0216 微積分解答

0216 微積分

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設 f (x)  2x2  8x  1，下列何者錯誤？ (A) f (x)有最小值 7 (B)在區間(  ,2)內，f (x)為遞增函數 (C) f (x)有最低點(2,  7) (D) f (x)有極小值 7 (E) f (x)在區間(2,)內的圖形為凹口向上 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 f (x)  4x  8 f (x)  4 令 f (x)  0  4x  8  0  x  2 以 x  2 代入 f (x)  f (2)  4  0 ∴ f (x)於 x  2 有最小值 f (2)  8  16  1  7 （ ）2. 5 (x4)(x2) dx



(A)1 7 ( 2) 7 x c (B) 6 1 ( 2) 6 x c (C) 7 6 1 ( 2) ( 2) 7 x  x c (D) 6 1 ( 2) ( 4) 7 x x c 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）3.若 f：  ， 2 ₆ 2 ( ) ₂ 5 2 x ax x f x _x x    _     _  ， ， 在 x  2 處連續，則 a  (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 函數 f (x)在 x  2 處連續 ∴ 2 lim ( ) (2) x f x  f ∵ 當 x→2 極限存在 ∴ x2 ax  6 必有 x  2 因式  22 2a  6  0，a  1 （ ）4.



1 2xdx  (A)1 3 (1 2 ) 3  x c (B) 3 1 (1 2 ) 3 x c    (C)2 3 (1 2 ) 3  x c (D) 3 2 (1 2 ) 3 x c    【龍騰自命題.】 解答 B 解析 令 u  1  2x  du 2 dx    1 2du dx   故 1 3 3 2 2 1 1 1 1 2 (1 2 ) 2 3 3 xdx u du u c x c          





（ ）5. 2



dt (A) 2x c (B) 2 c (C) 2tc (D)2 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 所求 2t c （ ）6.求 2 1 2 lim 1 x x x x     之值為 (A)不存在 (B)3 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）7. b4 a dx



(A)a  b (B)4 (C)2b  a (D)4(b  a) (E)b  a 【課本練習題-自我評量.】

解答 D 解析 b4 4 b_a 4( ) a dx x  ba



（ ）8.設 3 2f x dx( ) 5



， 6 3f x dx( ) 4



， 2 0g x dx( ) 2



， 0 6g x dx( )  8



，則 6 2[6 ( ) 5 ( )]f x  g x dx



(A)24 (B)20 (C)18 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）9.設 f (x)  x3 _{ ax}2 _{ bx 在 x  1 有極小值  3，則 b  (A)  5 (B)  2 (C)1 (D)3} 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）10.設 f (x)  (x2 _{ 2x)}6_{，則 f '' (1)  (A)8 (B)24 (C)36 (D)  12} 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 f ' (x)  6(x 2 2x)5 (2x  2) A B f '' (x)  A'B  AB'  30(x2 2x)4(2x  2)(2x  2)  6(x2 2x)5 2  30(x2 2x)4(2x  2)2 12(x2 2x)5 ∴ f '' (1)  12 （ ）11.f (x)  2x3 _{ 3x}2 _{ 12x  11 之相對極大值為 M，相對極小值為 m，則 M  m  (A)27 (B)24 (C)18 (D)9} 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）12.設 f (x)  x2  x  1，則 x 由 2 到 5 的平均變化率為 (A)2 (B)5 (C)8 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）13. 1 2 3 3 1 1    _  _    



dx x x (A) 2 9 (B) 1 3 (C) 4 9 (D) 5 9 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 所求





1 1 _{2 3 1 2} 3 3 1 2   _{   }        _  _  



x x dx x x 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 3 18           _{ }  _{  }  _  x x      2 9  （ ）14.設 an（n  1，2，3，…）為一等比數列，若 1 9 2 n n a   



， 2 1 81 8 n n a   



，則 3 1 n n a 



之值為 (A)13 3 (B) 14 3 (C)5 (D) 16 3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 an arn  1  an2 a2 r2n  2 9 1 2 a r   2 2 81 1 8 a r   得 9 1 4 a r   得1 1 1 2 r r     1 3 r 代入 得 a  3 3 3 1 1 1 1 1 13 3( ) 3 1 3 3 3 n n n n a        





（ ）15.讓一皮球自離地面 16 公尺高處之窗口落下，此球每次反跳高度為原落下時的3 5 ，則此球離開窗口起算至靜止於地面為止，總共 的運動距離為 (A)64 公尺 (B)56 公尺 (C)48 公尺 (D)40 公尺 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 ( 16 ) 16 64 3 1 5     （ ）16.f (x)  x4 _{ 4x}3_{圖形的凹口方向為 (A)(   , 0)向下 (B)(0 , 2)向上 (C)(0 , 2)向下 (D)(2 , )向下} 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）17. 2 lim | | x x  (A)  2 (B)0 (C)2 (D)不存在 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）18.設 f (x)  x3 _{ 6x}2 _{ 9x  1，則下列何者錯誤？ (A) f (x)在 x  2 處有反曲點 (B) f (x)在開區間(1 , 2)之圖形為遞減 (C) f (1)為相對} 極小值 (D) f (x)在開區間(2 , 3)之圖形為上凹 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）19. ₂ 6 2 17 5 lim 7 6 6     _   _{  }    x x x x x x 的值為 (A) 9 5 (B) 8 5 (C) 7 5 (D) 6 5 【隨堂講義補充題.】 解答 B （ ）20.下列的極限，何者錯誤？ (A) 2 ₂ lim 3 4 n n n n    不存在 (B) 5 lim 0 4 3 n _n  (C) 4 3 lim 2 2 1 n n n   _  (D) lim4n n4 【隨堂測驗.】



















2 6 6 2 17 5 1 4 12 lim lim 1 6 1 6               x x x x x x x x x x x













6 6 2 6 2 6 2 8 lim lim 1 6 1 6 1 5               x x x x x x x x 解答 D 解析 (D)lim 4 n n （不存在） （ ）21.設

 



2



2



3 1 3 5      f x x x x x ，則f

 

1  (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 f ' x

 





x2 3x 1

 

 x2  3x 5

 

x2 3x 1



x2 3x 5











2

 

2







2 3 3 5 3 1 2 3  x x  x  x  x x  f '

  

1  2 3 1 3 5



    

 

1 3 1 2 3







10 （ ）22.試求 y  x 及 y  x3_{二圖形所圍區域的面積？ (A)}1 8 (B) 1 4 (C) 1 2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 y  x 及 y  x3的交點為(  1 ,  1)，(0 , 0)，(1 , 1) 所圍成的區域面積為

1 ₃ 1|x x |dx  



0 1 0 1 3 3 3 3 1|x x |dx 0|x x |dx 1( x x dx) 0(x x dx)   

_

 

_

 

_

  

_

 0 1 2 4 2 4 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2x 4x  2x 4x 2       （ ）23.下列的極限，何者不存在？ (A)lim3 2 5 n n n n  (B) 3 10 lim 5 n_n (C) 2 0.1 3 lim 99 8 n n n    (D) 3 cos( ) lim 1 n n n    【隨堂測驗.】 解答 C

解析 (A)lim3 2 lim[( )3 ( ) ]2

5 5 5 3 2 lim( ) lim( ) 0 0 0 5 5 n n n n n n n n n n n             (B) 3 10 lim 0 5 n_n  (C) 2 0.1 3 lim 99 8 n n n      （不存在） (D) 1 cos(n3) 1 3 1 cos( ) 1 1 1 1 n n n n         ∵ lim( 1 ) lim 1 0 1 1 n _n n _n      ∴ 3 cos( ) lim 0 1 n n n     （ ）24.已知a、 b 為實數，若過函數_{f x( )}_ax2_{bx圖形上一點 (1,5)} P 的切線斜率為 3 ，則 f(2) (A) 3 (B) 1 (C)1 (D) 3 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ 點P(1,5)在 f x( )的圖形上 ∴ 2 (1)      1 1 5 f a b a b f x( )2ax b ∵ f x( )的圖形上一點P(1,5)的切線斜率為3 ∴ f(1)2a  1 b 2a b 3  ：a 2 2   a 代回 ：  2 b 5  b7 則 f x( )       2 ( 2) x 7 4x 7 故 f(2)     4 2 7 1 （ ）25.由 2 1 2 2  x   y x ，y1和x0所圍成的區域，如圖陰影部分，則此區域面積可由下列何式求得？ (A) 2 1 0 1 ( ) 2 2   



x x dx (B) 2 1 0 1 ( ) 2  2



x x dx (C) 2 1 0 1 ( ) 2 2   



x x dx (D) 2 1 0 1 ( ) 2  2



x x dx 【104 年歷屆試題.】

解答 D 解析 2 1 2 2  x   y x 與y1的交點坐標為(1,1) 在區間[0,1]上， 所求面積 2 1 0 1 [1 ( )] 2 2 



 x  x dx 2 1 0 1 ( ) 2 2 



x  x dx