2-1-3指數與對數-對數

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(1)第二冊 1-3 指數與對數-對數【概念】對數的引進：在整數算術一書中提及的兩個數列： … −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 … x1 x 2 … x1 + x 2 1 1 … 1 2 4 8 16 32 64 128 … y1 y 2 … y1 × y 2 4 2 現在若想要計算兩個很大的數 y1 與 y 2 的乘積 y1 × y 2 如果能得知 x1 與 x 2 的值(或是近似值) 根據指數律可以得知若 y1 = 2 x1 , y 2 = 2 x2 ，則 y1 × y 2 = 2 x1 × 2 x2 = 2 x1 + x2 例如：若 8 = 23 ,16 = 2 4 ，則 8 × 16 = 23 × 2 4 = 23 + 4 = 27 = 128 因此只要能得出上表就可得出 x1 + x 2 所對的值 y1 × y 2 。【問題】對於函數 y = 2 x 而言，給定 x ，要求得 y 時，一般而言較為容易，即為 y = 2 x 。但給定 y 時，要求 x 時，一般而言較不容易。例如給 x = 1 ，則 y = 2 x = 21 = 2 。給 x = 2 ，則 y = 2 x = 22 = 4 。但是若給定 y = 3 ，則 3 = 2 x ，那麼 x 等於多少呢？ 4. 3. f(x) = 2x. 2. 0. 1. x 2. 【定義】對數：如果 a > 0, a ≠ 1, b > 0 ，當 a x = b 時，我們用符號 log a b 來表示 x ，即 x = log a b 。我們稱 log a b 為以 a 為底數， b 的對數，其中 a 稱為底數， b 稱為真數。反過來說，如果 x = log a b ，那麼 a x = b 。即 a x = b ⇔ x = log a b 註： 1. 通常以 10 為底數時，底數可以省略不寫。 2. 定義對數的目的為簡化計算(化乘除為加減) 3. 注意對數的表示方法以及書寫位置。【問題】 6.

(2) 為什麼要滿足基本條件 a > 0, a ≠ 1, b > 0 ？【性質】對數的基本性質：在以下各個性質中，底數皆表示不為 1 的正實數，真數皆表正實數，指數則表示任意實數。 log a b =b (b) a 1. (a) log a x = x a. 證明：因為 log a b 代表一個數 x ， a 的 x 次方就等於 b (a)所以 a 的 x 次方就等於 a x (b)又若 log a b = x ，則 a 的 log a b 次方就等於 a x ，即 a log a b 2. (a) log a 1 = 0 (b) log a a = 1 證明： (a)因為 a 0 = 1 ，故 log a 1 = 0 。 (b)因為 a 1 = a ，故 log a a = 1 。 3. (a) log a xy = log a x + log a y. (b) log a. x = log a x − log a y y. 證明： (a)設 log a x = m, log a y = n ，則 a m = x, a n = y 即 log a xy = log a a m a n = log a a m + n = m + n = log a x + log a y (b)設 log a x = m, log a y = n ，則 a m = x, a n = y. x am 即 log a = log a n = log a a m − n = m − n = log a x − log a y y a n 4. log a x = n log a x (其中 n 為實數) 證明：令 log a x = s 則 x = a s , x n = (a s ) n = a sn 所以 log a x n = log a a sn = sn = n log a x 。 1 5. log a m x = log a x (其中 m 為實數) m 證明：令 log a x = s s. 則 x = a s = (a m ) m s 1 所以 log a m x = = log a x 。 m m log b x 6. log a x = ，其中 b > 0, b ≠ 1 (換底公式) log b a 證明：令 logb x = r ， log a x = s ， logb a = t ，則 x = b r ， x = a s ， a = b t r 又 x = b r = a s = (bt ) s = b st ，得 r = st ，即 t = s log b x 。故 log a x = log b a 1 ( b > 0, b ≠ 1 ) 7. log a b = log b a 7.

(3) 證明：由換底公式知 log a b =. log b b 1 = 。 log b a log b a. 8. a log b = b log a 證明：因 log b log a = log a log b 得 log a log b = log b log a 故 a log b = b log a 。【注意】 log a x log a y 2. log a ( x + y ) ≠ (log a x) + (log a y ) 與 log a ( x − y ) ≠ log a x − log a y x log a x 3. log a ( x × y ) ≠ (log a x) × (log a y ) 與 log a ≠ y log a y 【推廣】 n 從性質 4，5 可以得到： log a m b n = log a b 。 m 連鎖律： log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = log a d log a b log a c log a d log a d 證明： log a b ⋅ log b c ⋅ log c d = × × = = log a d log a a log a b log a c log a a 【問題】 1. 設 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 ，試求 log k ( k = 1,2," ,10) 之值。. 1. log a ( x + y ) ≠ (log a x) × (log a y ) 與 log a ( x − y ) ≠. 8.

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