十字交乘法之遊戲式學習活動設計與教學成效評估
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(2) 目錄 第一章 緒論 ..................................................................................................................... 1 第一節. 研究背景與動機......................................................................................... 1. 第二節. 研究目的與問題......................................................................................... 5. 第三節. 研究限制..................................................................................................... 6. 第二章 文獻探討 ............................................................................................................. 7 第一節. 十字交乘法與中學數學課程架構 ............................................................. 7. 第二節. APOS 學習理論 ....................................................................................... 11. 第三節. 遊戲式學習............................................................................................... 16. 第四節. 觸控裝置與體現認知............................................................................... 19. 第三章 研究方法 ........................................................................................................... 21 第一節. 研究設計................................................................................................... 21. 第二節. 研究對象................................................................................................... 23. 第三節. 研究流程................................................................................................... 24. 第四節. 研究工具................................................................................................... 25. 第四章 十字交乘法遊戲式學習活動 ........................................................................... 28 第一節. 學習活動................................................................................................... 28. 第二節. 遊戲活動................................................................................................... 37. 第三節. 結合操縱變因........................................................................................... 44. 第五章 研究結果 ........................................................................................................... 47 第一節. 各組間學習表現之差異........................................................................... 47. 第二節. 各組間認知負荷與感受之差異 ............................................................... 53. 第三節. 學習效率與投入....................................................................................... 56. 第六章 結論與建議 ....................................................................................................... 60 第一節. 結論........................................................................................................... 60. 第二節. 建議........................................................................................................... 61. 參考文獻 ......................................................................................................................... 63 附錄 ................................................................................................................................. 68 附錄一. 多項式與因式分解測驗（前測） ........................................................... 68. 附錄二. 感受量表................................................................................................... 69. 附錄三. 利用十字交乘法因式分解（後測） ....................................................... 72. i.
(3) 圖目錄 圖 1- 1 技能與挑戰間的關係 ....................................................................... 3. 圖 2- 1 十字交乘法範例 ............................................................................... 8 圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型：沿斜線作答 ................... 9 圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程 ............................................................. 10 圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept)............... 11 圖 2- 5 十字交乘法解題歷程 ..................................................................... 12 圖 2- 6 APOS 理論運作模式 (Asiala et. al., 1996) ................................ 14. 圖 3- 1 研究流程圖 .................................................................................... 24. 圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面 ................................ 29 圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面 ................................ 30 圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面 ..................... 30 圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面 ........................ 31 圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁 ................................................ 32 圖 4- 6 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面 ........................................ 32 圖 4- 7 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算 ............................................ 33 圖 4- 8 環境首頁 ........................................................................................ 37 圖 4- 9 介面操作介紹 ................................................................................ 37 圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明 .............................................................. 38 圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界 ...................................... 38 圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解 .................................................................. 38 圖 4- 13 任務 4、5 數值變大、引入負數 ................................................ 39 圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解 .......................................... 39 圖 4- 15 任務 10~15 引入負數 .................................................................. 40 圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數，需透過相加的正負來判斷 .............. 40 圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢 ....................................................... 41 圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式 .............................. 41 ii.
(4) 圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大，逐漸將十字交乘法的過程內化 .. 42 圖 4- 20 任務 21~25 加號、乘號輔助符號消失，一次項係數為負，常數 項係數漸漸變大.................................................................................. 42 圖 4- 21 任務 26~30，常數項係數為負，要能判斷負號要放在哪裡 ... 43 圖 4- 22 完成後可回首頁，取得尚未取得的星星，練習不熟的單元 .. 43 圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算 ...................... 44 圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法 .......................................................... 45 圖 4- 25 iPad 介面與滑鼠界面的差異 .................................................... 45 圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁 ........................................................ 46 圖 4- 27 iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式 ............ 46. 圖 5- 1 仿操作介面問題 ............................................................................ 48 圖 5- 2. 二乘二因子分析，在進步分數上兩因子間有交互作用 .......... 50. 圖 5- 3 高低效率與高低投入區域 ............................................................ 56 圖 5- 4 學習效率 ........................................................................................ 57 圖 5- 5 投入程度 ........................................................................................ 58 圖 5- 6 學習效率與投入 ............................................................................. 59. iii.
(5) 表目錄 表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 .............................................................. 8 表 2- 2 十字交乘法的過程概念 ................................................................. 13. 表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗 設計...................................................................................................... 21 表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 ......................................... 22 表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 ......................................................... 23 表 3- 4 前測命題架構 ................................................................................. 25 表 3- 5 感受量表架構 ................................................................................. 26 表 3- 6 後測命題架構 ................................................................................. 27. 表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 ......................................................... 28 表 4- 2 整體活動規劃 ................................................................................. 35 表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 ..................................................... 36 表 4- 4 本研究五個版本間的關係 ............................................................. 44. 表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 ................................. 47 表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 ..................................................... 48 表 5- 3 各版本前後測基本題進步分數之比較 ......................................... 49 表 5- 4 有無教學指引與觸碰滑鼠介面單一因子的差異 ......................... 51 表 5- 5 各版本前後測遷移題分數之比較 ................................................. 52 表 5- 6 各組在認知負荷上 5 個維度統計資料 ......................................... 53 表 5- 7 各組在使用感受上 6 個維度統計資料 ......................................... 54 表 5- 8 各組在內在動機上 2 個維度統計資料 ......................................... 55 表 5- 9 各組在內在動機上與難度上的統計資料 ..................................... 55. iv.
(6) 摘要 本研究之目的在設計觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動，透過遊戲情 境激發學生的內在動機，使學生樂於練習並主動發展解題策略，以幫助學生理解 十字交乘法的概念，並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算。本研 究使用 Flash 與 ActionScript 3.0 設計十字交乘法之遊戲式學習活動，透過 APOS 理論安排十字交乘法的作業，依據遊戲式學習的相關理論建構遊戲情境，並將十 字交乘法的學習內容與遊戲情境中過關所需的遊戲技巧進行內在整合，形成十字 交乘法遊戲式學習活動。 本研究針對 122 名國中八年級學生進行實驗教學。採用 2×2 實驗設計，在遊 戲式學習活動中以有無教學指引、觸控介面或滑鼠介面兩項變因為核心，形成四 組實驗組，再以一組觸控介面上無遊戲情境有教學指引作為對照組，共分為五組。 經由分析其前後測以及認知負荷與感受量表，再透過組間比較而探討有無教學指 引、有無遊戲情境、觸控介面或滑鼠介面三項因素對學生在本學習活動中學習成 效與認知負荷感受上的差異。 主要研究結果顯示五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達顯著 水準。有無教學指引與觸碰滑鼠介面之雙因子間有交互作用，在觸控介面下無教 學指引組前後測進步分數顯著優於有教學指引組；在滑鼠介面下有教學指引組前 後測進步分數優於無教學指引組，但未達顯著差異。在觸控介面下無遊戲情境組 十字交乘法基本題前後測進步分數與有遊戲情境組並無顯著差異；但在後測的遷 移問題上無遊戲情境組顯著優於有遊戲情境組。 以學習成就與投入努力為軸分析五個組別的效率與投入情形，投入程度無教 學優於有教學，有遊戲優於無遊戲；另外，在觸控介面、有遊戲情境、無教學指 引位於高效率且高投入的區域。 本研究結合 APOS 理論與遊戲式學習理論發展出的十字交乘法的學習活動， 使五組學生在十字交乘法基本題前後測進步分數均達高度顯著水準，可做為未來 開發中學代數學習活動設計的參考。 關鍵字：十字交乘法、APOS 理論、遊戲式學習、教學指引、觸控 Factoring Quadratic Trinomials、APOS. Theory、Game-Based. Learning、Teaching guidelines、Touchscreen v.
(7) 第一章 第一節. 緒論. 研究背景與動機. 近年來隨著科技發展，電腦被普遍的使用在數學教學與學習上，除了使用電 腦上各種有關數學的工具或軟體進行教學活動設計之外（例如：動態幾何軟體 Geogebra、電腦代數軟體 Maple） ，還有利用各種多媒體的工具來設計教學活動， 例如：Flash、Powerpoint、影片等。美國全國數學教師會（National Council of Teachers of Mathematics）(2000)的《學校數學的原則與標準》（Principles and Standards for School Mathematics）中將科技列為學校數學教育六大主要原則之一， 並強調科技在數學的教學與學習中是不可或缺的，科技可影響學生所學並增進學 生學習且可支持有效率的教學。NCTM(2008)更進一步闡述對科技的立場，其中 指出在 21 世紀，科技是數學學習不可或缺的工具，而且所有學校都須確保學生 能夠使用科技。有效的教師透過有策略地使用科技，發揮科技最大的潛能來發展 學生理解、激發興趣、及增進熟練數學並可提供所有學生接觸數學。另一方面， 教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要也提到「教師應引導學生正面有效 地使用電腦與電算器，來完成五大主題的學習。」，由此可見國內外都隨著科技 進步，也逐漸發展出科技工具上的教學活動。. 伴隨科技的發展，開始有大量關於運用科技進行數學教學的研究，其中有許 多研究顯示科技在教學有正面的幫助；另外 Kieran 和 Drijvers(2006)使用 CAS 電腦代數系統進行教學實驗，研究結果顯示透過科技不但能增進學生運算程序的 技能，也能使學生掌握代數運算的概念。但並不是使用科技進行數學教學就一定 有好的成效，數位教學活動必須針對教學內容並發揮科技的特色進行良好的設計， 才有可能達到良好的學習成效。. 而科技的發展使科技工具的功能越來越豐富，使用者與介面間的互動模式也 逐漸多元，如早期研究的以按鍵進行互動的計算機、圖形計算機、以滑鼠與鍵盤 互動的電腦環境，也因此研究的介面也隨著改變。然而近年來智慧型行動裝置和. 1.
(8) 平板電腦等觸控裝置出現，因為觸控裝置以手指直接觸摸取代滑鼠，互動模式直 接、便利且可使用手勢進行更多樣的互動，加上攜帶便利等特點，觸控裝置在現 在的社會中逐漸普及，在街頭上隨處可見低頭使用觸控裝置的行人，因此有了「低 頭族」的稱號形容低頭使用觸控裝置的使用者，由此可見觸控裝置對社會帶來的 影響。而在教育方面，也有智慧裝置的製造廠商與學校進行合作，未來每位學生 可能都自己擁有一台平板電腦作為電子書包。但目前的觸控裝置上的數學學習軟 體多以發展於兒童的學習，如認識數字、正整數的加減法，符合中學生使用於觸 控裝置上的數學學習軟體並不多，因此設計適合學生學習代數的軟體是重要且迫 切的工作。. 在數學學習上，許多學生學習代數運算的概念與技巧是記憶性的(Kieran, 1992)，而 Gray and Tall(1994)提出過程概念（procept），說明代數運算中符號所 扮演的角色，學生要掌握代數運算的概念（concepts）需要透過反覆進行代數運 算的操作過程（process），因此要掌握代數的概念，必須透過重複練習運算程序 的過程來理解代數概念。但重複練習的過程容易使學生感到無趣，較不易讓學生 投入心力進行練習。教育部(2008)在國民中小學九年一貫課程綱要中也有提到， 學生要學習數學的自信心對於相關程序的熟練，而這種熟練，則需要教師能給予 學生有啟發性的練習，讓學生從各種練習中，沈澱自己新學的概念，並能夠與原 先的數學知識相連結。由此可知學生必須透過練習來熟練運算程序，並在練習運 算程序的過程中理解代數概念，但是在反覆練習的過程中，學生往往因為練習過 程中單調乏味，練習時只注重計算出答案，而僅記憶運算程序缺少反思，導致無 法掌握代數運算的概念。. 而針對學生不願投入練習以致於無法掌握代數概念的問題，Prensky 指出 (2007)遊戲式學習能較吸引學習者專注、投入。蔡福興、游光昭、蕭顯勝(2010) 指出「數位遊戲式學習(Digital Game-based Learning, DGBL)之所以受到重視，主 要原因是希望利用遊戲來引發學習者的參與動機，以解決傳統數位學習較無法吸 引學習者投入的缺點。Long & Aleven (2014) 探討等量公理的商業遊戲可以使使 用者感到愉悅，並進行更多的練習。Boyle (2016) 統整 143 份具良好的實證的遊 戲式學習文獻，指出遊戲式學習可產生較好的學習表現，並且發現遊戲是促進學 2.
(9) 生投入而達到幫助學習表現的效果。Lepper and Malone(1987)分析遊戲式學習吸 引學習者的要素，包含挑戰、好奇、控制、幻境，期望透過遊戲式學習的幻境使 學生願意進行練習，並樂於挑戰遊戲，而實質上學生面對的挑戰皆是來自於數學 問題，藉著遊戲這層糖衣來激發學生進行練習，讓學生可以專注、投入、重複練 習以達到提升學習成效，並能從中反思進而掌握代數運算的概念。因此本研究將 探討如何結合數學學習理論與遊戲式學習理論發展遊戲式學習環境。. 心流理論(Flow Theory)最早由 Csikszentmihalyi(1975)提出，心流指當人全神 貫注於自己喜愛的活動時，沉浸於活動之中而展現出最佳表現的情形。如「心流」 字面上所蘊含著當人表現出最傑出的水到渠成不費吹灰之力的感覺，而 Csikszentmihalyi 將此類情形稱為心流經驗(flow experience)。而產生心流最主要 的因素在於技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係，Csikszentmihalyi 將其分為三個 管道(channel)，當人具有高度的技巧而面臨簡單的挑戰時，容易感受到無聊，而 遇到超過自己技能的挑戰時會感到焦慮，唯有卓越的技能與高難度的挑戰相互配 合，才能使人全心投入，進入心流狀態。技能(skill)與挑戰(challenge)間的關係如 圖 1- 1。. 圖 1- 1 技能與挑戰間的關係. 心流狀態是無法受到外力逼迫而產生，唯有全心全意為了內在動機投入活動 才能進入心流狀態。而 Csikszentmihalyi 舉出了容易使人進入心流狀態的三個條 件，除了技能與挑戰的平衡之外，明確的目標與立即回饋也能有助於心流產生。 明確的目標可使參與者知道要做什麼、如何採取適當的方法，立即回饋可以讓參 3.
(10) 與者知道每個步驟進行的是否正確，並判斷是否需要改善，而有助於心流產生。 (Csikszentmihalyi, 1997) 已有許多以數學為主題的遊戲式學習的研究，已發展出遊戲式學習的特點與 設計時的注意事項，可遵循這些研究的建議進行設計，而其中 Magnussen 和 Misfeldt(2004) 指出使用者在遊戲式學習中會出現逃避學習與非預期的學習行為。 蔡福興、游光昭與蕭顯勝（2010）透過質性分析發現學生在遊戲式學習環境中， 面對教學時會有不認真的學習、錯誤嘗試、逃避學習等情形。因此本研究將探討 在設計本遊戲式教學環境時，若加入教學指引是否能如預期一樣，使用者透過閱 讀教學指引而獲取知識，抑或是反而會對使用者造成干擾，造成學習者逃避學習， 無法達到設計時所期望的教學目標。因此是否在本遊戲式學習環境中加入教學指 引將是本研究所要探討的變因之一。. 4.
(11) 第二節. 研究目的與問題. 本研究之目的為設計在觸控裝置上的十字交乘法遊戲式學習活動，透過遊戲 情境激發學生的內在動機，使學生樂於練習並主動發展解題策略，以幫助學生理 解十字交乘法的概念，並掌握將首項係數為一的二次多項式因式分解之運算。探 討有無教學指引在本遊戲式學習活動對學生在學習成效與感受上的差異。然而在 電腦上操作，使用者需要透過滑鼠作為仲介物才能與學習活動習活動內的元件互 動，但在觸控裝置上可不需透過仲介物即可更直接更迅速地與學習活動內的元件 進行互動，因此將談論學生在本研究的十字交乘法遊戲式學習活動中透過觸控介 面與電腦滑鼠介面會在學習成效與感受上產生哪些影響。. 根據此研究目的，本研究將提出下列四個研究問題：. 一、如何結合理論設計十字交乘法數位遊戲式學習活動？. 二、在數位遊戲式學習活動中，有無教學指引，對學生在十字交乘法的學習 成效、認知負荷與感受上的差異為何？. 三、在觸控介面與電腦滑鼠介面下進行十字交乘法遊戲式學習活動，對學生 在十字交乘法的學習成效、認知負荷與感受上的差異為何？. 四、在數位科技學習活動下，有無遊戲情境對學生學習十字交乘法的成效與 認知負荷與感受為何？. 5.
(12) 第三節. 研究限制. 因本研究前測、實驗、後測於兩日內分三個時段進行，其中有些學生因學校 公差或其他事由請假，缺少部分階段而成為無效樣本，以致本研究之樣本數較少， 使本研究結果無法具有良好的代表性。. 另外，受限於觸碰介面的組別需要使用平板電腦，因此本研究中 iPad 的 3 組選取臺北市某高中附屬國中部，而滑鼠的 2 組選取新北市某國中，樣本的背景 與先備能力間可能有所差距，可能也是影響組間差異的因素之一。. 研究中有教學指引和沒有教學指引之差異，造成組間立足點不同，也是研究 上的限制。. 6.
(13) 第二章. 文獻探討. 為了設計十字交乘法遊戲式學習活動，本研究將針對數學內容的本質結構、 學習者的學習理論以及數位學習環境設計觀點來探討本研究之相關文獻與理論 背景。第一節為十字交乘法與中學數學課程架構，第二節為代數學習理論，第三 節為遊戲式學習，第四節為觸控裝置與體現認知。. 第一節. 十字交乘法與中學數學課程架構. 國中數學課程內容逐漸從國小偏重於數與量的算術思維朝向變數方程的代 數思維。代數思維的內涵目前雖無一致性的看法，然而 Kieran and Chalouh(1993) 提出了代數思維的基本觀點，意即，透過符號與代數運算來建立概念意義，並由 此發展出使用代數形式做數學推理。Kieran(2004)更進一步說明中學的代數思維， 不僅是使用符號做代數運算，而更包含了一些思維方式的發展。由此可以了解中 學代數思維相對於小學著重數量計算之外，更需要學習運用符號操弄進行推理思 考。例如以十字交乘法分解一元二次多項式 x2 + 5x + 6 時，除了需要操弄文字符 號進行運算之外，需要理解乘法展開與因式分解的意義，進而推理出係數間的關 係，才得以順利進行因式分解。因此如何輔助學習代數的學生順利進行代數思維 的發展是歷來教育研究探索的重點之一。. 國內一般國中教科書以由數與文字符號 x 進行加法和乘法運算，所列成的式 子的實例來說明多項式。因式分解是求方程式解的重要方法之一，當兩個不為 0 的多項式 A、B，若 A 可以被 B 整除時，則 B 是 A 的因式，而一元二次多項式 的因式分解即是將一元二次多項式分解為兩個一次式的乘積。在國中階段因式分 解的主要方法有提公因式法、利用乘法公式及利用十字交乘法三種方式。而其中 十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解的方法。如下圖 2- 1 中欲 分解 x2 + 5x + 6，x2 分解為兩個 x 相乘，6 分解為 2 和 3 相乘，而中間的一次項 是 2x + 3x = 5x，與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解。因此在因式分解首 項係數為 1 的二次式時，就是在將常數項分解為兩數之積，一次項係數分解為兩 數之和。. 7.
(14) x2 + 5x + 6. x. +2. 2. =. (x + 2) (x + 3). x. 6 x 2x. +3 + 3x = 5x. 圖 2- 1 十字交乘法範例. 教育部(2008)所公佈的九年一貫課程綱要中列出許多能力指標，指出學生在 各階段學習後所應習得的基本能力，其中有關十字交乘法的能力指標 8-a-08 能 利用乘法公式與十字交乘法做因式分解。而由十字交乘法的運算過程可看出解決 十字交乘法的問題除了需要具備數的四則運算、因數分解，還要了解文數字的應 用以及多項式的運算，需能理解分配律並知道因式分解是分配律的逆運算。由此 可見學生在學習十字交乘法時，需要整合國中階段先前所學習過的數與量及代數 單元，並緊接著應用在解一元二次方程式上，成為未來學生二次函數與高次多項 式時的基礎。. 表 2- 1 十字交乘法相關課程架構 數與量. 代數. 整數四則運算 國中七年級. 因數與倍數 以符號代表數 一元一次方程式 乘法公式 多項式的四則運算 因式與倍式. 國中八年級. 利用提公因式法作因式分解 利用乘法公式作因式分解 利用十字交乘法作因式分解 一元二次方程式. 國中九年級. 二次函數. 高中一年級. 多項式函數與圖形 8.
(15) 多項式運算與應用 多項式方程式 多項式函數與多項式不等式 高中二年級. 二次曲線. 簡芳怡（2000）研究發現學生在利用十字交乘法進行因式分解時少檢驗常數 項或一次項的係數，另外也有學生會以十字交乘法的交乘斜線作答。林美娟（2010） 指出學生利用十字交乘法進行因式分解時，容易在常數項與一次相係數的正負號 發生錯誤。林宛臻(2012)也同樣指出學生利用十字交乘法進行因式分解時，容易 在常數項與一次相係數的正負號發生錯誤。. 圖 2- 2 簡芳怡（2000）十字交乘法錯誤類型：沿斜線作答. 郭文智（2017）認為國中八年級學生在因式分解單元中整體學習成效略低。 高意雯（2010）的研究指出學生面對首項係數為 1 且係數全為正、數據較小的因 式分解問題，較能提升學生作答意願且答對率較高。許嘉展和詹勳國（2012）指 出首項係數為 1 且係數全為正的因式分解問題，符合過去學習經驗將正數分解為 正數乘以正數，有較好的學習成效；但常數項係數為正而一次項係數為負時，須 將正數分解為負數乘以負數，答對率大幅下降。 Bernard, Ramirez, Villalobos (2017) 提出因式分解 ax2 + bx + c 中， M*N = a*c 與 M + N = b，可找出因式分解問題的解。例如：20x2 + 104x – 33 中， M+N=104，MN =－660，找出 M = 110 與 N =－6 後，20x2 + 104x – 33 = 20x2 + (110x – 6 x )– 33 = 10x (2x + 11) – 3(2x + 11) = (10x – 3) (2x + 11)。由此可知 二次三項式的因式分解問題，可以轉換為分解係數中的兩數之和、兩數之積問題，. 9.
(16) 本研究將利用十字交乘法的這個特性來設計遊戲式學習環境。. 學生在學習十字交乘法時，要知道二次式是由兩個一次式相乘展開，因此二 次式的常數項係數是由兩個一次式的常數項係數相乘，二次式的一次項係數是由 兩個一次式的一次項與常數項係數交叉相乘後再相加，二次式的平方項係數是由 兩個一次式的一次項係數相乘。在這一連串的解題過程中除了題目的一元二次多 項式之外沒有其他的線索，只能透過不斷的嘗試並由錯誤中整理出規則。例如要 利用十字交乘法因式分解 6x2 + 11x − 10，首先須分析首項係數 6 可分解為1 × 6、 2 × 3、(−1) × (−6)、(−2) × (−3)四種組合，常數數−10 可分解為(−1) × 10、 (−2) × 5、1 × (−10)、2 × (−5)四種組合，將這些情形進行交叉相乘使一次項係 數為 11。首先選取 6x2= 2𝑥 ∙ 3𝑥與−10 = 2 × (−5)進行嘗試。若分解為 (2x + 2)( 3x − 5)，這種情形中可提出公因數 2，但原式中各項係數並無公因數 2， 因此進行修正，嘗試以(2x − 5)(3x + 2)分解並進行檢驗，得到一次項係數為−11， 與原式 11 異號，因此再次進行修正，將分解後的常數項變號，改為(2x +5)(3x −2) 分解，進行檢驗後符合原式，即是正確的因式分解。由上述範例可見，進行十字 交乘法因式分解時，需要透過分解數、分解式、嘗試錯誤、整合等步驟逐漸形成 系統性的原則。 2x 2x. −2. −10. 6x. 3x 3x. +5. −15x. a.產生與原式不符的公因數. +2 + 4x = −11x. b.一次項係數與原式異號 2x. 6x2 + 11x −10. −5. 2. +5. 6x2. −10 3x − 2 15x − 4x = 11x c.正確的因式分解. = (2x + 5) (3x − 2). 圖 2- 3 十字交乘法錯誤修正歷程 另一方面，一元二次多項式的問題，有別於學生過去所學習過的一元一次多 項式，能透過許多生活中的例子理解，並知道一元一次方程式可以用來解決生活 10.
(17) 上常見的應用問題。但因式分解的目的是為了解一元二次方程式，而在因式分解 這個單元較難透過生活中的例子來理解，而學習因式分解時學生還尚未學習解一 元二次方程式，因此也較難知道其用途。對學生而言，一元二次多項式相較於一 元一次多項式更為抽象，但也正因為如此一元二次多項式是學生學習歷程中由數 進入式的關鍵階段，適合用來培養學生抽象思考，以利於將來學習二次函數、高 次多項式。. 第二節. APOS 學習理論. 為了使學生能理解十字交乘法的運算概念並熟練運算程序技巧，將透過相關 代數學習理論分析十字交乘法，並依據學習理論來建立適當的學習活動。Gray & Tall (1991) 提出過程概念理論（Procept Theory） ，描述在代數學上符號同時包含 了運算程序與概念，符號是我們運算的過程，同時符號也是進行思考的概念。也 就是說，當我們在學習代數時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念，而 了解其概念才算精熟這項代數運算。例如 3+2 這個符號本身是要進行加法的運算 過程，而這個符號同時也包含了和的概念。. 符號 symbol. 過程 process. 過程概念 procept. 概念 concept 圖 2- 4 符號同時蘊含著過程與概念而產生過程概念(procept). 而在本研究主題十字交乘法中，十字交乘法本身是對二次式係數進行一連串 的分解運算程序，而這些符號背後同時也包含了一次式乘法展開的逆運算的概念。 因此在學習十字交乘法時必須透過運算操弄符號的過程來理解代數概念，才能達 到精熟學習。. 國中階段所學習的十字交乘法是指將形如 ax2 + bx + c 的二次三項式分解為 兩個一次式相乘的方法。學生需理解因式與倍式的關係和多項式的四則運算，還 11.
(18) 要知道因式分解是一次式乘法展開的逆運算，嘗試分解完後需要將其展開檢驗是 否分解正確。例如欲分解 x2 + 5x + 6，x2 分解為兩個 x 相乘，6 分解為 2 和 3 相 乘，而中間的一次項是 2x + 3x = 5x，與原式一次項 5x 相同即是正確的因式分解。 在分解首項係數為 1 的二次三項式時，可將操作程序分為對常數項係數分解成兩 數相乘，如上例子中 6 分解為 2 乘 3，本研究中將此步驟稱為乘法分解；一次項 係數分解成兩數相加如上例子中 5 分解為 2 加 3，本研究中將此步驟稱為加法分 解。因此十字交乘法需要理解其概念及運算技巧。. 代數知識. 系 統 性 修 改. 一次項 係數. 常數項 係數. 加法分解. 乘法分解 整合. 錯誤. 檢驗. 正 確 寫答. 圖 2- 5 十字交乘法解題歷程. 利用十字交乘法進行因式分解 x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)，代表了因式分解 的過程，其中包含常數項係數乘法分解、一次項係數加法分解、整合、驗證等一 連串的程序，同時也表示因式分解的概念與代數結構。 12.
(19) 表 2- 2 十字交乘法的過程概念 利用十字交乘法進行因式分解 符號. x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3). 數學概念. 運算程序. 正負數的加法. 加法分解. 因數分解. 乘法分解. 多項式四則運算. 分配律乘法展開. 因式與倍式. 分解後的數字對應到因式的係數. Dubinsky (1991) 發展在高等數學思維的抽象反思而形成的理論架構── APOS 理論。在認知發展理論中提出起源分解 (genetic decomposition)，以「基模」 的觀點，將複雜的數學概念分割成小部份，並描述基模之間可能的關聯。透過這 個分割後再分析，使我們掌握到學生如何學習一個概念，並如何透過該概念發展 學 習到的部分建立後續所欲發展的基模。而他將數學概念的學習分為行動 (Actions)、過程(Processes)、物件(Objects)、基模(Schemas)。. 個體的概念發展是透過對數學物件(objects)進行單獨且外在的行動(actions)， 在重複進行這些單獨且外在的步驟並經過反思後，個體將這些步驟合併並内化形 成過程(processes)。若在行動階段缺乏反思，個體將被限制在執行一連串程序的 行動階段，如同代公式般的操作。在過程階段已經將行動合併並內化，個體可將 過程視為獨立且完整的，不是將其視為一連串行動，需要接收到起始動作的刺激 才能進行行動，因此能將這個過程與其他過程結合、進行逆運算，逐漸透過反思 將概念抽象化。. 形成過程後再重複進行過程並經過反思將連續的行動、過程整合後，並將其 是為一個可操作的物件(objects)，最後，將行動、過程、物件與其他基模連結、 整合，形成新的基模(Asiala et. al., 1996; Breidenbach, Dubinsky, Hawks & Nichols, 1992; Dubinsky & McDonald, 2002) 。 13.
(20) 本研究將國中階段所學習的十字交乘法進行起源分解，以因式分解 x2 + 5x + 6 為例，學生在對首項係數為 1 的二次三項式這個物件進行行動(actions)時，需 要對常數項係數分解為兩個因數的乘積，再檢驗這兩個因數的和是否為一次項係 數，若結果不相等，則須重新進行乘法分解，再重複進行乘法分解直到解出正解 為止，再經過反覆練習後，將這些過程內化形成 Processes，在此過程中，可發 現在十字交乘法過程中，對係數進行乘法分解與加法分解是解題過程中的核心技 巧，依據起源分解學習理論，若能在進入因式分解前，強化乘法分解與加法分解 的核心技巧，應該可以讓學生有更好的學習成效。. 圖 2- 6. APOS 理論運作模式 (Asiala et. al., 1996). 14.
(21) 以下為本研究依據 APOS 理論與起源分解來進行規劃課程流程： 一、加法分解：對指定數字進行加法分解的行動(Action)。 例如：給定 5，學生可分解為 1+4 或 0+5 皆可。 二、乘法分解：對指定數字進行乘法分解的行動(Action)。 例如：給定 4，學生可分解為 1×4 或 2×2 皆可。 三、整合加法與乘法分解：需同時進行指定數字的乘法分解的行動與指定數字的 加法分解的行動(Action)。 例如：加法分解 5、乘法分解 4，透過不斷嘗試並整合，找到 1 和 4，使得 1+4 = 5 且 1×4 = 4，才是正確的。 四、數字複雜提升難度：改變數字的正負號、數字的因數變多、數字變大……等 複雜因素，讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能照找到正確答案。 漸漸將加法與乘法分解的過程內化，形成過程(Process)。 五、數字複雜提升難度，讓學生在嘗試的過程中能觀察出數字的規律，漸漸找到 分解的通則，使學生能將加法與乘法分解形成一個物件(Object)。 六、分解二次三項式：對多項是進行「因式分解」的動作(Action)，讓學生找到 對應的係數使用加法與乘法分解來進行因式分解。 七、方程式係數複雜化：改變係數的正負號、因數變多、數字變大……等複雜因 素，讓學生在解題歷程中必須經歷多次嘗試後才能找到正確答案，漸漸將因 是分解的過程內化，形成過程(Process)。 八、方程式係數複雜化，讓學生在嘗試與驗證的過程中能察覺運用乘法展開來檢 驗因式分解是否正確，進而理解因式分解為乘法展開的逆運算，使學生能將 因式分解形成一個物件(Object)。. 如上步驟將利用十字交乘法進行因式分解，透過起源分解建立的教學流程， 先針對數進行行動、過程形成物件、基模(APOS)；再對二次式進行行動、過程 形成物件、基模(APOS)。本研究將結合雙層 APOS 理論來設計教學活動，使學 生反思練習，期望能達到良好的學習成效。. 15.
(22) 第三節. 遊戲式學習. Abt (1970) 提出嚴肅的遊戲(Serious game)，Michael and Chen(2005)對嚴肅的 遊戲給了較簡單的解釋，嚴肅的遊戲並不是以娛樂而是以教育（多樣化的形式呈 現）為主要目標的遊戲。Lepper 和 Malone(1987)認為遊戲吸引人的要素為有挑 戰(challenge)、好奇(curiosity)、控制(control)和幻境(fantasy)以及人際間的合作 (Cooperation)、競爭(Competition)、認同(Recognition)。因此在遊戲式學習環境中 可以讓使用者更加投入。. Boyle(2016) 整理了 2009 至 2014 間的遊戲式學習文獻，其中 143 份文獻具 良好的實證指出遊戲式學習可產生較好的表現。並進一步分析發現遊戲是促進學 生投入而達到幫助學習的效果。Faghihi 等人(2017) 研究指出遊戲式學習可降低 使用者學習數學時的焦慮與壓力，但對學習困難的學生而言，即使在遊戲式學習 環境中仍然會有灰心的感受，因此該研究建議開始時應佈置最基本的問題，在漸 漸朝學科主題前進。. Siew 等人 (2016) 研究 DragonBox Algebra 12+ 遊戲進行等量公理的遊戲式 學習環境中，可顯著提升代數思維與學習態度。但 Long & Aleven (2014) 研究指 出 DragonBox Algebra 12+ 遊戲可以使使用者感到愉悅，並進行更多的練習，但 是學習成效卻不如無遊戲的數位式學習環境，缺乏明確的連結到標準的代數符號 與轉換規則。因此設計遊戲時，遊戲應要內含數學本質，並逐漸連結到標準的代 數符號形式，才能達到有效的學習。. Annetta, Minogue, Holmes & Cheng(2009) 的研究中則指出使用者在使用遊 戲來進行學習之前，必須先學習如何進行遊戲，而在遊戲進行的過程中除了學習 主題之外，還要學習進行遊戲所需要的技巧。另外，由於學習的過程中是透過遊 戲學習，而如何評量使用者在過程中學習到的技能，以及將這些技能連結至學科 主題都是影響學習成效的重要因素。因此，遊戲本身具有的複雜性和評量方式的 調整，是我們在研究設計上不可忽視的因素。. 16.
(23) Faghihi 等人(2017) 提出數學學習的遊戲式學習環境設計步驟： 1. 找出數學概念的多樣性，使數學概念可以有趣的學習 2. 對每個數學概念，設計遊戲要素與環境 3. 結合生活經驗與畫面美觀，增加遊戲性，讓使用者操作過程中感到愉悅 4. 課程的心理組成，找出真實生活與數學概念的連結 5. 整合遊戲環境的功能，讓使用者在需要時能互動、參與 6. 整合遊戲的獎勵或積分機制. 本研究依據上述步驟進行學習十字交乘法的遊戲式學習環境設計： 1. 十字交乘法的概念，為一次式乘法展開的逆運算，也可用矩形面積拼接 重組表示，而本研究使用係數拆解為兩數之和、兩數之積的方法使學習較有趣。 2. 第一部分分解數字，將數字拆解為兩數之和、兩數之積的數學概念，轉 換為密碼解鎖的遊戲情境；第二部分代數式的因式分解，需理解十字交乘法為一 次式乘法展開的逆運算，將乘法展開的過程轉換為手勢解鎖的遊戲情境。 3. 結合密碼解鎖的生活經驗，美化門、密碼、按鈕與動畫呈現，增加遊戲 性，讓使用者操作過程中感到愉悅。 4. 找出真實生活與數學概念的連結。本研究中十字交乘法為解方程式所必 需的技巧，因此真實生活較多與一元二次方程式的連結，較難與十字交乘法連結。 本研究設計中僅以開門解鎖與 101 大樓等情境結合生活經驗。 5. 本研究設計中，透過密碼解鎖的過程，選取轉盤輸入數字，讓使用者進 行操作與互動。 6. 結合時間限制、提示限制，若能在指定時間內沒有使用提示就答對，即 可獲得星星，若未能獲得星星可再重新挑戰，首頁可看到 30 個關卡共 30 個星星， 建立累積星星的積分機制。 Vollmeyer 和 Rheinberg(2000) 認為若作業不具挑戰性將無法激勵學生學習， 而在學生欠缺所需知識時則會使學生感到困難而缺乏完成作業的動機。而在學習 的過程中若有結合先前學習到較簡單的知識，可使學習者具有較高的動機持續完 成作業。因此在本研究中將控制數字的因數個數、數字大小、正負號等變化，逐 漸提升作業的困難度，並且佈置問題時規劃每個問題都是前一題再增加一點複雜 17.
(24) 度，因此學習者在面對較困難的問題時，仍然可用到原先學習的技能來解決問題， 使學習者具有較高的動機持續完成作業，讓使用者在遊戲的過程中持續成長。. Kafai (1996)提出遊戲設計上將學科內容與遊戲進行整合普遍分為兩種方法， 外在整合(extrinsic integration)或內在整合(intrinsic integration)，外在整合常見的 形式是透過回答學科主題的問題而使遊戲得以前進；而內在整合則是將學科主題 與遊戲想法整合在一起。Habgood and Ainsworth(2011) 以判別 100 以下的數是否 含有 2、3、5、10 等因數為主題，進一步比較內在整合與外在整合的研究，其研 究發現將學習內容與遊戲進行內在整合組可以使學生在遊戲學習的過程中達到 好的學習成效。因此本研究將以十字交乘法之核心技能，將一數字分解為兩數之 積、兩數之和與密碼解鎖遊戲進行內在整合。. Hainey, Connolly, Stansfield 和 Boyle(2011)統整許多有關遊戲式學習的文獻， 並提到這些文獻中的缺點，缺乏經驗證據，遊戲中的暴力元素可能使學習者產生 有攻擊性、破壞性的行為與態度；準備上需要進行許多後製作業，軟體的製作、 安裝、軟硬體間的相容性……等，需要花費許多的人力與時間。. Shaffer, Halverson, Squire and Gee(2005)更指出許多學習遊戲在設計上缺少 了相關的學習理論。Porter (1995)認為在許多遊戲中，依據遊戲中的規則規劃獲 勝策略，當使用者在與遊戲互動時可能會有不小心意外的通過，而在使用者會錯 意並趕到興奮時，遊戲將陷入混亂而造成混淆的外在變因。因此本研究將加入即 時回饋系統與適當的提示功能，期許避免讓使用者有會錯意，或不知道該如何操 作的情形。. Hamari (2016)研究建議遊戲式學習環境中，遊戲的挑戰必須隨著使用者的能 力而提升難度，如此能提升使用者的投入程度，而投入程度能有效提升學習成效。 因此本研究將利用內在整合，將學科本質與遊戲結合，設計遊戲式學習環境，期 許能透過遊戲提升使用者的投入程度，並達到良好的學習成效與學習感受。. 18.
(25) 第四節. 觸控裝置與體現認知. 近年來隨著科技發展，智慧型手機與平板等觸控裝置逐漸普及，因其容易攜 帶與觸控的直覺式操作等便利性，也逐漸運用與教育上。Kilgore and Capraro(2010) 使用互動式電子白板進行圖像式因式分解教學，Segal (2011) 研究指出直接觸控 相較與透過滑鼠操作對學習效果較好、反應時間較快也較準確，且會促進使用者 產生進階的策略。若手勢在生活中的意義能與環境中的意義相同(Congruent Gestures)，則在學習表現上也優於非同意義的手勢(Incongruent Gestures)。例如： 想要將物件旋轉，在數位環境中使用兩指旋轉便將物件旋轉，兩指旋轉的這個手 勢與我們現實生活中旋轉物件的意義相同，即為 Congruent Gestures；另一方面， 若在數位環境中點擊一下轉便將物件旋轉，而點擊一下與我們現實生活中旋轉物 件的意義不同，則點擊一下的手勢則為 Incongruent Gestures。. Johnson(2008)認為體現認知是指知識是身體所經驗到的本質，在個體與環境 互動的過程中理解世界的方式，因此在觸控式操作介面中，個體與裝置的互動更 為密切，在設計數位教材過程中若能有效結合體現認知，應能提供使用者有效的 學習。Abrahamson 和 Lindgren (2014) 研究指出在數學或科學的學習環境中， 若手勢與身體操作意義和使用者的日常經驗相符，可達到較好的學習成效。並進 一步提出體現設計，可以讓使用者透過在學習環境中的身體行動，引導學習者發 現的較抽象的數學或科學概念。而本研究中，十字交乘法的「十字」是本學習活 動的核心概念，且其意義為利用分配律進行多項式的乘法展開，本研究中使用拖 曳的手勢進行分配律與生活中物品分配的經驗相近為 Congruent Gestures，期許 可達到較好的學習成效。. Shapiro (2011) 強調體現認知與認知科學的差異，描述認知觀點的三個基本 想法： 1. 概念化(Conceptualization)：個體透過身體的性質來決定、限制或建構概念； 2. 置換性(Replacement)：個體與環境互動的動態過程可取代認知上表徵的需求， 因此認知並非一定要透過運算程序或表徵狀態； 3. 組成(Constitution)：在認知的組成中，除了大腦之外，身體與世界絕對不是毫 不重要的角色。 19.
(26) 例如：孩童學習 3+5 的加法時，會對著具體物件利用手指進行點數，而點數 的過程中手指的移動與觸碰形成了孩童的加法概念，且過程中是透過身體與外部 世界物件的互動來認知，而非透過數字演算或符號表徵來學習。而本研究中，利 用十字交乘法進行因式分解需理解因式分解為多項式乘法展開的逆運算，因此結 合乘法展開的拖曳手勢，希望在操作過程中能讓使用者透過體現認知而建立十字 交乘法的數學概念。. 20.
(27) 第三章. 研究方法. 本研究目的在於設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動，並期 望學生透過本學習活動增進學習十字交乘法的學習成效。學習活動設計將在第四 章進行論述，以下就研究設計、研究對象、研究流程、研究工具與研究限制分五 節論述。. 第一節. 研究設計. 本研究旨在設計「利用十字交乘法因式分解」的遊戲式學習活動，並探討教 學指引與觸控直接操弄這兩項變因對學生的學習成效、認知負荷與感受上的差異。 本研究分為實驗一與實驗二兩部分，實驗一針對「有無教學指引」與「觸碰直接 操弄」兩項變因進行探討，共找四個班級並分為四組，分別為觸碰界面上有教學 指引（簡記為 iPad-1） 、觸碰界面上無教學指引（簡記為 iPad-2） 、電腦界面上有 教學指引（簡記為 Mouse-1）、電腦界面上無教學指引（簡記為 Mouse-2）。四組 皆在無教師介入的情況下透過與數位環境的互動進行自學。研究設計模式如表 3- 1 所示。. 表 3- 1 實驗一以「教學指引」與「觸碰直接操弄」為變因之 2 乘 2 實驗設計 引導 無教學指引. 有教學指引. iPad 直接操弄. iPad-1. iPad-2. Mouse 非直接操弄. Mouse-1. Mouse-2. 環境. 實驗二針對有無遊戲情境進行研究，為了解遊戲情境是否能提升學生的參與 意願或是會對學習產生干擾或過多的外在認知負荷，進而造成學習成效上的影響， 因此分為「有遊戲情境」 （簡記為 iPad-2）與「無遊戲情境」 （簡記為 iPad-3）兩 組，採用實驗一中的在觸碰界面上有教學指引的環境(iPad-2)的教學流程，但去 除與遊戲情境而建立 iPad-3，兩組皆在觸碰介面有教學指引的環境下進行，整體 實驗設計如表 3- 2 所示。. 21.
(28) 表 3- 2 實驗二以遊戲情境為變因之實驗設計 實驗二. 引導. 無教學指引. 有教學指引. 有教學指引 無遊戲情境. iPad 直接操弄. iPad-1. iPad-2. iPad-3. Mouse 非直接操弄. Mouse-1. Mouse-2. 環境. 實驗一. 本研究為分析 5 組學生在無教師介入自我學習十字交乘法之學習成效與感 受，因此進行以下實驗設計： 1. 為了解學生是否具有所需的先備知識，進行 20 分鐘的前測 2. 進行 40 分鐘教學實驗，分 5 組進行操作本研究開發之學習環境 3. 教學實驗後，立刻填寫感受量表(約 5 分鐘) 4. 實驗後，為了解學生的學習成效，進行 40 分鐘的後測. 22.
(29) 第二節. 研究對象. 因為本研究的學科主題為利用十字交乘法因式分解，而預計讓已經學習過因 式分解但尚未接觸過十字交乘法的學生，透過本學習活動來學習利用十字交乘法 進行因式分解。因此本研究以國中八年級學生為研究對象，並且學習過以提公因 式因式分解與乘法公式因式分解。. 本研究的前導性實驗以新北市 A 國中之 3 名學生，分別在 iPad-1、iPad-2、 iPad-3 環境下進行，檢測本實驗的環境使用流暢性與前後測評量與問卷是否合 宜。. 本研究之正式研究對象以臺北市 B 高中附屬國中部八年級 3 個班級與新北 市 C 國中八年級 2 個班級，均為男女合班常態編班。五組共計施測人數為 157 人，扣除缺少前測、後測等無效樣本後，本實驗各組之有效樣本數如下：iPad-1 為 26 人、iPad-2 為 29 人、iPad-3 為 25 人、Mouse-1 為 23 人、Mouse-2 為 19 人， 共 122 人。因受限於 iPad 組需使用平板電腦，因此將臺北市 B 高中附屬國中部 八年級隨機分配，b1 班為 iPad-1、b2 班為 iPad-2、b3 班為 iPad-3。新北市 C 國中 八年級隨機分配，c1 班為 Mouse-1、c2 班為 Mouse-2。. 表 3- 3 各組施測人數與有效樣本數 iPad-1. iPad-2. iPad-3. Mouse-1. Mouse-2. 施測人數. 30. 32. 33. 30. 32. 有效樣本. 26. 29. 25. 23. 19. 23.
(30) 第三節. 研究流程. 本研究由設計階段與前導性實驗及正式實驗，流程如 圖 3- 1 所示。. 設計階段. 設計數位學習環境、前測、感受量表與後測 ↓. 前導性研究. 3 位學生進行前測、實驗、感受量表、後測， 與半結構式訪談，並依訪談結果進行修正 ↓. 前測. 5 組學生進行 20 分鐘前測 ↓. 正式實驗. 分 5 組進行 40 分鐘教學實驗 與 5 分鐘填寫感受量表 ↓. 後測. 5 組學生進行 40 分鐘後測 ↓. 資料分析. 分析研究數據並撰寫報告 圖 3- 1 研究流程圖. 24.
(31) 第四節. 研究工具. 本研究之數位學習環境將於第四章中完整介紹，而本節將介紹本研究為了解 學生透過本數位學習環境之學習成效與感受，所使用前測、感受量表、後測等研 究工具。. 多項式與因式分解測驗（前測） 本研究前測之目的在於分析學生進行教學實驗前之先備知識，其中包含因數 分解、多項式乘法展開與同類項合併、因式分解等概念。本研究將依據上述先備 知識自編因式分解測驗，並經過多次與數學教育專家、數學教育碩博士學生共同 討論後編定而成，並執行內部一致性分析得到 Cronbach’s Alpha 值為 0.934，整 體命題架構如表 3- 4 所示，完整前測試卷如附錄。. 表 3- 4 前測命題架構. 先 備 知 識. 十字交乘 基本題. 主要概念. 題數. 範例. 因數分解. 2. 數值表徵之十字交乘法問題. 2. 多項式同類項合併. 2. 多項式展開. 4. 提公因式因式分解. 1. 因式分解 𝑥 2 + 7𝑥. 利用乘法公式因式分解. 1. 因式分解 𝑥 2 + 4𝑥 + 4. 將 72 化成兩數的乘積， 一正一負共 2 題 a+b=8 且 a×b=7，求 a , b， 一正一負共 2 題 －8x + 3x = ? ， 一正一負共 2 題 (x+2) (x+5) = ? ， 括號內正負號變化共 4 題. 因式分解 𝑥 2 + 6𝑥 + 5， 利用十字交乘法因式分解. 4. 25. 一次項係數、常數項係數 正負變化，共 4 題.
(32) 感受量表 本研究為了分析學生在數位學習環境中的認知負荷感受與內在動機，認知負 荷量表改編自呂鳳琳 (2010)，分別量測意願、困難度、花費心力、信心指數和 投入努力 5 個維度。而本研究所使用的動機量表，改編自 Ryan 和 Deci(2010) 的內在動機量表(Intrinsic Motivation Inventory (IMI), 2010)，分別是挑戰性和樂在 其中，共 2 題。另外，本研究的軟體感受量表改編自王偉斌 (2013)，包含流暢 性、便利性等面向，共 6 個維度。以上問題皆採用 1 至 9 點的量表，評量學生各 方面的感受，完整感受量表詳見附錄。. 表 3- 5 感受量表架構 引用文獻. 題數. 維度. 認知負荷. 呂鳳琳 (2010). 5. 意願、困難度、花費心力、 信心指數、投入努力. 內在動機. Ryan and Deci (2010). 2. 挑戰性和樂在其中. 軟體感受. 王偉斌 (2013). 6. 流暢性、想用、介紹、 方便、易理解、易學. 26.
(33) 十字交乘法因式分解測驗（後測） 本研究後測之目的在於分析學生在經過教學實驗後的學習成效，以及在數位 學習環境中學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題，是否能理解 因式分解是乘法展開的逆運算等概念。因此本測驗將針對保留學習環境的問題、 首項係數為 1 的十字交乘法因式分解與延伸的遷移問題，三部分來編製評量工具。 本研究採自編因式分解測驗，並在編製過程中經過多次與數學教育專家、數學教 育碩博士學生共同討論後編定而成，並執行內部一致性分析得到 Cronbach’s Alpha 值為 0.964，整體命題架構如表 3- 6 所示，完整後測試卷如附錄。. 表 3- 6 後測命題架構. 保留情境 的問題. 十字交乘 基本題. 主要概念. 題數. 範例. 第一階段. 2. 加法分解、乘法分解各 1 題. 第二、三階段. 4. 正負號變化，共 4 題. 數值表徵之十字交乘法問題. 2. 填空式因式分解問題. 2. 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 = (𝑥 + □)(𝑥 + □). 填空式因式分解問題 含十字交乘法過程. 2. 需填入十字交乘法過程. a+b=8 且 a×b=7，求 a , b， 一正一負共 2 題. 因式分解 𝑥 2 + 6𝑥 + 5，. 遷移問題. 利用十字交乘法因式分解. 4. 反向填空. 2. 需理解因式分解為展開的逆 運算的概念問題。. 需提公因數. 1. 因式分解 3𝑥 2 + 12𝑥 + 9. 需變數變換. 2. 將 x 改為 y，將 x 改為(x－5). 首項係數非一之. 2. 十字交乘法問題. 27. 一次項係數、常數項係數 正負變化，共 4 題. 常數項為 1 的 1 題， 常數項不為 1 的 1 題.
(34) 第四章. 十字交乘法遊戲式學習活動. 本章將論述本研究如何結合學習理論設計十字交乘法的遊戲式學習活動，第 一節將說明如何依據 APOS 理論將十字交乘法的數學結構進行分割而安排學習 活動，第二節將結合遊戲式學習相關理論以發揮遊戲式學習的潛能，將完整呈現 無教學指引版本(iPad-1)中本學習活動之設計結果。第三節將說明如何結合本研 究中三個操作變因形成五個版本的學習環境。. 表 4- 1 操作變因與五個版本的關係 引導. 無教學指引. 有教學指引. 有教學指引 無遊戲情境. iPad 直接操弄. iPad-1. iPad-2. iPad-3. Mouse 非直接操弄. Mouse-1. Mouse-2. 環境. 第一節. 學習活動. 本學習環境設計的目的在於使學習者透過遊戲的挑戰來理解與熟練十字交 乘法。而十字交乘法本身是一個複雜的數學想法，它包含需要代數運算的演算技 能以及代數結構的過程概念(procept)。例如要分解𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)， 演算程序上需要知道將 c 分解為 p, q 相乘，且 b 分解為 p, q 相加，並對應到方程 式係數的過程概念。. 因此本遊戲學習環境分為兩部分：第一部分在強化演算技能、第二部分在強 調過程概念。第一部分強化演算技能，即將一次項係數分解為兩數相加、常數項 係數分解為兩數相乘，這個核心技巧抽取出來讓學習者練習，並在練習的過程中 掌握計算上的技巧進而產生成就感，透過解碼的遊戲來熟練分解的技巧，本部分 又透過運算的複雜度與係數正負號的複雜度分為三個階段進行，第一階段分別獨 立的學習分解一數為兩數相加及兩數相乘，是將問題分段切割降低演算的認知負 荷，並熟悉環境的規則。第二階段是同時進行將一數分解為兩數相乘一數分解為. 28.
(35) 兩數相加。如圖 4- 1 所示，要將 12 分解為兩數相乘（12 = 4 × 3），7 分解為兩 數相加（7 = 4 + 3）的遊戲解碼過程。第三階段延續第二階段的學習遊戲，但 引進負數，讓學生學習正負數混合的演算技巧。. 如圖 4- 1 所示，第一部分的環境畫面中會在左方呈現需要加法分解與需要乘 法分解的數字，畫面上方會有目前的關卡名稱、計時器和目標時間。第一部分的 環境中可操作的區塊如圖 4- 2 圖 4- 1 所示，右方兩個轉輪可左右滑動選取數值 （皆為整數） ，選取完畢後可按下紅色按鈕送出答案，若遇到困難無法解出答案， 可按下上方的提示，或回到首頁選取前面的基礎關卡再次練習。. 目前的關卡. 計時已經經過多久. 若在目標時間內完成，可獲得獎勵. 需乘法分解的數字. 需加法分解的數字. 圖 4- 1 本遊戲式學習環境中第一部分的環境畫面. 29.
(36) 3.給予提示. 4.回首頁. 1.可左右滑動選取數字. 2.送出答案. 圖 4- 2 本遊戲式學習環境中第一部分的操作畫面. 在學生按下紅色按鈕送出答案後的即時回饋方式如圖 4- 3 所示，正確分解會 有通電的動畫，並向左移動開門；但分解錯誤則沒有通電的動畫，也不會移動。 透過錯誤回饋畫面讓使用者可察覺哪些地方錯誤，並修正答案。當學生無法解決 問題時，可觀看提示來發展解題策略，若仍然無法解決，再超過一定時間後可觀 看參考答案，得知自己在思考時的漏洞在哪。每個任務都會計時，若在時間內完 成可獲得星星，使學生感受到挑戰性，並迫使他們必須發展出適當的解題策略來 加快答題速度。隨時可回首頁，選取較不熟悉的部分反復練習，其練習題的問題 將會依複雜度隨機出題。. 錯誤，不通電. 錯誤，不動. 正確，有通電. 正確，移動後再返回原位. 圖 4- 3 本遊戲式學習環境中第一部分答錯時的回饋畫面 30.
(37) 若回答的是正確答案，則過關回饋畫面如圖 4- 4 所示，開門動畫後，會檢驗 是否在時間內完成、是否有使用提示，若都符合的話，就可以獲得獎勵星星，可 繼續挑戰下一關，若未能取得星星可以再試一次，或回首頁選取其他關卡。. 檢驗是否在時間內完成. 檢驗是否有使用提示 獎勵. 若未得到獎勵可再試一次. 圖 4- 4 本遊戲式學習環境中第一部分的過關回饋畫面. 31.
(38) 本學習環境透過結合挑戰台北 101 的遊戲，學生需要在限定時間內完成任務 登上 101 的高峰。如圖 4- 5 為本環境首頁，左半邊的建築物是台灣學生熟悉臺北 101 大樓的示意圖，共分成六個區塊分別代表六個階段。每階段遊戲都有 5 題的 挑戰問題，共 30 題，使學習者在透過數學遊戲產生內在動機解決數學問題，並 發展出有效率的解題策略。學生在成功挑戰問題後都會給予信心與獎勵的回饋， 當無法解決問題時，可透過提示來發展解題策略。若在限定時間無法解決問題時 系統會給學生正確的參考答案。. 圖 4- 5 本遊戲式學習環境中的系統首頁 第二部分，延續第一部分學習演算技巧的解碼遊戲並聯結代數符號，使學習 者理解十字交乘法的「代數結構」和標準的代數式符號，環境畫面如圖 4- 6 所示。 本部分也依係數正負號的複雜度分為三個階段。第一階段中數字與係數全為正的， 讓學習者熟悉程序操作，並透過視覺符號與「代數技巧」聯結。第二階段加入性 質符號的變化，強化過程概念。第三階段，整合所有的技巧與概念。. 圖 4- 6. 本遊戲式學習環境中第二部分的畫面 32.
(39) 結合解密碼遊戲與攀登 101 大樓的情境在觸碰介面上，以激發學生的學習意 願，發揮觸碰介面特色，透過手指拖曳的動作將乘法的運算具體化，結合體現認 知幫助學生掌握代數運算的技巧，如圖 4- 7 所示。將遊戲過關所需要的技巧與十 字交乘法所要學習的內容進行內在整合，使學生在解密碼的同時學習，並進而引 發內在動機。隨著學習的進行，學生的能力逐漸成長，而作業的難度也逐進增加， 使學生感到作業是具有挑戰性的。. 圖 4- 7. 將手勢拖曳連結進行乘法展開運算. 本研究為達到使學習者透過遊戲學習十字交乘法之目的，將根據 APOS 理論 設計「內在整合」的學習環境，依據 APOS 理論設計的學習環境，幫助學習者掌 握分解二次三項式的學習內容：。. 根據 APOS 理論, 十字交乘法的學習將分成兩個階段。第一階段針對數值運 算，學習者對數值進行加法分解、乘法分解的 Action，再透過數值正負號的變化 並反覆練習而掌握數值運算的技巧進入 Process 部分，而使這個加法分解、乘法 分解的動作變成物件。第二階段便要使用上個階段產生的物件將對多項式這個物 件進行因式分解 Action，接著學生需要整合多項式中不同正負號的分解情形，形 成 Process，最後將這個 Process 膠囊化形成新物件(Object)與基模(Schema)。. 第一階段 先降低認知負荷，在熟悉的數值上執行運算行動 第二階段 將幾個加法及乘法的行動內化成過程 第三階段 穩固過程膠囊化成過程概念(物件) 33.
(40) 第四階段 把過程概念行動在代數結構上執行十字交乘法的運算行動 第五階段 把不同正負號性質的行程整合成另一個十字交乘法代數式過程 第六階段 穩固及內化代數式過程成為物件. 依據上述六個步驟，轉化為六個階段，每個階段各 5 題，建立本學習環境的 學習活動，整體規劃如表 4- 2 所示，而利用 APOS 理論進行活動規劃如表 4- 3 所示。. 34.
(41) 表 4- 2 整體活動規劃 階段. 第 一 階 段. 第 二 階 段. 第 三 階 段. 題號. 主題. 0. 介紹介面與操作說明. 1. 加法分解. a+b=6. 2. 加法分解，加入負數. a + b = －14. 3. 乘法分解. ab=5. 4. 乘法分解，數字變大. a b = 40. 5. 乘法分解，加入負數. a b = －12. 6. 整合加法與乘法分解. a + b = 4 ， a b =3. 7 8. 舉例說明. 整合加法與乘法分解 數字變大，因數變多. 9. a + b = 12 ， a b =35 a + b = 11 ， a b =30 a + b = 14 ， a b =45. 10. 加入負數，將正數分解為兩負數相乘. a + b = －4 ， a b =3. 11. 將正數分解為一正一負相乘. a + b = 6 ， a b =－7. 12 13. 數字變大，因數變多. a + b = 2 ， a b =－8 a + b = 3 ， a b =－54. 14. 和為負數，要推論出負數較大. a + b = －6 ， a b =－7. 15. 數字變大，因數變多. a + b = －3 ， a b =－40. 教學指引（介紹十字交乘法的代數形式以及乘法展開的逆運算） 16 第 四 階 段. 第 五 階 段. 17 18 19. 孰悉介面操作， 並運用上述所學技能 漸漸數字變大，因數變多. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 𝑥 2 + 10𝑥 + 21 𝑥 2 + 7𝑥 + 12. 20. 𝑥 2 + 12𝑥 + 32. 21. 𝑥 2 − 4𝑥 + 3. 22. 移除加號、乘法輔助， 將正數分解為兩負數相乘. 23 24 25 26. 第 六 階 段. 介紹手勢與新介面操作. 27 28. 數字變大，因數變多 將常數項分解為一正一負相乘 數字變大，因數變多. 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 𝑥 2 − 13𝑥 + 36 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥 2 + 4𝑥 − 21 𝑥 2 + 5𝑥 − 24. 29. 一次項為負數，要推論出負數較大. 𝑥 2 − 2𝑥 − 35. 30. 數字變大，因數變多. 𝑥 2 − 6𝑥 − 16. 35.
(42) 表 4- 3 利用 APOS 理論進行活動規劃 階 段. 題 號. APOS 階段. 動作 對象. 1 第 一 階 段. 對數值做「加法分解」的動作. 2 3. 說明. A. 數值. 整合加法與乘法分解. 6 7 8. P. 數值. 9 10. 隨著數字變大、因數變多等因 素，讓加法與乘法分解的動作 透過嘗試錯誤漸漸內化為過 程 Process. 12 13. O. 數值. 14 15. 第 五 階 段. 第 六 階 段. a + b = 12 ， a b =35 a + b = 11 ， a b =30 a + b = 14 ， a b =45 a + b = －4 ， a b =3. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3. 17 18. a + b = 4 ， a b =3. 引入負數，需察覺過程 a + b = 2 ， a b =－8 Process 中的錯誤進行修正， a + b = 3 ， a b =－54 將「加法與乘法分解」建構為 a + b = －6 ， a b =－7 物件並再反覆解構修正 a + b = －3 ， a b =－40. 16 第 四 階 段. a b = 40. a + b = 6 ， a b =－7. 11 第 三 階 段. a + b = －14. a b = －12. 5 第 二 階 段. a+b=6 ab=5. 對數值做「乘法分解」的動作. 4. 舉例說明. A. 多項 式. 19. 將「加法與乘法分解」應用於 多項式，對多項式進行「因式 分解」的動作. 𝑥 2 + 8𝑥 + 7 𝑥 2 + 10𝑥 + 21 𝑥 2 + 7𝑥 + 12. 20. 𝑥 2 + 12𝑥 + 32. 21. 𝑥 2 − 4𝑥 + 3. 22 23. P. 多項 式. 24. 隨著數字變大、因數變多等因 素，透過反覆練習將「因式分 解」的動作內化為過程 Process. 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 2 − 9𝑥 + 20. 25. 𝑥 2 − 13𝑥 + 36. 26. 𝑥 2 + 2𝑥 − 3. 27 28 29. O. 多項 式. 引入負數，需察覺過程 Process 中的錯誤進行修正， 將「因式分解」建構為物件並 再反覆解構修正. 𝑥 2 + 4𝑥 − 21 𝑥 2 + 5𝑥 − 24 𝑥 2 − 2𝑥 − 35 𝑥 2 − 6𝑥 − 16. 30. 36.
(43) 第二節. 遊戲活動. 本節將逐步介紹無教學指引版本中(iPad-1)，遊戲式學習活動之設計結果。. 一、首頁與情境：在輸入使用者的班級座號之後，會進入首頁，結合挑戰 101 大樓的情境，如圖 4- 8 所示。. 圖 4- 8 環境首頁. 二、介面操作介紹：在第一階段畫面中，有兩個轉輪式輸入數字的裝置，選 取完成後可按下紅色按鈕輸入，在進入任務 1 之前，會先進行操作教學，如何使 用轉輪出入數字，如何送出答案，如圖 4- 9 所示。. 圖 4- 9 介面操作介紹. 37.
(44) 三、基礎規則操作說明：在任務一中，透過介紹加法分解讓使用者熟悉界面 的操作，如圖 4- 10 所示，背景的加號表示要進行加法分解，並解釋加法分解。. 圖 4- 10 任務 1 與加法分解說明. 四、介紹介面操作：在任務二中，將負數引入，並讓使用者察覺現階段最大 的範圍為-9 ~ 9，如圖 4- 11 所示。. 圖 4- 11 任務 2 引入負數並認識範圍的上下界. 五、介紹介面操作：從任務三中，介紹乘法分解，如圖 4- 12 所示。. 圖 4- 12 任務 3 介紹乘法分解 38.
(45) 六、任務四、五中，乘法分解的數值變大、引述負數，讓使用者察覺答案可 以填入負數，且數值範圍以擴大到-20~20，如圖 4- 13 所示。. 圖 4- 13 任務 4、5 數值變大、引入負數. 七、任務六開始，必須同時進行乘法分解與加法分解，任務七至九的數值漸 漸變大，讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將乘法分解與加法分解的過程內化，如圖 4- 14 所示。. 圖 4- 14 任務 6~9 整合乘法分解與加法分解. 39.
(46) 八、任務十開始，引入負數，讓使用者察覺正數可以分解為兩負數相乘，如 圖 4- 15 所示。. 圖 4- 15 任務 10~15 引入負數. 九、任務 11~15，相乘為負數，讓使用者察覺要分解為一正一負相乘，並透 過相加為正，則正數的絕對值較大，相加為負，則負數的絕對值較大，如圖 4- 16 所示。. 圖 4- 16 任務 11~15 相乘為負數，需透過相加的正負來判斷. 40.
(47) 十、任務 16 開始進入標準代數式階段，先介紹介面中增加的十字交乘手勢， 以及將二次式係數連結到之前的乘法分解、加法分解，如圖 4- 17 所示。. 圖 4- 17 十字交乘法的乘法展開手勢. 十一、按下送出後，逐一檢驗乘法展開過程是否正確，讓使用者可以容易察 覺哪個係數的分解過程有誤，如圖 4- 18 所示。. 圖 4- 18 十字交乘法的過程正確與錯誤的回饋方式. 41.
(48) 十二、任務 17~20，係數漸漸變大，讓使用者透過嘗試錯誤漸漸將十字交乘 法的過程內化，如圖 4- 19 所示。. 圖 4- 19 任務 17~20 係數漸漸變大，逐漸將十字交乘法的過程內化. 十三、任務 21~25，本階段係數背後的加法、乘法符號消失，使用者必須自 己記住常數項要進行乘法分解、一次項進行加法分解。本階段一次項係數為負， 常數項為正且漸漸變大，讓使用者察覺能將正數分解為兩個負數相乘，如圖 4- 20 所示。. 圖 4- 20 任務 21~25 加號、乘號輔助符號消失，一次項係數為負，常數項係數漸 漸變大. 42.
(49) 十四、任務 26~30，本階段常數項為負，使用者必須判斷一次項係數為正， 則正數的絕對值較大，一次項係數為負，則負數的絕對值較大，如圖 4- 21 所示。. 圖 4- 21 任務 26~30，常數項係數為負，要能判斷負號要放在哪裡. 十五、任務 30 完成後，可以回首頁挑戰在限時內完成且未使用提示，取得 所有的星星，如圖 4- 22 所示。. 圖 4- 22 完成後可回首頁，取得尚未取得的星星，練習不熟的單元. 43.
(50) 第三節. 結合操縱變因. 本節將介紹其他四個版本與上節所介紹的 iPad-1 的差異。. 表 4- 4 本研究五個版本間的關係 引導. 無教學指引. 有教學指引. 有教學指引 無遊戲情境. iPad 直接操弄. iPad-1. iPad-2. iPad-3. Mouse 非直接操弄. Mouse-1. Mouse-2. 環境. 一、iPad-2 為有教學指引，整體設計與 iPad-1 相同，唯一的差別在於完成 任務 15 後，即將進入標準代數式階段時，安排了一段教學，說明十字交乘法是 乘法展開的逆運算，整段教學指引如圖 4- 23、圖 4- 24 所示。接著再進入任務 16 的操作教學，。. 圖 4- 23 教學指引介紹十字交乘法為乘法展開的逆運算. 44.
(51) 圖 4- 24 教學指引介紹十字交乘法. 二、Mouse-1、Mouse-2 為滑鼠介面操作，整體環境分別與 iPad-1、iPad-2 相同，唯一的差異為介面中介紹時請輕觸螢幕，改為點擊滑鼠左鍵，如圖 4- 25。. 滑鼠介面：請按滑鼠左鍵 觸碰介面：請輕觸螢幕 圖 4- 25. iPad 介面與滑鼠界面的差異. 45.
(52) 三、iPad-3 為無遊戲情境版本，首頁改為單元一~單元六，如圖 4- 26。. 圖 4- 26 iPad-3 無遊戲情境之首頁. 第一階段問題皆改為填充題模式，使用小鍵盤輸入數字，無挑戰 101 與密碼 解鎖之情境，如圖 4- 27 所示，點選要輸入的格子後，可輸入數字，輸入時上下 方的格子會同步改變，輸入完畢可按下紅色按鈕送出。正確的回饋方式是在等號 旁出現打勾，錯誤則出現打叉。. 圖 4- 27. iPad-3 無遊戲情境之第一階段問題型式與回饋方式. 46.
(53) 第五章. 研究結果. 本章將分析各版本的前測與後測之比較，第二節將分析認知負荷與學習感受， 第三節將結合學習成效與投入心力分析學習效率與投入程度。. 第一節. 各組間學習表現之差異. 為了理解本研究設計的數位學習環境之學習成效，將探討在數位學習環境中 學習到的技能是否能有效連結到標準的十字交乘法問題，以及是否能理解因式分 解是乘法展開的逆運算之概念。因此將從遊戲情境問題、代數基本問題與延伸遷 移問題三個面向分析。. 1.1. 五組皆在數位學習環境中有效學習 如表 5- 1 所示各版本在仿操作介面問題上各組皆達到 80%左右的答對率，. 由此可知大多數學生在本研究設計的學習環境中能有效學習到十字交乘法需要 的加法分解與乘法分解技能，並在無教師介入教學下，學生能整合加法分解與乘 法分解，並發展解題策略。. 表 5- 1 各版本後測仿操作介面問題之分數之比較 介面. iPad. Mouse. 版本. 仿操作介面問題之分數 人數. 平均值. 標準差. 1. 26. 88.62. 15.88. 2. 29. 87.64. 20. 3. 25. 94.67. 9.81. 1. 23. 79.53. 26.94. 2. 19. 85.09. 29.6. 47.
(54) 圖 5- 1 仿操作介面問題. 1.2. 五組在基本問題前後測間皆達顯著差異 如表 5- 2 所示各版本在經過教學實驗之後均達到顯著進步，由此可知本研究. 之環境設計能有效將數位學習環境中學習到的技能，有效連結到標準的十字交乘 法因式分解問題，結合 APOS 理論所佈置的學習環境，可使學生有效學習首項係 數為 1 的二次式因式分解問題。能有效連結到標準的十字交乘法問題。. 表 5- 2 各版本前後測基本題之答對率 介面. iPad. Mouse. 前測 版本. 後測. 顯著性. 人數. 平均值. 標準差. 平均值. 標準差. p. 1. 26. 25.96. 40.92. 84.74. 20.92. <.001***. 2. 29. 48.28. 48.61. 81.90. 23.97. <.001***. 3. 25. 59.00. 47.81. 93.50. 13.47. .001**. 1. 23. 44.57. 42.61. 75.68. 30.40. .001**. 2. 19. 38.16. 44.39. 80.92. 31.14. .001**. 48.
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