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多元函数微分法

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第九章·多元函数微分法

.. . 高等数学课程 . 2020 年 2 月 12 日 . „暨南大学数学系 „吕荐瑞

(2)

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多元函数的基本概念

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第一节

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偏导数

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第二节

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全微分

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第三节

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多元复合函数求导

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第四节

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隐函数求导

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第五节

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ

(3)

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多元函数的基本概念

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第一节

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多元函数的概念

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A

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多元函数的极限

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B

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多元函数的连续性

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C

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12 3 4 5 6 7 8 „ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ

(4)

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二元函数

定义 1 从平面 R2 的非空子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D −→R 称为二元函数,其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y). 记为 z = ƒ (,y).  和 y 称为自变量,z 称为因变量. .

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(5)

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二元函数

定义 1 从平面 R2 的非空子集 D 到 R 的对应关系 ƒ : D −→R 称为二元函数,其中对应 ƒ 将点 (,y) 对应到 ƒ (,y). 记为 z = ƒ (,y). 和 y 称为自变量,z 称为因变量. .

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二元函数的定义域

二元函数的自然定义域:由所有使得 ƒ(,y) 有意义的(,y) 组成的集合. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 · · · ·无界 开区域 D= {(,y) |  + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 · · · ·有界 闭区域 D= {(,y) | 2+ y2 ≤ 1}. .

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二元函数的定义域

二元函数的自然定义域:由所有使得 ƒ(,y) 有意义的(,y) 组成的集合. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 · · · ·无界 开区域 D= {(,y) |  + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 · · · ·有界 闭区域 D= {(,y) | 2+ y2 ≤ 1}. .

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二元函数的定义域

二元函数的自然定义域:由所有使得 ƒ(,y) 有意义的(,y) 组成的集合. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为 · · · ·无界 开区域 D= {(,y) |  + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为 · · · ·有界 闭区域 D = {(,y) | 2+ y2 ≤ 1}. .

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二元函数的定义域

二元函数的自然定义域:由所有使得 ƒ(,y) 有意义的(,y) 组成的集合. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为· · · ·无界 开区域 D= {(,y) |  + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为· · · ·有界 闭区域 D = {(,y) | 2+ y2 ≤ 1}. .

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二元函数的定义域

二元函数的自然定义域:由所有使得 ƒ(,y) 有意义的(,y) 组成的集合. 例 1 z = ln( + y) 的定义域为· · · ·无界开区域 D= {(,y) |  + y > 0}. 例 2 z = p1− 2− y2 的定义域为· · · ·有界闭区域 D = {(,y) | 2+ y2 ≤ 1}. .

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自然定义域

练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = p 1 + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y| .

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自然定义域

练习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = ln(2+ y2− 1) (2) ƒ(,y) = p 1 + y − 2 (3) ƒ(,y) = p1− || − |y| .

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平面点集的分类

有界集 限制在有限范围的点集 无界集 延伸到无穷远的点集 开区域 不包含边界的区域 闭区域 包含边界的区域 · · · · 问题 如何准确描述上述几种平面点集? .

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平面点集的分类

有界集 限制在有限范围的点集 无界集 延伸到无穷远的点集 开区域 不包含边界的区域 闭区域 包含边界的区域 · · · · 问题 如何准确描述上述几种平面点集? .

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平面点集的分类

有界集 限制在有限范围的点集 无界集 延伸到无穷远的点集 开区域 不包含边界的区域 闭区域 包含边界的区域 · · · · 问题 如何准确描述上述几种平面点集? .

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直线点集与平面点集

直线 R 平面 R2 邻域 邻域 有界集 有界集 无界集 无界集 开区间 开区域 闭区间 闭区域 端点 边界 .

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定义 2 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 3 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0)· · · · 有界集 存在某个 r > 0,使得 E ⊂ U(O,r). 无界集 对于任何 r > 0,总有 E ̸⊂ U(O,r). .

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定义 2 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 3 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0)· · · · 有界集 存在某个 r > 0,使得 E ⊂ U(O,r). 无界集 对于任何 r > 0,总有 E ̸⊂ U(O,r). .

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定义 2 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 3 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0)· · · · 有界集 存在某个 r > 0,使得 E ⊂ U(O,r). 无界集 对于任何 r > 0,总有 E ̸⊂ U(O,r). .

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定义 2 平面上的点集 n (,y) p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 δ 邻域,记为 U(P0). 定义 3 平面上的点集 n (,y) 0 < p( − 0)2+ (y − y0)2 < δ o 称为点 P0(0,y0) 的 去心 δ 邻域,记为 U˚(P0)· · · · 有界集 存在某个 r > 0,使得 E ⊂ U(O,r). 无界集 对于任何 r > 0,总有 E ̸⊂ U(O,r). .

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内点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ⊂ E, 则称 P 为 E 的内点. 外点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ∩ E = ∅, 则称 P 为 E 的外点. 边界点 若 P 的任何邻域,既含有属于 E 的点,又含 有不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点. 注记 (1) 内点一定属于 E;(2) 外点一定不属于 E; (3) 边界点可能属于 E 也可能不属于 E. · · · · 边界 E 的边界点的全体,称为 E 的边界,记为 ∂E. .

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内点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ⊂ E, 则称 P 为 E 的内点. 外点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ∩ E = ∅, 则称 P 为 E 的外点. 边界点 若 P 的任何邻域,既含有属于 E 的点,又含 有不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点. 注记 (1) 内点一定属于 E;(2) 外点一定不属于 E; (3) 边界点可能属于 E 也可能不属于 E. · · · · 边界 E 的边界点的全体,称为 E 的边界,记为 ∂E. .

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内点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ⊂ E, 则称 P 为 E 的内点. 外点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ∩ E = ∅, 则称 P 为 E 的外点. 边界点 若 P 的任何邻域,既含有属于 E 的点,又含 有不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点. 注记 (1) 内点一定属于 E;(2) 外点一定不属于 E; (3) 边界点可能属于 E 也可能不属于 E. · · · · 边界 E 的边界点的全体,称为 E 的边界,记为 ∂E. .

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内点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ⊂ E, 则称 P 为 E 的内点. 外点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ∩ E = ∅, 则称 P 为 E 的外点. 边界点 若 P 的任何邻域,既含有属于 E 的点,又含 有不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点. 注记 (1) 内点一定属于 E;(2) 外点一定不属于 E; (3) 边界点可能属于 E 也可能不属于 E. · · · · 边界 E 的边界点的全体,称为 E 的边界,记为 ∂E. .

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内点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ⊂ E, 则称 P 为 E 的内点. 外点 若存在 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) ∩ E = ∅, 则称 P 为 E 的外点. 边界点 若 P 的任何邻域,既含有属于 E 的点,又含 有不属于 E 的点,则称 P 为 E 的边界点. 注记 (1) 内点一定属于 E;(2) 外点一定不属于 E; (3) 边界点可能属于 E 也可能不属于 E. · · · · 边界 E 的边界点的全体,称为 E 的边界,记为 ∂E. .

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开集 若 E 的边界点都不属于 E,即 ∂E∩ E = ∅, 则称 E 为开集.

闭集 若 E 的边界点都属于 E,即 ∂E⊂ E, 则称 E 为闭集. 连通集 若 E 中任何两点都可用 E 中的折线联结起来. 则称 E 为连通集. 开区域 非 ·· 的连通开集称为开区域. 闭区域 开区域及其边界一起构成的点集称为闭区域. .

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开集 若 E 的边界点都不属于 E,即 ∂E∩ E = ∅, 则称 E 为开集.

闭集 若 E 的边界点都属于 E,即 ∂E⊂ E, 则称 E 为闭集. 连通集 若 E 中任何两点都可用 E 中的折线联结起来. 则称 E 为连通集. 开区域 非 ·· 的连通开集称为开区域. 闭区域 开区域及其边界一起构成的点集称为闭区域. .

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开集 若 E 的边界点都不属于 E,即 ∂E∩ E = ∅, 则称 E 为开集.

闭集 若 E 的边界点都属于 E,即 ∂E⊂ E, 则称 E 为闭集. 连通集 若 E 中任何两点都可用 E 中的折线联结起来. 则称 E 为连通集. 开区域 非 ·· 的连通开集称为开区域. 闭区域 开区域及其边界一起构成的点集称为闭区域. .

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开集 若 E 的边界点都不属于 E,即 ∂E∩ E = ∅, 则称 E 为开集.

闭集 若 E 的边界点都属于 E,即 ∂E⊂ E, 则称 E 为闭集. 连通集 若 E 中任何两点都可用 E 中的折线联结起来. 则称 E 为连通集. 开区域 非 ·· 的连通开集称为开区域. 闭区域 开区域及其边界一起构成的点集称为闭区域. .

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开集 若 E 的边界点都不属于 E,即 ∂E∩ E = ∅, 则称 E 为开集.

闭集 若 E 的边界点都属于 E,即 ∂E⊂ E, 则称 E 为闭集. 连通集 若 E 中任何两点都可用 E 中的折线联结起来. 则称 E 为连通集. 开区域 非 ·· 的连通开集称为开区域. 闭区域 开区域及其边界一起构成的点集称为闭区域. .

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多元函数的基本概念

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第一节

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多元函数的概念

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A

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多元函数的极限

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B

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多元函数的连续性

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C

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二元函数的极限:定义

定义 4 如果任意给定 ε > 0,总存在一个 δ > 0,使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0) 时, |ƒ (,y) − A| < ε 总成立,则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时,函数 ƒ(,y) 以 A 为极限,记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 或 Plim→P0ƒ(,y) = A. 例 3 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0,其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2. .

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二元函数的极限:定义

定义 4 如果任意给定 ε > 0,总存在一个 δ > 0,使 得当点 (,y) ∈ ˚U(P0) 时, |ƒ (,y) − A| < ε 总成立,则称当 (,y) 趋于点 P0(0,y0) 时,函数 ƒ(,y) 以 A 为极限,记为 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = A 或 Plim→P0ƒ(,y) = A. 例 3 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) = 0,其中 ƒ(,y) = (2+ y2) sin 1 2+ y2. .

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二元函数的极限:解释

注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时,ƒ (,y) 总趋于 A. 例 4 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在,其中 ƒ(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). .

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二元函数的极限:解释

注记 函数极限 lim (,y)→(0,y0) ƒ(,y) = A 成立等价于当 (,y) 以任意方式趋于 (0,y0) 时,ƒ (,y) 总趋于 A. 例 4 证明 lim (,y)→(0,0)ƒ(,y) 不存在,其中 ƒ(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). .

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二重极限的运算法则

注记 二元函数的极限运算法则与一元函数的类似. 例 5 求极限 lim (,y)→(0,2) sin y · · · · 注记 在二元函数极限的定义中,不要求函数在 P0 的 某个去心邻域有定义,只要求 P0 是定义域 D 的聚点. 定义 若 ∀δ > 0, ˚U(P) 内总有 E 中的点,则称 P 为 E 的聚点. .

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二重极限的运算法则

注记 二元函数的极限运算法则与一元函数的类似. 例 5 求极限 lim (,y)→(0,2) sin y · · · · 注记 在二元函数极限的定义中,不要求函数在 P0 的 某个去心邻域有定义,只要求 P0 是定义域 D 的聚点. 定义 若 ∀δ > 0, ˚U(P) 内总有 E 中的点,则称 P 为 E 的聚点. .

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二重极限的运算法则

注记 二元函数的极限运算法则与一元函数的类似. 例 5 求极限 lim (,y)→(0,2) sin y · · · · 注记 在二元函数极限的定义中,不要求函数在 P0 的 某个去心邻域有定义,只要求 P0 是定义域 D 的聚点. 定义 若 ∀δ > 0, ˚U(P) 内总有 E 中的点,则称 P 为 E 的聚点. .

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二重极限的运算法则

注记 二元函数的极限运算法则与一元函数的类似. 例 5 求极限 lim (,y)→(0,2) sin y · · · · 注记 在二元函数极限的定义中,不要求函数在 P0 的 某个去心邻域有定义,只要求 P0 是定义域 D 的聚点. 定义 若 ∀δ > 0, ˚U(P) 内总有 E 中的点,则称 P 为 E 的聚点. .

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多元函数的基本概念

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第一节

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多元函数的概念

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A

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多元函数的极限

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B

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多元函数的连续性

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C

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连续函数

定义 5 设 ƒ(,y) 的定义域 D 有聚点 (0,y0).如果 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续,或者称 (0,y0) 是 ƒ(,y) 的一个连续点. 注记 函数 ƒ(,y) 的不连续点 (0,y0) 称为间断点. 性质 1 二元初等函数在定 ···· 上总是连续的. .

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连续函数

定义 5 设 ƒ(,y) 的定义域 D 有聚点 (0,y0).如果 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续,或者称 (0,y0) 是 ƒ(,y) 的一个连续点. 注记 函数 ƒ(,y) 的不连续点 (0,y0) 称为间断点. 性质 1 二元初等函数在定 ···· 上总是连续的. .

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连续函数

定义 5 设 ƒ(,y) 的定义域 D 有聚点 (0,y0).如果 lim (,y)→(0,y0)ƒ(,y) = ƒ (0,y0), 则称 ƒ(,y) 在 (0,y0) 处连续,或者称 (0,y0) 是 ƒ(,y) 的一个连续点. 注记 函数 ƒ(,y) 的不连续点 (0,y0) 称为间断点. 性质 1 二元初等函数在定 ···· 上总是连续的. .

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二元函数的极限

例 6 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2) + y y . 例 7 求极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y . .

.

12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ

(45)

. .

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二元函数的极限

例 6 求二元函数极限 lim (,y)→(1,2) + y y . 例 7 求极限 lim (,y)→(0,0) p 1+ y − 1 y . .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ

(46)

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二元连续函数的性质

性质 2 若 ƒ(,y) 在有界闭区域 D 上连续,则有 1 它在 D 上有界,且能取得最大值和最小值. 2 它能取到介于最大值和最小值之间的任何值. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ

(47)

. .

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二元函数的间断点

例 8 找出下列二元函数的所有间断点: (1) ƒ(,y) = sin 1 2+ y2− 1 (2) g(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(48)

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复习与提高

复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域. y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ

(49)

. .

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复习与提高

复习 1 求二元函数的定义域并画出该区域. (1) ƒ(,y) = p 2+ y2− 1 +p4− 2− y2 (2) ƒ(,y) = ln( − y + 2) + ln(2 + y − 2) 注记 y > ƒ() 表示 y = ƒ () 的上方区域. y < ƒ() 表示 y = ƒ () 的下方区域. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ

(50)

. .

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复习与提高

题 1 设 ƒ( + y, − y) = y,求 ƒ (,y). 题 2 求极限 lim (,y)→(0,0) 2y2 2+ y2. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ

(51)

. .

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复习与提高

题 1 设 ƒ( + y, − y) = y,求 ƒ (,y). 题 2 求极限 lim (,y)→(0,0) 2y2 2+ y2. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ

(52)

. .

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复习与提高

题 3 说明极限 lim (,y)→(0,0) y + y 不存在. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒƒƒ ƒ

(53)

. .

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复习与提高

题 4 找出下面函数的所有间断点: ƒ(,y) =     sin1 y, y ̸= 0; 0, y = 0. .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒƒƒ

(54)

. .

.

复习与提高

选择 有且仅有一个间断点的函数为· · · ·( ) (A) y (B) + y (C) e−ln(2+ y2) (D) rctn(|y| + 1) .

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12 3 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒƒ

(55)

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多元函数的基本概念

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第一节

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偏导数

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第二节

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全微分

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第三节

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多元复合函数求导

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第四节

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隐函数求导

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第五节

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(56)

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偏导数

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第二节

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一阶偏导数

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A

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高阶偏导数

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B

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123 4 5 6 7 8 „ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(57)

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数ƒy(0,y0) = lim Δy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy 例 1 设 ƒ(,y) = y2,求 ƒ(2,1) 和 ƒy(2,1). .

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123 4 5 6 7 8 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(58)

. .

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 ƒ(0,y0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数ƒy(0,y0) = lim Δy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy 例 1 设 ƒ(,y) = y2,求 ƒ(2,1) 和 ƒy(2,1). .

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123 4 5 6 7 8 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(59)

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 ƒ(0,y0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数ƒy(0,y0) = lim Δy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy 例 1 设 ƒ(,y) = y2,求 ƒ(2,1) 和 ƒy(2,1). .

.

123 4 5 6 7 8 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(60)

. .

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偏导数

定义 1 设函数 ƒ(,y) 在 (0,y0) 某邻域内有定义, 如果极限 ƒ(0,y0) = lim Δ→0 ƒ(0+ Δ,y0) − ƒ (0,y0) Δ 存在,则称该极限为函数在点 (0,y0) 处对  的偏导,记为 ƒ (0,y0). 类似地定义函数在点 (0,y0) 处对 y 的偏导数ƒy(0,y0) = lim Δy→0 ƒ(0,y0+ Δy) − ƒ (0,y0) Δy 例 1 设 ƒ(,y) = y2,求 ƒ(2,1) 和 ƒy(2,1). .

.

123 4 5 6 7 8 „ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(61)

. .

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偏导函数

定义 2 设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对  的偏导数 都存在,则有对  的偏导函数 ƒ(,y) = lim Δ→0 ƒ( + Δ,y) − ƒ (,y) Δ 类似地,设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对 y 的偏导数 都存在,则有对 y 的偏导函数 ƒ y(,y) = limΔy→0 ƒ(,y+ Δy) − ƒ (,y) Δy 注记 在不至于混淆时,可把偏导函数简称为偏导数. .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(62)

. .

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偏导函数

定义 2 设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对  的偏导数 都存在,则有对  的偏导函数 ƒ(,y) = lim Δ→0 ƒ( + Δ,y) − ƒ (,y) Δ 类似地,设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对 y 的偏导数 都存在,则有对 y 的偏导函数 ƒ y(,y) = limΔy→0 ƒ(,y+ Δy) − ƒ (,y) Δy 注记 在不至于混淆时,可把偏导函数简称为偏导数. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(63)

. .

.

偏导函数

定义 2 设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对  的偏导数 都存在,则有对  的偏导函数 ƒ(,y) = lim Δ→0 ƒ( + Δ,y) − ƒ (,y) Δ 类似地,设 ƒ(,y) 在区域 D 的每一点对 y 的偏导数 都存在,则有对 y 的偏导函数 ƒ y(,y) = limΔy→0 ƒ(,y+ Δy) − ƒ (,y) Δy 注记 在不至于混淆时,可把偏导函数简称为偏导数. .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(64)

. .

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偏导函数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂, 或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(65)

. .

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偏导函数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(66)

. .

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偏导函数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y, 或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(67)

. .

.

偏导函数

对于 z = ƒ (,y),将 y 看为常数,对  求导,得到 z 对  的偏导数,记为 ∂z ∂,或 ∂ƒ ∂,或 z ,或 ƒ 对于 z = ƒ (,y),将  看为常数,对 y 求导,得到 z 对 y 的偏导数,记为 ∂z ∂y,或 ∂ƒ ∂y,或 z y,或 ƒ y. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(68)

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例 2 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 3 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 4 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(69)

. .

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例 2 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 3 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 4 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(70)

. .

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例 2 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 3 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 4 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(71)

. .

.

例 2 求 z = 2+ y + y2 的偏导数. 例 3 求 z = y 2− y 的偏导数. 例 4 求 ƒ(,y) = e2y 在点 (1,2) 处的偏导数. 练习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 23− 5y2+ 2y (2) z = rctn y .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(72)

. .

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偏导数的几何意义

.. z . 0 . Δy . y0 . Δ . . P . y . M0 . Q1 . Q . Q2 . P0 . M . M1 . M2 . T1 . T . T2 M0M1切线= M0T1 Q1M0T1 = α ƒ(0,y0) = tn α M0M2切线= M0T2 Q2M0T2 = β ƒy(0,y0) = tn β .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(73)

. .

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偏导数与连续性

例 5 说明 ƒ(,y) 在点 (0,0) 的两个偏导数存在,但 在点 (0,0) 不连续,其中 ƒ(,y) =    y 2+ y2, (,y) ̸= (0,0); 0, (,y) = (0,0). .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(74)

. .

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三元函数的偏导数

类似地,对于三元函数  = ƒ (,y,z),可以定义三个 偏导数 ∂ ∂∂ ∂y∂ ∂z. 例 6 求三元函数  = y2z3 的偏导数. 例 7 求三元函数 r = p2+ y2+ z2 的偏导数. .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(75)

. .

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三元函数的偏导数

类似地,对于三元函数  = ƒ (,y,z),可以定义三个 偏导数 ∂ ∂∂ ∂y∂ ∂z. 例 6 求三元函数  = y2z3 的偏导数. 例 7 求三元函数 r = p2+ y2+ z2 的偏导数. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(76)

. .

.

三元函数的偏导数

类似地,对于三元函数  = ƒ (,y,z),可以定义三个 偏导数 ∂ ∂∂ ∂y∂ ∂z. 例 6 求三元函数  = y2z3 的偏导数. 例 7 求三元函数 r =p2+ y2+ z2 的偏导数. .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒƒ„ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(77)

. .

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偏导数

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第二节

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一阶偏导数

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A

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高阶偏导数

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B

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ„ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(78)

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二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(79)

. .

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二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(80)

. .

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二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(81)

. .

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二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(82)

. .

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二阶偏导数

对 z = ƒ (,y) 的偏导数 z 和 zy 再求偏导数,就得到 四个二阶偏导数: (z ) = z ′′  ) = ƒ ′′  (z ) y = z ′′ y ) y = ƒ ′′ y (z y) = z ′′ y y) = ƒ ′′ y (z y) y = z ′′ yy y) y = ƒ ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ƒƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(83)

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例 8 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 9 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 定理 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续时, 两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = ln( − y) .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(84)

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例 8 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 9 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 定理 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续时, 两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = ln( − y) .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(85)

. .

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例 8 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 9 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 定理 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续时, 两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = ln( − y) .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(86)

. .

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例 8 求 z = 3+ y3− 3y2 的各二阶偏导数. 例 9 求 z = 2yey 的各二阶偏导数. 定理 当二阶偏导数 ƒ′′ y(,y) 和 ƒ ′′ y(,y) 都连续时, 两者必定相等. 练习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = 2y3+ esin y (2) z = ln( − y) .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒƒƒ  ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(87)

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二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(88)

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.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(89)

. .

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(90)

. .

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(91)

. .

.

二阶偏导数

z = ƒ (,y) 的二阶偏导数也可以这样表示: ∂ ∂z ∂  = 2z ∂2 = z ′′  ∂y ∂z ∂  = 2z ∂∂y = z ′′ y ∂ ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y∂ = z ′′ y ∂y ‚ ∂z ∂y Œ = 2z ∂y2 = z ′′ yy .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(92)

. .

.

复习与提高

复习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 2− y2 (2) z = rctn( − y) .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(93)

. .

.

复习与提高

复习 1 求下列函数的偏导数. (1) z = 2− y2 (2) z = rctn( − y) .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

(94)

. .

.

复习与提高

复习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = y2e−y (2) z = y cos y .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ

(95)

. .

.

复习与提高

复习 2 求下列函数的二阶偏导数. (1) z = y2e−y (2) z = y cos y .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒ

(96)

. .

.

复习与提高

题 1 设 z =y ƒ(t) dt,求 ∂z ∂∂z ∂y. 题 2 设 ƒ(,y) = 2y + (y − 1) rctn (/y),求 ƒ(1,1). .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒ

(97)

. .

.

复习与提高

题 1 设 z =y ƒ(t) dt,求 ∂z ∂∂z ∂y. 题 2 设 ƒ(,y) = 2y + (y − 1) rctn (/y),求 ƒ(1,1). .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒ

(98)

. .

.

复习与提高

题 3 判断 ƒ(,y) = p 2+ y2 (0,0) 是否连续, 以及偏导数是否存在. 题 4 判断 ƒ(,y) = ¨ 1, y= 0 0, y̸= 0(0,0) 是否连 续,以及偏导数是否存在. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒƒƒ ƒ

(99)

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复习与提高

题 3 判断 ƒ(,y) = p 2+ y2 (0,0) 是否连续, 以及偏导数是否存在. 题 4 判断 ƒ(,y) = ¨ 1, y= 0 0, y̸= 0(0,0) 是否连 续,以及偏导数是否存在. .

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123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒƒƒ ƒ

(100)

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复习与提高

题 5 设二元函数 ƒ(,y) =    y 2− y2 2+ y2, 2+ y2 ̸= 0; 0, 2+ y2 = 0. 说明混合偏导数 ƒ′′ y(0,0) 和 ƒ ′′ y(0,0) 不相等. .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒƒƒ

(101)

. .

.

复习与提高

题 6 求满足条件 ∂ƒ ∂y =  2 + 2y,ƒ (,2) = 1 的二 元函数 ƒ(,y). .

.

123 4 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ ƒ ƒ  ƒ ƒ ƒ ƒƒ

(102)

. .

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多元函数的基本概念

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第一节

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偏导数

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第二节

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全微分

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第三节

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多元复合函数求导

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第四节

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隐函数求导

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第五节

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1 234 5 6 7 8 „ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ  ƒ ƒ

(103)

. .

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.

全微分

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第三节

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.

全微分的定义

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A

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用全微分求近似值

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B

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1 234 5 6 7 8 „ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ „ ƒ  ƒ ƒ

(104)

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全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则 S = y. 如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy, 则面积 S 相应地有一个改变量

ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.

.

.

(105)

. .

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全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则 S = y.如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy, 则面积 S 相应地有一个改变量

ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.

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(106)

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全微分

例子 用 S 表示边长分别为  与 y 的矩形的面积,则 S = y.如果边长  与 y 分别取得改变量 Δ 与 Δy, 则面积 S 相应地有一个改变量

ΔS = yΔ + Δy + ΔΔy.

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參考文獻

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