位移等等，其指令輸入定義為 recorder Node -file $fileName –time –node
$node –dof $dof $respType；$fileName 為檔案名稱；$node 為輸出節點
編號定義；$dof 為輸出節點定義編號的自由度對應使用者所定義 X、Y、
Z 座標象限；$respType 為節點反應的類型，其類型有 disp(位移)、vel(速
度)、reaction(節點反力)等等；使用方式如：
Recorder Node –file Force.out –time –node 1 3 –dof 1 disp；file
Force.out 是指檔案名稱為 Force.out，time 是指時間過程變化，node 1 3
是指輸出節點 1 與節點 3 之變化，dof 1 disp 是指自由度 1 為 X 位移方
向。
23
此功用在於記錄桿件元素受力狀態的變化，如桿件元素之內力等等，
其指令輸入定義為 recorder Element –file –time –ele $ele $respType；
$ele 為輸出桿件元素定義編號；$respType 為輸出桿件元素的類型，類型
有 globalForce、localForce 等等；使用方式如：
Recorder Element –file ColForce﹒out –time –ele 12 globalForce；file
ColForce﹒out 是指檔名稱為 ColForce﹒out，time 是指時間過程變化，ele
12 globalForce 是指輸出桿件元素編號定義為 12 的全域座標桿件元素力
量。
3.3.3 分析指令
OpenSees 結構分析方程式系統處理條件必須需要由束制分析定義、數
值分析定義、積分分析定義、演算法分析定義、系統分析定義、收斂分析
定義、分析模式定義、分析總步數定義，這八種分析類型，缺一不可，而
由這八種分析類型組成分析系統架構，這樣才能有效完成執行系統分析。
1. 束制分析定義:
此分析功用在於處理邊界條件是否有束制，並將束制方程式執行指
定 自 由 度 ， 其 指 令 輸 入 定 義 為 constraints $constraintsType ；
$constraintsType 依照使用者需求可以選擇束制條件處理與選擇方式，如
Plain、Lagrange、Penalty、Transformation；本文研究束制條件用一般方
24
式處理，constraints Plain。
2. 數值分析定義:
此分析功用決定方程式數量與自由度的關係處理方式，並可節省分
析 時 間 ， 其 指 令 定 義 指 令 輸 入 定 義 為 numberer $numbererType ；
$numbererType 依照使用者需求選擇數值分析方式種類，如 Plain、RCM、
AMD；本文採用一般方式處理，numberer Plain。
3. 系統分析定義:
此分析功用在於建構 LinearSOE 和 LinearSolver 物件，並在分析上
將 LinearSOE 和 LinearSolver 物件來儲存與解決方程式系統，其指令輸
入定義為 system $systemType；$systemType 依照使用者需求選擇系統
種類，如 BandGeneral、BandSPD、ProfileSPD、SparseGEN、UmfPack、
SparseSYM；本文為一般方式系統處理，system BandGeneral。
4. 收斂分析定義:
此分析功用處理收斂條件，並應用在矩陣方程式(AX=B)，再將矩
陣方程式存儲於 LinearSOE；其指令輸入定義為 test $testType；$ testType
依照使用需求選擇收斂方式處理，本文自重分析系統與側推分析系統採
用不同收斂方式處理，使用方式如：
25
之公差標準檢驗，$iter 為最大迭代數量來檢驗之前返回失敗狀況；
此指令用在自重分析系統部分，其$tol 為+1.000000E-0.006 及$iter
為 200。
(2) test EnergyIncr $tol $iter；此功用為能量增量，其$tol 與$iter 說明如
上，此指令用在側推分析系統部分，其$tol 為+1.000000E-0.008 及
$iter 為 2000。
5. 迭代分析定義:
此分析功用在於處理解決非線性方程式每一步程序，其指令輸入定
義為 algorithm $algorithmType；$ algorithmType 依照需求選擇演算法分
析 方式， 如 Linear、Newton 、 NewtonLineSearch 、ModifiedNewton 、
KrylovNewton、BFGS、Broyden；而本文指令，algorithm Newton。
6. 積分分析定義:
此分析功用為決定預測時間步調或是方程式系統物件之期間表示，
並 配 合 靜 力 分 析 或 是 動 力 分 析 方 式 ， 其 指 令 輸 入 定 義 為 integrator
$integratorType；$ integratorType 依照使用者需求選擇積分分析方式，
而本文採用積分分析定義方式，分別用自重與側推來建構不同行為模式，
使用方式如：
26
量，此指令用在自重分析系統，其$lambda 為+1.000000E-002。
(2) integrator DisplacementControl $node $dof $incr；$node 為使用者需
求選擇對應節點編號，$dof 為自由度，依據使用者定義座標象限方
向，$incr 為控制每一步位移增量，此指令用在側推分析系統。
7. 分析模式定義:
此分析功用在於決定做何種型態分析，分別有靜力、動力及動力變
化 分 析 這 三 種 分 析 ， 其 指 令 輸 入 定 義 為 analysis $analysisType ；
$analysisType 依照使用者喜好決定分析模式種類，如 Static、Transient、
VariableTransient；本文所做側推分析是用靜力分析型態方式，analysis
Static。
8. 分析總步數定義:
此分析功用為分析總步數，並配合每一步載重或是位移控制量，而
分析總量=分析總步數乘以每一步位移控制量，此會影響分析時間，指令
輸入定義為 analyze $numIncr；$ numIncr 為總步數數量，其指令使用方
式如：
analyze 100；100 為分析總步數，假設每一步位移控為 0.1cm，則 100×
0.1=10，故 10 為分析總量。
27
3.4 OpenSees側推分析流程
除了 OpenSees 三大分析架構之外，在建立架構必須要有系統上規劃，
而側推分析基本建立參考流程如下：
1. 決定構架維度與自由度，模型定義（Model Command）
。
2. 依 座 標 象 限 定 義 來 決 定 構 架 桿 件 與 節 點 位 置 ， 節 點 定 義 （ Node
Command）。
3. 依照構架邊界條件來決定束制條件，邊界條件定義（Fix Command）
。
4. 在 OpenSees 材料指令，必須對應步驟 5 指令用法，材料指令除了是應
力與應變關係，也可以當作力與變形關係，其應用可參照官方網站之
單軸材料定義（Uniaxial Material Command）。
5. 斷面定義(Section Commmand)用法分為兩種型式，一種是以材料性質
應力與應變關係，而斷面幾何指令當作斷面幾何方式，另外一種是把
材料性質關係是用力與變形關係，則斷面幾何指令轉為受力有關方
式。
6. 幾何條件轉換，幾何定義( Geometric Transformation Command)。
7. 桿件元素定義(Element Command)。
8. 建立與讀取構架分析結果，輸出指令(Output Command)。
28
Command)。
10. 保持自重荷載不變，LoadConst –time 0。
11. 考 慮 側 向 力 之 載 重 型 態 定 義 (Pattern Command) 與 側 推 分 析 指 令
(Analysis Command)。
29
第四章 非線性側推分析流程
本研究藉由 OpenSees 非線性分析功能，針對鋼筋混土構架建立材料非
線性之側推分析、鋼筋混凝土斷面非線性行為分析及非線性集中彈簧之側
推分析為三種方式進行分析，並對這三種不同方式所應用 OpenSees 分析指
令及注意事項，敘述說明。
4.1 材料非線性之分析程式
此法是將斷面分成非線性元素所組成，由主筋與混凝土材料部分組成，
但忽略箍筋影響，此建立方式及注意事項如下：
1. 材料性質定義與建立：
一開始先建立與定義材料應力-應變關係，而鋼筋混凝土柱之材料
選用主筋與混凝土組成，忽略側向箍筋材料性質，在 OpenSees 指令選
用主筋採用 Steel01，而混凝土指令為 Concrete01，此兩者指令應用與
詳細說明可參考第三章之建模指令 3.3.1。
2. 斷面幾何定義與建立：
實際上鋼筋混凝土斷面有混凝土、主筋、箍筋三種材料組成，但
本研究鋼筋混凝土柱材料考慮主筋與混凝土部分，並忽略箍筋影響，
對於真實狀況會有些差異，在 OpenSees 斷面指令採用 Fiber；首先考慮
30
主筋排列位置與斷面幾何條件，其主筋排列位置與斷面幾何方式如圖
4.1，在將圖 4.1 之鋼筋混凝土斷面切成一小塊元素，如圖 4.2。
3. 桿件元素定義與建立：
完成材料定義與斷面幾何關係之後，建立鋼筋混凝土柱桿件元素，
其 OpenSees 桿件元素指令採用 nonlinearBeamColumn，而將鋼筋混凝
土柱切成一小塊桿件元素，如圖 4.3，並將每塊桿件元素定義積分點數
量，本研究之積分點採用為 3。
4. 將步驟 1~3 建立完成後，考慮側向推力，並忽略桿件自重影響，而鋼
筋混凝土柱建模指令整理為表 4.1。
5. 在建模整個完成後，考慮分析指令選用，其自重與側推分析為表 4.2、
表 4.3。
4.2 鋼筋混凝土斷面非線性行為分析
此法主要是計算鋼筋混凝土斷面的彎矩與曲率部分，並建立彎矩與曲
率關係，如圖 4.4，可由彎矩與曲率關係過程中得知斷面破壞行為變化，且
有幫助了解構材之韌性，在鋼筋混凝土斷面彎矩與曲率關係可用材料力學
基本理論與極限設計法做為計算。
在「土木 406-100 鋼筋混凝土學」[19]裡有詳細介紹彎矩與曲率理論
31
與計算方式，並將彎矩與曲率關係分為四個階段（圖 4.5），未開裂且為彈
性變形階段
、已開裂但仍為彈性變形階段
、已開
裂且為非彈性性階段
、極限階段
；但在本文分析
研究考慮已開裂但仍為彈性變形階段及極限階段為這兩個階段部分。
4.2.1 鋼筋混凝土斷面非線性行為分析之基本假設
在建立彎矩與曲率關係前，須考量計算斷面彎矩與曲率之方便性，首
先先假設材料性質與斷面幾何部分，其假設有:
1. 材料性質:
一般鋼筋混凝土結構斷面材料是由鋼筋與混凝土組成，在計算斷面
彎矩與曲率中，需要將鋼筋與混凝土兩者之應力與應變關係轉換為理
想化曲線，其鋼筋與混凝土之應力-應變曲線分別為圖4.6、圖4.7。
2. 斷面幾何:
大部分結構柱斷面形狀有矩形與圓形，還要考慮鋼筋在斷面上排
列位置，在此斷面形狀採用矩形，而鋼筋位置，如圖4.8。
3. 鋼筋與混擬土力學行為：
鋼筋與混凝土之力學行為不同，鋼筋可承受拉、壓力行為，而混
凝土在受力中，以抗壓行為較佳，對於拉力作用影響有限；當考慮混
凝土開裂行為時，計算斷面彎矩與曲率中，拉力行為通常是忽略不計。
32
4.2.2 計算鋼筋混凝土斷面彎矩與曲率之流程
將對已開裂但仍為彈性變形階段及極限階段兩個階段作為計算斷面彎
矩與曲率，而已開裂但仍為彈性變形階段用材料力學理論計算，極限階段
用極限設計法計算，而混凝土極限應變一般介於0.003~0.004，在此混凝土
極限應變
採用為0.004。
其中鋼筋混凝土斷面尺寸如圖4.8所示：
1. 斷面寬 ；
2. 斷面深 ；
3. 保護層間距
；
4. 壓力筋
＃ ；
5. 拉力筋
＃ ；
材料性質定義如圖4.6、圖4.7所示：
1. 混凝土抗壓強度
；
2. 混凝土彈性模數
；
3. 鋼筋降伏強度
；
4. 鋼筋彈性模數
；
而彎矩與曲率之計算流程如下：
1. 假設混凝土開裂破壞但仍為彈性階段時之中性軸深度為 ，其彈性
33
模數比
，用鋼筋轉換斷面法和拉壓斷面一次矩相同（圖4.9）：
將已知條件代入，得
求解得
2. 求混凝土開裂二次慣性矩
：
將已知條件代入，得
將x=13.778代入，得開裂慣性矩
3. 降伏彎矩
和降伏曲率
的計算：
假設鋼筋已降伏，則
，
4. 混凝土壓力側計算依據Whitney[30]矩形應力塊方式，並假設中性軸深
度為 ：
34
(
)
5. 假設壓力筋未降伏：
6. 假設拉力筋已降伏：
7. 力平衡，
求解得
8. 檢查是否壓力筋為未降伏
與拉力筋為降伏
：
(1) 壓力筋為
(O.K)
(2) 拉力筋為
(O.K)
9. 極限彎矩
和極限曲率
的計算
4.2.3 彎矩與曲率非線性關係之定義與建立
在OpenSees採用非線性桿件元素指令做為分析，需要兩種方式才能執
35
行，否則在執行OpenSees軟體分析上會有問題，第一種方式，斷面指令須
採用Fiber，可由單一材料或是兩種以上不同材料性質條件組成，如鋼結構
材料、鋼筋與混凝土材料組合；第二種方式，在OpenSees分析軟體可將材
料指令定義轉為力-變形關係，若採用力-變形關係建立，須兩種以上力-變
形關係模式，並用疊加方式；在此法研究中，採用第二種方式建立，其建
立方式及注意事項如下：
1. 材料指令定義與建立：
將由 4.2.2 之鋼筋混凝土斷面計算出降伏彎矩
、降伏曲率
、
極限彎矩
、極限曲率
四個部分整理如表 4.4，並建立彎矩與曲
率關係圖(圖 4.4)，在 OpenSees 材料指令須選用除了能當應力-應變關
係，另外也可能用在力-變形關係，在此本研究指令採用 Steel01，如圖
3.4，指令輸入定義條件須有$Fy、$E0、$b，其$Fy當作為降伏彎矩
，
$E0 斜率計算為
＝
，而$b 與斜率有關，其在圖 3.4 中
＝
，故 ＝
。
2. 斷面指令應用：
為了將材料指令做為力-變形關係建立須要有斷面指令對應，此
OpenSees 材料指令採用 section Aggregator，此斷面指令可將材料指令
定義轉為力-變形關係，且疊加影響，但為了表現出彎矩與曲率所建立
36
關係曲線，必須把另一個力-變形關係條件改變，可減少疊加過程中影
響，如
，當 M 彎矩力量相同，若要表現出
，則將
定義條件給改變。
3. 桿件元素建立：
此法桿件元素指令採用 nonlinearBeamColumn 做為分析，而鋼筋混
凝土柱分成一小塊桿件元素，如圖 4.3，並將每塊桿件元素定義積分點
數量。
4. 將步驟 1~3 定義與建立用於鋼筋混凝土柱建模方式，並考慮側向推力，
忽略自重影響，而鋼筋混凝土柱建模指令整理為表 4.5。
5. 最後考慮自重與側推分析模式建立，其分析模式建立與材料非線性之
側推分析為一致，表 4.2 與表 4.3。
4.3 非線性集中彈簧之側推分析
此法是在側推分析最為普遍，一般來說，當構架受到側向力慢慢作用
時，構架上桿件上某個端點會發生塑性鉸，使構架靜不定數減少，且彎矩
重分配，直到構架整個崩塌；在梁柱接頭區域視為剛性，所以會在桿件端
點定義塑性鉸時會有Offset部分，並用集中彈簧方式模擬，如圖4.10；在本
研究中構架之梁柱接頭忽略剛性影響，不考慮Offset部分，塑性鉸定義是以
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彎矩-轉角關係方式建立，如圖4.11，並且用集中彈簧方式模擬，而塑性鉸
會在桿件端點發生，另外在OpenSees分析軟體提供另一種用塑性區方式模
擬塑性鉸，在此會一一說明敘述。
4.3.1 集中彈簧之分析建立
此法建立方式及注意事項如下：
1. 彎矩與轉角之定義與計算：
將以鋼筋混凝土柱來模擬塑性鉸，其建模為圖4.12，首先鋼筋混凝
土柱須做材料非線性之側推分析，並將分析結果之容量曲線圖給繪出，
如圖4.13；在鋼筋混凝土柱分析過程中，鋼筋混凝土柱會慢慢先達到
降伏，如圖4.14之基底剪力為
與位移為
，此時鋼筋混凝土柱未破
壞，當位移再持續慢慢增加，直到鋼筋混凝土柱破壞，此時達到極限，
其圖4.15之基底剪力為
與位移為
；在把圖4.14與圖4.15之兩個點
計算出彎矩與轉角，而轉角 計算可由圖4.16中概念得到，其彎矩與
轉角計算方式為：
彎矩 基底剪力 柱高 ；
轉角 位移 柱高 ；
最後將圖4.14與圖4.15之兩個點計算結果整理。
2. 材料指令選用與定義：
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步驟1完成後，在圖4.12中A段來模擬集中彈簧，並定義此段，在
OpenSees材料指令採用Bilin，並建立彎矩與轉角關，如圖3.6，須定義
有
、
、
之斜率、
之線段、
之線段、 、
，其餘為OpenSees
之預設值，正負值相同；將
勁度視為剛性，
為
，
之斜率
計算方式為
，
之線段為
，
之線段為0， 為0，
視
為
。
3. 桿件元素之建立：
在圖4.12中A段之節點1與節點2位置一致，所以在A段區域上採用
OpenSees指令為zeroLength，可表現出節點1與節點2位置相同，且在A
段區域須指定模式行為，並與材料指令定義行為上對應；在此A段區域
採用集中彈簧模式行為，而定義行為在步驟2；另外在B段區域視為線
彈性之桿件元素，其考慮指令為elasticBeamColumn。
4. 雖然節點1與節點2位置相同，但須考量束制條件行為，其節點1與節點
2束制條件的X、Y方向相同，並將節點1與節點2之間區域定義為集中
彈簧區。
5. 步驟1~4完成後，考慮側向推力，並忽略自重，其鋼筋混凝土柱之建模
指令為表4.6。
6. 最後建立自重與側推分析指令，其表4.2與表4.3。
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除了上述所用集中彈簧方式模擬塑性鉸，另外在OpenSees提供另一種方式
模擬，若塑性鉸定義是彎矩與轉角關係，則塑性鉸會發生在桿件上端點，
其OpenSees桿件元素指令為beamWithHinges，如圖3.14，此指令兩端點為
非線性可視為塑性區，中間為線彈性，適合用來模擬塑性鉸，但必須考慮
兩端點非線性段之長度；此法建立方式與上述步驟1、2、6做法相同及步驟
順序不變，其步驟3、步驟4、步驟5做法如下：
步驟3：在步驟2所採用彎矩-轉角關係建立，須與斷面指令相互對應，在此
斷面指令採用Uniaxial，可將材料指令轉為力-變形關係。
步驟4：桿件元素指令改用為beamWithHinges，並考慮塑性區之長度，在
OpenSees官方網站上建議採用0.4％之塑性區長度比例，其塑性區計
算方式：
塑性區長度 ％ 桿件長度 。
步驟5：只有鋼筋混凝土柱之建模指令不同，其表4.7。
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第五章 側推分析實例展示行為及討論
此章將以材料非線性之側推分析、鋼筋混凝土斷面非線性行為分析及
非線性集中彈簧之側推分析之三種方法呈現，用懸臂柱、門型構架來展示
行為，並加以討論三種方法之分析模式，最後在以集中彈簧模擬大型構架，
而容量曲線圖之基底剪力與位移單位分別採用 kgf 與 cm。
5.1 懸臂柱
此例題將鋼筋混凝土柱視為懸臂柱(Cantilever Column)方式進行側推
分析模擬，柱高為 360 公分，在頂部自由端施加 之側向推力，材
料性質與斷面幾何採用第四章之 4.2.2 節條件，將不同非線性側推分析方
法，依照第四章側推分析流程建立與分析，其材料非線性之側推分析與鋼
筋混凝土斷面非線性行為分析之模型，分別為圖 5.1 與圖 5.2，及非線性塑
性鉸之側推分析之模型如圖 4.12，A 之長度為 0 公分，B 之長度為 360 公分，
並將其討論與結果如下：
1. 只有材料非線性之側推分析之容量曲線圖無法判定鋼筋混凝土行為，鋼
筋混凝土斷面行為分析是以彎矩-曲率關係建立，其計算結果降伏彎矩
為 與極限彎矩為 ，可用來判定
非線性側推分析之斷面元素分析法之鋼筋混凝土斷面狀況，其兩者容量
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曲線結果為圖 5.3，從圖中得知，兩者曲線在降伏階段為一致，這表示
鋼筋混凝土斷面行為是在混凝土開裂且仍為彈性階段，而鋼筋混凝土斷
面 行 為分 析之 位移 在 3.0 公 分， 基 底剪 力 為
，彎矩為
，並達到預期之計算結果降伏彎矩，當懸臂柱達到極
限狀態，此時兩條曲線之位移為 88.6 公分，而鋼筋混凝土斷面行為分
析之基底剪力為 ，彎矩為 ，並沒有達到預
期計算結果之極限彎矩，由此可知，鋼筋混凝土斷面非線性行為分析較
為保守。
2. 在非線性側推分析之塑性鉸中，彎矩-轉角關係建立是以材料非線性之
側推分析之容量曲線圖結果計算得來，其計算結果之降伏點彎矩為
與轉角為 ，極限點之彎矩為
與轉角為 ，在以集中彈簧方式進行側推分析模擬，其兩者容量
曲線如圖 5.4，圖中集中彈簧達到預期降伏破壞點位置，當達到最大基
底剪力之位移，兩者位移分別為 88.6 公分與 90.3 公分，差距不大，可
在容許範圍內；在整體來看，集中彈簧之容量曲線圖有達到預期，另外
將集中彈簧之彎矩與轉角建立關係圖，如圖 5.5，降伏點之彎矩為
與轉角為 ，及極限點之彎矩為
與轉角為 ，都有達到預期所定義的位置。
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3. 同樣是以非線性材料之側推分析之容量曲線圖結果來計算彎矩-轉角及
建立關係，並由 OpenSees 所提供用塑性區方式模擬側推分析，此法與
集中彈簧相似，OpenSess 官方網站所建議 0.4％之塑性區長度比例，另
外考慮 0.2％之比例，其塑性區之長度計算結果分別為 1.44 公分、0.72
公分，透過塑性區長度不同之分析結果與集中彈簧之容量曲線作為比較，
如圖 5.6；在圖 5.6 中可知，在同樣 0.1 位移控制，當懸臂柱達到降伏時，
位移與基底剪力為相近，在圖 5.6 中，當懸臂柱極限破壞時，0.2％、
0.4％之基底剪力分別為 、 ，及位移分別為 66.4
公分、128.0 公分，不管塑性區比例多少，降伏破壞點與極限破壞點之
基底剪力值都能達到預期所定義位置，但在極限破壞點的位移會依塑性
區長度比例越大而越大，相反的，塑性區長度越小，位移越小。
4. 將塑性區比例之容量曲線圖與集中彈簧之容量曲線相互對應用，並以集
中彈簧之容量曲線為依據，從圖 5.6 得知，0.2％、0.4％之容量曲線與
集中彈簧有很大差異，在最大基底剪力之位移有很大差異，須修正，用
試誤法方式來校正塑性區之長度，故校正結果為 0.278％塑性區長度之
比例，如圖 5.7。
5. 將材料非線性之側推分析、鋼筋混凝土斷面非線性行為分析、非線性集
中彈簧之側推分析、非線性塑性區之側推分析之四種容量曲線整理為圖
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5.8，從圖可知，由這四種非線性側推分析中，材料非線性之側推分析
為準確，可從建模方式得知，須考量材料性質與組成，並將斷面與桿件
元素切割；鋼筋混凝土斷面非線性行為分析可由彎矩與曲率計算出結果，
並判別與檢驗材料非線性之側推分析之鋼筋混凝土斷面行為；若不考慮
材料組成，可用集中彈簧方式最為方便，且在分析結果上可達到預期效
果；塑性區是將集中彈簧模擬方式給簡化，若塑性鉸定義要在桿件中間
就不適用。
5.2 門型構架
此例題為門型構架(Portal Frame)模式進行側推分析，柱桿件之材料性
質、斷面幾何及桿件長度採用 5.1 之懸臂柱條件，並建立於構架之桿件柱，
梁桿件採用為線彈性行為，其長度為 400 公分，並對門型構架施加
之側向推力，如圖 5.9；從 5.1 之懸臂柱討論與結果可知，集中彈簧、塑性
區之容量曲線圖，可與材料非線性之側推分析之容量曲線達到預期效果，
在由鋼筋混凝土斷面非線性行為分析得知，鋼筋混凝土斷面行為在降伏階
段為開裂且仍為彈性階段，集中彈簧與塑性區之塑性鉸定義與建模方式為
圖 5.10、圖 5.11，而材料非線性之側推分析、鋼筋混凝土斷面非線性行為
分析之構架建立模式，如圖 5.9，其中構架之桿件柱建立，分別圖 5.1 與圖
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