不均向膨脹宇宙 Bianchi type I 的空間穩定性研究

國 立 交 通 大 學

物

理

研

究

所

碩

士

論

文

不均向膨脹宇宙 Bianchi type I 的空間穩定性研究

Stability conditions for the Bianchi type I

anisotropically inflating universe

研

究 生

： 李傳睿

指導教授： 高文芳 教授

不均向膨脹宇宙 Bianchi type I 的空間穩定性研究

Stability conditions for the Bianchi type I

anisotropically inflating universe

研

究

生 ： 李傳睿

Student: Chuan - Ruei Lee

指 導 教 授 ： 高文芳

Advisor: W. F. Kao

國 立 交 通 大 學

物

理

研

究

所

碩

士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Physics

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Physics

July, 2010

Hsinchu City, Taiwan, Republic of China

不均向膨脹宇宙 Bianchi type I 的空間穩定性研究

學生： 李傳睿

指 導 教 授 ： 高文芳

國立交通大學物理研究所

摘

要

根據哈伯的觀測,宇宙是一個動態的宇宙, 因此,瞭解宇宙是如何從最初始的狀態演化成現在 的狀態，就是一個很重要的問題。 如果宇宙無毛猜想是正確的，所有不均向膨脹的宇宙最後都會演化成 de Sitter 時空，但 是這個猜想只得到部分證實。 在先前的論文 [1] 中, 在由里奇張量跟里奇純量構成的二次項的重力理論裡，已經找到一 組Bianchi type I 時空的不均向膨脹解，我們將在論文中呈現正確的解。我們可以對場方程式 做微擾的方式，證實這個解是不穩定的。但是這篇論文也將以論文 [1] 的動態系統分析方式， 重現這個不均向膨脹解的穩定性探討，並探討這兩者之間的關聯 。

Stability conditions for the Bianchi type I

anisotropically inflating universe

Student: Chuan-Ruei Lee

Advisor: W. F. Kao

Submitted to Institute of Physics

National Chiao Tung University

ABSTRACT

The evolution detail of an anisotropically expanding universe is an interesting research focus lately. The no hair conjecture, proved partially by Robert Wald, states that all anisotropically expanding universes will tend to an isotropic de Sitter space.

A class of anisotropically expanding solutions are found in ref. [1] for a gravity model with second-order correction terms derived from all possible combinations of the Ricci curvature tensor and Ricci scalar. We will present the correct expanding solutions in this paper. These solutions can be shown to be unstable by perturbing the field equations. Conventional approach by dynamical system analysis used in ref. [1] will be reviewed carefully and compared with the perturbation method mentioned earlier in this paper.

致

致

致

謝

謝

謝

首先要感謝我父母一直很支持我的選擇，謝謝我哥帶領我走進物理這條路，讓我找到自己 真正的興趣。過程中真的是有些辛苦。 感謝林貴林老師跟整個團隊的學長姐跟同學，讓碩一的我體驗到什麼叫做做研究，以及 如何把課本中的知識應用到實際的情況；感謝宗哲學長帶著完全不會程式的我學 C++ 跟 Root；感謝令威學長總是給我指導；感謝貝禎學姐的耐心；感謝佳均學姊教導我高能宇宙射 線的一些背景知識。感謝這一年的大家讓我知道什麼叫做物理。 感_{謝高文芳老師，在我因為興趣來到這研究團隊時給予我指導，帶領我一窺進入廣義相對} 論以及宇宙學的大門，並且給予我們正面的鼓勵。感謝團隊的每一個人，在每次的聊天討論給 予我很大的動力。感謝家銘學長，總是給予我最好的建議以及不厭其煩的回答問題；感謝英程 學長的耐心教導；感謝育誠、俊憲、Tuan、益弘學長的討論；感謝理策學長跟我去運動並且 教導我很多天文的背景知識；感謝韋嵐跟我去運動跟吃晚餐，總是只有我們兩個留研究室。 感謝_{物理所開課的老師，感謝所上一起打球的學長跟同學，感謝柏翰學長、德明學長、平} 翰學長，這是我在物理所除了研究的成就感之外，最快樂的事情。 這篇論文中證明穩定性的部分，感謝英程學長跟育誠的計算；推導 Barrow 論文中的宇 宙學動態系統方法，感謝英程學長、Tuan、育誠以及俊憲的推導；計算動態系統特徵值的部 分，感謝益弘學長的檔案參考。

Contents

中 中 中文文文摘摘摘要要要 i Abstract ii 致 致 致謝謝謝 iii 1 介介介紹紹紹 ₁ 1.1 背景 . . . 1 1.2 廣義相對論概述 . . . 2 1.2.1 _{基本觀念 . . . .} 2 1.2.2 廣義相對論 . . . 3 1.3 宇宙無毛定理 . . . 4 1.4 能量和動量 . . . 5 1.5 Friedmann Robertson-Walker 度規 . . . 6 1.6 De Sitter 時空 . . . 7 2 Bianchi 模模模型型型 8 2.1 序言 . . . 8 2.2 李代數和李群 . . . 8 2.3 Killing 方程式 . . . 9 2.4 G3 的 Motions . . . 9 2.5 Bianchi _{型態 I . . . 10} 2.6 九種 Bianchi 型態 . . . 12 3 Bianchi _型型型態態態 I _{模模模型型型} 13 3.1 前言 . . . 13 3.2 _{基本計算 . . . 14} 3.2.1 _{克里斯托夫符號 (Christoffel Components) . . . 14} 3.2.2 黎曼張量 (Riemann tensor) . . . 15 3.2.3 里奇張量 (Ricci tensor) . . . 15 3.2.4 里奇純量 (Ricci tensor) . . . 16 3.2.5 愛_{因斯坦張量 (Einstein tensor) . . . 16} 3.3 _{場方程式的推導 . . . 16} 3.3.1 對尺度因子 (Scale factors) 做變分 . . . 16 3.3.2 對 gµν _{做變分 . . . 20} 3.3.3 場方程式 . . . 23 3.4 膨脹解 (Inflating solutions) . . . 23 3.5 能量條件 . . . 25

4 穩穩穩定定定性_性性 27 4.1 微擾 . . . 28 4.2 穩定性分析 . . . 30 5 動動動態態態系系系統統統方方_方法法法 32 5.1 動態系統 (Dynamical systems) . . . 32 5.2 簡介 . . . 33 5.3 _{基本運算 . . . 34} 5.4 場方程式 . . . 35 5.5 膨脹解 . . . 39 5.6 比較：回到原始的變數，哈伯參數 . . . 40 5.7 穩定性 . . . 48 6 微微微擾擾擾方方_{方法法法跟}跟跟動動動態態態系系系統統統的的的連連連結結結 71 6.1 特徵值的轉換 . . . 71 6.2 基本原理 . . . 71 7 結結結論論論 76 A 對對_{對 g}µν _{做做做變變變}分分分 ₇₇ B 微微微擾擾擾 82 C 誘誘誘發發發重重重力力力 (Induced gravity) ₈₈ C.1 爆漲 (Inflation) . . . 88 C.2 純量場的誘發重力 . . . 88 C.2.1 對尺度因子 (Scale factors) 做變分 . . . 88 C.2.2 對 gµν _{做變分 . . . 91}

Chapter 1

介

介

介紹

紹

紹

1.1

背

背

背景

景

景

當我們試圖了解宇宙是如何從一個初始狀態演化至現在的狀態時，會有著許多困難。首 先，做這研究的背景知識是要用到廣義相對論，而由於廣義相對論雖然預測出奇點的存在，但 卻_{無法預測奇點中會出現什麼東西，或是如何描述奇點的事件，因此被認為是個不完整的理} 論；再加上廣義相對論跟量子力學的結合存在著矛盾，比如說，如果我們想要把粒子的位置測 得夠精準，那光子的能量就必須被提高，但如果光子的能量提高，時空的扭曲就會變大，我們 就無法保證位置都可以一直很小；而類似的問題是，在普朗克尺度之下，所有定律包括廣義相 對論都會失效，因此普遍認為廣義相對論有待被修正。

高階修正項 (Higher derivative terms) 被認為可視作是一個在一些能量尺度下，對於愛 因斯坦重力理論的微擾修正。例如，平常時空曲率 R 小時，高階修正項作用不大，但如果 在時空曲率 R 無限大的奇點，原本貢獻不大的高階修正項此時會有著極大的影響，因此可 被視為是一種修正。 同樣的道理，高階修正項問題在早期宇宙以及接近普朗克尺度時的研究 中都是非常的重要 [3][4]。我們知道原本從 Hilbert-Einstein’s Action 出發即可推導出愛因斯 坦場方程式，因此，在這篇論文中，我們會將由里奇張量跟里奇純量構成的高階修正項放進 Hilbert-Einstein’s Action 中，來推導出全新的重力場方程式。 再來，雖然我們都用均勻且均向來描述現在的宇宙，但是並沒有強烈的理由限制早期宇 宙也是一個均向的狀態。而因為現在宇宙中有許多的結構，因此比起均向的初始狀態，早 期宇宙為不均向的時空似乎更為自然，另一方面，宇宙微波背景輻射 Cosmic microwave background radiation (CMBR) 的不均向性也是一個被證實的現象，在某些尺度看，其在早 期宇宙是有著巨大尺度的波動 (Large scale fluctuations) ，而且這些不同方向的波動程度是 比觀測的準確性還大，這些波動被視為可能是現在宇宙的“種子” 。雖然 CMB 呈現的是早期 宇宙物質的分布狀況，而我們討論的是時空本身，但是由於物質分布跟時空扭曲是互相關聯， 因此這仍然是一個間接的理由去認為我們的宇宙一開始是一個不均向的初始狀態。 於是，我們用均勻但不均向的 Bianchi type I 時空來做這個研究，看看早期為不均向狀態 的宇宙，搭配著有著高階修正項的新重力理論，能否演化至穩定的 de Sitter 時空。 而為什麼我們會認為宇宙會演化至 de Sitter時空？由於 de Sitter 時空在廣義相對論中是 一個真空解，而我們的宇宙是一個正在膨脹的宇宙，造成了物質分布密度相對來說越來越低； 再者，對於愛因斯坦重力理論的宇宙無毛定理指出，如果物質 (Matter sources) 滿足強能量 限制 (Strong energy condition) 跟主能量限制 (Dominate energy condition) )，正的宇宙常 數將會把 Bianchi 空間 (spaces) 趨向於 de Sitter 時空，因此，我們普遍認為宇宙會演化至

de Sitter 時空_{。所以，在 [1] 這篇論文 Lagrange 出發的全新重力理論被提出後，證明在這新} 理論下，一個初始狀態為不均向 Bianchi type I 度規的宇宙是否會趨向於 de Sitter 時空就是 一個很重要的問題 [4]。

在這篇論文中，場方程式的膨脹解已經被找到，一組會趨向於 de Sitter 時空，另一組不 會。我們會在章節 3.5 確認無毛定理的能量條件，在第四章證明了不會趨向於 de Sitter 時空 的這組不均向解，在 Bianchi type I 模型是不穩定的。這意味著在這全新重力理論下，一個初 始狀態為 Bianchi type I 度規的宇宙最後 (Large-time scale) 會趨向於 de Sitter 時空。而我 們的目標則是希望能繼續證明 Bianchi type I - IX 的不均向解都是不穩定的，也就是全部的 Bianchi types 都會演化至 de Sitter 時空 (細節請見章節 1.3 無毛定理)。

1.2

廣

廣

廣義

義

義相

相

相對

對

對論

論

論概

概

概

述

述

述

1.2.1

_基

_基

_基本

本

本觀

觀

觀念

念

念

由愛因斯坦 (Albert Einstein) 在 1915 發展出的廣義相對論，不但統一了牛頓的萬有引力 跟狹義相對論，而且還預測出黑洞的存在、重力波以及重力透鏡等現象。 一 一 一.狹狹狹義義義相相相對對對論論的論的的原原原則則則：：： 1.物物物理理理定定定律律律在_在在不不不同_同同的的的慣慣慣_性性性座座_{座標標標下}下下都都都擁擁擁有有有同_{同同樣樣樣的}的的形形形式式式。_。。 2._光光光速速速的的的恆_恆恆定定定。_{。。 光速在真空中是個定值 c = 3 × 10}8 _{m/s，而且跟光源及觀察者的相對運} 動無關。 3.沒沒沒有有有一一一個個個座座_{座標標是標}是是特特特別別別的的的，，，所所所有有有的的的座座_{座標標標系}系系都都都是是是相相相等等等的的的。_{。。 沒有一個實驗能測量出物體的絕} 對運動速率，測量到的只是觀察者及物體的相對速度。 狹義相對論是建立在慣性座標的基礎上，說明物理定律在羅倫茲轉換下都有著不變量，也 就是會保有同樣的形式。因為是定義在沒有加速度的運動上，因此我們一定需要一個數學架構 及理論，不但能符合狹義相對論，更能完整描述加速度運動。而在設法也能描述加速度運動的 同時，根據愛因斯坦的電梯思想實驗，因此狹義相對論勢必會跟重力有所連結，因為重力的加 速度就是一個定值，也就是會有個加速度的座標 (下面的等效原理會提到)。 二 二 二.廣廣廣義義義相相相對對對論論的論的的原原原則則則：：： 1.廣廣廣義義義協協協變變_{變性性性原}原原則則則：：： 狹義相對論指出物理定律在慣性座標轉換下必須是不變量，廣義相 對論則是推廣到，物理定律不管是在任何座標轉換下都會保有同樣的形式，座標系統對於方程 式而言並不會有任何影響，也就是方程式跟座標是互相獨立的。這是很直觀可以想到的，因為 我們存在的時空是什麼樣子，應該跟我們取的座標系無關。物理定律必須被寫成廣義協變的形 式。 2.等等等效效效原原原理理理_{。。。 牛頓第二運動定律，} F = ma 裡面的 m 如果是在加速度系統中被測量，被稱為是‘慣性質量’，定義為一個物體對於其運動狀 態的抵抗。但如果 m 是在一個重力場由天平測得，那就會被稱作是‘重力質量’。而我們會發現

一個巧合，兩個的數值會是相等的。 根據愛因斯坦的電梯思想實驗，我們知道，慣性質量會等於重力質量。重力跟加速度會是 等效的，因為一個均勻的加速度可以產生一個均勻的重力場，我們不能分辨這個運動是重力造 成的或是加速度造成的，因為就跟狹義相對論中的相對速度一樣，加速度也是一個相對的量。 所以在試圖創建一個滿足狹義相對論，又能描述加速度運動的理論時，勢必會討論到重力場。

1.2.2

廣

廣

廣義

義

義相

相

相對

對

對論

論

論

為了方便想像，於是我們試著用等效原理來描述地球附近的重力場(或者說，任何不均勻 的重力場)，但是，就會發現有很多問題。雖然在很小的區域中 (locally) 的重力場是幾乎平行 的，但是在大一點的尺度下，重力場就不會是均勻的了。根據等效原理，加速度可以產生真正 的重力場，但是我們發現很難去找到一個很合理的加速度場去產生這種不均勻的重力場。同樣 的，很難去想一個合理的解釋來解釋地球繞著太陽的公轉。事實上，這些問題不只存在於空間 的區域，也發生在時間的區域，例如，一個剛體的座標系在地球的重力場中自由落下，這個座 標系就無法在大尺度的時空區域中保持慣性 [5]。等效原理在大尺度下失效了，於是我們發現 等效原理只在 局局局部部部_{性性性 (local) 的區域中成立，或者，一個‘時空’的小區域中。} 另一個問題是座座_{座標標標轉}轉轉換_換換下下的下的的慣慣慣_性性性定定定律律律。我們相信所有的物體都必須遵守慣性定律：沒有額 外的外力作用的物體，會保持當下的運動狀態而且維持一定的速度。現在這邊有個狹義相對論 的思想實驗: 一個物體跟一個觀察者都在同樣的慣性座標中，所以後者會認為前者是在做一個 慣_{性運動。但如果把觀察者換成是在一個加速度的座標系中，並且觀察在原本慣性座標系中} 的物體，有些事情發生了：這個物體‘看’起來不遵守慣性定律了，因為它運動的軌軌軌跡跡跡變成了曲 線(加速度是一個相對的物理量，而加速度運動的軌跡是曲線)，同樣的，星球的公轉看起來也 是不遵守慣性定律。這裡面一定有些錯誤發生，因為慣性定律應該是在所有座標系都成立，而 且跟我們取的座標系無關，物體本身一定得遵守慣性定律。 關於第一段提到局部 (local) 的特性，在想到地球上的現象時就有了一個想法： 我們是在 一個局部平坦，但是整體來看是個彎曲的空間中。舉例來說，一張紙上的三角形三角總和我們 知道是 180 度，但是如果我們將地球上的三個國家用三條線連起來，成一個三角形，我們會 發現其三角總和將會大於 180 度。這是一個暗示，因為三角形的三角總和在平坦的面上是 180 度，但在彎曲的面上將會超過 180 度。這個現象暗示了 幾幾幾何何何特特特性_{性性 (geometric property)} 是可以被量測到的，而且是有方法可以去量測我們存在的時空的維度，就像上述的例子：一 個球的表面不是歐式空間 (Euclidean space)，但是在局部時，歐式幾何會是個很好的近似。 這些現象提供了關於更高維度的足夠資訊。另一方面，當想到測地線 (geodesics) 時，關於 第二段慣性定律的問題，也有了別的想法：如果一個最短的曲線，在沿著這條曲線前進，其 與之相切的向量都會保持平行的話，就被定義為‘測地線’，而測地線也被定義為，在黎曼流面 (Riemannian manifold) 上局部的兩點間，有著‘固定的速度’ 且被參數化的最短路徑。因為慣 性定律的定義，我們可以很明顯的看出，測地線的概念跟慣性定律的觀念其實是一樣的。 愛_{因斯坦告訴我們，分析局部性及慣性定律的問題之後，唯一可以解決問題的想法就是幾}幾幾 何 何

何 (geometry)。微微_{微分分分幾}幾幾何何何 (Differential geometry) 用一種合理的方式完美的描述了我 們存在的時空， 測測_{測地地地線}線_{線 (Geodesics)} 則解釋了慣性運動的問題：是幾何造成了運動軌跡的 改變，讓原本遵守著慣性定律的運動，看起來不像是慣性運動。畢竟，在物理定律裡，我們相 信任何物體都必須遵守著慣性定律。

而在一個均勻、大尺度，而且沒有任何物體的時空中，很直觀的可以相信，物體‘看’起來一 定是遵守著慣性定律的。但如果是有物質存在的地方，比如說星球、星系甚至星團，一定就像 我們看地球繞太陽的公轉一樣，似乎沒有遵守著慣性定律。因此，我們有了這個結論：是物質 扭曲了時空，而扭曲的時空有其幾何特性，這些幾何特性則造成了物體運動行為的改變，也就 是說，這些運動行為的改變就是我們以為的加速度 (或者說，重力，或者說，只是物體在遵守 慣_{性定律下，順著時空的彎曲自然移動的軌跡) ，其表現出幾何特性而且可以被局部的量測。} 物質含有越多的質量，時空因為物質而造成的扭曲就越大。牛頓的萬有引力只是慣性運動在扭 曲時空中表現出的運動行為，小尺度的時空扭曲造成我們以為的重力 (加速度)，大尺度的時空 扭曲則決定了物質分佈的集中程度。 廣義相對論用時空的幾何特性，完美的描述了重力，這個理論不但完全符合狹義相對論， 而且能處理狹義相對論中未考慮的加速度運動。狹義相對論跟牛頓的萬有引力被完美的結合 了。

1.3

宇

宇

宇宙

宙

宙無

_無

_無毛

毛

毛定

定

定理

理

理

從宇宙無毛推論 (Cosmic no-hair conjecture) 到宇宙無毛定理 (Cosmic no-hair theo-rem)，只有在一些比較特殊的例子有被成功證明，整體而言其實還並沒有一個很完整的證 明，但是這些例子都有一個共同的特性：「對一個幾何被定義的時空，跟有物理動機特性的能 量-動量張量而言，重力場場方程式解出的所有的解都會趨向於一個曲率是常數的時空。」[6] 我們可暫時稱之為廣義的宇宙無毛推論。 在 [7] 中被引用的 [8] 是第一篇關於宇宙無毛推論的論文，指出「每一個行為在大尺度下滿 足自然均勻情況的世界，都會趨向於 de Sitter 時空。」第一個對 de Sitter 時空做穩定性研 究的則是 [9]。 Gibbons 跟 Hawking 在 1977 年提出的宇宙無毛推論 [10]，大致上來說，表 示愛因斯坦方程式解出的一個膨脹宇宙的解，如果有著正的宇宙常數，那這個解在很長的時間 後，將會趨近於 de Sitter 的解。這個理論暗示了此一行為可以被視為是 de Sitter 時空的穩 定性問題。無毛 (No hair) 是說它並沒有其他很複雜的特徵。

Gibbons 跟 Hawking _{在 1977 年提出的宇宙無毛推論後，在 1983 年，Wald 證明了一部} 分 [11]，將 ‘推論’ 中的一部分變成 ‘定理’ ：證明出在愛愛愛因因因斯斯_{斯坦坦坦的}的的重重重力力力理理理論論論中，如果滿足強能 量條件跟主能量條件，Bianchi type I - VIII 都會趨向於 de Sitter 時空。

其後，在一些包含由里奇張量跟里奇純量構成二次項 (quadratic terms) 的全全全新新新重重重力力力理理理論論論 出現後，一個幾何被定義的時空是否也會趨向 de Sitter 時空就是個很重要的問題，一些像 Type I, II, VIh 的不會趨向於 de Sitter 時空的不均向解被找了出來，也被認為是違反、打破

廣義無毛定理的膨脹解 [1]。但根據 Hawking 的推論，解出的不均向，也就是不會趨向於 de Sitter 時空的解都被認為應該是不穩定的，也就是最後整個系統都還是會趨向於 de Sitter 時 空。

之前被認為是打破廣義無毛定理的 Type I (此篇論文) 跟 II 的不均向解已經被證明出是不 穩定的 [4]。我們希望能繼續證明 Bianchi type I - IX 的不均向解都是不穩定的，也就是全部 的 Bianchi type 都會趨向 de Sitter 時空。

度規型式如下： ds2II = −dt2+ e2bt[dx + a 2(zdy − ydz)] 2 + ebt(dy2+ dz2) (1.1) 解出的不均向解為 a2 = 11 + 8Λ(11α + 3β) 30β , b 2 = 8Λ(α + 3β) + 1 30β (1.2) type VIh 度規型式如下： ds2V Ih = −dt

2_{+ dx}2_{+ e}2(rt+ax)_[e−2(st+a˜hx)_dy2_{+ e}+2(st+a˜hx)_dz2_{] (1.3)}

解出的不均向解為 r2 = 8βs 2_{+ (3 + ˜h}2_{)(1 + 8Λα) + 8Λβ(1 + ˜h}2₎ 8β˜h2 , a2 = 8βs 2_{+ 8Λ(3α + β) + 3} 8β˜h2 (1.4) 而在 [2] 中被證明為不穩定的 Type I 的不均向解 (部分推導放在第五章)，我們也在第四 章用微擾方式證明出不穩定。 type I 度規型式如下： ds2 = −dt2+ a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 (1.5) 解出的不均向解為 [a2+ b2+ c2 = Λ, ab + bc + ac = Λ] [a2+ b2+ c2 = −1 − 8αΛ 2β , ab + bc + ac = 1 + 8αΛ + 4βΛ 2β ] (1.6)

1.4

能

能

能量

量

_量和

_和

_和動

動

動量

量

量

當處理一個物理系統，我們沒有必要去處理每一個個別粒子的能量 - 動量 (Energy-momentum)_{。取而代之的是，如果我們以一個巨觀的角度來看，將整個系統考慮成一個理想}

狀態的流體，那將會是非常有用而且方便的，因為這個流體本身就會有一個整體的 四維速度 (Four-velocity) 跟連續 (Continuum) 的_性質。 四維能量 - 動量 (Stress-energy 張量) Tµν _{代表 ‘四維動量 p}µ _{通過 x}ν 為定值的面的流量 (flux) ’, 所以 T00 _{代表 ‘能量 p}0 _{在時間 x}0 _{的方向的流量’ ，T}ii _{代表 ‘能量 p}i _{在座標 x}i _方向 的流量’ 。對於 T00 _{的變動，空間座標的部分並不會改變；而對於 T}ii_{，它的變動代表在鄰近} 元素之間被施加的力 (Forces) 。我們定義 T00 為靜止參考座標的能量密度 (Energy density) ρ，而 Tii _{以物理角度來看則是壓力 p} xi。 在相對論中，觀察者在哪個參考座標示非常重要的，尤其是所謂的靜止座標 (Rest frame)，因為我們在分析相對運動時，需要一個基準。另一方面，如果在處理流體問題 時，流體有著均向的特性，那將會簡單許多，因此我們定義完美流體 (perfect fluid) 有著兩 個量：在靜止座標系時的能量密度 ρ 跟在均向靜止座標系的壓力 p。如果完美流體在一個 座標系是均向的，而且在別的座標系也是保持著均向，那這個流體在共動座標 (Comoving coordinates) 中就是靜止的。 能量 - 動量張量 Tµν = (ρ + p)UµUν + pgµν (1.7) 將一個指標 (index) 移至上標，變成 Tµ_ν =     −ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p     (1.8) 無毛定理中，關於能量這部分進一步的計算過程被放在章節 3.5 中。

1.5

Friedmann Robertson-Walker 度

度

度規

規

規

由於均勻且均向的特性，我們通常用 Robertson-Walker 度規去描述我們的宇宙。 ds2 = −dt2+ a2(t)[ dr 2 1 − κr2 + r 2 dΩ2] (1.9) 這邊這_{個膨脹宇宙是空間均勻的，但是是隨著時間在演化，而這個相對距離的函數 a(t) 被} 稱_{為尺度因子 (Scale factor)。κ 是空間的曲率，可以為任何值，但是在描述我們宇宙的形狀} 時，通常是考慮以下的三個值： κ =      1, if closed 3-sphere 0, if Euclidean space −1, if open 3-hyperboloid (1.10) 用 RW 度規去推導出章節 1.4 中的能量 - 動量張量，如此一來我們可以找出，以下型式的 愛_{因斯坦方程式的確切的解：} Rµν = 8πG(Tµν− 1 2gµνT ) (1.11)

(1.11) 的 00 部分為 ¨ a a = − 4πG 3 (ρ + 3p) (1.12) 用 (1.12)，(1.11) 的 ij 部分會變成 (˙a a) 2 ₌ 8πG 3 ρ − κ a2 (1.13) (1.12) 和 (1.13) 被稱做 Friedmann 方程式，代表均勻且均向空間的膨脹。如果 (1.9) 符合 Friedmann 方程式，則被稱為 Friedmann-Robertson-Walker 度規。

1.6

De Sitter 時

時

時空

空

空

關於最對稱的空間，一個最常見的例子就是歐式空間 (Euclidean spaces) Rn _{和球狀空間} Sn。曲率在每個地方都是一樣的 (經過平移後的不變量為均勻)，而且在每個方向也都是一樣 的 (經過旋轉後的不變量為均向)。 對於任何一個最對稱的 n - 維度流面 (manifold)， Rρσµν = R n(n − 1)(gρµgσν− gρνgσµ) =κ(gρµgσν− gρνgσµ) (1.14) De Sitter 時空是一個正曲率 (κ > 0) ，最對稱而且符合羅倫茲轉換的時空。在廣義相對論 中， de sitter 解是一個真空解。 ds2 = −dt2+ e2 √ Λ 3t(dx2+ dy2+ dz2) (1.15) 滿_{足 Gµν + Λgµν = Tµν with Tµν = 0 。}

一個膨脹 de Sitter 宇宙的加速是被宇宙常數 (Cosmological constant) Λ 所決定，因為物 質 (Matter sources) 被忽略。我們的宇宙極有可能是會趨向於 de sitter 宇宙。

Chapter 2

Bianchi

模

模

模型

_型

_型

2.1

序

序

序言

言

言

黎曼流面 (Riemannian manifold) (M, gM_{) 是一個平滑可微分的流面 M，有著正的內積} (inner product) 度規 gM，其定義如下 ds2 = 1···n X i,k gikdxidxk , (2.1) 這是其在 M 的任何相切空間上的 line element 的平方，而且每個相切空間都是一個歐式空間 (Euclidean space) Rn, n 是有限的。有了度規，我們就可以去定義像是長度、角度、面積跟 一些向量場計算的幾何特性。 如果一個物理系統在經過可微分的轉換後，有一些不變量，這就是對稱。兩個度規空 間 (M, gM_{) 跟 (N, g}N_{) 之間，一對一而且等距的映射 (one-to-one and distance-preserving}

map) 稱做 isometry，其被定義為

T he line elements dN(f (a), f (b)) = dM(a, b), f or any a, b ∈ M. (2.2)

因此這也是一種對稱，一個度規空間對自己做 isometry 被稱為 motion，所有可能的 motions 而成的集合 (set) 就形成一個 group。現在我們用有限維度的李群 (Lie group) ，就如同包含 某些參數的轉換一樣，來描述連續的 motions。[12][13][14]

而我們想要呈現的是，在 line elements 是不變量 (2.2) 的 isometric 轉換下，所有可能形 式的 ds2 _{。事實上， Bianchi type 模型有九種，我們會將這九種類型放在章節 2.6。}

2.2

李

李

李代

代

代數

數

_數和

_和

_和李

李

李群

群

群

大部分的物理空間都是可微的流面，而李群 (Lie group) 也是一個可微的流面。它代表數學 物理中，平滑變化的組對稱 (smoothly varying families symmetries)，而且它的局部性結構 由 ‘無限小的群 (infinitesimal groups)’ 所掌握，這些無限小的群就是李代數 (Lie algebras)。 李代數提供了無限小轉換的觀念，這些觀念在處理連續狀況時是必要的，而李代數之所以可以 被定義，是因為李群在各個點都有相切的空間。 一個群 Gi 由無限小的轉換所產生 Xαf = 1···n X r ξ_rα ∂f ∂xr , where α = 1, 2, · · · , n (2.3)

由 r 無限小的轉換所產生的李群為 Gr = (X1f, X2f, · · · Xnf ) (2.4) 這邊 n 是 n 維的空間 Sn _{，而且 r ≤} n(n+1) 2 。

2.3

Killing 方

方

方程

程

程式

式

式

Killing 方程式保持了流面上任意兩點間的距離，而且我們可以利用它來推導出在 isometric 轉換下所有可能的 ds2 。推導的過程如下： 根據上面的觀念，我們知道，當一個像 (2.3) 般無限小的轉換作用在 ds2 _{上面，其結果必} 定等於零，因為距離 ds2 _{必須是個不變量。} 對於先前定義的 ds2 ₌P1···n i,k aikdxidxk， X(ds2) =X i,k X(aik)dxidxk+ X r,k X(ark)dxrdxk+ X i,r X(air)dxrdxi =X i,k,r ξr ∂aik ∂xr dxidxk+ X r,k arkdξrdxk+ X i,r airdξrdxi =X i,k {X r (ξr ∂aik ∂xr + ark ξr ∂xi + air ξr ∂xk )}dxidxk =0 (2.5) 因此這些函數 ξ_r 一定得滿足 X r (ξr ∂aik ∂xr + ark ξr ∂xi + air ξr ∂xk ) = 0 (2.6) 這邊 i, k = 1, 2 · · · , n，而 (2.6) 就是 Killing 方程式。

2.4

G

3

的

的

的 Motions

這_{個章節我們論證，如果一個像 (2.4) 的群被給定，是否有任何一個空間 S}n _{會存在。因為} 當一個由轉換所產生的群產生時，我們需要一個容許像 (2.4) 一樣，一個 motions 中的群的空 間。 用一個線性組合來取代 X1f, X2f, X3f [14] [Xα, Xβ]f = X γ cαβγXγf (2.7) (2.6) 變成 Xα(aik) + X r (air ξr(α) ∂xk + akr ξr(α) ∂xi ) = 0, where α, i, k = 1, 2, · · · , n (2.8)

將 (2.8) 中的指標 (index) 從 α 換成 β，並且在前面加一個運算符 (operator)。 Xβ[Xα(aik) + X r (air ξr(α) ∂xk + akr ξr(α) ∂xi )] = 0 Xα[Xβ(aik) + X r (air ξr(β) ∂xk + akr ξr(β) ∂xi )] = 0 (2.9) 很明顯的，(2.9) 中的兩個式子相減會是 identity。 另一方面，根據 (2.7)，我們知道 Xα(ξ(β)r ) − Xβ(ξr(α)) = X r cαβγξr(γ) (2.10) 接著將 (2.10) 對 xk 微分 Xα( ∂ξr(β) ∂xk ) − Xβ( ∂ξ(α)r ∂xk ) =X γ cαβγ ∂ξr(γ) ∂xk +X s (∂ξ (α) r ∂xs ∂ξ(β)s ∂xk −∂ξ (α) s ∂xk ∂ξr(β) ∂xs ) (2.11) 經過一些很直接的計算， (2.11) 會變成一個 identity。將這個結果跟 (2.10)比較，可以看 出 aik 的整個微分方程系統是可積分的 。因此因為 aik 在一個點的初始值在鄰近區域中都會保

持一樣，我們成功的定義 Gn 為幾組在 Sn 中的 motions (families of motions) 。當然，係數

aik 可以被想成就是度規 gik。

2.5

Bianchi

_型

_型

_型態

態

_{態 I}

Bianchi type I 像 (2.7) 的線性組合為 [X1, X2]f = [X1, X3]f = [X2, X3]f = 0 (2.12) 對於以下的空間而言，這邊有個例子 [14] ds2 = dx2₁+ αdx2₂+ 2βdx2dx3+ γdx23 (2.13) 假設 X1f = _∂x∂f₂, X2f = _∂x∂f₃ and X3f = ξ1_∂x∂f₁ + ξ2_∂x∂f₂ + ξ3_∂x∂f₃

Killing 方程式會變成 ∂ξ1 ∂x1 = 0, α∂ξ2 ∂x1 + β∂ξ3 ∂x1 = 0 β∂ξ2 ∂x1 + γ∂ξ3 ∂x1 = 0 1 2α 0 ξ1 = 0 1 2γ 0 ξ1 = 0 β0ξ1 = 0 (2.14) 從 (2.14) 中最後三個方程式，可以得到 α, β, γ 為常數，因為根據我們的定義及假設，ξ1 不 會等於零。我們得到這個結論：在 Bianchi type I 模型中，曲率等於零。

2.6

九

九

九種

種

_{種 Bianchi 型}

_型

_型態

態

態

I : [X1, X2]f = [X1, X3]f = [X2, X3]f = 0 ds2 = − dt2+ a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 II : [X1, X2]f = [X1, X3]f = 0, [X2, X3]f = X1f ds2 = − dt2+ a2₁(t)(dx + zdy)2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 III : [X1, X2]f = 0, [X1, X3]f = X1f, [X2, X3]f = 0

ds2 = − dt2+ e−2z(a₁2(t)(coshzdx + sinhzdy)2+ a2₂(t)(sinhzdx + coshzdy)2) + a2₃(t)dz2 IV : [X1, X2]f = 0, [X1, X3]f = X1f, [X2, X3]f = X1f + X2f ds2 = − dt2+ e−2z(a2₁(t)(dx + zdy)2+ a2₂(t)dy2) + a2₃(t)dz2 V : [X1, X2]f = 0, [X1, X3]f = X1f, [X2, X3]f = X2f ds2 = − dt2+ e−2z(a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2) + a2₃(t)dz2 V I : [X1, X2]f = 0, [X1, X3]f = X1f, [X2, X3]f = hX2f, (h 6= 0.1)

ds2 = − dt2+ a2₁(t)(coshzdx + sinhzdy)2+ a2₂(t)(sinhzdx + coshzdy)2 + a2₃(t)dz2

V II : [X1, X2]f = 0, [X1, X3]f = X2f, [X2, X3]f = −X1f + hX2f, (0 ≤ h < 2)

ds2 = − dt2+ a2₁(t)(coszdx + sinzdy)2+ a2₂(t)(sinzdx − coszdy)2 V III : [X1, X2]f = X1f, [X1, X3]f = 2X2f, [X2, X3]f = X3f

ds2 = − dt2+ a2₁(t)(coshzdx − sinhz sinhx dy)2+ a2₂(t)(sinhzdx − coshz sinhx dy)2 + a2₃(t)(dz + coshxdy)2

IX : [X1, X2]f = X3f, [X2, X3]f = X1f, [X3, X1]f = X2f

ds2 = − dt2+ a2₁(t)(coszdx + sinz sinx dy)2+ a2₂(t)(−sinzdx + cosz sinx dy)2 + a2₃(t)(dz + cosxdy)2

Chapter 3

Bianchi

_型

_型

_型態

態

_{態 I}

_模

_模

_模型

_型

_型

3.1

前

前

前言

言

言

在廣義相對論中，變數 (dynamical variable) 是度規 gµν。對於一個表示成，由 Lagrange

density L 對整個時空積分的 action S， S = Z d4xL = Z d4x√−gL (3.1) 因_{為 S 在座標轉換下必須是個不變量，所以 Lagrange density L 必須是個跟參考座標無關的} 純量，而且要包含變數 (dynamic variable) 的二階微分，不可以有更高次的微分項，因為運 動方程式在確定一個物理狀態時，只需要第一階跟第二階的微分就已經足夠。對里奇張量做縮 減 (contraction) 得到的里奇純量滿足這些特性，因此著名的 Einstein-Hilbert action 為下列 的型式：

SH =

Z

dnx√−gR (3.2) Barrow 跟 Hervik 從原本表現出不均向爆漲的 Einstein - Hilbert action 出發，研究了 一個增加二階項里奇曲率項的新重力理論，並且列出了一些關於這個新理論，簡單的宇宙的 解[1][15][16]。 這_{個理論中，四維的重力 action 是} S = 1 2 Z d4x√−g(R + αR2+ βRµνRµν− 2Λ) (3.3) 對這個 action 做變分，就可以得到愛因斯坦方程式 [17]。 Gµν+ Φµν + Λgµν = κTµν (3.4) 這邊 Tµν 是代表物質 (matter sources) 的能量 - 動量張量，我們會假設其為零。而愛因斯坦 張量 (Einstein tensor) 是 Gµν = Rµν − Rgµν/2 , (3.5) Φµν 這個張量則是從二階項里奇曲率項來的 Φµν = 2αR(Rµν − 1 4Rgµν) + (2α + β)(gµν − 5µ5ν)R +β(Rµν − 1 2Rgµν) + 2β(Rµσνρ− 1 4gµνRσρ)R σρ _{, (3.6)}

而且我們可以看出 Φµν = 0 if α = β = 0。 另一方面，Bianchi type I 的度規是： ds2 = −b2(t)dt2+ a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 , (3.7) 這邊相對距離的函數 a_{i(t) 是個時間的函數，被稱做尺度因子 (scale factor)。為了方便，我們} 可以將度規跟反度規 (inverse metric) 寫成下面的形式： gµν =     −b2_{(t) 0 0 0} 0 a2₁(t) 6 0 0 0 a2 2(t) 0 0 0 0 a2 3(t)     , gµν =      1 −b2_(t) 0 0 0 0 _a21 1(t) 6 0 0 0 _a21 2(t) 0 0 0 0 _a21 3(t)      (3.8) 對於 (3.3)中的四維重力 action，我們可以得到 √

−g = b(t)a1(t)a2(t)a3(t) (3.9)

而在這篇論文中，我們會考慮以下較為簡單的度規型式： ds2 = −dt2+ a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 (3.10)

3.2

_基

_基

_基本

本

本計

計

計

算

算

算

3.2.1

_克

_克

_克里

里

里斯

斯

斯托

托

托夫

夫

夫符

符

符號

_號

_{號 (Christoffel Components)}

克里斯托夫符號 (Christoffel components) 代表相切空間中跟鄰近點的向量之間的關係。 由度規所構成的公式如下： Γλ_µν = 1 2g λσ_(∂ µgνσ + ∂νgσµ− ∂σgµν) (3.11) 不等於零的克里斯托夫符號 (Christoffel components) 為： Γ0₁₁ = a0(t)a00(t) Γ0₂₂ = a1(t)a01(t) Γ0₃₃ = a2(t)a02(t) Γ1₁₀ = a0(t) a0₀(t) Γ2₂₀ = a1(t) a0 1(t) Γ3₃₀ = a2(t) a0₂(t) (3.12)

3.2.2

黎

黎

黎曼

曼

曼張

張

張量

量

_{量 (Riemann tensor)}

黎曼張量提供我們關於流面曲率的所有資訊。只有如果 (if and only if) 度規是平坦的，它 才會等於零。黎曼張量的最後兩個指標 (indices) 是反對稱的。我們可以用這個公式得到黎曼 張量： Rρ_σµν = ∂µΓρνσ − ∂νΓρµσ+ Γ ρ µλΓ λ νσ − Γ ρ νλΓ λ µσ (3.13) 不等於零的黎曼張量為 R₁₁₀0 = −a0(t)a000(t) R₂₂₀0 = −a1(t)a001(t) R₃₃₀0 = −a2(t)a002(t) R₀₁₀1 = −a 00 0(t) a0(t) R₂₂₁1 = −a1(t)a 0 0(t)a01(t) a0(t) R₃₃₁1 = −a2(t)a 0 0(t)a 0 2(t) a0(t) R₀₂₀2 = −a 00 1(t) a1(t) R₁₂₁2 = a0(t)a 0 0(t)a 0 1(t) a1(t) R₃₃₂2 = −a2(t)a 0 1(t)a 0 2(t) a1(t) R₀₃₀3 = −a 00 2(t) a2(t) R₁₃₁3 = a0(t)a 0 0(t)a 0 2(t) a2(t) R₂₃₂3 = a1(t)a 0 1(t)a 0 2(t) a2(t) (3.14)

3.2.3

里

里

里奇

奇

奇張

張

張量

量

_{量 (Ricci tensor)}

里奇張量是黎曼張量的縮減 (contraction)，是對稱的。我們可以由以下公式得到所有的里 奇張量： Rσν = Rρσρν (3.15) 不為零的里奇張量為：

R00= − a00₀(t) a0(t) − a 00 1(t) a1(t) − a 00 2(t) a2(t) R11= a0(t)( a0₀(t)a0₁(t) a1(t) +a 0 0(t)a02(t) a2(t) + a00₀(t)) R22= a1(t)( a0₀(t)a0₁(t) a0(t) +a 0 1(t)a 0 2(t) a2(t) + a00₁(t)) R33= a2(t)( a0₀(t)a0₂(t) a0(t) +a 0 1(t)a 0 2(t) a1(t) + a00₂(t)) (3.16)

3.2.4

里

里

里奇

奇

奇純

純

純量

量

_{量 (Ricci tensor)}

里奇純量是里奇張量取跡 (trace) 而得到的。根據公式 R = Rµ_µ , (3.17) 我們可以得到里奇純量 R = 1 a0(t)a1(t)a2(t)

2(a0(t)a01(t)a 0 2(t) + a2(t)a00(t)a 0 1(t) + a2(t)a1(t)a000(t) + a2(t)a00(t)a 00 1(t) + a1(t)a00(t)a 0 2(t) + a1(t)a00(t)a 00 2(t)) (3.18)

3.2.5

愛

愛

愛因

因

因斯

斯

_斯坦

_坦

_坦張

張

張量

量

_{量 (Einstein tensor)}

愛_{因斯坦張量可以被視為是 trace - reversed 的里奇張量，由於里奇張量跟度規的對稱} 性，所以它也是對稱的。 Gµν = Rµν− 1 2gµνR , (3.19) 不為零的愛因斯坦張量為 G00= 1 a0(t)a1(t)a2(t) (a0(t)a01(t)a 0 2(t) + a1(t)a00(t)a 0 2(t) + a2(t)a00(t)a 0 1(t)) G11= − 1 a1(t)a2(t)

(a2₀(t)a0₁(t)a0₂(t) + a2₀(t)a00₁(t)a2(t) + a20(t)a1(t)a002(t))

G22= −

1 a0(t)a2(t)

(a2₁(t)a0₀(t)a0₂(t) + a2₁(t)a00₀(t)a2(t) + a21(t)a0(t)a002(t))

G33= −

1 a0(t)a1(t)

(a2₂(t)a0₀(t)a0₁(t) + a2₂(t)a00₀(t)a1(t) + a22(t)a0(t)a001(t))

(3.20)

3.3

場

場

場方

方

方程

程

程式

式

式的

的

的推

_推

_推導

導

導

3.3.1

對

對

對尺

尺

尺

度

度

度因

因

因

子

子

子 (Scale factors) 做

_做

_做變

變

變

分

分

分

我們創建一個模型，可以被用在 Einstein - Hilbert action 跟包含更高階衍生項的 action， 來推導出場方程式 [3][18][19][20]。為了方便，我們將 (3.8) 寫成

gµν =     −B 0 0 0 0 a2 1(t) 0 0 0 0 a2₂(t) 0 0 0 0 a2 3(t)     (3.21) 並且用哈伯參數 (Hubble parameter) Hi = ˙ ai(t) ai(t) (3.22) 來重新定義之前的基本計算。因此，像哈伯參數這樣膨脹的比率被定義了，而現在時期的 哈伯參數就是哈伯常數 (Hubble constant)。 結果，(3.16) 變成 R0₀ = 1 2 ˙ BH1+ B(H12+ ˙H1) R1₁ = 1 2 ˙ BH1+ B(H12+ ˙H1+ H1H2+ H1H3) R2₂ = 1 2 ˙ BH2+ B(H22+ ˙H2+ H1H2+ H2H3) R3₃ = 1 2 ˙ BH3+ B(H32+ ˙H3+ H1H3+ H2H3) , (3.23) (3.18) 變成 R = Rµ_µ=B(H₁2+ H₂2+ H₃2 + ˙H1+ ˙H2+ ˙H3+ H1H2+ H2H3+ H1H3) + 1 2B(H˙ 1+ H2+ H3) (3.24) (3.24) 的等號右邊跟 xi 無關，因為 Bianchi type I 的度規是均勻的。 然後， (3.20) 變成 G00 = H1H2+ H2H3+ H1H3 G11 = −g11(H₂2+ ˙H2+ H32+ ˙H3+ H2H3) G22 = −g22(H₁2+ ˙H1+ H32+ ˙H3+ H1H3) G33 = −g33(H₁2+ ˙H1+ H22+ ˙H2+ H1H2) (3.25) 在 Bianchi type I 模型中，(3.3) 的 Lagrange 會變成

L =2( ˙H1+ ˙H2+ ˙H3+ H12+ H 2 2 + H 2 3 + H1H2+ H2H3+ H1H3) + 4α( ˙H1+ ˙H2+ ˙H3+ H12+ H 2 2 + H 2 3 + H1H2+ H2H3+ H1H3)2 + β(( ˙H1+ ˙H2+ ˙H3+ H12+ H 2 2 + H 2 3) 2 + ( ˙H1+ H12+ H1H2 + H1H3)2 + ( ˙H2+ H22+ H2H1+ H2H3)2) + ( ˙H3+ H32+ H3H1+ H3H2)2) (3.26)

我們用 [18] 中的方法來推導場方程式。 [21]−[25] L =√−gL = a1(t)a√2(t)a3(t) B L = V L (3.27) 對 對 對 scale factor B 做做做變變變分分分 ∂L ∂B − d dt( ∂L ∂ ˙B) =0 =[−1 2V L + V ∂L ∂B] − d dt[V ∂L ∂ ˙B] =[−1 2V L + V δL δB] − [ ˙V ∂L ∂ ˙B + V d dt ∂L ∂ ˙B] =[−1 2V L + V ∂L ∂B] − [(H1+ H2+ H3) ∂L ∂ ˙B + V d dt ∂L ∂ ˙B] (3.28) 經過一些下面的代數轉換 ∂L ∂B = Hi ∂L 2∂Hi + ˙Hi ∂L ∂ ˙Hi , ∂L ∂ ˙B = Hi∂L 2∂ ˙Hi , (3.29) (3.28) 會變成 V [−L + Hi ∂L ∂Hi + 2 ˙Hi ∂L 2∂ ˙Hi − 3HHi∂L ∂ ˙Hi − d dt Hi∂L ˙ ∂Hi ] = 0 , (3.30) 這邊 3H = H1+ H2+ H3。 最後，場方程式 D0L 可以表示成 D0L = L + Hi( d dt + 3H)L i_{− H} iLi− ˙HiLi = 0 , (3.31) 這邊 L_i = δL/δHi, Li = δL/δ ˙Hi, 3H = Pn i=1Hi。 對 對 對 scale factor ai 做做做變變變分分分 原本應該是要對 ai 做變分，但是我們會換成對 Hi 做變分。下面我們會拿原本對 a2 做變 分的來當例子。

∂L ∂a2 − d dt( ∂L ∂ ˙a2 ) + d 2 dt2( ∂L ∂ ¨a2 ) = 0 =V [L a2 + ∂L ∂a2 − (∂0+ 3H) ∂L ∂ ˙a2 + (∂₀2+ 2 · 3H∂0+ ˙H2+ H22+ ˙H3+ H32+ 2H2H3) ∂L ∂ ¨a2 ] (3.32) 經過下面的一些代數轉換 ∂L ∂a2 = ∂L ∂H2 ∂H2 ∂a2 + ∂L ∂ ˙H2 ∂ ˙H2 ∂a2 = −H2 a2 L2 − 1 a2 [ ˙H2− H22]L2 ∂L ∂ ˙a2 = ∂L ∂H2 ∂H2 ∂ ˙a2 + ∂L ∂ ˙H2 ∂ ˙H2 ∂a2 = L2 a2 − 2 a2 H2L2 ∂L ∂ ¨a2 =L 2 a2 , (3.33) (3.32) 變成 L a2 + [−H2 a2 L2− 1 a2 [ ˙H2− H22]L 2 ] + [− 1 a2 (∂0+ 3H)L2+ (∂0+ 3H) 2 a2 H2L2− L2∂0 1 a2 ] + [ 1 a2 (∂₀2+ 2 · 3H∂0+ ˙H2+ H22+ ˙H3+ H32+ 2H2H3)L2 + L2∂₀2(1 a2 ) + 2∂0( 1 a2 )∂0(L2) + 2 · 3H · L2 · ∂0( 1 a2 )] = 0 (3.34) 另一方面，從 (3.32) 跟 (3.34) 我們知道 (∂0+ 3H) 2 a2 H2L2 = −2H 2 2L2 a2 + 2 ˙ H2L2 a2 + 2 H2(∂0L2) a2+ 2 3H · H2L2 a2 , (3.35) 而且這邊我們用以下這個式子 (∂0+ Hi)2L =(∂0+ Hi)(∂0+ Hj)L = ∂₀2L + ∂0(HjL) + Hi∂0L + HiHjL = (∂₀2+ ˙Hj + 2Hi∂0+ HiHj)L , (3.36)

則 (3.34) 變成 1 a2 (∂₀2+ 2 · 3H∂0+ ˙H2 + H22+ ˙H3+ H32+ 2H2H3)L2 =1 a2 [L − (∂0+ 3H)L2+ [(∂0+ 3H)2+ 3H · ∂0]L2] =0 (3.37) 終於，我們得到場方程式 D₁L _為 L − (∂0+ 3H)L2+ [(∂0+ 3H)2]L2 = 0 (3.38) 我們可以將對 Hi, i = 1, 2, 3 做變分而得到的三條場方程式相加，結合成一條方程式如下： 3L + (d dt + 3H) 2 n X i=1 Li− (d dt + 3H) n X i=1 Li = 0 (3.39) 這邊 Li = δL/δHi, Li = δL/δ ˙Hi, 3H =Pn_i=1Hi。

3.3.2

對

對

_{對 g}

µν

做

做

做變

變

變

分

分

分

這邊有另外一個方法來推導場方程式，就是用最小作用量原理 (principle of least action) [26]_{。在廣義相對論中，度規 g}µν 是定義在四維流面上的變數 (dynamic variable) 。因此，不 像上個章節 3.3.1 用 Euler - Lagrange 方程式， 我們會把 S 中的度規做微小的變化。而為了 方便計算，對反度規的變分 (variations) 會取代對度規的變分，並且假設這些變分在邊界上會 消失_。 從 (3.3)，我們知道 S = 1 2 Z d4x√−gL = 1 2 Z d4x√−g(R + αR2 + βRµνRµν − 2Λ) (3.40) L = R + αR2+ βRµνRµν − 2Λ (3.41) 設 δS1 =δ Z d4x√−g(R), δS2 =α δ Z d4x√−g(R2_), δS3 =β δ Z d4x√−g(RµνRµν) δS4 =2β δ Z d4x√−gΛ , (3.42)

如此一來，我們可以分別計算 δS1 = Z d4x[(δ√−g)R +√−g(δR)] = Z d4x[(−1 2 √ −ggµνδgµν) 1R + √ −g(δgµν_R µν+ gµνδRµν)] = Z d4x√−g[(−1 2gµνR + Rµν)δg µν _{+ 5} σ 5σ(gµνδgµν) 2− 5µ5ν (δgµν)] 3 = Z d4x√−gGµνδgµν (3.43) 腳註的細節計算會被放在附錄A (Appendix A)。

δS2 =α Z d4x[δ√−gR2) +√−g(2RδR)] =α Z d4x[(−1 2 √ −ggµνδgµν)R2+ √ −g(2R)(δgµν_R µν + gµνδRµν)] =α Z d4x√−g[(−1 2gµνδg µν_)R2_{+ 2RR} µνδgµν) + 2RgµνδRµν)] =α Z d4x√−g[R(Gµν+ Rµν)δgµν+ 2R(5σ5σ (gµνδgµν) − 5µ5ν (δgµν)] =α Z d4x√−g[R(Gµν+ Rµν)δgµν + α[0 − (0 − Z d4x√−g 5σ 5σ(2R)gµνδgµν] − α[0 − (0 − Z d4x√−g 5µ5ν(2R)δgµν = α Z d4x√−g[R(Gµν + Rµν) + gµν(2R) − 5µ5ν (2R)]δgµν (3.44)

δS3 =δ (β Z d4x√−gRµνRµν) =β Z d4x[(δ√−g) 1_R µνRµν+ √ −gRµν(δRµν) 4+ √ −gδ(Rµν)Rµν] =β Z d4x√−g(−1 2gµνRσρR σρ_δgµν_{+ 2g}µσ_R σρRµνδgνρ+ 2RµνδRµν 5) =β Z d4x√−g[−1 2gµνRσρR σρ_δgµν_{+ 2g}µσ_R σρRµνδgνρ 6+ 2(− 5α5νRαν 7 +1 2Rµν + 1 2gµν5α5βR αβ 8_)] =β Z d4x√−g[−1 2gµνRσρR σρ_δg µν + 2RµσνρRσρ+ 5µ5νR − 2 5ρ5µRρν + 2(− 5σ5νRσµ+ 1 2Rµν+ 1 4gµνR)] =β Z d4x√−g[−2 5σ 5νRσµ+ Rµν+ 1 2gµνR − 1 2gµνRσρR σρ + 2RµσνρRσρ− 5µ5ν R + 2 5ρ5µRρν] (3.45) 腳註的細節計算會被放在附錄A (Appendix A)。

*_{在我們的模型中， R}ij = 0, i 6= j, 因此在經過一些改變指標 (change index) 的計算， −2 5σ ₅ νRσµ+ 2 5ρ5µRρν 可以被消掉。 將 1 2gµνR 寫成 gµνR − 1 2gµνR ， (3.45) 變成 β Z d4x√−g[(gµν − 5µ5ν)R + (Rµν − 1 2gµνR) + 2(RµσνρR σρ −1 4gµνRσρR σρ_{) − 2g} µνΛ]δgµν (3.46) δS4 =2 Z d4x(δ√−g)Λ = Z d4x[(−√−ggµνδgµν)Λ = − Z d4x√−ggµνΛδgµν (3.47)

最後，場方程式為 δS =δS1+ δS2+ δS3+ δS4 =2αR(Rµν− 1 4Rgµν) + (2α + β)(gµν − 5µ5ν)R + β(Rµν− 1 2Rgµν) + 2β(Rµσνρ− 1 4gµνRσρ)R σρ_{− 2g} µνΛ (3.48)

3.3.3

場

場

場方

方

方程

程

程式

式

式

章節 3.3.1 跟章節 3.3.2 得到的結果必須是一樣的，根據 (3.31)、 (3.39) 跟 (3.48)，展開 後的場方程式為： D0L : 2H1H2 + 2H1H2+ 2H1H3+ α(−4H14− 4H 4 2 − 4H 4 3 + 8H 2 1H2H3+ 8H1H22H3 + 8H1H2H32− 4H 2 1H 2 2 − 4H 2 2H 2 3 − 4H 2 1H 2 3) + β(−4H 4 1 − 4H 4 2 − 4H 4 3 + 2H 3 1H2 + 2H1H23 + 2H 3 2H3+ 2H2H33+ 2H 3 1H3+ 2H1H33− 4H 2 1H 2 2 − 4H 2 2H 2 3 − 4H 2 1H 2 3) = 2Λ (3.49) D1L : 4H₁4+ 4H₂4+ 4H₃4 + 2H1H2+ 2H2H3+ 2H1H3+ α(4H14+ 4H 4 2 + 4H 4 3 + 4H₁2H₂2+ 4H₂2H₃2+ 4H₁2H₃2− 8H2 1H2H3− 8H1H22H3− 8H1H2H32) + β(2H₁4+ 2H₂4+ 2H₃4+ 4H₁2H₂2+ 4H₂2H₃2+ 4H₁2H₃2+ 2H₁3H2+ 2H1H23 + 2H₂3H3+ 2H2H33+ 2H 3 1H3+ 2H1H33) = 6Λ (3.50)

3.4

膨

膨

膨脹

脹

脹解

解

解 (Inflating solutions)

為了計算方便，我們用 BH 解 (Barrow and Hervik solutions) 的設定來解這個問題。因 此我們設定 ˙ a1(t) a1(t) = a, ˙ a2(t) a2(t) = b, ˙ a3(t) a3(t) = c (3.51) 如此一來，Scale factor ˙ai(t) 會得到 Exp(kt) 的型式，k 是常數，而且 k = a or b or c。章

節 3.3.3 的場方程式會變成 D0L :

2ab + 2ac + 2bc + α(−4a4_{− 4a}2_b2_{− 4b}4_{+ 8a}2_{bc + 8ab}2_{c − 4a}2_c2_{+ 8abc}2_{− 4b}2_c2_{− 4c}4_{) +}

β(−2a4+ 2a3b − 4a2b2+ 2ab3− 2b4_{+ 2a}3_{c + 2a}2_{bc + 2ab}2_{c + 2b}3_{c − 4a}2_c2_{+ 2abc}2_{− 4b}2_c2₊

2ac3_{+ 2bc}3_{− 2c}4_{) = 2Λ}

D1L :

4a2_{+ 4b}2_{+ 4c}2_{+ 2ab + 2ac + 2bc + α(4a}4_{+ 4a}2_b2_{+ 4b}4_{− 8a}2_{bc − 8ab}2_{c + 4a}2_c2_{− 8abc}2₊

4b2c2 + 4c4) + β(2a4− 2a3_{b + 4a}2_b2_{− 2ab}3_{+ 2b}4_{− 2a}3_{c − 2a}2_{bc − 2ab}2_{c − 2b}3_{c + 4a}2_c2₋

2abc2_{+ 4b}2_c2_{− 2ac}3_{− 2bc}3_{+ 2c}4_{) = 6Λ} (3.53) 接下來我們可以解 (3.52) and (3.53) 這兩條方程式來得到膨脹解。 Method I 令 a2+ b2 + c2 = x ab + bc + ac = y , (3.54) 這_{樣可以把 (3.52) 跟 (3.53) 簡化成兩個代數而已的方程式，比較好解：} 2y + 2α(−2x2+ 2y2) + β(−2x2+ 2xy) = 2Λ 4x + 2y + 4α(x − y)(x + y) + 2βx(x − y) = 6Λ (3.55) 於是我們可以得到，均勻但不均向的 Bianchi type I 時空中，新的兩組解。 [a2+ b2+ c2 = Λ, ab + bc + ac = Λ] [a2+ b2+ c2 = −1 − 8αΛ 2β , ab + bc + ac = 1 + 8αΛ + 4βΛ 2β ] (3.56) 解第一組解的 BH 解 a, b, c a = H1 = r Λ 3, b = H2 = r Λ 3, c = H3 = r Λ 3. (3.57) 可以看到這組解很明顯的是 de Sitter 時空的解，而且這個結果跟 (1.15) 是完全相同的。 第 二組不會趨向於 de Sitter 時空的解很明顯的是不均向的 ( a2+ b2+ c2 = −1−8αΛ_2β ab + bc + ac = 1+8αΛ+4βΛ_2β (3.58) Method II 用 [16] 中的度規來計算，並且令 a =b0− 2σ+ b =b0+ (σ++ √ 3σ−) c =b0+ (σ+− √ 3σ−) , (3.59)

則我們可以得到一組跟 (3.58) 相等的解： b2₀ = 1 + 8αρ + 8βρ 18β σ2₊+ σ−2 = − 1 + 8αρ + 2βρ 9β (3.60) (3.56) 我們列出了 Bianchi type I 的兩組解，而(3.60) 這組解很明顯的跟 [16] 解出的解 不同。宇宙無毛定理指出，如果物質 (matter sources) 遵守強能量條件跟主能量條件，則對 於一個有著正的宇宙常數的膨脹宇宙，愛因斯坦方程式解出的解，在大尺度時間會演化趨向至 de Sitter 時空_{。因此，我們會對在 Bianchi type I 時空， (3.56) 中的第二組或 (3.58) 這組} 不會趨向於 de Sitter 時空的解做微擾，來證明它的穩定性，以及確認它的能量條件狀況。

3.5

能

能

能量

量

量條

條

條件

件

件

首先，因為愛因斯坦方程式並沒有明確的指出物質 (matter sources) 或是非重力場的分佈 狀態，而我們關心的卻是，在宇宙現在的狀態，有哪些真實具體的物質 Tµν _{可以給我們愛因} 斯坦方程式的解。不然，如果不考慮物質 Tµν ，每一個 Gµν _都一定會遵守愛因斯坦方程式。 即使愛因斯坦方程式的物質能量部分是不同的物質 (Sources)，但其方程式的特性都一定 得滿足。所以為了方便，我們可以用一些能量條件來限制 Tµν_{。而這些能量條件當然是跟選} 擇哪個座標系無關的，為了滿足不變量的特性，這些能量條件是用從 Tµν_{產生的純量所構成。} 而是為什麼會需要這些能量條件呢？這些能量條件可以防止一些 ‘不真實的’ ，或是 ‘不物 理的’ 情況，比如說限制任何速度一定小於光速，或是一些在奇點理論 (Singularity theorem) 中的應用。但是這些條件實際上跟能量守恆定律 DµTνµ = 0 並無關係。 接下來我們會考慮一 些物質能量源為理想流體的例子。 將 (3.4) 中的 −Φµ ν 當作 能量 - 動量張量： Gµ_ν + Λg_νµ= −Φµ_ν = T_νµ =     −ρ 0 0 0 0 P1 0 0 0 0 P2 0 0 0 0 P3     (3.61) 接下來我們介紹四種能量條件，並且試著去證實，宇宙無毛定理中提到的能量條件是否符 合。 1.強能量條件

Strong Energy Condition (SEC): ρ + P ≥ 0 & ρ + P1+ P2+ P3 ≥ 0

2.弱能量條件

Weak Energy Condition (WEC): ρ + P ≥ 0 & ρ ≥ 0 3.零能量條件

Null Energy Condition (NEC): ρ + P ≥ 0 4.主能量條件

Dominant Energy Condition (DEC): ρ ≥ |P |

P 1 =α[−2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac)(a2− b2_{− c}2_{+ ab − bc + ac)]}

+ β[−1 2(a 2 + b2+ c2)(a2− 3b2− 3c2− 4bc) − 1 2(a 2 + ab + ac)2 − 1 2(b 2 + ab + bc)2−1 2(c 2 + ac + bc)2]

P 2 =α[−2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac)(b2− a2_{− c}2_{+ ab + bc − ac)]}

+ β[−1 2(a 2_{+ b}2_{+ c}2_)(b2_{− 3a}2_{− 3c}2_{− 4ac) −} 1 2(a 2_{+ ab + ac)}2 − 1 2(b 2_{+ ab + bc)}2₋1 2(c 2_{+ ac + bc)}2_]

P 1 =α[−2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac)(c2− a2 − b2+ bc + ac − ab)] + β[−1 2(a 2 + b2+ c2)(c2− 3a2− 3b2− 4ab) − 1 2(a 2 + ab + ac)2 − 1 2(b 2 + ab + bc)2−1 2(c 2 + ac + bc)2] (3.62) ρ = −1 2(ab + bc + ac − a 2_{− b}2_{− c}2 ) (3.63) ρ + P1+ P2+ P3 = ρ + P = ab + bc + ac − a2 − b2_{− c}2 ≥ 0 (3.64) ρ =1 2(−ab − bc − ac + a 2_{+ b}2 _{+ c}2₎ ≥1 3(ab + bc + ac − a 2_{− b}2_{− c}2_{) = |P} 1+ P2+ P3| (3.65) 要滿足宇宙無毛定理，需要滿足主能量條件 (DEC) 跟強能量條件 (SEC) [1]。經過計 算，(3.56) 中的第一組解會滿足這兩個條件，然而，對於 Bianchi I 中 (3.58) 的解，如果 ρ = −ab − bc − ac + a2+ b2+ c2 < 3|(ab + bc + ac) − (a2+ b2+ c2)| = |P | ，DEC 將會被 違反，而如果 ρ + P₁ + P2+ P3 = ab + bc + ac − a2 − b2 − c2 < 0，則 SEC 將會被違反。

在下一個章節我們會用微擾的方式，證明 Bianchi type I 時空中 (3.58) 的膨脹解是不穩定的 (unstable) _{。結果，我們將會證實宇宙無毛定理。}

Chapter 4

穩

穩

穩

定

定

定性

_性

_性

因_{為 Bianchi type I 度規是個空間不均向的時空，因此我們對 (3.52) 跟 (3.53) 做微擾} 時，是對 H_i 而不是對 b(t) 做。另外，由於早期宇宙中有著各式各樣的微擾型態，因此我們可 以假設一個便於我們計算的型態，這是很合理的。

為了方便計算，我們將 Bianchi type I 度規中的 ai 寫成 ai = exp[HiAi(t)]，而微擾型

態則寫成 δA_{i(t) ≡ kiexp[vt]}，這邊 k_i 是一個初始常數，可以消掉座標間的差異，而 v 是 一個代表膨脹或是縮減的常數。 如果 v > 0，膨脹解就是不穩定的 (unstable)，因為微擾項 δAi(t) 在大尺度時間下 (t > 0) 將會一直存在不會消失 [23][24]。其實，我們也可以假設微擾 項的型態為上述提到的各種線性組合，也就是 δAi = Pi jkjexp[vt]。 透過這些假設，我們可以將場方程式中的 δH_i 跟 δ ˙Hi 寫成 δA˙i(t) 跟 δA¨i(t)。 另外，因 為如果 Ai˙(t) = 1，哈伯參數 Hi = ˙ ai(t) ai(t) 就會等於 BH 解，因此我們知道 A_{i(t) = t。也就是} 說，原本由哈伯參數表示的場方程式 D_{0, 1}L(Hi, ˙Hi· · · ) 可以寫成由微擾項中的A(t) 表示，

變成 D0, 1L(Ai˙(t),Ai¨(t) · · · )。接下來， δA˙i(t) 跟 δA¨i(t) 可以寫成用 δAi(t) 來表示，如此

一來我們就可以創建一個矩陣 [4] 來對 Bianchi type I 時空中不均向的解做穩定性的分析。 根據微分的定義： DiL(x + ∆x) − DiL(x) ∆x = ∂DiL ∂x ≡ δDiL δx (4.1) 這邊 x →Ai˙(t) · · · 因此我_{們可以根據以下步驟得到微擾後的場方程式} Method I 1. 將每個場方程式中的變數 x 寫成 x + ∆x。 2. 讓 DiL(x + ∆x) − DiL(x) = 0。 3. 讓Ai˙(t) = 1。

4. 將每_{個 δ ˙}Ai(t), δ ¨Ai(t) · · · 的項寫成用 δAi(t) 來表示。

5. 微擾項為 δAi(t) 的場方程式可以被整理成一個矩陣。

6. _{為了得到 v 的 nontrivial solutions，我們必須得到這個矩陣的行列式 (Determint)，並} 且讓它等於零。 Method II 根據 (4.1)，上面的第一個跟第二個步驟可以直接用 ∂DiL ∂x δx 來計算。 最後，δDL 可以被整理成 [27] [28] δDL =   A B C D E F G H I     δA1(t) δA2(t) δA3(t)   (4.2)

4.1

微

微

微擾

擾

擾

我們必須找三個方程式來決定 (4.2) 裡面矩陣的元素。為了簡化過程，我們從跡方程式 (Trace equation)開始，並且發現 − δR + δΦ = 0 ⇒ − δR + 2(3α + β)δR = 0 ⇒δR[−1 − 2v(v + a + b + c)(3α + β)] = 0 (4.3) 我們可以根據 (4.3) 分析兩種狀況，並且解 v 的值 Case I(δR 6= 0) 如此一來， −1 − 2v(v + a + b + c)(3α + β) 必須等於零，因此 v = −a − b − c ±q(a + b + c)2₋ 2 3α+β 2 (4.4) Case II(δR = 0)

在這個情況中，求矩陣行列式 (Determint) 的過程比較簡單，因此我們選擇 δR = 0，D0L (3.52) 跟 D1L (3.53) 來創建這個矩陣。用以下的過程 δL = LiδHi+ Liδ ˙Hi , δLi = LijδHj+ Ljiδ ˙Hj , δLi = Li_jδHj + Lijδ ˙Hj , (4.5) 就可以得到矩陣中的所有元素： δR =RiδHi+ Riδ ˙Hi

=(R1+ vR1)δA1+ (R2+ vR2)δA2+ (R3+ vR3)δA3

=(4a + 2b + 2c + 2v)δA1 + (2a + 4b + 2c + 2v)δA2+ (2a + 2b + 4c + 2v)δA3

=AδA1+ BδA2+ CδA3

=0 (4.6) δ(D0L) =LiδHi+ Liδ ˙Hi+ Hi(Lijδ ˙Hj+ Lijδ ¨Hj) + (3H)LiδHi+ HiLi(δ3H) + Hi3H(LijδHj+ Lijδ ˙Hj) − LiδHi− Hi(LijδHj + Ljiδ ˙Hj) − Liδ ˙Hi =δA1[L1+ vL1+ a(vL11+ v2L11) + b(vL21+ v2L21) + c(vL31+ v2L31) + (a + b + c)L1+ aL1+ bL2+ cL3+ a(a + b + c)(L1₁+ vL11) + b(a + b + c)(L2₁+ vL21+ c(a + b + c)(L3₁+ vL31) − L1 − a(L11 + vL11) − L1− b(L21 + vL12) − L1− c(L31 + vL13) − vL 1_]

=DδA1+ EδA2 + F δA3

=0 (4.7) δ(D1L) =LiδHi + Liδ ˙Hi+ L1jδ ... Hj+ 2(3H)(L1jδ ˙Hj + L1jδ ¨Hj) + (δ ˙H1 + δ ˙H2+ δ ˙H3)L1+ 2(3H)(δH1+ δH2+ δH3)L1+ (3H)2(L1jδHj + L1jδ ˙Hj) − L1jδ ˙Hj − L1jδ ¨Hj− (δH1+ δH2+ δH3)L1 − (H1+ H2+ H3)(L1jδHj+ Lj1δ ˙Hj)

=δA1[2(a + b + c + v)L1+ [v2 + (a + b + c)(a + b + c + 2v)]

(L1₁+ vL11) − (a + b + c + v)(L11+ vL11)]

+δA2[(L2− L1) + (2a + 2b + 2c + v)L1+ vL2+ [v2+ (a + b

+ c)(a + b + c + 2v)](L1₂+ vL12) − (a + b + c + v)(L12+ vL21)]

+δA3[(L3− L1) + (2a + 2b + 2c + v)L1+ vL3+ [v2+ (a + b + c)

(a + b + c + 2v)](L1₃+ vL13) − (a + b + c + v)(L13+ vL31)]

=GδA1+ HδA2+ IδA3

=0

計算的細節被放在附錄B (Appendix B)。

4.2

穩

穩

穩

定

定

定性

_性

_性分

分

分析

析

析

(4.2) 中矩陣的行列式 (Determint) 為 Det   A B C D E F G H I  

= − 8αab(a − b)(2a − b − c)[2a + 2b + 2c

+ α(8a3+ 16a2b + 16ab2+ 8b3+ 16a2c + 24abc + 16b2c + 16ac2 + 16bc2+ 8c3) + β(6a3+ 4a2b + 4ab2+ 6b3+ 4a2c − 6abc + 4b2c + 4ac2+ 4bc2+ 6c3)

+ v[1 + α(4a2+ 4b2+ 4c2+ 4ab + 4bc + 4ac) + β(3a2− 4ab + 3b2 _{− 4ac − 4bc + 3c}2_)]

− 2v2_{β(a + b + c) − v}3_β =0 , (4.9) 經由解 (4.9)，我們可以得到二組有意義的 v 的解。 1. a = b = c, 這_{個解很明顯是 de Sitter 的解，} 2.

[2a + 2b + 2c + α(8a3+ 16a2b + 16ab2+ 8b3+ 16a2c + 24abc + 16b2cc + 16ac2+ 16bc2 + 8c3) + β(6a3+ 4a2b + 4ab2+ 6b3+ 4a2c − 6abc

+ 4b2c + 4ac2+ 4bc2 + 6c3) + v[1 + α(4a2+ 4b2+ 4c2+ 4ab + 4bc + 4ac) + β(3a2− 4ab + 3b2_{− 4ac − 4bc + 3c}2_{)] − 2v}2_{β(a + b + c) − v}3_{β = 0}

(4.10) 第二組解，可以用 (3.58)

4α(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac) + 2β(a + b + c)(a2+ b2+ c2) = −1 (4.11) 來簡化 (4.10)，於是我們可以得到

β[2(a + b + c)(a2− ab + b2_{− ac − bc + c}2_{) + v(a}2_{+ b}2_{+ c}2_{− 4ab − 4ac − 4bc)}

− 2v2_{(a + b + c) − v}3_{] = 0} (4.12) 所以 v 的值為 ( v = −a − b − c v±= −1₂(a + b + c ± √ 9a2_{+ 9b}2_{+ 9c}2_{− 6ab − 6ac − 6bc)}

∵

9a2+ 9b2+ 9c2 − 6ab − 6ac − 6bc − (a + b + c)2 _{=4(a − b)}2_{+ 4(a − c)}2_{+ 4(b − c)}2

≥0 (4.13) ∴ v− = − 1 2(a + b + c − √ 9a2_{+ 9b}2_{+ 9c}2_{− 6ab − 6ac − 6bc) ≥ 0 (4.14)} 我們發現當 a = b = c 時，v− 會等於零，但是這個其實就是 de Sitter 的解。因此，當膨 脹解 (3.58) 不趨向 de Sitter 時空時，對於微擾項為 δAi = Pi jkjexp[vt] 解出的 v− 會一直 大於零，這代表微擾在大尺度時間之下會一直存在， 而且這組不會趨向於 de Sitter 時空的解 是個不穩定的解。一來因為微擾有各式各樣的形式，二來因為只要有一個 v 的解是不穩定，那 這_{個不均向的解 (3.58) 就是不穩定的，因此我們只要在一種微擾項找出一個不穩定的解，就} 證明了這組不均向的解是不穩定的。 這邊列出所有解出的特徵值為 v = 0 (4.15) (上式為四重根) v = −a − b − c (4.16) (上式為三重根) v±= − 1 2(a + b + c ± √ 9a2_{+ 9b}2_{+ 9c}2_{− 6ab − 6ac − 6bc) (4.17)}

Chapter 5

動

動

動態

態

態系

系

系統

統

統方

方

_方法

_法

_法

5.1

動

動

動態

態

態系

系

系統

統

_{統 (Dynamical systems)}

如果一個物理系統，在某一個時間點的狀態可以被一個狀態空間 X 中的一個元素 x 來描 述，而且其演化狀況是由一自主的微分方程系統來表示: dx dt = f (x) , x ∈ R n _(5.1) 這邊 f (x) = (f₁(x), · · · fn(x)) ，動態系統故名思義就是一個隨著時間有變化的物理系統，那 我們就可以用動態系統來研究它的演化狀況；可以分為連續的跟不連續的。如果 ψ0_{(x) = f (ψ(t)) , t ∈ R} (5.2) 那 ψ 的 image 就稱_{為這個微分方程系統的 orbit ，而元素 x 沿著這條 orbit 的運動就可以描} 述這個系統的演化狀況。可以看出 f(x) 是跟這條 orbit 相切的，因此可以被視為是點在這個 狀態空間移動的速度。

要用動態系統來判斷系統的穩定性，就要將上述的微分方程系統做線性化 (Lineariza-tion)_{。這邊先介紹平衡點 (Equilibrium point) 的觀念：如果有一點 a 可以使 f(a) = 0，那} a 就是平衡點_{。而 f 的線性近似 (泰勒一階展開) 則是} f (x) ≈ (∂fi ∂xj )x=a(x − a) (5.3) 如果我們設 u = x − a，則 (5.3) 變成 u0 = (∂fi ∂xj )x=au (5.4)

稱_{為這個微分方程在平衡點 a 的線性化。而將 (5.1) 寫成 (5.4) 有什麼好處呢？如果這個微分} 方_{程系統有很多個變數，很多條方程式，} u0 =(∂fi ∂xj )x=au . . . v0 =(∂fi ∂xj )x=av (5.5) 那我_{們就可以將這些方程式寫成矩陣的運算：} X0 = AX (5.6) 然後用 Det(A − Λ) = 0 (5.7) 求出這個系統的特徵值 (Eigenvalue)。 比如以下的例子 [30]： ˙ A = f, ˙ B = g = (∂g ∂A)0A + ( ∂g ∂B)0B (5.8) 則我們可用這個矩陣求出這個系統的特徵值來判斷穩定性： Det ( ∂f ∂A)0− λ ( ∂f ∂B)0 (_∂A∂g)0 (_∂B∂g)0− λ  =0 (5.9) 求出的 λ 就是特徵值。因為我們看的是整個系統，因此整個系統中只要有一個 λ 是大於零， 那這_{個系統就是不穩定 (unstable)；如果全部的 λ 都是小於零，這個系統就是個穩定 (stable)} 的系統。而且解出的特徵值 Λ 其實就是第四章微擾方法算出的 v，因為，雖然概念不同，但 是我們可以發現兩個方法都是用到泰勒一階展開，而計算過程其實是非常相似的。

5.2

簡

簡

簡介

介

介

我們用動態系統來研究宇宙的演化情形，章節 5.4 - 5.6 我們會推導 [2] 中的方程式，採用 的模型是初始條件為不均向的 Bianchi type I 度規，章節 5.7 則從我們一開始的度規 (3.10) 出發，用同樣的原理來計算這個系統的穩定性。考慮的是二階重力理論 (Quadratic theories of gravity)，四維的 action 是: S = 1 2 Z d4x√−g(R + αR2+ βRµνRµν− 2Λ) (5.10)

我們將各個可以表現出其幾何特性的參數提出，搭配不同次方的變數 H，可以定義如下的 Expansion - normalised variables_。

B = 1 (3α + β)H2, χ = β 3α + β, Q = H˙ H2, Q2 = ¨ H H3, ΩΛ = Λ 3H2, Σ±= σ± H, Σ±1 = ˙σ± H2, Σ±2 = ¨ σ± H3 Σ2 = Σ+2+ Σ−2 = − 2(4 − χ) + B 4(2χ + 1) , (5.11) 我們定義的動態時間變數 (Dynamical time variable) τ 為

dτ dt = H (5.12)

5.3

_基

_基

_基本

本

本運

運

運

算

算

算

Bianchi type I 的度規為以下的形式: ds2 = −dt2+ a2₁(t)dx2+ a2₂(t)dy2+ a2₃(t)dz2 , (5.13) 里奇張量_為: R0₀ = 3 ˙H + 3H2+ σa_bσ_ab Ra_b = ˙σa_b+ ˙Hδa_b+ 3H(σa_b+ Hδa_b) +(3)Ra_b (5.14) 里奇純量_為 R = 6 ˙H + 12H2 + σa_bσ_ab+(3)R (5.15) 這邊 ua _{= (1, 0, 0, 0), H} i = _a˙ai(t) i(t), H = H1+H2+H3 3 σa_b =   H1− H 0 0 0 H2− H 0 0 0 H3− H   (5.16) ∴ σ+ = − H1 3 + H2 + H3 6 , σ− = H2− H3 2√3 (5.17) ∴ σabσ b a = 6σ 2 ++ 6σ 2 − (5.18) (3) Ra_b =   1 2(n 2 11) 0 0 0 −1 2(n 2 11) 0 0 0 −1 2(n 2 11)   (5.19)

5.4

場

場

場方

方

方程

程

程式

式

式

於是，我們可以推導出 [2] 裡面 (9), (10), (12), (14), (15) 的場方程式: B0 = dB dτ = d dt[ 1 (3α + β)H2] dt dτ = − 2 ˙H (3α + β)H3 1 H = −2QB (5.20) Ω0Λ= d dτ( Λ 3H2) = dt dτ 1 dt( Λ 3H2) = − 2Λ ˙H 3H4 = −2QΩΛ (5.21) Q0 = d dτ( ˙ H H2) = dt dτ 1 dt( ˙ H H2) = ¨ H H3 − 2 ˙ H2 H4 = Q2 − 2Q 2 _(5.22) Σ0±= d dτ( σ± H) = dt dτ 1 dt( σ± H) = ˙σ± H2 − σ±H˙ H3 = Σ±1− QΣ± (5.23) Σ0±1 = d dτ( ˙σ± H2) = dt dτ 1 dt( ˙σ± H2) = ¨ σ± H3 − 2 ˙σ±H˙ H4 = Σ±2− 2QΣ±1 (5.24) 而 [2] 裡面的 (11) ，首先，根據 [29] 中的 (1.96) ： ˙nαβ = −Hnαβ+ 2σµ(αnβ)µ+ 2εµν(αnβ)µΩν (5.25) 再來，對於 class A 的模型而言 (aα = 0)， σαβ = diag(σ11, σ22, σ33), Ωα = 0 (5.26) 再加上[2]中， σαβ = diag(−2σ+, σ++ √ 3σ−, σ++ √ 3σ−), nαβ = diag(n11, 0, 0) (5.27)

而 Bianchi type I ， nαβ = diag(0, 0, 0)，所以我們從 (5.25) 可以得到

˙n11= −Hn11− 4σ+n11 (5.28) 所以就可以推導出 N0 = d dτ( n11 √ 3H) = √˙n11 3H2 − ˙ Hn11 √ 3H3 = √1 3H2(−Hn11− 4σ+n11) − ˙ Hn11 √ 3H3 = −(Q + 1 + 4Σ+)N (5.29)