國小學童等號概念解釋與解題策略初探

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期

國小學童等號概念解釋與解題策略初探

The preliminary study both on the ideas

interpretation and solution of equal sign of

elementary students

陳嘉皇崑山科技大學助理教授

摘要

本研究旨在理解國小六年級學童如何解釋等號意義，探討其對等號兩邊同時運算情境問題解題表現的情形。樣本為台南縣、市公立國民小學六年級學童 342人，參與研究者設計之等號概念理解測驗調查，作業資料採取量化統計及質性方式分析，以了解學童對數學等式中等號概念的解釋狀況，及等式兩邊同時運算情境問題解題表現的情形，並對學童闡述的理由加以分類，理解其對等式問題呈現的解題策略類型。研究結果發現，學童對於等號的解釋，選擇「關係的解釋」的人數比例有 14.0% ，選擇「運算的解釋」者，比例為 69.3% ，脫離情境相等的解釋為 12.0%。很明顯的，大部分學童仍將等號的解釋放在算術運算以獲得最後的答案為主。對於不同內容之等式兩邊同時解題情境的問題，學童在每題正確作答的比例，皆有一半以上，但依題目設計性質，比例有所差異，學童在加、減法的問題正確表現的比例較乘、除法的問題為佳。正確解題之學童對等式兩邊同時運算情境問題採用的解題策略有五：1.直接進行等號兩邊運算解題，2.等式兩邊移位解題，3.代入答案解題，4.代入並配合補償推理解題，5.關係解題。研究者並針對結果發現，提出建議，做為日後深入研究及改善代數推理教學、相關課程內容研發之參考意見。關鍵字詞：代數推理、等號概念、解題策略、

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壹、緒論

許多研究指出，小學學童對數學式子中的等號常有不適切的理解(Carpenter, Franke,& Levi, 2003; McNeil & Alibali, 2005)，大多數的學童將其視為是運算符號，解釋成「發現總和」或是「將答案放在一起」的意思，認為在解題的歷程上會較關係的解釋像是「等於」或「兩邊數量一樣」，更為迅速、便捷(McNeil & Alibali, 2005)。 Carpenter、Franke與Levi (2003)等人曾問及一至六年級的學童有關 8＋4＝（）＋5 的式子，括弧裡應該放入什麼數字，結果發現每一年級的學童，能夠正確回答此問題者皆未超過10％，學童並未因年齡的增長而在此表現上有所提升。Baroody 和 Ginsburg的研究也發現接受傳統教學的一、二年級學童，對等號的概念存有根深蒂固的運算想法，無法在情境上進行轉化(Baroody & Ginsburg, 1983)。台灣國小數學教學，非常重視學生算術技巧的訓練，強調答案的精確，是否可以將等號理解為是種關係的符號，而順利解題，頗值得探究。等號的運算觀點會限制學童三方面的發展：1.拒絕非典型的等式 2.對決定非典型等式裡之未知數會變得困難（陳維民，1998），3.干擾更深一層數學的理解 (Seo & Ginsburg,2003)。等號的運算觀念也干擾代數步驟和法則的發現、理解、記憶或運用，例如無法寫出代數式子或等式、或將非正式或先前形式的知識自動化、及在等號的兩端形成相同的運算（莊松潔，2005；黃寶彰，2002；戴文賓、邱守榕，1999）。學童可能會採取關係的方式理解等號意義，但無法證明對等式問題脈絡的了解，因為他們在學校面對的等式，常導致成運算的解釋。這些結果建議：若能給予學童正確的脈絡支持，協助證明等號為關係的符號，在解題表現上會更好(Seo & Ginsburg, 2003)。因此，了解六年級學童對等號概念發展情形，給予適切教學情境的安排與教學補救，可提升學童升入國中階段時代數解題的表現。

研究發現，兩邊運算的情境對引導理解等號的關係是最有效的 (McNeil, Grandau, Knuth, Alibali, Stephens, Hattikudur & Krill, 2006)。給予學童更多等價的觀念，讓其進行等號兩邊的運算，可提升對等號的理解。代數是數學的核心觀念，當教師採取不同方式呈現學童等價的說明，將可發展學童等價的觀念，且對教學實務與執行的課程，給予複雜的連結，將可使等號在代數解

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期題歷程上扮演重要的角色。基於上述說明，本研究所欲達成目標如下：（一）了解國小六年級學童對數學式子中等號概念的解釋。（二）探究學童對等號兩邊同時運算問題情境解題表現的情形。（三）探究學童對等式問題呈現的解題策略。

貳、文獻探討

一、學童等號概念錯誤原因的分析

要進行代數的理解，可利用常接觸的基礎概念－「相等」，特別是等號做為研究題材。等號的發展和理解，在小學階段即被介紹，但在往後，卻少再延續加以明確介紹，因此，研究認為學童對等號意義，並未發展出合宜的了解。他們強調「相等」的概念是複雜的，要讓學童理解和轉換是有困難的(RAND, 2003)。有關等號概念的研究，會發現學童常將等號視為是「處理某些事物」的指示，用來作為算術運算結果的宣稱。雖然運算的觀點對於解決小學的算術問題是足夠的，但面對較複雜等式的問題時將會有所困擾。因此，研究者就建議需學習等式的結構如何運算，理解等號是種表現數量之間關係的數學符號，而非完成算術運算的指示，這樣學童將等式視為物件對稱的平衡才會更為容易 (Kieran, 1992) 。學童等式作業表現產生的困難，亦可歸因於等號意義錯誤的觀念(Carpenter et al., 2003)，即等號的理解與解等式問題的表現是有關連的。研究顯示，誘導等號定義的情境會影響學童提供關係定義的可能性(McNeil & Alibali, 2005)。McNeil和Stephens(2007)的研究發現，當解決等式問題時，教室的情境會影響學童提供關係定義或活化關係說明的傾向。若教室的活動強調等號運算的觀點（算術的練習，伴隨許多等式運算答案的結構問題），那麼學童較易採用運算的解釋，如果教室的活動強調等號的關係，則學童較易活化關係的解釋。大致說來，較早獲得等號關係理解的學童，在其它包含等號解題的作業，如解代數等式，較容易成功。 Kieran(1992)強調，關係的概念是「成功解決等式的正式方法，只有在包含等號兩邊同時運算的轉換才會產生效用」。因此，只有當學童關係意義的知識變得強壯時，情境中的等號出現才會活化此訊息，然後引導學童產出新奇問題解題的策略，而強迫計算的行為，只會促成等號運算觀點的產生。學童要在早期的代

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期數學習成功，就需提供他們超越等號運算觀點，朝向關係概念的機會，這樣才能促進等式系統特徵發展的理解（等式左右兩邊式子之間的等價關係）。

二、等式解題策略的運用

等式問題基本上需要學童決定等式中一邊未知數的價(value)，進而發現與等式另一邊的價（可以含另一未知數）是相同的（朱建正，1997）。針對此種轉換的問題，學童首先需具備解等式未知數的能力，將未知數的價算出；其次，需利用計算或是加減法補償的代數推理策略，解其它等式中未知數的價，從中判斷、比較出相同的答案。此轉換的歷程可以探索學童回憶等式解題所運用的步驟，並依賴歷程性知識反應出解題的策略。Knuth、Stephens、McNeil 和 Alibali(2006)將學童對等號題目的反應編碼成「關係的」、「運算的」、「非特殊性的相等」以及「其他」四類，學童大部分的反應以前兩類為主。所謂「關係的」反應，指學童將等號解釋為「與…一樣」所表達的概念；「運算的」反應，則指學童將等號解釋為「加上此數」或「等於某數答案」所表達的概念；「非特殊性的相等」指的是學童提供與問題情境無關之「相等」或「一樣」的文字意義，但未提供額外足夠的資訊，展現較特別的理解；「其他」則包括一些沒有描述出等號有關數學意義的定義。 Knuth、Alibali、McNeil、Weinberg 和 Stephens (2005)將等式解題策略編碼分為五類（扣除不知道者），這些策略可作為本研究學童作業類型分析的架構基礎：

1.等號後的答案(answer after equal sign)：學童指出的答案是等式左邊數字計算的價，或是等號左邊第一個數字的價（等號左右數字一樣）。 2.解題和比較(solve and compare)：分別決定每一等式的解題，然後比較答

案；或是算出某一等式的答案，然後藉由代入檢查，觀察此價是否滿足後一個等式；或先算出第二等式的答案，然後再跟之前等式的答案作比較。 3.等價的辨識(recognize equivalence)：辨認等號右邊後一個等式轉換的結果，以維持左邊第一等式表達的等價關係。 4.代入(substitution)：將前一等式計算出的價，代入後一等式，檢查這兩邊

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期等式是否都有相同的答案。 5.沒有反應(no response)。上述的策略1與2是利用運算的結果，證驗等式兩邊的價是否相等，策略 3 則是辨識等式兩邊的情境變化，尋找出規則，以判斷兩邊的價是否相等，並未利用運算，而是採取兩邊屬性及算則的判斷，以決定價是否相等。Knuth(2005) 等人發現學童等號的理解以及使用理解的表現，會隨著年級顯示出實質的改善，但仍無法對等號的意義顯現出關係的理解，在等式解題的表現上依然貧乏。 Kieran(1992)主張：要產出並合宜解釋表徵的結構性，像一種系統的與傳遞等式特徵的概念，有時牽涉等號左右等價的辨識，這種等號關係的概念允許學童適當的解釋等式，並引導他們對等式等價做出判斷。然而 McNeil和Stephens(2007)的研究建議：提供相關等號定義的能力，普遍優於辨識等號兩邊等價的能力。雖然學者對於何種方法可提升學童等號解題的表現，仍無定論，但可以確定的是：培養學童一種明確的、等號相關定義的能力，或是運用辨識等價策略的能力，可以引導獲得等號意義的明確性概念知識，應用等價概念的能力，解決等號兩邊同時運算的情境問題。

參、研究設計與方法

一、研究樣本

本研究樣本取自台南縣、市12所公立小學（每校一班）六年級學童359人，扣除無效樣本17人外，總計人數為342人，參與研究者設計之「代數推理等號概念理解測驗」。參與測驗的學童皆有學習等式命題的經驗，並能利用四則運算進行解未知數的問題。

二、研究工具

本研究「等號概念理解測驗」為研究者參考 Seo與Ginsburg(2003)對學童學習等號概念，提出之理念而自編之工具，內容分為兩部分，一為對等號概念的解釋，題目作答方式為提供一典型等式的範例，標示出等號的位置，要求學童根據提供的五個有關等號解釋的項目中選出其認為最合適的答案，選項內容依等號題目的反應編碼，選項 1屬於等號關係的解釋，選項2為算的解釋，選項 3與 4則為脫離情境相等的解釋，選項5則為不知道或無反應；另一部份則為等號兩

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期邊同時解題之情境問題，共有五題，分別融入加、減、乘、除算則與混合方式命題，每道題目皆提供一等式範例，以下再安排四個選項，分別在等號兩邊附上相同數字，及不同運算符號(例如，□＋35＋6＝51－6)。首先要求學童先計算出等式中未知數的價(例如，□＋35＝51，□＝16)，然後再要求學童計算或算則補償的代數推理策略，解選項等式中未知數的價，從中判斷、比較出□相同的答案，正確者，每題可得 1分，錯誤者則以 0分計算；接著，要求學童寫下為何選擇此項目的理由，以提供研究者進行解題策略類型的分析與歸類。本測驗編製完後，首先由162名國小六年級學童進行預試與題目修正，經信度分析，獲得各式題之信度統計量Cronbach α價分別為.64、.63、.70、.71和.79，整體量表之Cronbach α價為.75。主成分因素分析後，KMO 價統計量為.81，顯示具良好之因素分析適合性，各式題之粹取負荷價分別為.78、.83、.63、68 與.82，題目皆具有中、高度的影響力，以特徵價＝1為粹取標準，得到兩個主要因素，分別解釋 51.31％與 23.29％的變數變異量，合計占 74.60％，顯示為一可用之評量工具。研究者將受試者預試反映之意見，將試題 1與試題 2之運算數字的價予以縮減（原試題為三位數，修改後為二位數），利於計算，提升試題之作答率與效度。

三、資料分析

學童資料分為兩部分加以分析，有關選項反應部分，採用次數與百分比量化統計方式，加以計算比較，以了解學童對數學式子中等號概念的解釋狀況，以及等號兩邊同時運算問題情境解題表現的情形；有關選項解釋部分，除進行個題正確比例之統計分析外，另對正確答題者之解釋內容，依據學童在答案紙上說明之理由、結構與運算的步驟，採用質性分析方式，加以分類，理解其對等式問題呈現的解題策略。有關學童解題策略的分類，由研究者與兩位現行國小教師（皆為教育大學數理教育研究所畢業）進行內部一致性考驗，各式題之α係數分別為.97、.96、.97、.97、.95。

四、實施步驟

本研究首先參考文獻，編製、蒐集學生等式概念反應之測驗工具，經過預試、修正之後，於2007年 9月份正式施測，學生作業表現的資料採取量化及質性方式進行分析、統計與比對，以理解學童在測驗上所顯示的概念解釋和解題表

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期現。測驗實施時間為40分鐘，採取團體測驗方式進行。

肆、研究結果與發現

本節分為：一、學童作業等號概念解釋，二、等號兩邊同時運算問題情境解題表現，三、等式解題策略之分析加以說明。

一、等號概念的解釋

有關學童對等式範例中等號意義之選擇表現情形，如表 1所示。表 1 學童對等式中等號概念的解釋人數及百分比統計選項反應人數百分比 1.表示式子中 5＋4 和 9 兩邊的數量是相等的或一樣的意思 48 14.0% 2.表示要將式子中 5＋4 的答案加起來，總共是 9 的意思 _{237 69.3%} 3.表示任何式子是等於或一樣意思的符號 _{31 9.1%} 4.表示進入到下一步驟的意思 10 2.9% 5.不知道或無反應 _{16 4.7%} 從表 1 統計結果，發現參與測驗的學童對於等號的解釋，選擇「關係的解釋」（選項1）的人數比例有 14.0%，選擇「運算的解釋」者（選項 2），比例為 69.3%，脫離情境之相等的解釋（選項3與4）為 12.0%。很明顯的，大多數學童仍將等號的解釋放在算術運算以獲得最後的答案為主，認為等號是「處理某些事物」，或需經由運算的步驟而獲致答案的指示，這與 Carpenter、Franke 和 Levi(2003)以及 McNeil 和 Alibali(2005)等人研究的結果是一致的。研究者認為此現象的解釋，在於六年級學童受到教學實務及練習產生之習慣的影響，大多數的學童遇見算術問題時，亟欲獲得結果，因此，採取立即運算的方式解題，而不常思考問題情境呈現的關係，探索最佳解題策略所致。這種解題的模式對日後更為複雜的數學問題，與閱讀理解較為艱難的數學題意將會產生阻礙。

二、等號兩邊同時運算問題情境解題表現

有關學童對等號兩邊同時運算解題表現的情形，如表 2所示。表 2 學童在等號兩邊同時運算問題情境解題表現人數及百分比統計反應情形第一題第二題第三題第四題第五題項目人數百分比人數百分比人數百分比人數百分比人數百分比無反應者 _{6 1.8% 9} _2.6% _{20 5.8%} _{19 5.6% 73}_21.3%

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期選項 1 者 54 15.8% 40 11.7% 62 18.1% 207 60.5% 44 12.9% 選項_{2 者 196} _57.3% ₆₀ _17.5% _{61 17.8%} _{51 14.9% 30}_8.8% 選項 3 者 _{32 9.4% 12} _3.5% _{184 53.8%} _{31 9.1% 18}_5.3% 選項 4 者 _{54 15.8% 221} _64.6% _{15 4.4%} _{34 9.9%} _{177 51.8%} 小計 ₃₄₂ _100% ₃₄₂ _100% _{342 100%} _{342 100%} _{342 100%} 例題與選項內容例題□＋35＝51 1.□＋35＋6＝51－6 2.□＋6＋35＝51＋6 3.□＋6＋35＝51－6 4.□＋35－6＝51＋6 正確答案為 2 例題 73－□＝37 1.73－□＋35＝37－35 2.73－□－35＝37＋35 3.73－□＋35＝37－35 4.73－□＋35＝37＋35 正確答案為 4 例題 88×3＝□ 1.44×2×3＝□×2 2.44×3×2＝□×3 3.44×2×6＝2×□ 4.44×2×6＝3×□ 正確答案為 3 例題 29×3＝□－3 1.29×3＋3＝□－3＋3 2.29×3－3＝□－3＋3 3.29×3＋3＝□－3－3 4.29×3－3＝□＋3＋3 正確答案為 1 例題 18×2＝□÷3 1.18×2÷3＝□×2÷3 2. 18×2÷3＝□×2×2 3. 18×2÷3＝□÷2×3 4. 18×2÷3＝□÷3÷3 正確答案為 4 從表 2資料得知，對於不同內容之等號兩邊同時解題情境的問題，學童在每題作答正確的比例（粗黑字代表），皆有一半以上，顯示這些學童可以成功地運用解題策略獲取等號兩邊等式的價，進而獲取等價的概念；從試題正確反應的比例加以比較，學童在試題 1、2、4 的表現，較試題 3、5為佳，主要原因是前項題目為加、減法運算或數字較小之問題，對學童而言較易處理；而後者之題目為乘法或乘、除混合題目，在處理上更為複雜與繁瑣，所以學童的表現較差。這顯示出學童對於等式兩邊運算解題的表現會因四則運算命題的類型而異，而採取不同解題策略產生之正確性的差異情形如何，可提供做為日後深入探索的議題。

三、等式解題策略之分析

有關學童對等號兩邊同時運算正確解題使用之策略的情形，如表 3所示。表 3等號兩邊同時運算問題情境解題正確者採用策略人數及百分比統計項目策略試題 1 正確者 196 人試題 2 正確者 221 人試題 3 正確者 184 人試題 4 正確者 207 人試題 5 正確者 177 人 1.等號兩邊運算解題 _{155(79%) 172(78%) 144(78%) 158(76%) 131(74%)} 2.等式兩邊移位解題 _{5(3%) 7(3%) 5(3%) 8(4%) 8(5%)} 3.代入答案解題 4(2%) 6(3%) 6(3%) 6(3%) 6(3%) 4.代入並配合補償推理解題 6(3%) 6(3%) 5(3%) 6(3%) 6(3%) 5.等式關係解題 _{21(11%) 24(11%) 19(10%) 22(11%) 19(11%)} 無說明或解釋不清者 _{5(3%) 6(3%) 5(3%) 7(3%) 7(4%)} 從表 3 可以發現，學童正確作業反應最常使用的策略是採取運算的方式，其次是關係的解題。根據資料的分析，採取各類解題策略的學童在各試題的反

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期應上皆為一致且穩定，即採取運算方式解題者，他們在其他題目的解題方式大多為運算解題，採用關係解題的學童，他們在其他題目的表現上亦會採取關係方式解題，其間的變動並不大，偶而有學童會根據題目的特性，採用其他策略解題。這現象顯示出，學童解題的方式會產生習慣化或固著化，因此，如何在教學的歷程讓學童理解不同解題策略的意義與運用，協助其辨識情境而有效轉化解題策略就非常重要。根據學童作業之說明加以分析，可將等式解題的策略歸類為五，其內涵如下：（一）直接進行等號兩邊運算解題運用此策略的學童，會將等號兩邊等式中的數字配合等式中所列算則符號算出答案，解出未知數的價，再與前項範例等式中之未知數做比較，進而選擇正確等價的答案（如圖 1 甲學童解釋）。圖 1 甲童作業解釋圖 2 乙童作業解釋（二）等式兩邊移位解題（補償方式）採用此策略的學童，發現選項的等式與前項所列的等式在數字上有所增減，算則有所差異，但以等號兩邊數字移位的方式解釋，認為等號左邊若有一為＋的數字，那麼在等號右邊應有一為＋的數字，那麼移位到另一邊時，相減後就會與前項範例等式相等（如圖 2乙學童之解釋）。（三）代入答案解題採取此策略之學童，先將前項等式中之未知數的價算出後，然後再逐一代入選項中之各等式，發現能與前項範例等式答案符合者即為正確選項（如圖 3 丙學童之解釋）。

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期圖 3 丙童之作業解釋圖 4 丁童之作業解釋（四）代入並配合補償推理解題採取此策略者除將前項等式中之未知數的價算出，逐一代入選項中之各等式，且同時發現選項等號兩邊之算則符號或數字皆同樣增加，因此配合代數補償推理策略予以兩邊消除，確實驗證答案之正確（如圖 4丁學童之解釋）。（五）關係解題學童確實明瞭等號意義，並能針對等號兩邊提供之額外增加的線索如同時增加某數字或四則運算符號），分析比較並採取補償推理策略解題，並未採取運算方式，即可判斷出正確之選項（如圖 5戊學童之解釋）。圖 5 戊童之作業解釋上述學童採用的解題策略類型與 Knuth(2005)等人發現的結果，大部分是一致的，然而我國六年級學童在策略的運用與表徵的描述歷程上，與 Knuth 發現學童使用單一策略解題的情形有明顯的不同，有些學童會採用混合兩種以上策略解題的方式進行解題，例如同時採用代入與補償方式、或是關係與補償方式解題。雖有學童採用這種混合的方式解題，但深入探究，主要的目的還是在於呼應文化與升學主義上績效的要求，藉助利用他種方法，以驗證其所判斷的答案是否正確。

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伍、結論與建議

本研究旨在初步探討國小六年級學童對數學式子中等號概念如何解釋，學童對等號兩邊同時運算問題情境解題表現的情形，以及學童對等式問題呈現的解題策略類型。根據研究發現，可將結論歸納如下：（一）學童對等式範例中等號的解釋以運算的觀點比例最高，約為70％；採取關係解釋者為 14％。（二）學童在等式兩邊解題問題作答正確的比例，每道題目皆有50％以上，答對的比例則依設計的問題類型而有差異，加、減法之題目正確者較乘、除法者的比例為佳。（三）學童對等式兩邊解題正確作業反應最常使用的策略是採取運算的方式，其次是關的解題，策略表現的形式與對等號解釋的反應情形大致符應。（四）學童對等式兩邊解題採用的解題策略類型與Knuth(2005)等人發現的結果，大部分一致，但會採用混合兩種以上策略解題的方式進行解題。針對研究發現，提出下列建議，作為學童代數推理教學及課程設計之參考：（一）等號概念說明以運算觀點為主，配合情境輔以關係解釋：教師應安排適合之等號兩邊同時運算解題情境，提供學童模擬操弄，並於解題歷程中，詳細說明等號運算及關係解釋運用時機與效用，協助學童有效理解等號意義。（二）解題歷程宜適時融入多元方式，協助轉化：等號兩邊數字或符號之移位（項）教學，應配合代數推理補償相關策略實施，讓學童理解此種解題策略的意義與關係，切不可為迅速解題而強迫計算，而造成學童因不理解而誤用。（三）提供算術律則之應用做為情境解題的橋樑：等式概念的理解與解題策略的增進，可融合算術之交換律、結合律等補償律則的操作，理解等價概念，有效提升解題技巧，並能適當轉化至不同情境而運用解題。（四）提供合作解題機會、釐清錯誤概念：算術及代數教學應該提供同儕討論及辯證的機會，強調數學觀念之釐清與強化，不應只注重數字計算技巧的演練，而淪為只求答案之運算工具。

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台灣數學教師電子期刊 2008, 第十三期（五）嘗試改變觀念、提升專業知能：教師需改變教學方式，明瞭學童算術解題與代數推理思考方式，並提供解題有效策略與嘗試，鼓勵師生共同成長。

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