數 理 人 文 11 4 （correlation）來理解。同樣考慮磁性系統，我們可以考 慮距離很遠的小磁鐵（也稱為自旋）彼此間的相關性， 相關性可以理解為當我改變一個自旋，另一個（遠距離） 自旋跟著改變的量。我們發現三維鐵磁性（也就是有對 稱性破缺）的相態中，兩個距離相當遠的自旋量相關性 是一個常數。但在二維磁性系統裡，遠距離自旋相關性 會慢慢接近零。然而接近零至少有兩種接近方式，一種 是以多項式速度接近零，一種是以指數速度接近零。多 項式接近零的速度比起指數接近要慢上許多，因此這裡 面暗藏著玄機。 紹里斯和科斯特利茨發現在非常低溫時，遠距離鐵磁 的相關性是多項式的接近零。然後慢慢增高溫度，系統 會產生渦漩（vortex），而且不是一個一個產生，每次產 生都成對，而且方向相反。我們稱為正渦漩或反渦漩（圖 1）。正反渦漩會成對出現，剛開始出現不會影響鐵磁的 相關性，但溫度越高，渦漩越來越多，溫度高到一定程 度，渦漩不再成對出現，而是單獨出現，且渦漩改變遠 距離鐵磁的相關性，從多項式接近零變成指數接近零。 這樣的相變，並不會有對稱性破缺，而是相關性的改變， 我們稱為「KT 相變」，圖 1 顯示的就是這樣的相變圖。 渦漩其實就是一種拓樸態。渦漩就像颱風一樣，有一 個很像颱風眼的構造，中間有一個洞，稱為奇點（見圖 1 中的放大區域）。紹里斯和科斯特利茨是首次利用拓
拓樸相變和拓樸物質
2016 諾貝爾物理學獎簡介 2016 年 10 月 4 日，諾貝爾物理獎頒給美國華盛頓 大學的紹里斯（David Thouless）、普林斯頓大學的赫 爾丹（Duncan Haldane）和布朗大學的科斯特利茨（J. Michael Kosterlitz），三位得獎人均為英國出身。得獎的 理由是「拓樸相變和拓樸物質的理論研究發現。」 拓樸性質起源於數學的研究，也就是在幾何學之外， 研究物體被連續變化（比如說延展或彎曲），在不撕開、 黏合或挖洞的狀況下，如何從一種幾何形狀變成另外一 種幾何形狀的研究。舉例來說，一顆球和一個四方體拓 樸性質一樣，可以想像球體不斷變化之後，就可以變成 四方體；而中間有一個洞的甜甜圈，拓樸性質和咖啡杯 拓樸性質一樣，因為經過連續變化，甜甜圈可以變成有 一個洞把手的咖啡杯。 本來拓樸學和物理學關連並不大，直到紹里斯和科 斯特利茨開始研究二維古典系統的二階相變，事情才 開始變化。在他們的研究之前，一般人對二階相變的 了解，都是來自於金茲堡/ 藍道定理（Ginzburg-Laudau Theorem）。我們可以考慮一個磁性系統，鐵磁的產生是 要所有小磁鐵磁場指向同一個方向，而順磁性的相態來 自於小磁鐵磁場的方向都不一樣，平均起來磁性就為零， 我們稱這種小磁鐵磁場都指向同一方向為 對稱性破缺（symmetry breaking）。金茲 堡/ 藍道定理完全奠基於對稱性破缺。而 二維古典系統，基本上在有溫度的情形 下，因為熱漲落（thermal fluctuation）非 常強大，所以沒法形成對稱性破缺，因此 一般認定是不會有相變的存在。 這樣的情形也可以由物理量的相關性 圖 1 拓樸相變圖。（https://www.nobelprize.org/）數 理 人 文 5
樸性質來解釋相變的研究。後來發現不管在一維或二維
系統，比如說超流體相變，KT 相變都非常重要，也解釋
很多低維度系統相變的產生，改變人們對相變的了解。 拓樸物質其實不容易發現，整數和分數量子霍爾效應 （quantum Hall effect）在 1980 年代陸續發現，而且研究 獲頒諾貝爾物理獎。紹里斯也持續對拓樸態有進一步的 了解，尤其是量子霍爾效應的解釋。紹里斯藉由對於拓 樸學的了解，將量子霍爾效應跟所謂的陳省身數（Chern number）連結起來。陳省身數可以類比為幾何體有多少 個洞，而電子的導電率正比於陳省身數，也就是洞的數 目（見圖2）。紹里斯由此增進對拓樸物理學的深層了 解，因此獲頒此次諾貝爾物理獎一半的獎金。 量子整數和分數霍爾效應這兩種物質都需要磁場形成 藍道層。赫爾丹在1980 年代提出一個問題：就是能不 能不用均勻磁場，保持移動對稱性來形成霍爾效應？他 提出一個簡單的模型，就是在六角蜂巢模型中技巧加入 次近鄰的作用力，破壞時間反轉對稱性（time reversal symmetry），就可以不用加均勻磁場產生陳省身數等於 一或負一的霍耳效應。 赫爾丹另一個重要的貢獻，是發現一維系統的磁性拓 樸系統。低維度系統，尤其是低維度的量子系統，量子 效應比三維系統來得大。赫爾丹首先意識到，一維的磁 性系統，由於量子漲落（quantum fluctuation） 或 是 量 子 纏 結（quantum entanglement）非常 大，因此產生奇特的現象。於是他開始提出自 旋量為一的一維磁性系統，發現這個系統具有 拓樸性質，稱為赫爾丹相態。這是第一個用理 論提出的拓樸材質，而且馬上被實驗驗證。這 種拓樸材質非常穩定，具有某些對稱性，也就 是說一些雜訊只要不破壞這種對稱性，並不會 改變拓樸性質，因此我們稱這樣的相態是「對 稱性保護的拓樸相態」。這就是拓樸相態的重 要性。 量子電腦需要用到量子訊息，可惜的是，量子訊息常 常因為雜訊一下子就不見，因此我們如果要用到很多量 子位元，保持量子訊息很重要。然而拓樸態像是有洞的 物質，這些洞可以拿來作為量子位元。舉例來說，有一 個麵糰做的甜甜圈，我們可以用手改變甜甜圈的形狀， 但只要不把洞黏起來，或是打另一個洞，不管怎麼捏， 一個洞還是永遠保持。可以想像雜訊就像手在亂捏，會 改變甜甜圈的樣子，但洞永遠存在，也就是拓樸性質永 遠不變，這樣的拓樸材質非常適合作為量子電腦的量子 位元。 近十餘年，在這三位物理學家的研究基礎上，大量 的拓樸物質經實驗而被製造與發現，比如說拓樸絕緣 體（topological insulator）， 拓 樸 超 導 體（topological yuperconductor），和魏爾半導體（Weyl semimetal）。 這些新的奇異拓樸物質的發現，大大延展人類可能的科 技發展，增加量子電腦的可能性，因此獲頒諾貝爾物理 學獎的殊榮。（張明強，中興大學物理系） ◎本文轉載自中華民國物理學會《物理雙月刊》38 卷 6 期 12 月號， 本刊感謝作者與《物理雙月刊》同意轉載。原文網址： http://psroc.org.tw/Bimonth/article_detail.php?classify=c1&cid=149） 《數理人文》第10 期第 6 頁，韓國數學家「金民衡」誤植為「金明迥」， 在此致歉。 圖 2 拓樸態的變化。（https://www.nobelprize.org/）
