高二上第二次學藝競試數學3B題庫(40)

(1)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P1 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫

Ch1~Ch5 題庫

一、單選題 1. （）設 logx =1 3，則log10x = (A) 1 30 (B) 1 (C) 4 3 (D) 10 3 解答 C

解析 log10x = log10 + logx = 1 +1 4

33

2. （）若 log10(x + 6) + log10(x − 6) = 1，則 x = (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解答 B 解析真數恆正，因此，x + 60 且 x − 60 ⇒ x > 6，原式 ⇒ log10((x + 6)(x − 6)) = log1010 ⇒ x2 − 6 = 10 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4（負不合） 3. （）對任意實數 x 而言， ₍ 2 2₎ 3 27x 的最小值為何？ (A)3 (B)3 3 (C)9 (D)27 (E)81 3 解答 C 解析因為底數 27 > 1，又 2 2 2 3 3 x   ，所以 ( 2 2) 2 2 3 2 3 3 3 27x 27 (3 ) 3 9 4. （）一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？ (A)₁₀5_(B)₁₀6_(C)₁₀7_(D)₁₀8_(E)₁₀9 解答 C 解析因為答對一題的機率為1 5，所以答對10題的機率為 10 10 1 5 5         。又因為log5 0.6990 ，即 0.6990 5 10 ，所以510



100.6990



10106.990。因此， 10 5 較接近107 5. （）設asin3，選出正確的選項 (A)0 1 2 a   (B)1 2 2 a 2 (C) 2 3 2  a 2 (D) 3 1 2  a 解答 A 解析因為 3.14，所以5 3 6  _   。觀察ysinx的圖形，發現當5 6 x  _{ }_ 時， sin y x為遞減函數，因此可得0 sin 3 1 2  

(2)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P2 6. （）關於兩函數y2x與 1 2 x y      圖形的敘述，下列哪一個選項正確？ (A)兩圖形不相交 (B)兩圖形對稱於 x 軸 (C)兩圖形均在 x 軸上方 (D)y2x的圖形恆在 1 2 x y      的圖形上方解答 C 解析兩圖形如圖所示，觀察可得解 7. （）已知附圖中，a 為下列選項中的某一數， 那麼a 應該是哪一個數呢？ (A)3 (B)3 2 (C) 2 3 (D) 1 3 解答 C 解析從圖形可知道 0 < a < 1 且 1 2 a

8. （）試問方程式 sinx = x2有幾個實數解？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5 解答 B 解析即 y = sinx 與 y = x2的圖形交點個數，如圖，y = sinx 與 y = x2_{的圖形交點有}_{2 個，即 sinx = x}2_有_{2 個實數解} 9. （）聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m2)來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為 I0 = 10 − 12_(W/m2_{)；噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度}_I_，透過數學式子 10 0 dB( )I 10 log I I   計算得來。臺北市政府規定球場內噪音不得超過65 分貝，而氣笛製造商製造一款低噪音氣笛，一支氣笛只會產生45 分貝噪音。欲符合市政府噪音規定，球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？ (A)10 支 (B)20 支 (C)50 支 (D)100 支 (E)1000 支解答 D 解析設每支氣笛的強度為 w，同時可以響起的氣笛數為 a 支，則根據題意， 10 0 45 dB( )w 10 log w I    _， 10 0 65 dB(a w) 10 log a w I      _。將兩式相減得 10 10 10 10 0 0 0 0

65 45 10 log a w 10 log w 10 (log a w log w)

I I I I           0 10 10 0 10 log (a w I ) 10 log a I w       _。故loga = 2，a = 100，最多可以同時響起 100 支氣笛 y x O y=ax _y=2x

(3)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P3 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 10. （）關於函數

 

1 2 x f x       ，下列哪一個選項正確？ (A)

 

1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的圖形對稱於y 軸 (B)

 

1 2 x f x       的圖形和

 

2 x h x   的圖形對稱於y 軸 (C)

 

1 2 x f x       的圖形和_{k x}

 

2x_{的圖形對稱於}_{y 軸 (D)}





 

1000 999 f  f 解答 C 解析 (A) ( ) 1 2 x f x       的圖形和

 

1 2 x g x       的圖形對稱於x 軸 (B) 1 ( ) 2 x f x       的圖形和

 

2 x h x   的圖形相同 (C) ( ) 1 2 x f x       的圖形和

 

2 x k x  的圖形對稱於y 軸 (D)因為 1 ( ) 2 x f x       是嚴格遞減函數，又1000999，所以 f



1000



 f

 

999

11. （）設 a = sin1，b = sin2，c = sin3，則 a、b、c 的大小關係為下列哪一個選項？ (A)a > b > c (B)a > c > b (C)b > a > c (D)c > a > b (E)c > b > a

解答 C 解析作圖，

由圖可知sin2 > sin1 > sin3，即 b > a > c 二、多選題 1. （）下列關於度與弳的互換，請選出正確的選項 (A)5 300 6  _ _ (B)3 135 4  _ _ (C)π = 360° (D)π = 180° (E)1 180    解答 BDE 解析 (A)5 5 180 150 6 6         (B)3 =3 180 =135 4 4       (C)π = 180° (D)π = 180° (E)因為 π = 180° ⇒1 180    2. （）選出所有 2 3   弳的同界角。 (A)2 3  弳 (B)4 3  弳 (C) 8 3   弳 (D)10 3  弳解答 BCD 解析利用同界角之間相差2 的整數倍，分別計算如下： (A)2 2 4 3 3 3  _{ }  _      弳弳弳 (B)4 2 2 3 3  _{ }   _ _     弳弳弳 (C) 8 2 2 3 3     _         弳弳弳 (D)10 2 12 4 2 2 3 3 3  _{ }  _  _ _ _ __     弳弳弳弳弳

(4)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P4 3. （）對數函數 y = 3logx，y = alogx，y = blogx 的圖形如圖所示，

其中y3logx與yblogx的圖形對稱於x 軸。選出所有正確的選項。 (A)a0 (B)P 點坐標為

 

1, 0 (C) 1 3 b (D)3 a 解答 ABD 解析由圖形可知： (A)因為yalogx的圖形為嚴格遞增函數，所以a0 (B)P 點坐標為

 

1, 0 (C)因為y3logx與yblogx對稱於x 軸，所以b 3 (D)作直線x10分別與yalogx和y3logx 交於A(10, a)，C(10, 3)兩點，如圖所示， 因為C 點在 A 點的上方，所以3 a

4. （）選出正確的選項： (A)log215 = log27 + log28 (B)log20.3 = − log23 (C)log949 = log37 (D)log38 × log83 = 1

解答 CD

解析 (A)因為 log27 + log28 = log256 ≠ log215，所以原式不正確 (B)因為

1

2 2 2 2

1

log 3 log 3 log log 0.3

3



    ，所以原式不正確 (C)因為 2

2

9 ₃ 3

log 49log 7 log 7，所以原式是正確的 (D)因為 log38 × log83 = 1，所以原式是正確的 5. （）如圖為函數 y = 3sin(ax − b)的部分圖形， 其中a > 0，則下列各項敘述何者正確？ (A)B(0, − 3) (B) 6 b (C) (5 , 0) 6 C  (D)y 的週期為2 3  (E)其圖形可由 y = 3sin3x 往右平移 6  單位而得解答 ACDE 解析 (A)○：點( , 0) 6  為圖形的對稱中心，所以( ,3) 3  對( , 0) 6  的對稱點(0, − 3)亦在函數圖形上，故B 點坐標為(0, − 3) (B)╳：b 有無限多個解 (C)○：週期 2( ) 2 2 6 3       ⇒ C 的 x 坐標 1 2 5 2 2 3 6        ，即 (5 , 0) 6 C  (D)○：週期 2( ) 2 2 6 3       (E)○：2 2 3 a    ⇒ a = 3，即原函數 y = 3sin(3x − b)可經由 y = 3sin3x 平移而得之，又 y = 3sin3x 的圖形在 y 軸右方第一個最高點坐標為( ,3) 6  ，所以將( ,3) 6  往右平移 6  單位得點 ( ,3) 3  在原函數圖形上，故將y = 3sin3x 往右平移 6  單位，可得原函數圖形

(5)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P5 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 6. （）右圖是 Γ：y = asinbx 的部分圖形， 其中a > 0，b > 0，則下列哪些敘述正確？ (A)a = 3 (B)b = 3 (C)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 6倍而得 (D)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先垂直方向伸縮為 3 倍，再水平方向伸縮為1 3倍而得 (E)Γ 的圖形可經由 y = sinx 的圖形先水平方向伸縮為1 6倍，再垂直方向伸縮為3 倍而得解答 ACE 解析 (A)○：振幅為 y = sinx 的 3 倍，所以 a = 3（因為 a > 0） (B)╳：x 的係數為 b（b > 0）⇒週期為2 3 b    ，所以b = 6 (C)○：y = sinx3 垂直方向伸縮為倍 y = 3sinx 1 6 水平方向伸縮為倍 y = 3sin6x (D)╳：因為 b = 6，所以不真 (E)○：y = sinx 1 6 水平方向伸縮為倍 y = sin6x3 垂直方向伸縮為倍 y = 3sin6x

7. （）選出所有正確的選項 (A)sin1 > sin1° (B)sin10 > sin10° (C)sin3 > 0 (D)sin4 < 0 解答 ACD

解析 (A)○：sin1 ≈ sin57° > sin1° (B)╳：sin10 ≈ sin570° = sin210° < 0 < sin10° (C)○：sin3 ≈ sin171° > 0 (D)○：sin4 ≈ sin228° < 0

三、填充題

1. 已知 log2 ≈ 0.3010，log3 ≈ 0.4771，比較 a = log23、b = log2030、c = log200300 的大小關係： ____________。

解答 a > b > c 解析 log 3

log 2

a _，

log 30 log 3 log10 log 3 1 log 20 log 2 log10 log 2 1

b    

  ，

log 300 log 3 log100 log 3 2 log 200 log 2 log100 log 2 2

c       ，因為log 3 log 2為假分數，所以分子、分母同加一正數，其值變小，故a > b > c。 2. 解方程式 2 2 1 2 8x 4 x ，得x = ____________。 解答 1 3或1 解析 2 2 1 2 8x 4 x 2 3 4 1 2x 2 x   ⇒ 3x2_{= 4x − 1 ⇒ 3x}2_{− 4x + 1 = 0 ⇒ (3x − 1)(x − 1) = 0，} 所以 1 3 x 或x = 1。 x y O 2 3 1 -2 -1 -3 3 － 6 －

(6)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P6 3. 解下列不等式： (1) log3x > − 1 = ____________。 (2) 1 2 2 log x 0_{= ____________。} 解答 (1) 1 3 x (2)x > 1 或 x < − 1 解析 (1) 因為真數必須為正數，所以x0

原不等式 log 1 log log3 log log1 1

log3 3 3 x x x x           綜合以上可知： 1 3 x (2) 因為真數必須為正數，所以 2 0 x  ，故x為非零實數，原不等式 2 2 2 2 log log

0 0 log 0 log log1

1 log 2 log 2 x x x x          2 2 1 1 0 x x      (x1)(x 1) 0  x 1或x 1，綜合以上可知：x1或x 1。 4. 解不等式 10 1 log 2 (x + 1) + 2 log100(x − 2) > 1，得 x 的範圍為____________。 解答 x > 4 解析因為真數必須為正數，所以x 1 0且x 2 0，故x2

原不等式 log( 1) 2log( 2) 1 log( 1) 2log( 2) 1

log100 log10 2 2log 10 x x x x       log(x 1) log(x 2) 1      log(x 1)(x 2) log10 (x 1)(x 2) 10         2 ₁₂ ₀ ₍ ₄₎₍ ₃₎ ₀ x x x x          x 4或x 3 綜合以上可知x4。 5. 將函數 y = 2x的圖形往右平移h 單位，再往上平移 k 單位後可得函數 1 (2 16) 8 x y   的圖形，則數對(h,k) = ____________。解答 (3,2) 解析 1₍₂ ₁₆₎ 1 ₂ ₂ ₂ 3 ₂ ₂ 8 8 x x x y         ⇒ y = 2x − 3 + 2 可由 y = 2x往右移3 單位，再往上移 2 單位可得到，故(h,k) = (3,2)。

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1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P7 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 6. 求下列各三角函數值： (1) cos2 3  _ ____________。 (2) cos( 11 ) 6   ____________。 (3) tan5 3  _ ____________。解答 (1) 1 2  (2) 3 2 (3) 3

解析 (1) cos2 cos( ) cos 1

3 3 3 2

 

       。

(2) cos( 11 ) cos11 cos(2 )

6 6 6   _      cos 3 6 2    。

(3) tan5 tan(2 ) tan 3

3 3 3  _         。 7. 化簡下列各式： (1) 10 10 10 4 9 3

log log log

5 8 10____________。 (2) 10 100 2 log 8 log 25 3  ____________。 (3) log29 × log34 = ____________。解答 (1)log103 (2)1 (3)4 解析 (1) 10 10 10 4 9 3

log log log

5 8 10 10 10 10

4 9 3 4 9 10

log log log 3

5 8 10 5 8 3      _   _ _   _     。 (2) 因為 1 3 3 2 2 10 10 10 2 2 2

log 8 log (2 ) log 2

3 3 3 2 3 3 2 10 10 log 2  log 2  _ _    ， 100 10

log 25 2log5 log5

log 25 log 5

log100 2log10 log10

    _，

所以2log₁₀ 8 log₁₀₀25 log 2 log 5₁₀ ₁₀

3    log10



2 5 



log 10 110  。

(3) 2 3

log 9 log 4 2log 3 2log 2 log 9 log 4

log 2 log 3 log 2 log 3

       2 2 4。

8. 二圖形 Γ1：y = 2x_{，Γ2：y = 3}x_與直線_{y = 6 交於 A(a,b)、B(c,d)兩點，則}b d

a c ____________。解答 6 解析 2a = 6 ⇒ a = log26，即 A(log26,6)； 3c_{= 6 ⇒ c = log} 36，即 B(log36,6)。 2 3

6 6 6 6 6log 2 6log 3 6(log 2 log 3)

log 6 log 6

log 6 log 6 log 6 log 6 log 6

log 2 log 3 b d a c          6log 6 6 log 6   _。

(8)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P8 9. 如圖，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 2 公分，今以各頂點為圓心，邊長為半徑畫圓弧於正六邊形內 部，試求： (1) 塗色部分的面積為____________平方公分。 (2) 塗色部分的周長為____________公分。解答 (1)812 3 (2)8π 解析 (1) 弓形面積 = (扇形 ) − (三角形 ) 1 ₂2 1 ₂2 _sin 2 ₃ 2 3 2 3 3            ，所以所求 12(2 3) 8 12 3 3  _     （平方公分）。 (2) 周長 12 2 8 3  _     （公分）。 10. 坐標平面上二點 P(cos1,sin1)，Q(2cos3,2sin3)，且nPQ n 1，其中n 為非負整數，則 n = ____________。（用計算機）解答 2 解析 ∠POQ = 3 − 1 = 2， 所以由餘弦定理 ⇒ 2 2 2 1 2 2 1 2 cos 2 5 4cos 2 PQ         ⇒PQ 5 4cos 2  6.7 ，所以n = 2。

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1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P9 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫

Ch6 題庫

一、單選題 1. （）已知AB(4,3)、BC(0, 6) ，則△ABC 的周長為 (A)11 97 (B)16 (C)11 18 (D) 61 (E) 158 解答 B 解析 _|_AB_|₅、_|_BC_|_₆， (4,3) (0, 6) (4, 3) ACAB BC      ，即|AC|5，因此，周長為_{AB BC}_ __AC_₁₆ 2. （）如圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，其中 O 為原點，A 點坐標為(2 , 0)，則向量 DE的坐標表示法為 (A)(1, 3) (B)( 1,  3) (C)( 3,1) (D)( 3, 1) (E)( 1, 3) 解答 B 解析作_EF __OA於F。因為O (0 , 0)、A (2 , 0)，且∠AOE = 120°， 所以在△OEF 中，OEOA2、OF1、EF 3。推得E( 1, 3) 。又因為_OD₂_EF，所以_OD_{2 3}。推得D(0,2 3)。故_DE_{ }_{( 1, 3)}__{(0,2 3)}_{  }_{( 1,} ₃₎ 3. （）若三向量 a 

 

5,1 、 b 



1, 2



、 c 



18,8



滿足m a n b  c ，其中m、n為實數，則 2 m n的值為 (A)8 (B)4 (C)0 (D)4 (E)8 解答 C 解析因為_{m a} __{n b} _ _c ，即m

  

5,1 n 1, 2 

 

18,8



，所以 5 18 2 8 m n m n        ，解得m4、n 2。因此，m2n    4 2

 

2 0

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1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P10 4. （）在正六邊形 ABCDEF 中，下列哪一個向量的長度最短？ (A)_AB__BC (B)ABBCCD (C)_AB__AF (D)_AB__AE (E)_AC__AE 解答 C 解析如圖， (A)_AB__BC__AC (B)_AB_BC_CD _AC_CD_AD (C)_AB__AF__AO (D)_AB__AE__EB (E)_AC _AE_EC 因為_AO的長度最短，故長度最短的為_AB__AF 5. （）如圖，已知 P、Q 為AB的三等分點，選出與PQ相等的向量 (A)_AB (B)_AP (C)BQ (D)PB 解答 B 解析因為_AP與_PQ的長度相等、方向相同，所以_AP__PQ 6. （）如圖所示，O為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點P落在△ODE內部（不含邊界）？ (A)_OP__{OC OE}_ (B) 1 1 4 2 OP OC OE (C) 1 1 4 2 OP  OC OE (D) 1 1 4 2 OP OC OE (E) 1 1 4 2 OP  OC OE 解答 B 解析如圖。令_OP__xOC__{y OE}， P落在直線OE右側的條件為x0， P落在直線OD左側的條件為x y 0_， P落在直線DE下方的條件為y1

(11)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P11 1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 7. （）設 a (5 , 10)， b = ( − 3 , − 4)， c (5 , 0)，若 c l a k b ，l、k 為實數，求 2l + k = (A)0 (B)9 (C) − 9 (D)10 (E) − 10 解答 C 解析因為 _c __{l a} __{k b} ，所以(5 , 0) = l(5 , 10) + k( − 3 , − 4)，即 (5 , 0) = (5l − 3k , 10l − 4k)，即 5 3 5 10 4 0 l k l k     _ _  ，解得 2 5 l k        ，因此，2l + k = − 9 二、多選題 1. （）如圖，選出選項中的向量與另兩個向量 PO、QO的和等於零向量。 (A)_OA (B)_PC (C)_DA (D)_PB (E)_AE 解答 AB 解析因為PO

 

1,2 、QO 



3,1



，PO QO 

  

1,2  3,1

 

 2,3



，所以向量



2, 3



與兩個向量_PO、_QO的和等於零向量。 (A)_OA_



_{2, 3}_



(B)PC



2, 3



(C)DA 



2,3



(D)PB



4, 2



(E)_AE



_{3, 2}



2. （）如圖，O 為正方形 ABCD 對角線的交點， 且E，F，G，H 分別為線段OA，OB，OC，OD 的中點。選出正確的選項： (A)_OB_₂_OH (B)_OA_{ }₂_OG (C)ADCB 0 (D)_OA_AB_BC (E)_AB_BC_DB 解答 BCE 解析 (A)因為_OB的長度為_OH的二倍，且兩向量方向相反，所以_OB_{ }₂_OH (B)因為_OA的長度為_OG的二倍，且兩向量方向相反，所以_OA_{ }₂_OG (C)_AD__CB__AD_{ }₍ _AD₎_ ₀ (D)_OA_AB_OB_BC (E)ABBCABCBABDADB

(12)

1091 高二數學 3B 第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P12 3. （）關於正六邊形 ABCDEF，下列何者為真？ (A)₍_{AB BC}_ ₎_₍_{CD DE}_ ₎__AE (B)_AC__AF __CF (C)₍_{AC CE}_ ₎__CB__CD (D)₍_{AD CF}_ ₎__DC_ _AF (E)_AD__{AB BD}_ __{BD BA}_ 解答 ACDE 解析 (A)₍_{AB BC} ₎₍_{CD DE} ₎_{AC CE} _AE (B)_AC__AF__{AC CD}_ __AD (C)₍_{AC CE} ₎_CB_{AE CB}  _{AE EF} _AF_CD (D)₍_{AD CF}_ ₎__DC_₍_{AD DC}_ ₎__CF __{AC CF}_ __AF (E)_{AB BD}_ __AD，_{BD BA}_ __BD_{ }₍ _AB₎__{AB BD}_ __AD 4. （）如圖所示，兩射線_OA與_OB交於O 點，若以 O 為始點，則下列選項中哪些向量的終點 會落在陰影區域內？ (A)OA2OB (B)3 1 4OA3OB (C) 3 1 4OA3OB (D) 3 1 4OA5OB (E) 3 1 4OA5OB 解答 AB 解析 (A)由平行四邊形法則（如圖）知，終點會落在陰影區內 (B)因為3 1 4OA4OB的終點落在AB上，所以當 3 4OAt OB的終點落在陰影區內時， 1 4 t (C)同(B)的解析 (D)同(B)的解析 (E)同(B)的解析