利用Scientific WorkPlace学习线性代数

利用Scientific WorkPlace内置的计算机

代数系统Maple学习线性代数

苏州大学数学科学学院

2019年8月3日

目录

第一章 行列式 5 1.1 求行列式的值 . . . 5 1.2 用克拉默法则解线性方程组 . . . 6 第二章 矩阵及其运算 9 2.1 矩阵的线性运算. . . 9 2.2 矩阵的乘法 . . . 9 2.3 矩阵的转置 . . . 10 2.4 逆矩阵 . . . 11 2.5 矩阵方程 . . . 12 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 15 3.1 矩阵的行最简形和标准型 . . . 15 3.2 矩阵的秩 . . . 16 3.3 齐次线性方程组. . . 17 3.4 非齐次线性方程组 . . . 18 第四章 向量的线性相关性 21 4.1 向量的线性表示. . . 21 4.2 极大线性无关组. . . 22 第五章 相似矩阵及二次型 23 5.1 正交矩阵 . . . 23 5.2 矩阵的特征多项式、矩阵的特征值、矩阵的特征向量 . . . 24 5.3 矩阵的对角化 . . . 25 5.4 二次型的标准化. . . 26 参考文献 29 3

第一章

行列式

1.1

求行列式的值

例1. （同济5版，第3页）计算三阶行列式A =         1 2 −4 −2 2 1 −3 4 −2         . 解： I 计算         1 2 −4 −2 2 1 −3 4 −2         = −14. 例2. （同济5版，第12页）计算四阶行列式A =           3 1 −1 2 −5 1 3 −4 2 0 1 −1 1 −5 3 −3           . 解： I 计算           3 1 −1 2 −5 1 3 −4 2 0 1 −1 1 −5 3 −3           = 40. 例3. （同济5版，第3页）求解方程         1 1 1 2 3 x 4 9 x2         = 0. 解： I 计算         1 1 1 2 3 x 4 9 x2         = x2_{− 5x + 6,} I 解方程 + 精确解 x2_{− 5x + 6 = 0, 解是: {x = 2} , {x = 3}} 5

6 第一章 行列式 例4. （同济5版，第13页）计算行列式           a b c d a a + b a + b + c a + b + c + d a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d           . 解： I 计算           a b c d a a + b a + b + c a + b + c + d a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d           = a4_. 例5. （同济5版，第15页）计算行列式                a 0 0 0 0 b 0 a 0 0 b 0 0 0 a b 0 0 0 0 c d 0 0 0 c 0 0 d 0 c 0 0 0 0 d                . 解： I 计算                a 0 0 0 0 b 0 a 0 0 b 0 0 0 a b 0 0 0 0 c d 0 0 0 c 0 0 d 0 c 0 0 0 0 d                = (da − bc)3.

1.2

用克拉默法则解线性方程组

例6. （同济5版，第22页）用克拉默法则解线性方程组：            2x1+ x2− 5x3+ x4= 8, x1− 3x2− 6x4= 9, 2x2− x3+ 2x4= −5, x1+ 4x2− 7x3+ 6x4= 0. 解：I 解方程 + 精确解            2x1+ x2− 5x3+ x4= 8 x1− 3x2− 6x4= 9 2x2− x3+ 2x4= −5 x1+ 4x2− 7x3+ 6x4= 0 , 解是: {x4 = 1, x2= −4, x1= 3, x3 = −1} . 可展示常规的解题过程． I 写出线性方程的增广矩阵

1.2 用克拉默法则解线性方程组 7            2x1+ x2− 5x3+ x4= 8 x1− 3x2− 6x4= 9 2x2− x3+ 2x4= −5 x1+ 4x2− 7x3+ 6x4= 0 , 对应矩阵:       2 1 −5 1 8 1 −3 0 −6 9 0 2 −1 2 −5 1 4 −7 6 0       . I 输入矩阵 单击 或 ，在上述结果矩阵中选择并复制线性方程组的系数 矩阵到单元格中，得到       2 1 −5 1 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 1 4 −7 6       ,同法得到线性方程组的常数 向量       8 9 −5 0       . I 定义 + 新定义 A =       2 1 −5 1 1 −3 0 −6 0 2 −1 2 1 4 −7 6       , b =       8 9 −5 0       . I 可以如同分块矩阵中定义Maple函数substitute，替换矩阵A中的列 SWP 中的函数I(x, y, i, j),其中矩阵b替换矩阵x的第i行第j列开始的矩 阵. I 定义 + 新定义 D = det(A), d1= det(I(A, b, 1, 1)), d2= det(I(A, b, 1, 2)), d3= det(I(A, b, 1, 3)), d4= det(I(A, b, 1, 4)). I 计算 x1= det(I(A,b,1,1)) det(A) = 3, x2= det(I(A,b,1,2)) det(A) = −4, x3= det(I(A,b,1,3))_det(A) = −1,

8 第一章 行列式 x4=

det(I(A,b,1,4)) det(A) = 1.

第二章

矩阵及其运算

2.1

矩阵的线性运算

例1. 设A = 3 5 −2 0 7 −8 ! ，B = −3 9 12 −4 1 8 ! ，求A + B和4A + 3B. 解： I 定义 + 新定义 A = 3 5 −2 0 7 −8 ! ，B = −3 9 12 −4 1 8 ! , I 计算 A + B = 0 14 10 −4 8 0 ! , 4A + 3B = 3 47 28 −12 31 −8 ! .

2.2

矩阵的乘法

例2. 设A = 1 0 3 −1 2 1 0 2 ! ，B =       4 1 0 −1 1 3 2 0 1 1 3 4       ，求AB. 解： I 定义 + 新定义 A = 1 0 3 −1 2 1 0 2 ! ，B =       4 1 0 −1 1 3 2 0 1 1 3 4       , I 计算 AB = 9 −2 −1 9 9 11 ! . 9

10 第二章 矩阵及其运算 例3. （同济5版，第35页）设A = −2 4 1 −2 ! ，B = 2 4 −3 −6 ! ， 求AB和BA. 解： I 定义 + 新定义 A = −2 4 1 −2 ! ，B = 2 4 −3 −6 ! , I 计算 AB = −16 −32 8 16 ! , BA = 0 0 0 0 ! . 例4. （同济5版，第38页）证明： cos t − sin t sin t cos t !n = cos nt − sin nt sin nt cos nt ! . 解： I 定义 + 新定义 A = cos t − sin t sin t cos t ! , I 计算 A2₌ cos 2_{t − sin}2 t −2 sin t cos t 2 sin t cos t cos2_{t − sin}2

t ! = cos 2t − sin 2t sin 2t cos 2t ! , A3₌ cos 2

t − sin2t
cos t − 2 cos t sin2t − cos2

t − sin2t
sin t − 2 cos2t sin t 2 cos2_{t sin t + cos}2_{t − sin}2_{t
sin t}

cos2_{t − sin}2_{t
cos t − 2 cos t sin}2

t ! = cos 3t − sin 3t sin 3t cos 3t ! ,

由此，An₌ cos nt − sin nt

sin nt cos nt ! .

2.3

矩阵的转置

例5. （同济5版，第39页）设A = 1 2 0 3 −1 1 ! ，求其转置矩阵AT_. 解： I 定义 + 新定义 A = 1 2 0 3 −1 1 ! I 矩阵 + 转置 A, 转置: 1 2 0 3 −1 1 ! I 计算 AT ₌     1 3 2 −1 0 1     .

2.4 逆矩阵 11 例6. （同济5版，第39页）设A = 2 0 −1 1 3 2 ! ，B =     1 7 −1 4 2 3 2 0 1     ， 求(AB)T_{，并验证：(AB)}T _{= B}T_AT 解： I 定义 + 新定义 A = 2 0 −1 1 3 2 ! ，B =     1 7 −1 4 2 3 2 0 1     , I 计算 (AB)T ₌ 0 14 −3 17 13 10 !T =     0 17 14 13 −3 10     , BT_AT ₌     0 17 14 13 −3 10     , 可见 (AB)T _{= B}T_AT_.

2.4

逆矩阵

例7. （同济5版，第44页）设A =     1 2 3 2 2 1 3 4 3     ，求其逆矩阵A−1_，并 验证AA−1_{= E（单位矩阵）.} 解： I 定义 + 新定义 A =     1 2 3 2 2 1 3 4 3     I 矩阵 + 求逆，或：计算 A, 逆矩阵:     1 3 −2 −3 2 −3 5 2 1 1 −1     , A−1 =     1 3 −2 −3 2 −3 5 2 1 1 −1     . I 计算 AA−1=     1 0 0 0 1 0 0 0 1     = E, A−1A =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     = E. 故 AA−1_{= A}−1_{A = E.}

12 第二章 矩阵及其运算

2.5

矩阵方程

例8. （同济5版，第45页）设A =     1 2 3 2 2 1 3 4 3     ，B = 2 1 5 3 ! ， C =     1 3 2 0 3 1     ，且AXB = C，求矩阵X. 解： I 定义 + 新定义 A =     1 2 3 2 2 1 3 4 3     ，B = 2 1 5 3 ! ，C =     1 3 2 0 3 1     , I 计算 AXB = C ⇒ X = A−1_CB−1₌     −2 1 10 −4 −10 4     . I 计算 AXB = C ⇒ AX = CB−1 ₌     −12 5 6 −2 4 −1     , I 解方程 + 精确解 AX =     −12 5 6 −2 4 −1     , 解是:     −2 1 10 −4 −10 4     . 例9. （同济5版，第65页）设A =     2 1 −3 1 2 −2 −1 3 2     ，B =     1 −1 2 0 −2 5     ， 求解矩阵方程AX = B. 解：I 定义 + 新定义 A =     2 1 −3 1 2 −2 −1 3 2     ，B =     1 −1 2 0 −2 5     , I 计算 AX = B ⇒ X = A−1B =     −4 2 0 1 −3 2     , I 解方程 + 精确解

2.5 矩阵方程 13 AX = B, 解是:     −4 2 0 1 −3 2     .

第三章

矩阵的初等变换与线性方

程组

3.1

矩阵的行最简形和标准型

例1. （同济5版，第59页）设B =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       ，求B的 阶梯形和秩. 解： I 定义 + 新定义 B =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       I 矩阵 + 高斯消元法，矩阵 + 秩 B, 高斯消元法:       2 −1 −1 1 2 0 −4 4 −4 0 0 0 0 −1 3 0 0 0 0 0       , 秩: 3. 例2. （同济5版，第64页）设A =     2 −1 −1 1 1 −2 4 −6 2     ，求A的阶梯形. 解： I 定义 + 新定义 A =     2 −1 −1 1 1 −2 4 −6 2     , I 矩阵 + 分数自由高斯消元法 15

16 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 A, 分数自由高斯消元法:     2 −1 −1 0 3 −3 0 0 0     . 例3. 设B =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       ，求B的行最简形. 解： I 定义 + 新定义 B =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       I 矩阵 + 行最简阶梯形矩阵 B, 行最简阶梯形:       1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 3 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0       .

3.2

矩阵的秩

例4. （同济5版，第67页）设A =       3 2 0 5 0 3 −2 3 6 1 2 0 1 5 −3 1 6 −4 −1 4       ，求A的 秩，并求A的一个最高阶非零子式. 解： I 定义 + 新定义 A =       3 2 0 5 0 3 −2 3 6 1 2 0 1 5 −3 1 6 −4 −1 4       I 矩阵 + 秩，或：矩阵 + 高斯消元法，矩阵 + 秩 A, rank: 4, A, 高斯消元法:       3 2 0 5 0 0 −4 3 1 1 0 0 0 4₃ −10 3 0 0 0 0 2       , 秩: 4. 由阶梯形中三个非零首元的位置，知原矩阵的前三行以及1, 2, 4列的子 式不为零.

3.3 齐次线性方程组 17

3.3

齐次线性方程组

例5. （同济5版，第97页）求齐次线性方程组：        x1+ x2− x3− x4= 0, 2x1− 5x2+ 3x3+ 2x4= 0, 7x1− 7x2+ 3x3+ x4= 0 的 基础解系与通解. 解： I 先将系数矩阵化为行最简形.        x1+ x2− x3− x4= 0 2x1− 5x2+ 3x3+ 2x4= 0 7x1− 7x2+ 3x3+ x4= 0 , 对应矩阵:     1 1 −1 −1 0 2 −5 3 2 0 7 −7 3 1 0     , I 矩阵 + 行最简阶梯形矩阵，重写 + 矩阵作为方程形式，矩阵 + 重 组 B =     1 1 −1 −1 0 2 −5 3 2 0 7 −7 3 1 0     , 行最简阶梯形:     1 0 −2 7 − 3 7 0 0 1 −5 7 − 4 7 0 0 0 0 0 0     , 对应方程: 0 = 0, x1− 2₇x3− 3₇x4= 0, x2− 5₇x3−4₇x4= 0 ,        0 = 0 x1−2₇x3− 3₇x4= 0 x2−5₇x3− 4₇x4= 0        , 即            x1= 2₇x3+ 3₇x4 x2= 5₇x3+ 4₇x4 x3= x3 x4= x4 ,方程组的通解：            x1 = 2₇c1+3₇c2 x2 = 5₇c1+4₇c2 x3 = c1 x4 = c2 ，即x = c1ξ1+ c2ξ2（c1, c2是任意实数）, 其中ξ1 =       2 7 5 7 1 0       , ξ2 =       3 7 4 7 0 1       是方程组的基础解系. 可以直接求出齐次线性方程组AX = 0的通解. I 解方程 + 精确解，矩阵 + 重组        x1+ x2− x3− x4= 0 2x1− 5x2+ 3x3+ 2x4= 0 7x1− 7x2+ 3x3+ x4= 0 , 解是: x2 = x2, x4= 7₄x2− 5₄x3, x1= 3₄x2−1₄x3, x3= x3 ,            x2= x2 x4= 7₄x2− 5₄x3 x1= 3₄x2− 1₄x3 x3= x3            ,即            x1= 3₄x2− 1₄x3 x2= x2 x3= x3 x4= 7₄x2− 5₄x3 ,方程组的通解：            x1= 3₄c1−1₄c2 x2= c1 x3= c2 x4= 7₄c1−5₄c2 ， 即x = c1ξ1+ c2ξ2（c1, c2是任意实数）,

18 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 其中ξ1=       3 4 1 0 7 4       , ξ₂=       −1 4 0 1 −5 4       是方程组的基础解系. 例6. （同济5版，97页）求齐次线性方程组：        x1+ x2− x3− x4= 0, 2x1− 5x2+ 3x3+ 2x4= 0, 7x1− 7x2+ 3x3+ x4= 0 的 基础解系与通解. 解： I 写出线性方程组的系数矩阵        x1+ x2− x3− x4= 0 2x1− 5x2+ 3x3+ 2x4= 0 7x1− 7x2+ 3x3+ x4= 0 , 对应矩阵:     1 1 −1 −1 2 −5 3 2 7 −7 3 1     , I 矩阵 + 零空间基 A =     1 1 −1 −1 2 −5 3 2 7 −7 3 1     , 零空间基:                  3 4 1 0 7 4       ,       −1 4 0 1 −5 4                  ,即为齐 次线性方程组的基础解系，通解为            x1= 3₄c1−1₄c2 x2= c1 x3= c2 x4= 7₄c1−5₄c2 ，即x = c1ξ1+ c2ξ2 （c1, c2是任意实数）, 其中ξ1=       2 7 5 7 1 0       , ξ2=       3 7 4 7 0 1       .

3.4

非齐次线性方程组

例7. （同济5版，第101页）求线性方程组：        x1− x2− x3+ x4= 0, x1− x2+ x3+ −3x4= 1, x1− x2− 2x3+ 3x4= −1₂ 的 通解. 解：先将增广矩阵化为行最简形. I 矩阵 + 行最简阶梯形矩阵

3.4 非齐次线性方程组 19        x1− x2− x3+ x4= 0 x1− x2+ x3+ −3x4= 1 x1− x2− 2x3+ 3x4 = −1₂ , 对应矩阵:     1 −1 −1 1 0 1 −1 1 −3 1 1 −1 −2 3 −1 2     , 行最简阶梯形:     1 −1 0 −1 1 2 0 0 1 −2 1 2 0 0 0 0 0     , I 重写 + 矩阵作为方程形式，矩阵 + 重组 对应方程: 0 = 0, x1− x2− x4= ₂1, x3− 2x4= 1₂ ,        0 = 0 x1− x2− x4= 1₂ x3− 2x4= 1₂        即            x1= x2+ x4+1₂ x2= x2 x3= 2x4+1₂ x4= x4 ,原方程组的通解：            x1= c1+ c2+1₂ x2= c1 x3= 2c2+ 1₂ x4= c2 或 x = c1       1 1 0 0       + c2       1 0 2 1       +       1 2 0 1 2 0       , （x2, x4为自由变量）. 其中ξ1 =       1 1 0 0       , ξ2 =       1 0 2 1       是对应齐次方程组的基础解系，η∗ ₌       1 2 0 1 2 0       是原方程组的一个特解. 可以直接求出非其次线性方程组AX = b的通解. 例8. （同济5版，第101页）求线性方程组：        x1− x2− x3+ x4= 0, x1− x2+ x3+ −3x4= 1, x1− x2− 2x3+ 3x4= −1₂ 的 通解 解： I 解方程 + 精确解（输入x1, x2, x3, x4）        x1− x2− x3+ x4= 0 x1− x2+ x3+ −3x4= 1 x1− x2− 2x3+ 3x4 = −1₂ , 解是: x3= 2x4+ 1₂, x1= x2+ x4+1₂, x2= x2, x4= x4 .

第四章

向量的线性相关性

4.1

向量的线性表示

例1. （同济5版，第84页）设α1 =       1 1 2 2       , α2 =       1 2 1 3       , α3 =       1 −1 4 0       , β =       1 0 3 1       ，试将β表示成α1, α2, α3的线性组合. 解：只需将矩阵A = α1 α2 α3 β  化为行最简形. I 矩阵 + 合并，矩阵 + 行最简阶梯形矩阵       1 1 2 2             1 2 1 3             1 −1 4 0             1 0 3 1       , 合并:       1 1 1 1 1 2 −1 0 2 1 4 3 2 3 0 1       , 行最简阶 梯形:       1 0 3 2 0 1 −2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0       , x1= −3c+2, x2= 2c−1.x3= c, β = x1α1+x2α2+x3α3= (−3c + 2) α1+ (2c − 1) α2+ cα3, c为任意实数. 21

22 第四章 向量的线性相关性

4.2

极大线性无关组

例2. （同济5版，第93页）设A =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       ，求A的 列向量组的一个极大无关组. 解：用初等行变换得到A的行最简形，则由行最简形可以看出A列向量 组的极大无关组. I 矩阵 + 行最简阶梯形矩阵，矩阵 + 秩 A =       2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9       , 行最简阶梯形:       1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 3 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0       , 秩: 3,极大线性无关组为       2 1 4 3       ,       −1 1 −6 6       ,       1 1 −2 7       .

第五章

相似矩阵及二次型

5.1

正交矩阵

例1. （同济5版，第116页）验证A =       1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 1 √ 2 1 √ 2 0 0 0 0 √1 2 1 √ 2       是正交 矩阵. 解：只需验证AAT _{= E（单位矩阵）.} I 定义 + 新定义 A =       1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 1 √ 2 1 √ 2 0 0 0 0 √1 2 1 √ 2       I 计算 AAT ₌       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       , 故AAT _{= E, A是正交矩阵.} 或： I 矩阵 + 正交测试 A =       1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 1 √ 2 1 √ 2 0 0 0 0 √1 2 1 √ 2       , 正交? T rue. 23

24 第五章 相似矩阵及二次型

5.2

矩阵的特征多项式、矩阵的特征值、矩阵的特

征向量

例2. （同济5版，第118页）求矩阵A = 3 −1 −1 3 ! 的特征多项式、 特征值和特征向量. 解： I 矩阵 + 特征多项式 A = 3 −1 −1 3 ! , 特征多项式: X2_{− 6X + 8.} I 矩阵 + 特征值 A = 3 −1 −1 3 ! , 特征值: 2, 4. I 矩阵 + 特征向量 A = 3 −1 −1 3 ! , 特征向量: ( 1 1 !) ↔ 2, ( −1 1 !) ↔ 4. 例3. （同济5版，第118页）求矩阵A =     −1 1 0 −4 3 0 1 0 2     的特征多项式、 特征值和特征向量. 解： I 矩阵 + 特征多项式 A =     −1 1 0 −4 3 0 1 0 2     , 特征多项式: X3_{− 4X}2_{+ 5X − 2,} I 矩阵 + 特征向量 A =     −1 1 0 −4 3 0 1 0 2     , 特征向量:            −1 −2 1            ↔ 1,            0 0 1            ↔ 2. 例4. （同济5版，第119页）求矩阵A =     −2 1 1 0 2 0 −4 1 3     的特征值和特 征向量. 解： I 矩阵 + 特征向量 A =     −2 1 1 0 2 0 −4 1 3     , 特征向量:            1 0 1            ↔ −1,            1 4 1 0     ,     1 4 0 1            ↔ 2.

5.3 矩阵的对角化 25

5.3

矩阵的对角化

例5. （同济5版，第125页）设A =     0 −1 1 −1 0 1 1 1 0     ，求矩阵P ，使 得P−1_{AP 为对角阵，并验证结果.} 解： I 矩阵 + 特征向量 A =     0 −1 1 −1 0 1 1 1 0     , 特征向量:            −1 1 0     ,     1 0 1            ↔ 1,            −1 −1 1            ↔ −2. I 定义 + 新定义 α1 =     −1 1 0     , α2=     1 0 1     , α3=     −1 −1 1     . I 定义 + 新定义，计算 β1= α1=     −1 1 0     , β2= α2− (α2·β1) (β₁·β₁)β1=     1 2 1 2 1     , β3 = α3. I 计算 ( 1 kβ1kβ1, 1 kβ2kβ2, 1 kβ3kβ3) =         −1 2 √ 2 1 2 √ 2 0         1 6 √ 6 1 6 √ 6 1 3 √ 6         −1 3 √ 3 −1 3 √ 3 1 3 √ 3         , I 定义 + 新定义，计算 P =     −1 2 √ 2 1₆√6 −1 3 √ 3 1 2 √ 2 1 6 √ 6 −1 3 √ 3 0 1₃√6 1₃√3     , P−1_{AP =}     1 0 0 0 1 0 0 0 −2     . 例6. （同济5版，第126页）设A = 2 −1 −1 2 ! ，求正交矩阵P ，使 得P−1_{AP 为对角阵，并求A}n_. 解： I 矩阵 + 特征向量 A = 2 −1 −1 2 ! , 特征向量: ( 1 1 !) ↔ 1, ( −1 1 !) ↔ 3, I 定义 + 新定义，计算 β₁= 1 1 ! , β₂= −1 1 ! (_kβ1 1kβ1, 1 kβ₂kβ2) = 1 2 √ 2 1 2 √ 2 ! −1 2 √ 2 1 2 √ 2 ! ! ,

26 第五章 相似矩阵及二次型 I 定义 + 新定义，计算 P = 1 2 √ 2 −1 2 √ 2 1 2 √ 2 1₂√2 ! , PT_{P =} 1 0 0 1 ! ,即P 是正交矩阵. P−1_{AP =} 1 0 0 3 ! , P−1An_{P =} 1 0 0 3n ! , An _{= P} 1 0 0 3n ! P = 1 2 − 1 23 n ₋1 23 n₋ 1 2 1 23 n₊1 2 1 23 n₋ 1 2 ! . 例7. 设A =     0 −2 2 −2 −3 4 2 4 −3     ，求正交矩阵P ，使得P−1_{AP 为对角} 阵，并验证结果. 解： I 矩阵 + 特征向量 A =     0 −2 2 −2 −3 4 2 4 −3     , eigenvectors:            −2 1 0     ,     2 0 1            ↔ 1,            −1 2 −1 1            ↔ −8, I 定义 + 新定义，计算 α1=     −2 1 0     , α2=     2 0 1     , α3=     −1 2 −1 1     . β₁= α1=     −2 1 0     , β₂ = α2− (α2·β1) (β1·β1)β1=     2 5 4 5 1     , β₃= α3. (_kβ1 1kβ1, 1 kβ2kβ2, 1 kβ3kβ3) =         −2 5 √ 5 1 5 √ 5 0         2 15 √ 5 4 15 √ 5 1 3 √ 5         −1 3 −2 3 2 3         , I 定义 + 新定义，计算 P =     −2 5 √ 5 2 15 √ 5 −1 3 1 5 √ 5 4 15 √ 5 −2 3 0 1₃√5 2₃     , P−1AP =     1 0 0 0 1 0 0 0 −8     . PT_{P =}     1 0 0 0 1 0 0 0 1     ,即P 是正交矩阵.

5.4

二次型的标准化

例8. （同济4版，第140页）求一个正交变换x = P y，将下列二次型化 为标准形： f (x1, x2, x3, x4) = x21+ x 2 2+ x 2 3+ x 2 4+ 2x1x2− 2x1x4− 2x2x3+ 2x3x4.

5.4 二次型的标准化 27 解： f (x) = (x1, x2, x3, x4)       1 1 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 1 1             x1 x2 x3 x4       = xT       1 1 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 1 1       x = xT_Ax, 其中A =       1 1 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 1 1       为f (x)的系数矩阵．现在求一个正交 矩阵P ，使得P−1_{AP 为对角阵.} I 矩阵 + 特征向量 A =       1 1 0 −1 1 1 −1 0 0 −1 1 1 −1 0 1 1       , 特征向量:                  1 −1 −1 1                  ↔ −1,                  1 0 1 0       ,       0 1 0 1                  ↔ 1,                  −1 −1 1 1                  ↔ 3, I 定义 + 新定义，计算 α1 =       1 0 1 0       , α2=       0 1 0 1       , α3=       1 −1 −1 1       , α4=       −1 −1 1 1       , β₁= α1, β2= α2− (α2·β1) (β₁·β1)β1=       0 1 0 1       , β₃= α3, β4= α4, ( 1 kβ1kβ1, 1 kβ2kβ2, 1 kβ3kβ3, 1 kβ4kβ4) =             1 2 √ 2 0 1 2 √ 2 0             0 1 2 √ 2 0 1 2 √ 2             1 2 −1 2 −1 2 1 2             −1 2 −1 2 1 2 1 2             , I 定义 + 新定义，计算

28 第五章 相似矩阵及二次型 P =       1 2 √ 2 0 1₂ −1 2 0 1 2 √ 2 −1 2 − 1 2 1 2 √ 2 0 −1 2 1 2 0 1 2 √ 2 1 2 1 2       , P−1_{AP =}       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 3       , x = P y =       1 2 √ 2 0 1 2 − 1 2 0 1₂√2 −1 2 − 1 2 1 2 √ 2 0 −1 2 1 2 0 1 2 √ 2 1 2 1 2             y1 y2 y3 y4       ,则原二次型化为f = y2 1+ y 2 2− y 2 3+ 3y 2 4.

1_{本文档利用科学工作平台Scientific WorkPlace Ｖ5.5配置的PDFL}A_{TEX进行排版，并用Maple} V5.1进行相关计算．

参考文献

[1] 同济大学数学系. 工程数学–线性代数（第六版）[M]. 北京：高等教育 出版社，2014.

苏州大学精正楼（数学楼）