线性代数复习

线 性 代 数 复 习

线性代数课程

2019 年 5 月 1 日

..

第一章

行列式

.

..

第二章

矩阵

.

..

第三章

线性方程组

.

..

第四章

特征值

.

..

第五章

二次型

.

二阶和三阶行列式

二阶行列式定义为      11 12 21 22      = 1122 − 1221． 三阶行列式定义为        11 12 13 21 22 23 31 32 33        = 112233+ 122331+ 132132 −112332 − 122133 − 132231.

二阶和三阶行列式

二阶行列式定义为      11 12 21 22      = 1122 − 1221． 三阶行列式定义为        11 12 13 21 22 23 31 32 33        = 112233+ 122331+ 132132 −112332 − 122133 − 132231.

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

四阶行列式的计算方法

          ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗           运算 −−→           ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 ∗           展开 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗        选择 −−→        ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ b ∗ ∗ ∗        运算 −−→        ∗ ∗ ∗ 0 0 b ∗ ∗ ∗        展开 −−→      ∗ ∗ ∗ ∗     

n 阶行列式的计算

n 阶行列式的计算方法：使用批量变换

1 先将它的很多元素变成零

例 1 设 A 为三阶矩阵，且 _{|A| = 1．将 |A| 按列分} 块得到 A _{= (α}1,α2,α3)．设 B = (2α1,α3,α2− α1)， 求 _|B|． 解法 1 B= 2α1,α3,α2− α1   = 2α1,α3,α2− α1   _{(c1÷ 2)} = 2α1,α3,α2   _{(c3+ c1)} = −2α1,α2,α3   _{(c2 ↔ c3)} = −2 · 1 = −2.

例 1 设 A 为三阶矩阵，且 _{|A| = 1．将 |A| 按列分} 块得到 A _{= (α}1,α2,α3)．设 B = (2α1,α3,α2− α1)， 求 _|B|． 解法 1 B= 2α1,α3,α2− α1   = 2α1,α3,α2− α1   _{(c1÷ 2)} = 2α1,α3,α2   _{(c3+ c1)} = −2α1,α2,α3   _{(c2 ↔ c3)} = −2 · 1 = −2.

解法 2 B= (2α1,α3,α2− α1) = (α1,α2,α3)     2 0 −1 0 0 1 0 1 0    . 所以 _{|B| = |A| ·}        2 0 −1 0 0 1 0 1 0       = 1 · (−2) = −2．

解法 2 B= (2α1,α3,α2− α1) = (α1,α2,α3)     2 0 −1 0 0 1 0 1 0    . 所以 _{|B| = |A| ·}        2 0 −1 0 0 1 0 1 0       = 1 · (−2) = −2．

..

第一章

行列式

.

..

第二章

矩阵

.

..

第三章

线性方程组

.

..

第四章

特征值

.

..

第五章

二次型

.

矩阵的运算

矩阵有如下这些运算： 1 矩阵的加减 2 矩阵的数乘 3 矩阵的乘法 4 矩阵的转置 5 矩阵的幂次 6 矩阵的行列式 注意与行列式的运算的区别．

矩阵的运算

矩阵的乘法与实数的乘法差别很大．比如： AB = O ̸=⇒ A= O 或 B = O． AB = AC 且 A ̸= O ̸=⇒ B = C． 又如： (AB)2 _{̸= A}2_B2_． A2− B2 ̸= (A + B)(A − B)．

矩阵的运算

矩阵的乘法与实数的乘法差别很大．比如： AB = O ̸=⇒ A= O 或 B = O． AB = AC 且 A ̸= O ̸=⇒ B = C． 又如： (AB)2 _{̸= A}2_B2_． A2− B2 ̸= (A + B)(A − B)．

逆矩阵

定理 方阵 A 可逆等价于 _{|A| ̸= 0，且当 A 可逆时，} 有 A−1 ₌ A ∗ |A| ，其中 A∗ =        A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... ... ... A1n A2n · · · Ann        称为 A 的伴随矩阵, 而 Aj 是 j 的代数余子式．

初等变换

定义 矩阵的初等变换是这三种对矩阵元素的变换：

1 矩阵的某两行（列）交换； 2 某一行（列）乘以非零的 k 倍；

用初等变换求矩阵的秩

方法：通过初等变换将矩阵化为如下梯形矩阵               11 ∗ · · · ∗ · · · ∗ 0 22 · · · ∗ · · · ∗ ... ... ... ... ... 0 0 · · · rr · · · ∗ 0 0 · · · 0 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 0 · · · 0               (各  均不为零). 结果：矩阵的秩就等于梯形矩阵中非零行的数目．

用初等变换求等价标准形

定理 任何 m_{× n 矩阵 A 经过若干次初等变换后，可} 以化为如下形式的矩阵： D = r Or,n−r Om−r,r Om−r,n−r ! 该形式的矩阵称为矩阵 A 的等价标准形． 求矩阵的等价标准形的步骤如下： 将 11 变为 1，再将 r1 和 c1 的其他元素变为 0 将 22 变为 1，再将 r2 和 c2 的其他元素变为 0 ………

用初等变换求等价标准形

定理 任何 m_{× n 矩阵 A 经过若干次初等变换后，可} 以化为如下形式的矩阵： D = r Or,n−r Om−r,r Om−r,n−r ! 该形式的矩阵称为矩阵 A 的等价标准形． 求矩阵的等价标准形的步骤如下： 将 11 变为 1，再将 r1 和 c1 的其他元素变为 0 将 22 变为 1，再将 r2 和 c2 的其他元素变为 0 ………

用初等变换求逆矩阵

用初等变换求逆矩阵的方法如下：  A   −−−−−→初等行变换   A−1  用初等变换求逆矩阵的步骤如下： 矩阵 _{−−−−→}从左到右 变为 上三角阵 从右到左 −−−−→ 变为 对角阵→ 单位阵 如果在过程中发现矩阵的某一行或列全为零，则该矩 阵不可逆．

用初等变换求逆矩阵

用初等变换求逆矩阵的方法如下：  A   −−−−−→初等行变换   A−1  用初等变换求逆矩阵的步骤如下： 矩阵 _{−−−−→}从左到右 变为 上三角阵 从右到左 −−−−→ 变为 对角阵→ 单位阵 如果在过程中发现矩阵的某一行或列全为零，则该矩 阵不可逆．

用初等变换求逆矩阵

用初等变换求逆矩阵的方法如下：  A   −−−−−→初等行变换   A−1  用初等变换求逆矩阵的步骤如下： 矩阵 _{−−−−→}从左到右 变为 上三角阵 从右到左 −−−−→ 变为 对角阵→ 单位阵 如果在过程中发现矩阵的某一行或列全为零，则该矩 阵不可逆．

例 1 求行列式 AAT 和 BTB，其中 A=        1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 4 5        , B=        1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9        . 解答 因为 AAT _{是 4 阶方阵，而 r(AA}T_{)¶ r(A) ¶ 3，} 所以 AAT= 0． 因为 BT_{B 是 3 阶矩阵，而 r(B}T_{B) ¶ r(B) = 2，所以  B}T_{B = 0．}

例 1 求行列式 AAT 和 BTB，其中 A=        1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 4 5        , B=        1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9        . 解答 因为 AAT _{是 4 阶方阵，而 r(AA}T_{)¶ r(A) ¶ 3，} 所以 AAT= 0． 因为 BT_{B 是 3 阶矩阵，而 r(B}T_{B) ¶ r(B) = 2，所以  B}T_{B = 0．}

例 1 求行列式 AAT 和 BTB，其中 A=        1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 4 5        , B=        1 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9        . 解答 因为 AAT _{是 4 阶方阵，而 r(AA}T_{)¶ r(A) ¶ 3，} 所以 AAT= 0． 因为 BT_{B 是 3 阶矩阵，而 r(B}T_{B) ¶ r(B) = 2，所以  B}T_{B = 0．}

..

第一章

行列式

.

..

第二章

矩阵

.

..

第三章

线性方程组

.

..

第四章

特征值

.

..

第五章

二次型

.

..

第三章

线性方程组

.

..

3.1

向量组及其秩

.

..

3.2

线性方程组的解

.

线性表示和线性组合

定义 1 如果存在 k1, · · · , kn 使得 k1α1+ · · · + knαn = β, 就称 β 可由 α1, · · · , αn 线性表示． 定理 1 向量 β 可由向量组 α1,· · · ,αn 线性表示当且 仅当如下条件成立： r(α1,· · · ,αn) = r(α1,· · · ,αn,β).

线性表示和线性组合

定义 1 如果存在 k1, · · · , kn 使得 k1α1+ · · · + knαn = β, 就称 β 可由 α1, · · · , αn 线性表示． 定理 1 向量 β 可由向量组 α1,· · · ,αn 线性表示当且 仅当如下条件成立： r(α1,· · · ,αn) = r(α1,· · · ,αn,β).

线性相关和线性无关

定义 2 如果存在不全为零的 k1,· · · ,kn，使得 k1α1+ · · · + knαn = 0, 就称 α1,· · · ,αn 线性相关，否则称它们线性无关． 定理 2 向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.

线性相关和线性无关

定义 2 如果存在不全为零的 k1,· · · ,kn，使得 k1α1+ · · · + knαn = 0, 就称 α1,· · · ,αn 线性相关，否则称它们线性无关． 定理 2 向量组 α1,α2,· · · ,αn 线性相关当且仅当 r(α1,α2,· · · ,αn) < n.

线性相关的判定

设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有 1 如果 m < n，则它们一定线性相关． 2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零． 对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．

线性相关的判定

设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有 1 如果 m < n，则它们一定线性相关． 2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零． 对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．

线性相关的判定

设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有 1 如果 m < n，则它们一定线性相关． 2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零． 对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．

线性相关的判定

设 n 个向量 α1,α2,· · · ,αn 都是 m 维的，则有 1 如果 m < n，则它们一定线性相关． 2 如果 m = n，则它们线性相关当且仅当它们组成 的矩阵的行列式为零． 对于 m > n 的情形，或要求给出 k1,k2,· · · ,kn 的情 形，我们可以用初等行变换来判定．

向量组的秩

定义 3 向量组 α1,· · · ,αn 的极大无关组 αj1,· · · ,αjr 中所含向量的个数 r 称为向量组 α1,· · · ,αn 的秩，记 为 r_(α1,· · · ,αn) = r． 定义 4 矩阵的行向量组的秩称为它的行秩，矩阵的 列向量组的秩称为它的列秩． 定理 3 矩阵的秩 ₌ 矩阵的列秩 ₌ 矩阵的行秩.

向量组的秩

定义 3 向量组 α1,· · · ,αn 的极大无关组 αj1,· · · ,αjr 中所含向量的个数 r 称为向量组 α1,· · · ,αn 的秩，记 为 r_(α1,· · · ,αn) = r． 定义 4 矩阵的行向量组的秩称为它的行秩，矩阵的 列向量组的秩称为它的列秩． 定理 3 矩阵的秩 ₌ 矩阵的列秩 ₌ 矩阵的行秩.

向量组的秩

定义 3 向量组 α1,· · · ,αn 的极大无关组 αj1,· · · ,αjr 中所含向量的个数 r 称为向量组 α1,· · · ,αn 的秩，记 为 r_(α1,· · · ,αn) = r． 定义 4 矩阵的行向量组的秩称为它的行秩，矩阵的 列向量组的秩称为它的列秩． 定理 3 矩阵的秩 ₌ 矩阵的列秩 ₌ 矩阵的行秩.

..

第三章

线性方程组

.

..

3.1

向量组及其秩

.

..

3.2

线性方程组的解

.

一般线性方程组的解

定理 线性方程组 A _{= b 的解有三种可能：} 1 无解，这等价于 r(A) < r(A b)； 2 唯一解，这等价于 r(A) = r(A b) = n； 3 无穷个解，这等价于 r(A) = r(A b) < n． 因此方程组有解等价于 r_{(A) = r(A b)．}

齐次线性方程组的解

定理 齐次线性方程组 A _{= 0 的解有两种可能：}

1 唯一解（只有零解），这等价于 r(A) = n； 2 无穷个解（有非零解），这等价于 r(A) < n．

齐次线性方程组的解

定理 齐次线性方程组 A _{= 0 的解有两种可能：}

1 唯一解（只有零解），这等价于 r(A) = n； 2 无穷个解（有非零解），这等价于 r(A) < n．

线性方程组求解方法

用初等行变换求方程组的解的方法如下： 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵． 2 用定理判断方程组是否有解，若无解则不再继续． 3 用初等行变换将阶梯形矩阵化为最简形矩阵． 4 将非零行首个非零元素对应的 _ 留在左边，其他  移到方程右边，得到基础解系，并得到全部解．

线性方程组求解方法

用初等行变换求方程组的解的方法如下： 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵． 2 用定理判断方程组是否有解，若无解则不再继续． 3 用初等行变换将阶梯形矩阵化为最简形矩阵． 4 将非零行首个非零元素对应的 _ 留在左边，其他  移到方程右边，得到基础解系，并得到全部解．

线性方程组求解方法

用初等行变换求方程组的解的方法如下： 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵． 2 用定理判断方程组是否有解，若无解则不再继续． 3 用初等行变换将阶梯形矩阵化为最简形矩阵． 4 将非零行首个非零元素对应的 _ 留在左边，其他  移到方程右边，得到基础解系，并得到全部解．

线性方程组求解方法

用初等行变换求方程组的解的方法如下： 1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵． 2 用定理判断方程组是否有解，若无解则不再继续． 3 用初等行变换将阶梯形矩阵化为最简形矩阵． 4 将非零行首个非零元素对应的 _ 留在左边，其他  移到方程右边，得到基础解系，并得到全部解．

线性方程组求解方法

阶梯形矩阵是指： 1 每个非零行的首个非零元素下边都是零； 2 若有全零行，则它们都在非零行的下边． 最简形矩阵是指： 1 该矩阵为阶梯形矩阵； 2 每个非零行的首个非零元素为 1，且它所在列的 其他元素都为零．

线性方程组求解方法

阶梯形矩阵是指： 1 每个非零行的首个非零元素下边都是零； 2 若有全零行，则它们都在非零行的下边． 最简形矩阵是指： 1 该矩阵为阶梯形矩阵； 2 每个非零行的首个非零元素为 1，且它所在列的 其他元素都为零．

..

第一章

行列式

.

..

第二章

矩阵

.

..

第三章

线性方程组

.

..

第四章

特征值

.

..

第五章

二次型

.

特征值和特征向量

定义 1 设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 λ 和 n 维非 零列向量 α，使得 Aα = λα, 则称 λ 为 A 的一个特征值，称 α 为 A 的对应于特征 值 λ 的特征向量． 1 λ 为 A 的特征值当且仅当 λ 满足 |λ − A| = 0； 2 α 为 λ 对应的特征向量当且仅当 α 是齐次线性方 程组 _{(λ − A) = 0 的非零解．}

特征值和特征向量

定义 1 设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 λ 和 n 维非 零列向量 α，使得 Aα = λα, 则称 λ 为 A 的一个特征值，称 α 为 A 的对应于特征 值 λ 的特征向量． 1 λ 为 A 的特征值当且仅当 λ 满足 |λ − A| = 0； 2 α 为 λ 对应的特征向量当且仅当 α 是齐次线性方 程组 _{(λ − A) = 0 的非零解．}

相似矩阵

定义 2 对矩阵 A 和 B，若有可逆矩阵 P，使得 P−1AP = B, 则称 A 和 B 相似，记为 A ∼ B． 定理 1 相似的矩阵有相同的秩、行列式、特征值和 可逆性．

相似矩阵

定义 2 对矩阵 A 和 B，若有可逆矩阵 P，使得 P−1AP = B, 则称 A 和 B 相似，记为 A ∼ B． 定理 1 相似的矩阵有相同的秩、行列式、特征值和 可逆性．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ_ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

矩阵的相似对角化

定义 若 A 与对角阵相似，则称 A 可以相似对角化． 定理 设 A 为 n 阶矩阵，则下列各个结论互相等价： 1 矩阵 A 可以相似对角化 2 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 3 每个 n 重特征值可求出 n 个线性无关特征向量 4 每个 n_ 重特征值 λ_ 满足 r(λ_ − A) = n − n_ 推论 若矩阵 A 有 n 个互不相同的特征值，则 A 可 以相似对角化．

实对称阵的对角化

结论 1 实对称阵都可以相似对角化：即对于任何实 对称阵 A，总存在一个可逆矩阵 P，使得 P−1AP = Λ 为对角阵． 结论 2 实对称阵都可以正交对角化：即对于任何实 对称阵 A，总存在一个正交矩阵 Q，使得 Q−1AQ = Λ 为对角阵．

实对称阵的对角化

结论 1 实对称阵都可以相似对角化：即对于任何实 对称阵 A，总存在一个可逆矩阵 P，使得 P−1AP = Λ 为对角阵． 结论 2 实对称阵都可以正交对角化：即对于任何实 对称阵 A，总存在一个正交矩阵 Q，使得 Q−1AQ = Λ 为对角阵．

对于线 · 性· 无· 关· 的向量组 α1,α2,· · · ,αn，我们可以通 过施密特正交化方法将它变成正交向量组： β1 = α1 β2 = α2− αT 2β1 βT 1β1 β1 β3 = α3− αT₃β1 βT 1β1 β1− αT₃β2 βT 2β2 β2 · · · βn = αn − αT nβ1 βT 1β1 β1− αT nβ2 βT 2β2 β2· · · − αT nβn−1 βT n₋₁βn−1 βn−1

例 1 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2, _{−3, 矩阵} B = A3− 7A + 5, 求 B． 解答 3 阶方阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 可对 角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP = Λ =     1 2 −3    , 即 A _{= PΛP}−1．因此 B = P(Λ3− 7Λ + 5)P−1. 而 Λ3_{− 7Λ + 5 = −，所以} B = P(−)P−1 = −PP−1 = −.

例 1 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2, _{−3, 矩阵} B = A3− 7A + 5, 求 B． 解答 3 阶方阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 可对 角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP = Λ =     1 2 −3    , 即 A _{= PΛP}−1．因此 B = P(Λ3− 7Λ + 5)P−1. 而 Λ3_{− 7Λ + 5 = −，所以} B = P(−)P−1 = −PP−1 = −.

例 1 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2, _{−3, 矩阵} B = A3− 7A + 5, 求 B． 解答 3 阶方阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 可对 角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP = Λ =     1 2 −3    , 即 A _{= PΛP}−1．因此 B = P(Λ3− 7Λ + 5)P−1. 而 Λ3_{− 7Λ + 5 = −，所以} B = P(−)P−1 = −PP−1 = −.

例 1 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1, 2, _{−3, 矩阵} B = A3− 7A + 5, 求 B． 解答 3 阶方阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 可对 角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P−1AP = Λ =     1 2 −3    , 即 A _{= PΛP}−1．因此 B = P(Λ3− 7Λ + 5)P−1. 而 Λ3_{− 7Λ + 5 = −，所以} B= P(−)P−1 = −PP−1 = −.

..

第一章

行列式

.

..

第二章

矩阵

.

..

第三章

线性方程组

.

..

第四章

特征值

.

..

第五章

二次型

.

..

第五章

二次型

.

..

5.1

二次型的标准形

.

..

5.2

二次型的有定性

.

二次型与对称阵

定理 n 元二次型与 n 阶对称矩阵一一对应． TA = (1,2,· · · ,n)      11 12 · · · 1n 12 22 · · · 2n ... ... ... 1n 2n · · · nn           1 2 ... n      = 112₁ + 21212 + · · · + 21n1n + 222₂ + · · · + 22n2n + · · · + nn2_n, = ƒ (1,2,· · · ,n)

二次型与对称阵

定理 n 元二次型与 n 阶对称矩阵一一对应． TA = (1,2,· · · ,n)      11 12 · · · 1n 12 22 · · · 2n ... ... ... 1n 2n · · · nn           1 2 ... n      = 112₁ + 21212 + · · · + 21n1n + 222₂ + · · · + 22n2n + · · · + nn2 n, = ƒ (1,2,· · · ,n)

线性变换：        1 = c11y1+ c12y2+ · · · + c1nyn 2 = c21y1+ c22y2+ · · · + c2nyn · · · n = cn1y1+ cn2y2+ · · · + cnnyn . . . . 称矩阵 C ₌        c11 c12 · · · c1n c21 c22 · · · c2n ... ... ... cn1 cn2 · · · cnn        为线性变换的矩 阵，当 _{|C| ̸= 0 时，称线性变换为}非退化的或可逆的．

线性变换

将两组 n 元变量写成列向量形式  =        1 2 ... n        , y =        y1 y2 ... yn        , 则线性变换可以写成  _{= Cy．} 当 _{|C| ̸= 0 时，线性变换为非退化的，此时有} y = C−1.

线性变换

将两组 n 元变量写成列向量形式  =        1 2 ... n        , y =        y1 y2 ... yn        , 则线性变换可以写成  _{= Cy．} 当 _{|C| ̸= 0 时，线性变换为非退化的，此时有} y = C−1.

定义 若线性变换是非退化的，且 yT_{By 有下面形状：} d1y₁2+ d2y₂2+ · · · + dry_r2 其中 d _{̸= 0（ = 1},2,· · · ,r，r ¶ n），则称它为二次 型 ƒ _{= }T_{A 的一个标准形．} 定义 设 A,B 是两个方阵, 如果存在一个可逆矩阵 C 使得 CT_{AC = B，我们就称矩阵 A 和 B 相合（或者称} 为合同），记为 A _{≃ B．}

定义 若线性变换是非退化的，且 yT_{By 有下面形状：} d1y₁2+ d2y₂2+ · · · + dry_r2 其中 d _{̸= 0（ = 1},2,· · · ,r，r ¶ n），则称它为二次 型 ƒ _{= }T_{A 的一个标准形．} 定义 设 A,B 是两个方阵, 如果存在一个可逆矩阵 C 使得 CT_{AC = B，我们就称矩阵 A 和 B 相合（或者称} 为合同），记为 A _{≃ B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

初等变换法求标准形

对下面 2n_{× n 矩阵的 A 作初等行变换，再对 A 作对} 应的初等列变换，逐步进行可以得到 A  ! 行变换PT 1 −−−−→ 列变换P1 PT₁AP1 P1 ! 行变换PT₂ −−−−→ 列变换P2 PT₂PT₁AP1P2 P1P2 ! · · · 行变换P T s −−−−→ 列变换Ps PT s· · · P T 2P T 1AP1P2· · · Ps P1P2· · · Ps ! = B C ! 从而求出对角阵 B 和变换矩阵 C，使得 CT_{AC = B．}

定义 若线性变换的系数矩阵是正交矩阵，则称该线 性变换为正交变换． 定理 1 对于二次型 ƒ_{() = }T_{A，必定存在一个正} 交矩阵 Q，使得经过正交线性变换  _{= Qy 后变成标} 准形 ƒ(y) = λ1y2₁+ λ2y2₂+ · · · + λny_n2, 其中 λ1,λ2,· · · ,λn 是二次型 ƒ() 的矩阵 A 的全部特 征值．

定义 若线性变换的系数矩阵是正交矩阵，则称该线 性变换为正交变换． 定理 1 对于二次型 ƒ_{() = }T_{A，必定存在一个正} 交矩阵 Q，使得经过正交线性变换  _{= Qy 后变成标} 准形 ƒ(y) = λ1y2₁+ λ2y₂2+ · · · + λny_n2, 其中 λ1,λ2,· · · ,λn 是二次型 ƒ() 的矩阵 A 的全部特 征值．

规范形

定理 2 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换变 为规范形，并且规范形是唯一的，由二次型本身所决 定，与所作的可逆线性变换无关． 定义 1 规范形 y2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r 中正 项的总个数 p，称为二次型的正惯性指数，而规范形 中负项的总个数 r _{− p，称为二次型的}负惯性指数，其 中 r 是二次型的秩．

规范形

定理 2 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换变 为规范形，并且规范形是唯一的，由二次型本身所决 定，与所作的可逆线性变换无关． 定义 1 规范形 y2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r 中正 项的总个数 p，称为二次型的正惯性指数，而规范形 中负项的总个数 r _{− p，称为二次型的}负惯性指数，其 中 r 是二次型的秩．

..

第五章

二次型

.

..

5.1

二次型的标准形

.

..

5.2

二次型的有定性

.

定义 设对应于对称矩阵 A 的二次型为 ƒ _{= }T_A 1 如果 ƒ > 0 ，对所有  ̸= 0，则称 A（二次型） 是正定的； 2 如果 ƒ < 0 ，对所有  ̸= 0，则称 A（二次型） 是负定的； 3 如果 ƒ ¾ 0 ，对所有 ，则称 A（二次型）是半 正定的； 4 如果 ƒ ¶ 0 ，对所有 ，则称 A（二次型）是半 负定的． 如果上述之一成立，称对称矩阵或者二次型是有定的， 否则称为不定的．

定义 设对应于对称矩阵 A 的二次型为 ƒ _{= }T_A 1 如果 ƒ > 0 ，对所有  ̸= 0，则称 A（二次型） 是正定的； 2 如果 ƒ < 0 ，对所有  ̸= 0，则称 A（二次型） 是负定的； 3 如果 ƒ ¾ 0 ，对所有 ，则称 A（二次型）是半 正定的； 4 如果 ƒ ¶ 0 ，对所有 ，则称 A（二次型）是半 负定的． 如果上述之一成立，称对称矩阵或者二次型是有定的， 否则称为不定的．

二次型有定性的判别准则一：标准形方法

标准形 正交标准形 规范形 yT      d1 ... dn     y yT      λ1 . .. λn     y yT     p −q O     y 正定 d> 0,∀ λ> 0,∀ p= n 负定 d< 0,∀ λ< 0,∀ q= n 半正定 d¾ 0,∀ λ¾ 0,∀ q= 0 半负定 d¶ 0,∀ λ¶ 0,∀ p= 0

二次型有定性的判别准则二：主子式方法

定理 1 对称阵为正定的 ⇐⇒ 所有顺序主子式 A_k > 0； 2 对称阵为负定的 ⇐⇒ 所有 (−1)kA_k > 0； 3 对称阵为半正定的 ⇐⇒ 所有主子式 ¾ 0； 4 对称阵为半负定的 ⇐⇒ 所有主子式 ¶ 0．