湖南教育出版社
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!赵雄辉本 册 主 编
!王青生编
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!王青生!张家乐!林清平!何!英 易!婷!黎振炯!熊!平!黄颖峰湖南教育出版社
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!初中数学深度学习!七年级!下册!赵雄辉等编写!"长沙#湖南教育出版社$"#"#!$
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初 中 数 学 深 度 学 习 ! 七 年 级 下 册
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赵雄辉等编写 责任编辑#甘!哲 责任校对#刘!源
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!第!章!二元一次方程组 !!!!!!!!!!! ""!
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!七年级下册达标测试卷 !!!!!!!!!!!! !)(
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在七年级上册!我们学习了一元一次方程的解法及应用!感受到现实生活中存在大 量的未知和已知!体会了方程工具的实用性!体验到方程模型的魅力!在学习了含有一个 未知数的一元一次方程以后!我们自然就会想"方程中未知数有没有可能是两个#三个! 甚至更多呢$ 那这样的方程叫什么呢$ 怎么来解呢$ 如何运用这样的方程解决实际问 题呢$ 这些问题都值得我们去探讨!
本章的学习内容是今后进一步学习方程#函数的重要基础!特别是初中阶段运用待 定系数法求一次函数#二次函数的解析式都需要使用本章的内容!
本章首先通过实例引入二元一次方程#二元一次方程组!学会解二元一次方程组之 后!运用所学方法建立二元一次方程组模型解决实际问题!此外还可以选学三元一次方 程组!学会三元一次方程组的解法!
本章的重点是用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组!难点是如何根据实际 问题建立二元一次方程组!通过二元一次方程组解决实际问题!当然要先掌握好二元一 次方程组的解法!
掌握了消元法解二元一次方程组!再来学解三元一次方程组就不难了!因为解三元 一次方程组同样要用到代入消元法和加减消元法!只不过多了一步!先将三元消元至二
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!!#!!!!
元!变成我们已学的二元一次方程组!进而继续求解!
!!回顾一元一次方程的相关知识!
我们已经学习了一元一次方程#方程的解#解方程的概念!对方程有了一定的理解! 会用去分母#去括号#移项#合并同类项#系数化为!的步骤解一元一次方程!还能通过审 题#设未知数#列方程#解方程#检验#作答等步骤建立一元一次方程解决实际问题!这些 都为学习二元一次方程组打下了坚实的基础!
"!分析一元一次方程和二元一次方程组的联系与区别!
一元一次方程和二元一次方程组的区别在于未知数的个数从一个到二个!方程的个 数从一个到二个!在实际问题中!我们要注意分析问题中未知量和已知量之间的关系!根 据两个等量关系!列出两个二元一次方程!从而建立二元一次方程组!而二元一次方程组 通过消元可以化为一元一次方程!这就是它们的联系与区别!
#!注重转化思想的学习!
代入消元法和加减消元法都是解一次方程组的基本方法!这两种方法的核心都是消 元!即通过消去未知数把%三元&转化%二元&!再把%二元&转化%一元&!继而转化成一元一 次方程求解!这体现了化复杂为简单!化未学为已学的转化思想!
本章的学习要特别注重解题的步骤和格式!要熟练掌握代入消元法和加减消元法解 方程组!领悟把%多元&逐个%消元&的思想!为后续多元方程的学习奠定基础!
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建立二元一次方程组!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!$方程""#!$%的解是 '!!(
&'"$" ('"$#" )'"$* +'"$#*
"$若代数式!"","的值为!!则"等于 '!!(
&'! ('#" )'* +'#*
#$#种饮料比$种饮料每瓶价格少!元!小峰买了"瓶#种饮料和*瓶$种饮料!一共 花了!*元!如果设$种饮料的价格为"元)瓶!那么下面所列方程正确的是'!!(
&'"'"#!(,*"$!* ('"'",!(,*"$!* )'"",*'",!($!* +'"",*'"#!($!*
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!!一元一次方程的概念
在一个方程中!只含有一个未知数!且未知数的次数是!!这样的方程叫做一元一次 方程!
"!方程的解的概念
使方程左#右两边的值相等的未知数的值!叫做方程的解!
!!在七年级第一个学期#我们学习了只含有一个未知数的一元一次方程的概念$解法 及应用#如果方程的未知数和个数不止一个#而是两个呢#那么我们应该怎么办% 这就是 下面要学习的二元一次方程组!
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!$二元一次方程组和它的解!
有的问题可以列一元一次方程!也可以列二元一次方程组!
例!!李明家!月份的天然气费和水费一共!--元!其中天然气费比水费多.-元! 你知道天然气费和水费各是多少元吗$
方法!"列一元一次方程并求解!
设天然气费为"元!那么水费为'"#.-(元!列方程得",'"#.-($!--!解得"$
/-!因此!天然气费为/-元!水费为*-元!
方法""列二元一次方程组!
设天然气费为"元!水费为%元!根据问题中的两个等量关系%天然气费,水费$
!--元!天然气费#水费$.-元&!可列方程组",%$!--!
"#%$.-
*
!像这样!把两个含有相同未知数的二元一次方程'或者一个二元一次方程!一个一元 一次方程(联立起来组成的方程组!称为二元一次方程组!
把"$/-!%$*-代入方程组",%$!--!
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*
$.- 的每一个方程中!方程左#右两边的值相等 吗$/-,*-$!--!/-#*-$.-!每一个方程左#右两边的值都相等!像这样在一个二元一 次方程组中!使每一个方程的左#右两边的值都相等的一组未知数的值就是方程组的一 个解!判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解!应将其代入方程组!看这两个方 程是否都成立!而不是只在其中一个方程中成立!
"$建立模型关键是分析数量关系!找出等量关系!
实际问题中有两个未知量时!要找出问题中的两个等量关系!列出两个二元一次方 程!组成一个二元一次方程组!
例"!七年级'"(班的一个综合实践活动小组去#!$两个超市调查去年和今年五一 期间的销售情况!图!!! !是调查后小敏与其他两名同学进行交流的情景!根据他们的 对话!为了求出#!$两个超市去年五一期间的销售额!你能列出相应的方程组吗$
图!!! !
不妨设去年五一期间#超市的销售额为"万元!$超市的销售额为%万元!题中 有两个等量关系!一个是#!$超市去年五一期间的销售额之和为!%-万元!还有一个
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是#!$ 超市今年五一期间的销售额之和为!/-万元!根据题意可列方程 组",%$!%-!
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*
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"$#!!%$#*"$甲#乙两人练习跑步!如果乙先跑!-0!则甲跑%1就可追上乙+如果乙先跑"1!则甲 跑.1就可追上乙!若设甲的速度为" 0)1!乙的速度为% 0)1!所列方程组是!!!
!!!!!!
#$甲种铅笔每支-'"元!乙种铅笔每支-'%元!现在某人买了"支甲种铅笔!%支乙种铅 笔!共花了/元!
'!(列出关于"!%的二元一次方程! '"(如果"$%!那么%的值是多少$
'*(如果乙种铅笔买了!-支!那么甲种铅笔买了多少支$
!'二元一次方程一定都是整式方程!与一元一次方程非常类似!只是未知数的个数 为两个!
"'方程组的解一定要使两个方程都成立!所以不能只验算一个方程!
*'根据实际问题列二元一次方程组时!一定要设两个未知数!要依据题意找到两个 等量关系!列出两个方程!方程组前面一定要用大括号括起来!它们是一个整体!
.'根据实际问题构建方程组模型求解问题的过程如下"
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!$方程组"#%$"!
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%$" ('"$*!*
%$! )'"$-!*
%$#" +'"$"!*
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人!男生有%人!则下面所列方程组中正确的是 '!!(
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*
'$" 的二元一次方程组!%$如果"$*!
*
%$"是方程3",'%$*-的一个解!则'$!!!!!&$若方程""(#!,%%*)#"$/是二元一次方程!求(!)的值!
'$列方程组"用!3元买了3-分#2-分两种邮票共""枚!3-分与2-分的邮票各买了多 少枚$
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二元一次方程组的解法!!"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!$在方程"#%$3中!用含有"的代数式表示%!得 '!!(
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!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!'解一元一次方程的一般步骤是"去分母!去括号!移项!合并同类项!系数化!!特 别要注意移项要变号!
"'在二元一次方程中!可以通过恒等变形!将一个未知数用含另一个未知数的代数 式表示!一般步骤是"将要表示的这个未知数移到方程的左边!其他的项都移到方程的右 边!合并同类项后!将左边未知数系数化!即可!
!!七年级上册我们学习了一元一次方程的解法#上一节课我们学习了二元一次方程组 的有关概念#那我们如何求出二元一次方程组的解呢%
!$代入消元法的解题过程!
在二元一次方程组中!将其中一个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表 示出来!再代入另一个方程!就可以消去一个未知数!得到一个一元一次方程!进而求得 这个二元一次方程组的解!这种方法叫做代入消元法!简称代入法!
二元一次方程组中有两个未知数!如果消去其中一个未知数!将二元一次方程组转
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!!)!!!!
化为一元一次方程!就可以先解出一个未知数!然后再设法求另一个未知数!这种将未知 数的个数由多化少!逐一简化的思想方法!就是消元的思想!
二元一次方程组##消"元形如&"$''&!'为已知数(的方程!
"!用代入消元法解二元一次方程组的两种情形! '!(至少有一个未知数的系数是!!
例!!解方程组"""#%$%!
"#!$!
"'"%#!(
$
%
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分析"把第一个方程变形!用"表示%!再代入化简后的第二个方程!消去一个未知 数!将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解!
解"原方程组可化为%$""#%!!!!!!
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*
"将!代入"!得""#"'""#%($!!解得"$4
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将"$4"代入!!得%$.!
所以方程组的解为"$4"!
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$
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例"!解方程组"""#*%$!!!! !!!
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"分析"把第一个方程变形!用%表示"!再代入第二个方程!消去一个未知数!将二元 一次方程组转化为一元一次方程来求解!
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"$已知方程%",*%#.$-!用含"的代数式表示%!则%$!!!!!!!
#$用代入消元法解方程组"""#%$%!
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!'用代入法解二元一次方程组的基本思路是"选取其中一个二元一次方程!将它的 一个未知数用另一个未知数来表示!再代入另一个方程!消去一个未知数!将方程转化为 一元一次方程求解!即化%二元&为%一元&!这就是消元的思想!
"'用代入法解二元一次方程组时应注意"
'!(用一个未知数表示另一个未知数时!一定要注意移项要变号!未知数系数一定要化 成!!
'"(把一个方程代入另一个方程时!千万不要漏乘系数!
'*(最后一定要把两个未知数的值用大括号联立起来!这才是方程组的解!
*'一般地!当方程组中有一个未知数已经用另一个未知数表示时!直接用代入消元 法+当方程组中两个未知数的系数均不为!时!一般选择用系数较为复杂的未知数表示 系数较为简单的未知数!再用代入消元法!
!$用代入法解方程组"$"%!!!!
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*
"下列说法正确的是 '!!(&'直接把!代入"!消去% ('直接把!代入"!消去"
)'直接把"代入!!消去% +'直接把"代入!!消去"
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!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!'合并同类项法则"系数相加减!字母和字母的次数不变!当两个同类项的系数相反 时!合并后的结果为-!
"'用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤"
'!(变形"将方程组中的一个方程变形!使得一个未知数用含有另一个未知数的代数 式表示+
'"(代入"将变形后的关系式代入另一个方程!消去一个未知数!得到一个一元一次方程+
'*(求解"解这个一元一次方程!求出一个未知数的值!再把这个未知数的值代入变 形后的方程中!求得另一个未知数的值+
'.(写解"写出方程组的解!
!!我们上节课学习了用代入消元法来解二元一次方程组#那么还有没有其他的方法解 方程组呢% 今天我们就来学习另一种解二元一次方程组的方法&&&加减消元法!
!$解方程组的基本思路是消元!即将%二元&转化为%一元&!当方程组的两个二元一 次方程中同一个未知数的系数相反或相等时!将两个方程的两边分别相加或相减!就能
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!"!!!"
消去这个未知数!得到一个一元一次方程!这种方法叫做加减消元法!简称加减法!
"$当方程组的两个二元一次方程中同一个未知数的系数相同时!直接将两个方程相 减!就可以消去一个未知数!得到一个一元一次方程+当方程组的两个二元一次方程中同 一个未知数的系数相反时!直接将两个方程相加!也可以消去一个未知数!得到一个一元 一次方程+当方程组的两个二元一次方程中同一个未知数的系数是倍数关系时!把系数 较小的方程左右两边都乘以倍数!将系数扩大成相同或相反!再进行加减消元!同样可以 得到一个一元一次方程!
例!!解方程组"",*%$2!!!!!!!
%"#*%$.!
*
"分析"因为未知数%的系数互为相反数!如果将两个方程相加即可消去未知数%!化成 一元一次方程!进而求得"的值!然后将"的值代入其中一个方程即可求得%的值!
解"!,"!得3"$!"!解得"$"!
把"$"代入!!得",*%$2!解得%$"!
因此!方程组的解是"$"!
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*
!例"!解方程组""#"%$*!!!! !!!
*",%$"!
*
"分析"未知数%的系数为#"和!!与例!中直接互为相反数不同!但我们可以把方 程"5"!再与方程!相加!这样也可以消去未知数%!当然!选择将未知数"的系数化成 相同的数!再将方程相减!也可以消去一个未知数!不过两者比较!我们一般会选择消去 系数更为简单的未知数!
解""5"!得3","%$.!!!!!!! !#
!,#!得/"$/!解得"$!'
将"$!代入"!得%$#!!
因此!方程组的解为"$!!
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%$#!!!$用加减消元法解方程组"",%$*!!!
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"适合的方法是 '!!(&'!#" ('!," )'!5"," +'"5!,!
"$定义运算%'&!规定"'%$&"",'%!其中&!'为常数!且!'"$%!"'!$3!则"'*$
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#$用加减消元法解方程组."#*%$#!/!
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*
!!'用加减法解二元一次方程组时!如果某一未知数的系数相等或互为相反数!可以 把两个方程直接相减或相加+如果某一未知数的系数成倍数关系!先把这一未知数的系 数化为相等或互为相反数!再相加减!
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!"!!!#
"'加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是"
'!(把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数!使方程组的两个方程中一个未 知数的系数互为相反数或相等+
'"(把两个方程的两边分别相加或相减!消去一个未知数!得到一个一元一次方程+
'*(解这个一元一次方程!求得一个未知数的值+
'.(把求得的未知数的值代入原方程组中系数比较简单的一个方程中!求出另一个 未知数的值+
'%(把求出的未知数的值写成"$&!
*
%$' 的形式!!$方程组"#%$!!
"",%
*
$%的解是 '!!(&'"$"!
*
%$! ('*
%"$#!!$" )'"$#"!*
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%$#!"$解方程组*",*%$"!!!
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*
"用加减法消去%!需要 '!!(&'!5"#" ('!5*,"5"
)'!5"#"5* +'!5","
#$解下列方程组"
!%$*"!
""#%%$"
*
+!!"""#*%$3!""#%%$!
*
+!!# *","%$2!*"#"%$#"
*
+!!$"$#%!""#/%$#*
*
!其中!!!!适宜用代入消元法!!!!!适宜用加减消元法'填序号(!
%$已知&!'满足&,%'$!"!
*&#'$#.
*
!则&,'$!!!!!&$解方程组"
'!(.",%$3!
3",%$2
*
+ '"(*",%$2!"#%$.
*
!'$解方程组"
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*
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二元一次方程组的解法!#"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
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*
%$* ('*
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"$.!%$!"$用加减法解方程组*"#"%$*!!!
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"时!如果消去%!最简捷的方法是 '!!(&'!5.#"5* ('!5.,"5*
)'"5"#! +'"5",!
#$*和.的最小公倍数是 '!!(
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!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!'用加减法解较简单系数的方程组的思路"将同一未知数的系数化成互为相反数或 相等的数!再把两个方程直接相加或相减!化为一元一次方程再求解!
"'用加减消元法解二元一次方程组的步骤"
*'几个正整数共有的倍数叫做这几个数的公倍数!其中最小的一个公倍数!叫做这 几个数的最小公倍数!
!!上节课我们学习了用加减消元法解系数较为简单的二元一次方程组#如果系数更为 复杂一些#你能想到解决的方法吗%
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!$二元一次方程组中同一个未知数的系数相同或相反时!可以直接进行加减!如果 同一个未知数的系数成倍数时!我们可以将较小的系数扩大至较大的系数!从而将系数 转化成相同'或相反(的数!再利用加减消元法即可解决!
如果方程中的系数不相同'或相反(!也不成倍数!我们该怎么办呢$ 这时我们就应 该想到将这两个系数扩大成它的最小公倍数了!这样既可以将系数变成相同'或相反(! 同时系数也不会太复杂!算是最佳方案了!这时有两个小技巧"一是选择系数较为简单的 未知数进行变形!二是分别变形两个方程使某一未知数的系数相同'或相反(!再进行加 减消元!可以提高正确率!
"$当方程组比较复杂时!应先将二元一次方程整理成形如&",'%$*的形式!整理 方程时要特别注意"一是去分母时应该将方程的每一项都乘以同一个非零数!二是要注 意去括号和移项的法则!
例!!解方程组"*"#"%$3!!!!!!
"",*%$!/!
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"分析"可把"的系数化为相等!!5"!"5*+也可把%的系数化为相反数!!5*!"5"!
解"!5*!得4"#3%$!2!!!!!!!#
"5"!得.",3%$*.' $
#,$!得!*"$%"!解得"$.'
把"$.代入!!得!"#"%$3!解得%$*'
所以方程组的解是"$.!
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%$*'解二元一次方程组的关键是消元!即把%二元&化为%一元&!用加减消元法解二元一 次方程组时!如果方程组中未知数的系数不成倍数关系!可选定一个未知数!把两个方程 分别乘以一个适当的数!使这个未知数的系数化为相同或互为相反数!再用加减法求解!
例"!解方程组"/*",%"$.!
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分析"这个方程组中的方程比较复杂!可通过去分母等步骤把方程化简!再用加减法 解方程组!
解"原方程组可化为!.",*%$".!! !!
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"5*!得4"#!%%$!!/! $
#,$!得/4"$"*/!解得"$*!
湖南教育出版社
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把"$*代入"!得4#%%$*4!解得%$#3!
所以原方程组的解是"$*!
*
%$#3!解方程组时!如果系数为分数!一般先化为整数系数!并把方程整理为一般形式!然 后再根据方程组的特点求解!
!$用加减法解方程"",*%$!!
*"#"%
*
$2时!要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反!有 以下四种变形的结果"! 3",4%$!!
3"#.%$2
*
+ " .",3%$!!4"#3%$2
*
+ # 3",4%$*!3"#.%$!3
*
+ $ .",3%$"!4"#3%$".
*
!其中变形正确的是 '!!(
&'!" ('#$ )'!# +'"$
"$已知关于"!%的二元一次方程组"",*%$+#*!
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*
,!的解互为相反数!则+的值是!!!!!#$已知方程组.",%$%!
*"#"%
*
$!和&",'%$*!&"#'%
*
$!有相同的解!求&"#"&','"的值!!'解二元一次方程组的关键是消元!即把%二元&化为%一元&!用加减消元法解二元 一次方程组时"
'!(如果相同未知数的系数不成倍数关系"可选定一个未知数!把两个方程分别乘以 一个适当的数!使这个未知数的系数的绝对值相等!再用加减法求解!
'"(如果未知数的系数是分数"先化为整数系数!并把方程整理为一般形式!然后根 据方程组的特点求解!
"'求解二元一次方程'组(中字母的值!一般有以下方法"
'!(将解代入方程'组(!得到关于字母的方程'组(!求解即可+
'"(先消去一个未知数!再求另一个未知数和字母组成的方程组的解!
*'两个方程组同解求字母系数的值!有两种常见的类型"
'!(字母系数只出现在一个方程组中!解另一个方程组!把求得的解代入含字母系数 的方程'组(!再解之即可!
湖南教育出版社
!"!!!'
'"(字母系数包含在两个方程组中!把两个方程组重新组合!把不含字母系数的方程 放在一起求解!再把求得的解代入含字母系数的方程'组(中求解即可!
!$若方程(",)%$3的两个解是"$!!
*
%$!!"$"!
*
%$#!!则(!)的值分别为 '!!(&'.!" ('"!. )'#.!#" +'#"!#.
"$方程%$+",'中!当"$!时%$"!当"$"时%$.!则+!'的值是 '!!(
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'$- ('+$"!*
'$- )'+$*!*
'$! +'+$-!*
'$"#$如果"$*!
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%$"是方程3",'%$*"的一个解!则'$!!!!!%$当"$"!#"时!代数式+",'的值分别是"!.!则+$!!!!!'$!!!!!
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!湖南教育出版社
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二元一次方程组的应用!!"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!$一件商品按成本价提高%-6后标价!再打八折销售!售价为".-元!设这件商品的成
本价为"元!根据题意所列方程为 '!!(
&'",%-652-6$".- (''!,%-6(",2-6$".- )'"$".-5%-652-6 +'",%-6$".-52-6
"$某旅游景点门票价格为"成人票每张/-元!儿童票每张*%元!小明买门票共花了
!""%元!设其中成人票有"张!儿童票有%张!根据题意!下列方程正确的是'!!(
&'*%",/-%$!""% ('/-",*%%$!""% )'/-"#*%%$!""% +'*%"#/-%$!""%
#$方程组*","%$/!
."#%
*
$!*的解是 '!!(&'"$#!!
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%$* ('"$#*!*
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%$#*!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!'解二元一次方程组!用代入消元法和加减消元法!将%二元&转化为%一元&!再解一 元一次方程!将其解再代回原方程组的一个方程!求出另一个未知数的值!这组值就是方 程组的解!
"'在实际问题中找到等量关系!将等量关系中各项用含未知数的代数式表示出来! 这个过程就是根据等量关系列方程!是建立方程'组(解应用题的重要步骤!
*'常见的关系式"路程$速度5时间!利润$进价5利润率!利润$售价#成本!单 价5数量$总价!
!!我们已经学习了如何求解二元一次方程组#现在我们来让二元一次方程组在实际问 题中发挥作用吧!同学们一定要有信心哦#不要觉得应用题就一定很难!
湖南教育出版社
!"!!!)
!$列二元一次方程组和列一元一次方程解应用题的联系与区别!
如果实际问题中有两个要求的量!有两个等量关系!一般就设两个未知数!根据两个 等量关系列两个二元一次方程联立成一个二元一次方程组!如果实际问题中只有一个要 求的量!一个等量关系!一般设一个未知数!列一元一次方程解决!一般情况下!可以列二 元一次方程组解决的问题往往也可以列一元一次方程来解决!只是等量关系要复杂很 多!不太方便!所以能列二元一次方程组来解决就尽量列方程组来解决!
例!!如图!!* !!某校组织学生从学校'点#(出发!沿#"$","-"#的路线参 加总路程为!.70的绿色行走活动!其中路线#"$段#-"#段是市区公路!$",段#
,"-段是景区山路!已知学生队伍在市区公路的行进速度为370)8!在景区山路的行进 速度为"70)8!本次行走共用*'%8!问本次行走活动中市区公路#景区山路各多少千米$
图!!* !
解法一"列一元一次方程!
设本次行走活动中市区公路有"70!则景区山路有'!.#"(70!
根据在市区行进时间,在景区行进时间$*'%8!
可得"3,!.#"
" $*'%!解得"$!-'%!则!.#"$*'%!
答"本次行走活动中市区公路!-'%70!景区山路*'%70!
解法二"设本次行走活动中市区公路有"70!景区山路有%70!
根据市区公路,景区山路$!.70!在市区行进时间,在景区行进时间$*'%8!
可得方程组",%$!.!
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!答"本次行走活动中市区公路!-'%70!景区山路*'%70!
对比两种方法!我们能感受到建立二元一次方程组虽然需要设两个未知数!找两个 等量关系!列出两个方程!但对于含两个未知量的实际问题而言!这样的方法能更清晰地 表达数量关系!用起来也更为简便!
"$实际问题中常见的含百分比的数量关系!
现在的量$原来的量5 '!,增长率(!或现在的量$原来的量5 '!,降低率(! 利息$本金5利率5期数等!
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!"!!!*
例"!今年五一小长假期间!某市外来与外出旅游的总人数为""3万人次!分别比去 年同期增长*-6和"-6!去年同期外来旅游比外出旅游的人数多"-万人次!求该市今年 外来和外出旅游的人数!
解"设该市去年外来旅游的人数为"万人次!外出旅游的人数为%万人次! 由题意得!"#%$"-!
'!,*-6(",'!,"-6(%$""3
*
!解得"$!--!
%$2-
*
!今年外来旅游的人数为!--5'!,*-6($!*-'万人次(! 今年外出旅游的人数为2-5'!,"-6($43'万人次(!
答"该市今年外来旅游的人数为!*-万人次!外出旅游的人数为43万人次!
!$李明同学早上骑自行车上学!中途因道路施工步行一段路!到学校共用时!%09:!他骑 自行车的平均速度是"%-0)09:!步行的平均速度是2-0)09:!他家离学校的距离是
"4--0!如果他骑车和步行的时间分别为" 09:!% 09:!则列出的方程组是'!!(
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$"4--"$#!$两人到商场购物!#购*件甲商品和"件乙商品共支付!3元!$购%件甲商品和
*件乙商品共支付"%元!求一件甲商品和一件乙商品各售多少元!设甲商品的售价为
"元)件!乙商品的售价为%元)件!则可列出方程组!!!!!!!!!
#$甲#乙二人在一环形场地上从#点同时同向匀速跑步!甲的速度是乙的"'%倍!出发
.09:后两人首次相遇!此时乙还需要跑*--0才跑完第一圈!求甲#乙二人的速度及 环形场地的周长!'列方程组求解(
湖南教育出版社
!#!!!!
!'在列二元一次方程组解决实际问题中!常常用到的关系式有"路程$速度5时间!利 润$进价5利润率!利润$售价#成本!单价5数量$总价!相遇问题中!甲走的路程,乙走 的路程$相距的路程+追及问题中!快者走的路程#慢者走的路程$相距的路程等!
"'
!$甲#乙两地相距!/-70!一辆小汽车和一辆客车同时从甲#乙两地相向开出!经过!8!-09:
相遇!小汽车比客车多行驶"-70!设小汽车和客车的平均速度分别为"70)8和%70)8!则 下列方程组正确的是 '!!(
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"$为了研究吸烟是否对患肺癌有影响!某肿瘤研究所随机调查了!----人!并进行统计 分析!结果显示"在吸烟者中患肺癌的比例是"'%6!在不吸烟者中患肺癌的比例是
-'%6!吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多""人!如果设这!----人 中!吸烟者患肺癌的人数为"!不吸烟者患肺癌的人数为%!根据题意!下面列出的方程 组正确的是 '!!(
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#$某幼儿园用!--元钱给小朋友买了甲#乙两种玩具共*-个!单价分别为"元和.元! 则该幼儿园购买的甲#乙两种玩具分别为!!!!个#!!!!个!
%$我国古代数学名著-孙子算经.中有这样一题"今有鸡兔同笼!上有*%头!下有4.足! 问鸡兔各几何$ 此题的答案是"鸡有"*只!兔有!"只!现在小敏将此题改编为"今有 鸡兔同笼!上有**头!下有22足!问鸡兔各几何$ 则此时的答案是"鸡有!!!!只! 兔有!!!!只!
湖南教育出版社
!#!!!"
&$夏季来临!天气逐渐炎热起来!某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了!-6!将某 种果汁饮料每瓶的价格下调了%6!已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费/元!调 价后买上述碳酸饮料*瓶和果汁饮料"瓶共花费!/'%元!问这两种饮料在调价前每 瓶各多少元$
'$某学校的环形跑道长.--0!甲#乙同时从同一起点分别以一定的速度慢跑和骑自行 车!如果反向而行!那么他们每隔.-1相遇一次+如果同向而行!那么每隔2-1乙就追 上甲一次!甲#乙的速度分别是多少$
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二元一次方程组的应用!""
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
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%$*-"$已知两数"!%之和是!-!"比%的*倍大"!则下面所列方程组正确的是 '!!(
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#"#$"-名同学在植树节这天共种了%"棵树苗!其中男生每人种*棵!女生每人种"棵!设 男生有"人!女生有%人!根据题意!列方程组正确的是 '!!(
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$%"!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
!'用代入法和加减法解二元一次方程组!关键是消元!检验所求出的值是否为方程 组的解!必须将这组值代入原来的两个方程中!均能成立才是方程组的解!
"'在实际问题中建立二元一次方程组模型的方法"设两个未知数"找两个等量关 系"列两个方程联立成方程组"解方程组"检验方程组的解是否符合题意!
!!上一节课我们开始学习实际问题中如何建立二元一次方程组模型来解决问题#这一 节课我们学习用二元一次方程组解决更多的实际问题!
!$分段计费问题的解决方法!
在日常生活中!出租车的起步价以及超过部分的计费问题!阶梯天然气费!阶梯水
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!#!!!$
费!电话费中涉及月租费和通话费等问题都属于分段计费问题!在分段计费问题中!要特 别注意的是!计算超过部分时!一定要减去基本部分!
例!!假如某市的出租车是这样收费的"起步价所包含的路程为-%!'%70!超过
!'%70的部分按每千米另收费!
小刘说"%我乘出租车走了.'%70!付车费!-'%元!&
小李说"%我乘出租车走了3'%70!付车费!.'%元!&
问"'!(出租车的起步价是多少元$ 超过!'%70后每千米收费多少元$
'"(小张乘坐出租车走了!-70!应付车费多少元$
分析"题中!出租车费用$起步价,超出部分的费用!在计算超出部分的路程时一 定要减去起步价中已含的!'%70!如乘出租车走了.'%70!其中包含了起步价中的
!'%70!所以超出部分的路程为.'%#!'%$*'70(!
解"'!(设出租车的起步价是"元!超过!'%70后每千米收费%元!
依题意得!",'.!%#!!%(%$!-!%!
",'3!%#!!%(%$!.!%
*
!解得*
%$""$.!!%!答"出租车的起步价为.'%元!超过!'%70后每千米收费"元! '"(.'%,'!-#!'%(5"$"!'%'元(!
故小张应付车费"!'%元!
"$和差倍分问题的解决方法!
在实际问题中!如果涉及两者的和或是差!两者之间存在倍数或几分之几关系!或百 分比等问题!要认真分析两者之间的数量关系!从而找到等量关系解决问题!
例"!某企业接到任务!须在规定时间内生产一批帐篷!如果按原来的生产速度!每 天生产!"-顶帐篷!那么在规定时间内只能完成任务的4-6!为按时完成任务!该企业所 有人员都支援到生产一线!这样!每天能生产!3-顶帐篷!刚好提前一天完成任务!问规 定时间是多少天$ 生产任务是多少顶帐篷$
解"设规定时间为"天!生产任务是%顶帐篷! 由题意得!!"-"$4-6%!
!3-'"#!($%
*
!解得*
"$3!%$2--!答"规定时间是3天!生产任务是2--顶帐篷!
!$小明的妈妈用"2-元买了甲#乙两种药材!甲种药材每公斤"-元!乙种药材每公斤
3-元!且甲种药材比乙种药材多买了"公斤!设买了甲种药材"公斤!乙种药材%公 斤!小明列方程组求两种药材各买了多少公斤!正确的是 '!!(
&'"-",3-%$"2-!
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$" ('3-","-%$"2-!"#%
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*
$"湖南教育出版社
!#!!!%
"$如图!!* "!某工厂与#!$两地有公路#铁路相连!这家工厂从#地购买一批每吨
!---元的原料运回工厂!制成每吨2---元的产品运到$地!已知公路运输费用为
!'%元)'吨,千米(!铁路运输费用为!'"元)'吨,千米(!且这两次运输共支出公路 运输费!%---元!铁路运输费4/"--元!求该工厂从#地购买了多少吨原料!制成多 少吨产品运往$地!
图!!* "
#$设.)表示)边形的对角线的交点个数'指落在其内部的交点(!如果这些交点都不重 合!那么.)与)的关系式是".)$)')#!(
". (')"#&),'('其中&!'是常数!)).(
'!(通过画图!可得"四边形时!..$!!!!+五边形时!.%$!!!!!
'"(请根据四边形和五边形对角线交点的个数!结合关系式!求&!'的值!
!'列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为%审#设#列#解#验#答&六步!
!审"通过审题!把实际问题抽象成数学问题!找出能够表示题意的两个等量关系+
"设"分析已知量和未知量!并用字母表示其中的两个未知量+
#列"根据两个等量关系列出相应的方程!从而列出方程组+
$解"解这个方程组!求出两个未知数的值+
&验"检验未知数的值是不是方程组的解!检验方程组的解是否符合题意+
'答"在对求出的方程组的解做出是否合理判断的基础上!写出答案!
"'在解决分段计费问题时!怎么分段是关键!一定要分清楚!每一段要合理地用含未 知数的方程准确表示出来!在解决和差倍分问题时!表达二者之间的关系是关键!一定要 准确!谁比谁多!谁比谁少!谁是谁的几倍!谁是谁的几分之几!这些关系式用含未知数的 方程表达时不能出现错误!
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!$为了丰富同学们的课余生活!体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球 拍!已知购!副羽毛球拍和!副乒乓球拍共需%-元!小强用*"-元购买了3副同样的 羽毛球拍和!-副同样的乒乓球拍!若设每副羽毛球拍为"元!每副乒乓球拍为%元! 所列二元一次方程组为 '!!(
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*
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*
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*
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*
$*"-"$ -九章算术.是我国古代数学的经典著作!书中有一个问题"%今有黄金九枚!白银一十一 枚!称之重适等!交易其一!金轻十三两!问金#银一枚各重几何$&意思是"甲袋中装有黄 金4枚'每枚黄金重量相同(!乙袋中装有白银!!枚'每枚白银重量相同(!两袋重量相 等!两袋互相交换!枚后!甲袋比乙袋轻了!*两'袋子重量忽略不计(!问黄金#白银每枚 各重多少两$ 设每枚黄金重"两!每枚白银重%两!根据题意得 '!!(
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*
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$!*#$某单位组织*.名共产党员分别到井冈山和瑞金接受革命传统教育!到井冈山的人数 比到瑞金的人数的"倍还多!人!求到两地的人数各是多少!设到井冈山的人数为"!
到瑞金的人数为%!满足题意的方程组是!!!!!!!!!
%$某宾馆有单人间和双人间两种房间!入住*个单人间和3个双人间共需!-"-元!入住
!个单人间和%个双人间共需/--元!求入住单人间和双人间各%个共需多少钱!
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!#!!!'
&$在水果店里!小李买了%7;苹果!*7;梨!老板少要"元!收了%-元+老王买了!!7;
苹果!%7;梨!老板按九折收钱!收了4-元!该店苹果和梨的价格各是多少$
'$ '选作题(为鼓励居民节约用电!某市对家庭用电收费实行阶梯电价!即每月每户居民 的用电量分为三个档级收费!
第一档为用电量在!2-千瓦时'含!2-千瓦时(以内的部分!执行基本价格+ 第二档为用电量在!2-千瓦时到.%-千瓦时'含.%-千瓦时(的部分!实行提高 电价+
第三档为用电量超出.%-千瓦时的部分!执行市场调节价格!
该市一同学家今年"月份用电**-千瓦时!电费为"!*元+*月份用电".-千瓦 时!电费为!%-元!已知该市的一户家庭今年3#/月份的用电量分别为!3-和.!-千 瓦时!请你依据该同学家的缴费情况!计算这户家庭3#/月份的电费分别为多少元$
