5-1-2機率與統計-二項分布

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(1)1-2 二項分布【目標】理解二項分布的定義﹐並知道它與重複試驗之間的關係﹒能計算二項分布隨機變數的平均數､變異數及標準差﹐粗略認識常態分布﹐並能以標準常態分布的機率數值表估計二項分布隨機變數的可能值落在某個區間中的機率﹒ 【定義】 1. 二項分布的概念：恰有兩種可能結果（成功與失敗）的隨機試驗稱為白努利試驗﹒一個白努利試驗設其成功的機率為 p﹐執行一次﹐若成功令變數 X = 1 ﹐失敗就令 X = 0 ﹐ 則隨機變數 X 遵循參數為 p 的白努利分布；如果重複執行 n 次﹐並假設各次的成敗獨立﹐而令 n 次試驗中﹐成功的次數為 X﹐則 X = k 時﹐表成功 k 次﹐失敗 n − k 次﹐而每次成功的機率為 p﹐失敗的機率為 1 − p ﹐且 n 次試驗中可任選 k 次成功﹐故 P ( X = k ) = Ckn p k (1 − p) n − k ﹐ k = 0, 1, 2, L, n ﹒我們稱這種型態的隨機變數遵循二項分布﹐其中每次成功的機率 p 及試驗的次數 n 是參數﹒ 2. 二項分布的機率質量函數：設隨機變數 X 遵循參數為 n﹐p 的二項分布﹐其中 n 是正整數﹐ 0 < p < 1 ﹐則 f X (k ) = Ckn p k (1 − p ) n − k ﹐ k = 0, 1, 2, L, n ﹒對任意離散型隨機變數 X﹐若 X 的 n. 可能值為 x1 , x2 , L, xn ﹐則必須 ∑ f X ( xk ) = 1﹒當 X 是參數為 n﹐p 的二項分布 k =1. 時﹐ f X (k ) = Ckn p k (1 − p ) n − k （ k = 0, 1, 2, L, n ） ﹒. 等號右端恰為 [ p + (1 − p)]n 之二項展開式的各項﹐於是 n. ∑f k =0. 3.. n. X. (k ) = ∑ Ckn p k (1 − p) n − k = [ p + (1 − p)]n = 1n = 1 ﹐ k =0. 由於用到二項展開式﹐這是二項分布名稱之由來﹒ 取球問題與二項分布的關係：設袋中有 N 個球﹐其中 r 個是紅球（ r < N ）﹐ N − r 個非紅球﹐從中每次任取一球﹐共取 n 次﹐令隨機變數 X 表取到紅球的次數﹒若每次取後放回﹐ r n n 的二項分布﹒若每次取後不放回﹐且 ﹐ 都 N N −r r r 很小﹐則 X 的分布近似參數為 n﹐ p = 的二項分布﹒ N. 則 X 遵循參數為 n﹐ p =. 6.

(2) 【性質】 1. 設隨機變數 X 遵循參數為 n﹐p 的二項分布﹐則期望值 E ( X ) 可以計算如下：為了方便﹐令 q = 1 − p ﹐由於當 n ≥ k ≥ 1 時﹐ kCkn =. k．n ! n! (n − 1)! = = n． = nCkn−−11 ﹐得到 (n − k )!k ! (n − k )!(k − 1)! [( n − 1) − (k − 1)]!(k − 1)!. kCkn = nCkn−−11 ﹒ n. n. n. E ( X ) = ∑ k．P ( X = k ) = ∑ kCkn p k q n − k = ∑ nCkn−−11 p k q n − k k =0. 因此﹐. k =1. k =1. n −1. n. = np ∑ Ckn−−11 p k −1q n − k = np ∑ Cin −1 p i q ( n −1) −i = np( p + q) n −1 = np ﹒ k =1. 接著﹐求 X 的變異數. i =0. σX2 及標準差. n. n. k =0. k =0. σX﹐由於 σ X 2 = Var ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 ﹐. E ( X 2 ) = ∑ k 2 f X (k ) = ∑ [k (k − 1) + k ] f X (k ). 又. n. n. k =0. k =0. = ∑ k (k − 1) f X (k ) + ∑ kf X (k ) = E[ X ( X − 1)] + E ( X ) ﹐. 再者﹐由恆等式 kCkn = nCkn−−11 ﹐ n. n. k =0. k =2. n. n. E[ X ( X − 1)] = ∑ k (k − 1)．P ( X = k ) = ∑ k (k − 1)．Ckn p k q n − k = ∑ n( k − 1)Ckn−−11 p k q n − k = ∑ n(n − 1)Ckn−−22 p k q n − k. 可知. k =2. k =2. n−2. n. = n(n − 1) p 2 ∑ Ckn−−22 p k − 2 q n − k = n(n − 1) p 2 ∑ Cin − 2 p i q ( n − 2 ) −i k =2. = n(n − 1) p ( p + q) 2. i =0. n−2. = n(n − 1) p ﹒ 2. 於是﹐ E ( X ) = E[ X ( X − 1)] + E ( X ) = n(n − 1) p 2 + np ﹐ σ X 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np − np 2 = np(1 − p ) ﹒ 因此﹐X 的標準差 σ X = np(1 − p ) ﹒ 註： 2. n. n −1. k =1. i =0. (1)等式 Σ Ckn−−11 p k −1q n − k = Σ Cin −1 p i q ( n −1) −i = ( p + q) n −1 ﹐. 2.. (2)當 n ≥ k ≥ 1 ﹐組合恆等式 kCkn = nCkn−−11 ﹐ 因此﹐ n − 1 ≥ k − 1 ≥ 1 時﹐ (k − 1)Ckn−−11 = (n − 1)Ckn−−22 ﹒ 二項分布的平均數､變異數､標準差：設隨機變數 X 遵循參數為 n﹐p 的二項分布﹐則平均數 μ X = E ( X ) = np ﹐變異數 σ X 2 = np (1 − p ) ﹐標準差 σ X = np(1 − p ) ﹒. 7.

(3) 3.. 重複的白努利試驗：在作重複的白努利試驗時﹐假設每次成功的機率為 p﹐各次獨立且重複 n 次﹐ X n. 1 n. 令 X 表成功的次數﹐則 X 是參數為 n﹐p 的二項分布隨機變數﹐而（即 X ）表在重複試驗中﹐成功次數占試驗次數的比率﹐即成功的頻率﹐由平均數及標準差的性質知： 1 n. μ X = E( X ) = n. 1 1 1 1 np(1 − p) = E ( X ) = ．np = p ﹐σ X = σ 1 = | | σ X = X n n n n n n. p (1 − p ) ﹒ n. 註： (1) E (a1 X1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1 E ( X 1 ) + a2 E ( X 2 ) + L + an E ( X n ) ﹒ (2) Var (a1 X 1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1 2Var ( X 1 ) + a2 2Var ( X 2 ) + L + an 2Var ( X n ) ﹒ (3)若 X 1 = X 2 = L = X n = X 為參數 p 的白努利分布﹐. 4.. 則 E (nX ) = nE ( X ) = np ﹐ Var (nX ) = nVar ( X ) = np(1 − p ) ﹐ σ nX = np (1 − p) ﹒ 重複試驗中成功的期望值與標準差：設重複白努利試驗 n 次﹐每次成功的機率為 p﹐各次獨立﹐又令 X 表成功的次數﹐ p =. ˆ. X 表成功的頻率﹐則 μ pˆ = p,σ pˆ = n. 8. p (1 − p) ﹒ n.

(4) 【性質】 1. 二項分配的數學期望值：在 n 次獨立的試驗中，設每次試驗成功的機率為 p ，則此試驗成功次數 X 的數學期望值為 E ( X ) = np 。證明： n. n. n. k =0. k =0. k =1. E ( X ) = ∑ kP( x = k ) = ∑ kCkn p k (1 − p) n − k = n∑ Ckn−−11 p k (1 − p) n − k n −1. = np ∑ Cin −1 p i (1 − p )( n −1) − i = np[ p + (1 − p)]n −1 = np 。 i =0. 2.. 二項分配的變異數：在 n 次獨立的試驗中，設每次試驗成功的機率為 p ，則此試驗成功次數 X 的變異數為 Var ( X ) = E (( X − E ( X ))2 ) = np(1 − p) 。證明： n. n. k =0. k =0 n −1. 由 E ( X 2 ) = ∑ k 2 P( x = k ) = ∑ k 2Ckn p k (1 − p) n − k n. = ∑ nkCkn−−11 p k (1 − p) n −k = n∑ (i + 1)Cin −1 p i +1 (1 − p) n −1− i k =1. i =0. n −1. n −1. i =0. i =0. = np ∑ iCin −1 p i (1 − p) n −1− i + np ∑ Cin −1 p i (1 − p ) n −1− i. 3.. = np × (n − 1) p + np × 1 = n(n − 1) p 2 + np 。得 Var ( X ) = E (( X − E ( X )) 2 ) = E ( X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ))2 ) = E ( X 2 ) − 2( E ( X ))2 + ( E ( X ))2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = n(n − 1) p 2 + np − (np) 2 = np(1 − p ) 。成功比例的數學期望值與標準差：在 n 次獨立的試驗中，設每次試驗成功的機率為 p ，則此試驗成功比例 X 的 X E( X ) np = 數學期望值為 E( ) = =p ，成功比例的標準差為 n n n X p (1 − p ) Var ( ) = 。 n n. 9.

(5) 【另法】 1. 期望值與標準差的性質：若 n 個相同分配且兩兩互相獨立 (i.i.d.) 的隨機變數 X 1 , X 2 ,L, X n 及 n 個實數 a1 , a2 ,L, an ，則 E (a1 X 1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1E ( X 1 ) + a2 E ( X 2 ) + L + an E ( X n ) ，. Var (a1 X 1 + a2 X 2 + L + an X n ) = a1 Var ( X 1 ) + a2 Var ( X 2 ) + L + an Var ( X n ) 。註： 2. n. Var ( X ) =. ∑ (x k =1. i. 2. 2. − x )2 = E (( X − E ( X ))2 ) = E ( X 2 − 2 XE ( X ) + ( E ( X ))2 ). n = E ( X ) − 2 E ( X ) E ( X ) + ( E ( X ))2 = E ( X 2 ) − ( E ( X ))2 。 2. 白努利分配的期望值與變異數：設變數 X i ~ Ber ( p), i = 1,2,L, n ，則 E ( X i ) = 1× p + 0 × (1 − p) = p ， 2. E ( X i ) = 12 × p + 02 × (1 − p) = p ， 2. 故 Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = p 2 − p = p(1 − p) 。 3. 二項分配的期望值與變異數：在 n 次獨立的試驗 X i ~ Ber ( p), i = 1,2,L, n 中，此試驗成功次數 X = X 1 + X 2 + L + X n ，則 X ~ B(n, p) ，故 E ( X ) = E ( X 1 + X 2 + L + X n ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + L + E ( X n ) = np ，且 Var ( X ) = Var ( X 1 + X 2 + L + X n ) = Var ( X 1 ) + Var ( X 2 ) + L + Var ( X n ) = np(1 − p) 。 4. 成功比例的數學期望值與變異數： X 在 n 次獨立的試驗中，設每次試驗成功的機率為 p ，此試驗成功比例， n 1 np X = p，則 E( ) = E( X ) = n n n X np(1 − p) p(1 − p ) 且 Var ( ) = 。 = n n2 n. 10.

(6) 【性質】 1. 二項分布的近似分布：對於二項分布中的成功機率 p 是多少，我們不一定知道，當我們抽出一個樣本數大小為 n 的隨機樣本，隨機變數 X 代表成功的次數，若其中有 x 個是成 x 功的，那麼樣本中的成功比例 p = 應該與 p 差不多，故可以用 p 估計 p 。 n 但是到底這個估計有多好呢？因為 p 值未知，我們無法知道確實差距，現在抽很多個樣本大小為 n 的隨機樣本，則這些 p 值的平均數為 p ，標準差為. ˆ. ˆ. ˆ. p(1 − p ) ，當 n 夠大時， p 有近似常態分布。 n 二項分布的信賴區間：. ˆ. 2.. 利用抽樣的標準差. p(1 − p ) 公式，處理一次抽樣(即一次試驗)時，抽出 n 件 n. 產品中不良品的比例為 p 時，我們以. ˆ. ˆp(1 − ˆp) 為抽樣標準差可推算以 ˆp 為. n p 中心，產品中不良品的機率的信賴區間，在 (1 − α ) × 100% 的信心水準下，利用標準常態分配表就可推算出 p 的 (1 − α ) × 100% 的信賴區間。. 11.

(7) 【性質】 1. 用常態分布估計二項分布：有一種連續型隨機變數 X﹐其機率密度函數為 f ( x) =. 1. e. −. ( X − μ )2 2σ 2. ﹐ σ 2π 其中常數 π 即圓周率﹐它是無理數﹐ π = 3.14159 …；常數 e 也是無理數﹐ e = 2.71828 …；參數 μ 是一個實數､ σ 是一個正實數﹒這類型隨機變數的分布稱為常態分布﹐其機率密度曲線 y = f ( x) 如圖所示﹐它對稱於直線 x = μ ﹐ 而 μ 及 σ 恰為 X 的平均數及標準差﹐又平均數 μ 加減一個標準差的位置大約在曲線向下彎曲與向上彎曲的分界處﹒. 2.. 3.. 平均數為 0 且標準差為 1 的常態分布稱為標準常態分布﹒當 X 遵循平均數 X −μ 為 μ､標準差為 σ 的常態分布時﹐ 仍遵循常態分布﹐且為標準常態分 σ 布﹒ 常態分布與常態曲線具有下列性質： (1)常態曲線是單峰､對稱､平滑的曲線﹒ (2)常態分布變數的平均數､中位數､眾數是一樣的﹒ (3)平均數相同､標準差不同的常態曲線､它們的中心對稱軸相同﹐而曲線變化不同：標準差較小的常態曲線其形狀較陡﹐較窄﹒ (4)平均數不同､標準差相同的常態曲線之形狀相同﹒ 標準常態分布：平均數為 0﹐標準差為 1 的常態分布稱為標準常態分布﹐此時其機率密度函數 f ( x) =. 4.. 5.. 1 2π. − x2 e 2. ﹒變數 Z 為標準常態分布時﹐事件 Z ≤ z 的機率可由函數. Φ ( z ) 數值表得之﹐進一步可推算一般事件的機率﹒ 當隨機變數 Z 的分布是標準常態分布時﹐事件 −1 ≤ Z ≤ 1 的機率 P( −1 ≤ Z ≤ 1) 表標準常態分布曲線下 −1 ≤ Z ≤ 1 的面積﹐如圖所示﹐其值約為 0.6826﹐ 即 P (−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0.6826 ﹒ 又 P (−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0.9544 ﹐ P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0.9974 ﹒. 當隨機變數 X 的分布是平均數為 μ﹐標準差為 σ 的常態分布時﹐ X −μ X −μ 由於遵循標準常態分布﹐且 P ( μ − σ ≤ X ≤ μ + σ ) = P(−1 ≤ ≤ 1) ﹒ σ σ 故 P ( μ − σ ≤ X ≤ μ + σ ) ≈ 0.6826 ≈ 68% ﹒ 仿此可得 P ( μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ ) ≈ 0.9544 ≈ 95% ﹐P ( μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ ) ≈ 0.9974 ≈ 99.7% ﹒ 常態分布變數值落在平均數左右範圍之機率設隨機變數 X 遵循常態分布﹐ 則 X 的值落在平均數左右一個標準差內的機率約為 68%﹒ X 的值落在平均數左右兩個標準差內的機率約為 95%﹒ X 的值落在平均數左右三個標準差內的機率約為 99.7%﹒. 12.

(8) 6.. 中央極限定理：若隨機變數 X 遵循參數為 n﹐p 的二項分布﹐則 X 的平均數 μ = np ﹐標準差 σ = np (1 − p ) ﹒由於參數 n 很大時﹐其機率函數 f (k ) = Ckn p k (1 − p ) n − k 不易處理﹐數學家便研究出一套估算的方法﹒機率律中有一個非常重要的定理﹐稱為中央極限定理﹐根據此定理可推知：遵循參數為 n﹐p 的二項分布變數 X﹐ p(1 − p ) X ﹐若將標準化得變數 n n X X X −μ −μ −p n ﹐則當 n 夠大時﹐若令隨機變數 Y = n ﹐則 Y 的分布 = n σ σ p(1 − p ) n 近似標準常態分布 Z﹒設 z > 0 ﹐則 X −p X p (1 − p) P (| − p | ≤ z ) = P (| n | ≤ z ) = P(| Y | ≤ z ) ≈ P (| Z | ≤ z ) ﹒ n n p (1 − p ) n. 考慮變數. 7.. X ﹐其平均數 μ = p ﹐標準差 σ = n. 以常態分布估算二項分布的機率：若隨機變數 X 遵循參數為 n﹐p 的二項分布﹐Z 是標準常態分布變數﹐給定正數 z﹐則當 n 夠大時﹐ P (|. X p (1 − p) − p|≤ z ) ≈ P (| Z | ≤ z ) ﹒ n n. 遵循參數為 n﹐p 的二項分布變數 X﹐隨著 n 的增大﹐其機率分布會有變化﹐ X 的機率分布﹐其 n X −p X X 中左圖是的機率質量函數圖﹐而右圖是標準化（即 n ）的機率 n n p(1 − p ) n. 設 p = 0.5 ﹐圖中分別繪出 n = 10 ﹐ n = 30 ﹐ n = 100 ﹐變數. 密度圖（即機率質量除以間隔寬度）與標準常態分布曲線的比較﹒由此可見當 n 夠大時﹐. X 標準化後會趨近標準常態分布﹒ n. 註： X X 標準化時﹐我們呈現的圖形是其機率密度分布圖﹐而不是標準化時 n n 的機率分布圖；因為標準常態分布曲線是連續變數 X 的機率密度函數 f X 的 X 分布圖形﹐所以離散型變數標準化後﹐必須以機率密度函數分布圖才能 n. 在. 趨近連續型的標準常態分布﹒. 13.

(9) 14.

(10) 【性質】 1. 常態分配(normal distribution)：一個連續變數 X 的平均數 μ ，標準差 σ 可確定一個常態分配(表成 X ~ N ( μ , σ ) )。常態分配曲線 y = f ( x) 都有相同的外型，具有以下性質： (1) 常態曲線是單峯、對稱、平滑有轉折、曲線尾部兩端可無限延伸的鐘形曲線。 (2) 常態分配的算術平均數、中位數、眾數都是一樣的。 (3) 變數 X 的平均數 μ 可決定圖形的位置，標準差 σ 可決定圖形的形狀。 (4) σ 越小的常態分配曲線的圖形越陡，越尖窄，數據越集中。 (5) 平均數相同，標準差不同的常態曲線，它們的中心對稱軸相同，而曲線變化不同；標準差較小的常態曲線其形狀較陡，較窄，表示數據較集中。 (6) 平均數不同，標準差相同的常態曲線，它們的形狀完全相同，由平均數決定圖形的中心位置，表示各組數據中，數據的差異是一樣的。 (7) 常態機率分配曲線下的總面積等於 1 ，對於 X = μ 左右兩邊之圖形面積 1 1 都是，以 P ( X ≥ μ ) = P( X ≤ μ ) = 表示。 2 2 註：常態分配之機率密度函數為 f ( x) =. 2.. 1. −. ( x−μ )2. ,−∞ < x < ∞ 。 2π σ 標準常態分配 (Standardized Normal Distribution;Z Distribution) 的 68 − 95 − 99.7 規律： (1) 有 68.26% 的觀測值落在距平均數一個標準差的範圍內 (常以 68% 表示)。 (2) 有 95.44% 的觀測值落在距平均數兩個標準差的範圍內 (常以 95% 表示)。 (3) 有 99.72% 的觀測值落在距平均數三個標準差的範圍內 (常以 99.7% 表示)。 e. 2σ 2. 0..9972 0..9544 0.6826. 50% 50% 的資料的資料. μ −3σ μ − 2σ μ −σ μ μ +σ μ + 2σ μ + 3σ. 3.. μ −3σ μ − 2σ μ −σ μ μ +σ μ + 2σ μ + 3σ. 標準常態分配：平均數為 0 ，標準差為 1 的常態分配稱為標準常態分配。若變數 X 的平均數為 μ ，標準差為 σ ，其機率分配為常態分配(表成 X −μ X ~ N ( μ , σ ) )，則變數 Z = 的平均數為 0 ，標準差為 1，即 Z 的機率分. σ. 配為標準常態分配(表成 Z ~ N (0,1) )。. 15.

(11) 【定義】 1. 將常態分配轉換成標準常態分配：設變數 X 的平均數為 μ ，標準差為 σ ，其機率分配為常態分配，若變數 X −μ Z= ，則 Z 的平均數為 0，標準差為 1，Z 的機率分配為標準常態分配。. σ. 註：一般稱為資料的標準化。 2. 標準常態分配機率表：任意實數 α ，我們以 P( Z ≤ α ) 表示小於等於 α 的所有 z 的機率， P( Z ≥ α ) 表示大於等於 α 的所有 z 的機率，我們也以 P(α ≤ Z ≤ β ) 表示介於 α 與 β 之間的所有 z 所占的機率，利用累積機率表，我們可求任意事件發生的機率。下表是標準常態分配 Z 的機率分配表( 0 ≤ Z ≤ α 的機率)： α 機率 α 機率 α 機率 α 機率 0.00 0.0000 1.00 0.3416 2.00 0.4772 3.00 0.4987 0.10 0.0398 1.10 0.3643 2.10 0.4821 3.10 0.4990 0.20 0.0793 1.20 0.3849 2.20 0.4861 3.20 0.4993 0.30 0.1179 1.30 0.4032 2.30 0.4893 3.30 0.4995 0.40 0.1554 1.40 0.4192 2.40 0.4918 3.40 0.4997 0.50 0.1915 1.50 0.4332 2.50 0.4938 3.50 0.4998 0.60 0.2257 1.60 0.4452 2.60 0.4953 3.60 0.4998 0.70 0.2580 1.70 0.4554 2.70 0.4965 3.70 0.4999 0.80 0.2881 1.80 0.4641 2.80 0.4974 3.80 0.4999 0.90 0.3159 1.90 0.4713 2.90 0.4981 3.90 0.5000 【性質】 1. P ( Z = α ) = 0 。 2. P (0 ≤ Z ≤ α ) = P(−α ≤ Z ≤ 0) 。 3. P(0 ≤ Z ≤ α ) = − P(0 ≤ Z ≤ −α ) 。 4. P(α ≤ Z ≤ β ) = P(α ≤ Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ β ) 。 5. P ( Z ≥ α ) = 1 − P( Z ≤ α ) 。. 16.

(12) 【性質】 1. 對於二項分布中的成功機率 p 未知時，當我們抽出一組樣本數大小為 n 的隨機樣本，隨機變數 X 代表成功的個數，若其中有 x 個是成功的，那麼樣本中 x 的成功比例 p = 應該與 p 差不多，故可以用 p 估計 p 。但是到底這個估計 n 有多好呢？因為 p 值未知，我們無法知道確實差距，現在抽很多組樣本大小. ˆ. ˆ. p (1 − p ) ，當 n 夠 n. 為 n 的隨機樣本，則這些 p 值的平均數為 p ，標準差為. ˆ. 大時， p 會近似常態分布。 2. 對於平均數為 μ，標準差為 σ 的 n 個獨立隨機變數 X 1 , X 2 ,L , X n，那麼當 n 夠 X + X 2 +L+ X n 大時，依據中央極限定理可得，樣本平均數 p = 1 會接近平 n σ p−μ 的常態分布，利用 σ 近似標準常態分布可得均數為 μ ，標準差為 n n. ˆ. ˆ ˆ. P ( a ≤ p ≤ b) = P (. ˆ. 3.. a−μ σ. ≤. n. ˆp − μ ≤ b − μ ) 。 σ. σ. n. n. 轉換成標準常態分布：常態隨機變數 X 的平均值為 μ ，標準差為 σ ， x−μ 經過 z = 的變換，會變成平均值為 0 ，標準差為 1 的標準常態隨機變數。. σ 定義 F (a) = P( z ≤ a) ，. 也就是定成標準常態密度曲線之下，位於 z = a 左邊的面積，如此任意位於 a ≤ z ≤ b 的機率 P(a ≤ z ≤ b) ，也就等於 F (b) − F (a) ；位於 z ≥ a 的機率 P ( z ≥ a) ，也就等於 1 − P( z < a) = 1 − F (a) 。. a. b. 標準常態分配對於一般常態隨機變數 X 的平均值為 μ ，標準差為 σ ， a−μ x−μ b−μ ≤ 如此任意位於 a ≤ x ≤ b 的機率 P(a ≤ x ≤ b) = P( ≤ )，也就等於 F (. b−μ. σ. ) − F(. a−μ. σ. )；. σ x−μ a−μ 位於 x ≥ a 的機率 = P( ≥ )， σ σ a−μ x−μ a−μ 也就等於 = 1 − F ( < ) = 1− F( )。 σ σ σ. 17. σ. σ.

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