扩散限制聚集模型
方
芳 刘俊明
( 南京大学固体微结构国家实验室) 关键词 扩散有限凝聚 分形 Laplacian 生长 保角映射 DLA 模型以极其简单的算法模拟了复杂的无序形态, 很快被视为描述远离平衡态生长的主要范例 .本文综述了 对该模型分形形态和物理机制方面的研究工作, 着重讨论了近年来一些理论框架建构的新进展.一
、引言
自从 T .A .Wit ten 和 L .M .Sand er 于1981 年[ 1]提 出了 DLA 模型来模拟凝聚体的生长行为后, DLA 模型 令人惊讶地以其极简单的算法模拟了复杂的无序形态. 它是在人们对分形研究逐渐重视时, 很快被视为描述远 离平衡态生长的主要范例.20 多 年来, 人们对它的研究 兴趣仍 旧不 减, 一 方面, DLA 模 型已 被广 泛应 用 于物 理、生物和许多其他领域中 ;另一方面, 因为没有一个系 统的理论框架解释 DLA 模型中这种远离平衡且非局域 的生长形态, 所 以它还 蕴涵 了一个 理论 方面 的重 大契 机.创始 人之 一 San der 曾 经总 结 过 DLA 的研 究 意义
为:① 模型用极其简 单的算法抓住了广泛的 自然现象 的关键成分却没有明确的 物理机制.② 通过 简单的运 动学和动力学过程 就可以产生 具有标度不变 性的自相 似的分形结构, 从而建立分形理论和实验观察之间的桥 梁, 在一定程度上揭示出实际 体系中分形生长的机理 . ③界面具有复杂的形状和不稳定性的性质, 生长过程是 一个远离平衡的动力学过程, 但集团的结构却有稳定且 确定的分形维数.一方面, DLA 模型已被广泛地应用在 物理、生物和许多其他领域中 ;另一方面, 因为没有一个 系统的理论框架解释 DLA 模型中这种远离平衡且非局 域的生长形态, 它还蕴涵了一个理论方面的重大契机 .
二
、对 DLA 分形形态的研究
上世纪 70 年代以后, B .B .Man delbrot 对分形理论 进行了深入广泛的研究, 解释了局部与整体之间的标度 关系, 揭示了自然界里众多分形 现象的本质, 对物理学 的研究产生了 深远的影 响.D LA 模型 提出时正 值分形 理论研究十分热门, 又因其由简单的算法得到纷繁复杂 的分形图样等独特之处, 很快成为分形理论中最为人们 重视的生长模型之一.人们直观地将大量研究工作的重 心放在分 形形态等几何特征上, 随着工 作的进展, 开始 真切地体会到其内在的复杂性和长久的研究生命力, 新 的研究总是能得到与已有结论相互矛盾的结果, 从而不 断推动研究向更深层次和更广阔的方向发展. 1.分形维数和多重分形谱 首先是确 定分形维数, 主要采用了“ 标度窗口”, 密 度相关函 数, 质量 特 征长 度 的标 度 关系 等 分 析方 法 . Meak in[ 2]利用上述 3 种 方法系统地研究并确定 了空间 维数在 2 至 6 之间的 DLA 集团的分形维数, Tokuyama 和 Kawas aki 利用平均场理论推导出解析表达式表述空 间维数与分形维数间的关系.这一期间的模拟为计算机 内存量所限制, 总粒子数都是小于 104 , 得到的结果都表 明分形维 数具有普适性, 只与空间维数 有关, 而与集团 尺度和晶 格形式无关.但是, 随着计算水 平得到提高和 效率更高 的计算方法, 模拟中总粒子数 的增加, 在晶体 点阵生长的 DLA 集团表现出明 显的各向异性, 有无晶 体点阵和晶体点阵的不同对分形维数有很大的影响. 研究表明, DLA 模型的 生长主 要取决于 其生 长前 沿部分的“活跃区域”[ 3], 在模型中引入各种条件后会造 成这一活跃区域生长条件的变化, 即表面粘接概率也即 生长几率发生了多重分形变化.多重分形[ 4]这个概念适 用于仅用一个取决于 整体的分形维 数不能完全 描述的 奇异几率分布的形式, 或者用一个谱函数描述分形体不 同层次的生长特征, 从系统的局部出发来研究其最终的 整体特征.集 团的结构具有稳定且确定 的分形维数, 生 长界面却有不稳定的多重分形变化, 这些理论的出现为 整个分形理论带来观念上的革新, 也成为 DLA 的根本 特征, 在新的理论提出时都要就多重分形的实现情况和 其对最终形态的影响进行研究以验证该理论的合理性, 如尖端竞争生长理论[ 5]和最新的保角映射理论[ 6] . · 200 ·2.自相似性 在初始的 DLA 模拟工作 中, 人们普遍认 为得到的 生长样貌是具有自相似性的, 因为相应的生长体的半径 和粒子总数能很好地符合幂律定理, 但是并没有直接的 证据来证明这个猜测, 而一些后期工作也发现了模型中 不符合自 相似性 的特征.Plischke 和 Racz 研究活 跃区 域, 即生长前沿时, 在大量的实验数据上作出统计分析, 决定分形维数的回转半径和生长区域的展宽( 统计方差 值) 随着粒子数增 加逐渐减小 的程度是不 同的, 确切地 说就是如果:rg ～ Nν, ν=1/D , D 为分形 维数 ;ξN ～ Nν′, 其中 ξN表征生长区域的展宽, 两者之间满足 ν′<ν 的关系, 而自相似系统中 rg 和ξN 应 为一个固定的比例 关系, 即 ν′= ν.针对这个问题, 有两种相反的结论, 一 方[ 7]指出, 随着模拟尺度的增加, ν′会随着 N 而增大, 应 该存在随着模拟尺度增加仍会呈现自相似形态的趋势. 可另一方却就此得出了相反的结果[ 8] :使用效率更高的 算法, 不断增加模拟生长体的尺度, 直至 N 107 , 相应 的统计数据仍然得不出 DLA 结构是自相 似性的结果 . 尽管如此, 许多权威研究者仍 然坚信 DLA 结 构应该是 自相似的, 而目前这种多种特征长度( 或分形维数) 是有 限尺 度效应造成的, 虽然尺度在 不断增加, 模拟中的粒 子数仍远远小于真实的体系( 106 102 0 ) , 而其真实的渐 进形态被噪声等扰动因素 掩盖了.最近 1 ～ 2 年的工作 中[ 9], Ball 和 Bowler 分析了不 同噪声 抑制程度 对生长 体形 貌的影响:在噪声抑制得比 较好的情况下, 尺度较 小的团簇就已经体现出晶格效应, 而在没有抑制噪声的 情况下, 这种效应只出现在较大( N 106 ) 尺度上 .因 此他们做出了抑制噪声能够去除有限尺寸效应的推测, 构造剧烈抑制噪声的 DLA 模 型, 分析其回转 半径和生 长区 域展宽, 确定两者趋于一致 的渐进性, 认为这体现 了真实团簇尺度下, 即去除有 限尺寸效应后 DLA 结构 真实 的统一分形维数.此外, 另一个 近几年兴起的解析 性理论工作———保角映射, 也 用来分 析这个问 题, 并确 认这个观点[ 6] ———DLA 结构具有统一的分形维数和特 征长度.随后, Ball 等人[ 10]又从纯粹 统计的角度解释了 早期工作中的不同 分形维数是 来源于统计分 布的修正 因素, 进一步确定了 DLA 是具有自相似性的结构 .
三
、D LA 物理机制的研究
Wit ten 和 Sander 提出 DLA 模型 最初的目 的是模
拟悬浮在溶液和大气中的金属粉末、煤灰和烟尘等微粒 由无规则行走达到生长体表面的凝聚过程, 扩散是其中 起主导作用的生长动力, 但从其实现的算法却看不出具 体的物理机制.同时, 以扩散作用为主要生长动力学, 生 长形态类似 DLA 的生长过程在 自然界是普 遍存在的, 探求 DLA 的物理机制和找寻一个普适的理论框架具有 重要的理论和实际意义, 有助于实现对实际体系中分形 生长的控 制, 如在胶体悬浮系统中的沉 积过程 、枝晶生 长以及各种聚合过程.然而, 迄今为止, DLA 模型仍没有 统一的、普遍接受的微观理论来解释生长的物理机制 . 1.具有类似 DLA 结构的实际系统 长久以来, 大多数科学研究者寄希望于将分形理论 用于解释许多繁复的非线性现象, 真正建立从理论到实 际系统之间的桥梁。根据形态的 相似性, 将 DLA 模型 广泛地应用于各个领 域模拟各种生 长过程和形 态选择 结果, 如 :除了经典的黏滞性液体互溶时的指印现象[ 11] ; 电化学沉积物形态[ 12]和 枝晶生长形态[ 13] ;还有 使用分 子束外延方法(MBE) 生长晶体时, 相应的微粒经过高真 空落在 衬底或已经沉积的岛状核 上, 在温度不太低时, 在一定的温区中, 微粒的表面扩散作用使其不选择落在 已沉积的 岛状核顶部, 而倾向于沉积在 核的边缘处, 得 到非常类似于 DLA 的稀疏结构[ 14] . 将目光转向生物学领域, 也发现很多生长形态有选 择类似 DLA 凝聚体图样的趋势, 在 通常的用皮 氏培养 皿( Petridishes) 培养 细菌的实验 中, 菌群都是由 生长点 逐步向外 扩散 的, 基本 呈现圆 形的 边缘, 但 Mats ushita 和其同事在培养枯草杆菌的实验中, 减少细菌生长的养 料( 如蛋白胨)供给, 菌群的生长形态出现了 DLA 图样, 见图 1( 具体培养的是另一种菌群) .除此之外, 生物学范 畴内还有很多分枝形态类似 DLA 结构的, 如 Family[ 15] 等人测量了视网膜内的血管的分形结构, 发现其非常类 似 于DLA形态 ;Fleury和Schw artz[ 16]提 出一 个模 拟胚
图 1 Paenibacillus 菌群, 在硬琼脂上, 降低养料供给的条件下生 长.图样的跨度大致为 10 cm
胎的血液循环系统形成的模 型, 得出非常类 似 DLA 结 构的图样. 具体工作 中, DLA 模型和 在其基 础上变化 的模型 被设计用来模拟一些特定的生长过程, 这些模拟都建立 在这样的假设上:相同的生长形态都是来源于相同的物 理机 制, 生长动力学过程 .模拟的目 的是为了通过对模 型和模拟参数的调整指导实验条件和参数的改进, 实现 人工控制和优化实际系统.但事实上, 由于 DLA 模型自 身物理机制不明, 是缺少合理的物理根据来作种种类比 模拟 的.简单地说, 虽然都得到非常 类似实验和实际系 统的形态, 但其中有一些模型与真实的物理过程之间的 联系是比较牵强甚至没有什么根据的, 是没有严格的物 理意义的.这也是目前模型模拟在分形理论以及更多理 论研究工作范围内的通病, 不能明确模型本身的物理意 义, 用复杂的数学方法得到的模拟结果并不能很好地指 导实际物理过程. 但是, 这种现象也有一 个有益的 副作用, 催 化了许 多相关学科的研究力度, 例如 DLA 模型模拟 电化学沉 积过 程的工作, 促使很多物理 、化学 研究者意识到相关 物理和电化学机理方面的现有理论是贫乏的, 激发了他 们对该学科自身的研究兴趣, 俨然催生了一个新兴的分 支学科.Roberts 和 Knackstedt 等人 有目的性地详细研 究了电化学沉积的物理化学动力学过程.对于这些学科 本身, 从某种程度上也有了进一步工作的目标和更大的 利益期望( 反作用于理解 DLA 过程) .这样一个“非常成 功”的应用范例也体现了非常深厚的物理思想和科学自 身的无穷魅力. 2.理论工作方面的新进展 ( 1) 重整化群理论
Wit ten 和 San der 在最初的 文献中提及 过, 应该用 重整化理论来分析 DLA 过程, 就像其曾经成 功地应用 于解释场论问题和相变等临界现象.最直接的方法就是 实空间重整化 方法, 其 中重 点是重 整化 的有 效噪 声振 幅, Ball 和 Barker 作了很多工作表明该幅度值缓慢的趋 于某一个固定值.Piet ron ero 等人[ 17]提出一个相关的理 论———固定尺度转变( 实空间方法) , 即在完整求解小尺 度系统的基础上, 根据具有标度不变性动力学过程的假 设和从相应解得到的有关参数, 推测更大尺度系统的动 力学行为.但至今该理论都没有能够取得令人满意的结 果, 就像其曾经成功地应用于解释场论问题和相变等临 界现象.因此, 人们也尝试了许多新的理论和思想方法 . ( 2) 分枝生长理论 D LA 生长算法规定每一个粒子都是粘附生长在已 有的团簇 的一个确定粒子上, 且结构呈 现分枝状, 没有 回路成环 的部分, 总是存在分叉处, 也即 可以任何尺度 划分“父枝” 和“子枝” 的分级层 次结构 .针对这 些分枝 结构, Halsey 和 Leibig[ 1 8]提出一个半唯 象理论将 DLA
的生长机制解释为生 长体尖端不断 分叉和分叉 间的生 长竞争演化过程:分叉的两个子枝( 由于在 DLA 结构中 有超过两个分枝的分叉是非常罕见的, 可以忽略) 在初 始时刻各自的粒子数和生长几率存在随机的区别, 致使 在随后的竞争中总有 一个取得明显 的生长优势 并充分 抑制另一个分叉.通过将其转化为相空间中相应参数的 运动过程, 可 以得到对分叉生长过程的 解析描述 .使用 的参量有: 1) 两个子枝的粒子数分别为 n1, n2, 整个分叉的总 粒子数为 nb=n1+n2, 定义一个相对比值:y =n1/nb; 2) 下一个产生的粒子生长在两个子 枝上的几率分 别为ρ1, ρ2, 生长在整体分叉的总几率为 ρb = ρ1+ ρ2, 定义一个相对比值:x =ρ1/ ρb.对于粒子数为 n 的生长 体来说有:d n1/d n = ρ1.依此可以推导出 : dy dln nb = x -y ( 1) 方程 仅 为 x , y 的函 数, 也 可相 应 地 转 化 为 dx/ d( lnnb) =g ( x , y ) 的函数形式, 用相空间分析语言来说, 相的流动即分枝的生长演化过程可用函数 g ( x , y ) 来描 述.根据对称性, g ( x , y ) =g ( 1 -x , 1 -y ) , ( x , y ) =( 1/ 2, 1/ 2) 必为一个不动点 ( 鞍点) , 而从物理图像 来说, 这 个不动 点是双曲的:初始分叉时应为 两个等价的分枝, 微观噪声造成的差别是很细微的, 在相空间 ( x , y ) 中都 分布在点( 1/ 2, 1/2) 附近, 分枝继续生长, 直至其中一个 赢得竞争且充分屏蔽了另一个的生长, 在相空间中两分 叉沿着一定的轨迹 分别运动到达( 0, 0) , ( 1, 1) 点, 相应 的曲线是 通过鞍点( 1/2, 1/ 2) 的不稳定 歧枝 .关键在于 找出 dx /d( lnnb)函数的具体形式, 也就能确定描述相流 动的不稳定歧枝的形态, Halsey 等人使用了很多数学技 巧和平均场等近似处 理得到界面生 长几率值变 化形式 和具体的 非线性方程, 并用数值方法进 行求解 .该方法 得到的结果与 DLA 结构的分形维数和相应的尺度规律 吻合, 还通过 引入不稳定歧枝的形态的 变化[ 5], 得到多 重分形维 数和相应的谱的波动.该理论 的思想是:分枝 的生长趋势是由更小尺度的微观细节决定的.有人认为 该理论仍有不足之处, 如忽略了各种力作用间的相互影 响, 不同分枝 之间的相互作用, 而且这个 以分析结构特 点为基础的唯象理论 本质上缺乏对 微观生长驱 动力和 相互作用的解析, 没有改进理论模型或进一步发展系统 性理论的空间. · 202 ·
( 3) Laplacian 生长和保角映射理论 另一方面, 由 于 DLA 模型 的解释始终缺 乏完整的 理论, 许多研究工作转向发展一 些变形的模型上, 以期 望这些新的模型从理论上更容易被解析, 并能在过程中 提出一些能推 广到 标准 DLA 模型 的思 想方法 .同时, DLA 中非局域参量的空间相关性满足具有变动性边界 条件的 L aplace 方程的描述, 扩散粒 子的浓度也可以用 Laplace 方程来描述 .人们很自然地将 Laplacian 生长和 DLA 凝聚过程联系起来 . 在经典的连续生长极限下, 通常用 Stefan 方程来描 述有限扩散条件下理想化的结晶 过程, 浓度为 u ( r , t ) 的粒子在过饱和溶液中扩散直至遇到晶核, 遵从扩散方 程: u/ t = D 2 u ( 2) D 为扩散系数, 界面法向生长速度与其界面通量成正比 u/ n ∝νn, 如果用特定方向的生长速度表征相应的通 量: u/ t ∝ν u/ x , 扩 散 方 程可 写 成 :| 2 u |∝ ( ν/ D) | u / x |的形式 .而在 DLA 模拟中, 每步只释 放一个粒子, 速度为零, 扩散方程退化至 L aplace 方程 : 2 u =0 ( 3) 显然, 可以用 Lapl ace 方程和适当的 边界条件来描述扩 散中随机行走的粒子碰到生长体外围的几率, 进而表述 凝聚体的生长 过程 和形态, 因而这 种生 长方 式也 称为 Laplacian 生长, 理论 上 可以 用弛 豫法 来 解这 个 方程 . Pietronero 等人提出了一个模拟生长的模 型, 类比界面 生长速度, 设定粒子在界面的生长几率为 : Ps ∝ u / n ( 4) 根据式(3 ) 和( 4) , 作出的模拟得 出类 DLA 凝聚体的图 样. 对 Laplacian 生 长 ———DLA 生长 的变形 做进 一步 分析, 可以发现 其具有 至少 两个很 有吸 引力 的研 究意 义: 1) 大部分的 现代 DLA 理 论发展 都认为要 借助于 将不连续的粒子式生长和连续极限下的 Laplacian 生长 两种 不同模式互相借鉴, 融会贯 通, 才能够得到更加普 适的生长模型.
2) Wit ten 和 Sander 在 最 初 的 文 献 中 提 到 的, Laplace 方程可用来求解静电场问题, 如静电击穿, 若 u 表征被击穿的绝缘体内静 场电势, 式( 4) 即可 表现电离 区表面进一步击穿的可能性与该处的电场强度成正比. Piietribero 等人总结了各种描述静电击穿的情况下生长 几率为: Ps ∝[ u/ n]η ( 5) η表征了击穿特征的非线性程度, 当 η=1 时, 即为经典 的 DLA 图样 .我们即可用周围 静电场( 调和测度, H ar-monic Measure) 的形式来表征生长体生长环境, 并以此 分析生 长几率和相应的多重分形 特性, 决定生长形态 . 针对 Laplacian 生长问题, Has tin gs 和 L evitov[ 19]首次提
出用经典的保角映射 来求解 Laplace 方程, 引起研究者 极大兴趣, 且 被认为目前最有价值的理 论方向, 很有可 能得到完整解析理论的方法, 发展前景可观 . 保角映射法解决问题的基本思想是:通过解析函数 的映射将 Z 平面 上具有复杂边界条件的 边值问题变换 到 w 平面上具有简单边界形状(单位圆)的边值问题, 而 后一问题的值是比较容易解决的, 然后再通过逆变换的 方法求原 问题的解.特别适用于分析平 面场问题, 例如 静电场的问 题, 由前 文可知, Lap lacian 生长 中, 生 长体 可视为复空间 z 中的接地电导, u 为电势, 边界 条件为 无穷远处( r※∞) u =ln( r ) /2 π且界面处 u =0, 界面上 某点的生长几率与该点电量 u 成正 比 .构造一个复 电势 u = Re( Χ( z ) ) , 根据基础静电 学可知, 若假设凝 聚体 为 半 径 r0 的 二 维 圆 盘, 电 势 即 为 Χ( z ) = ln( z / r0) , 并可定义一个新的函数 :h( z ) =eΧ, 考虑到 从远处看任何形状的 凝聚体都可将 其等效为一 个小圆 盘, 所以 z 较大时 h 为线性, 且圆盘上 u = Re( Χ( z ) ) =0, 所以有 h =1 .此时, 我们可将 h 视为凝聚体边界 形态到单位圆边界形态的保角映射, 定义 w =h ( z ) 为一 个数学意义上的新空间, 而其逆变化 Z ( w ) 即为 w 平面 内单位圆边界到 z 平面内的 DLA 凝聚体形态的保角映 射, 且相应的在 w 增大时, 函数为线性 趋于 Z ～ r0w. 对于 w 平面内的单位圆来说, 解 Laplace 方程时有如下 关 系式:| u |∝|d Χ/d z |=|d h/d z |=1/ |d Z/dw |, 生长几率即为 1/ Z′ ,单位圆上的突起大小 dθ和 z 平面弧长 ds 以该同样的几率产生 . 这个理论重点在于可将 求解具有复 杂分形边 界的 Lap lace 方程来确定生长几率和形态选择的生长过程转 化为求解 w 平面内具有规则边界的 Lapl ace 方程, 而后 一种问题是 比较 容易解 决的, 再 通过 逆变换 回到 z 空 间, 确定每 一步新粒子的生长几率和 新凝聚体的形态 . 关键在于寻找适当 的保角映射, 为 此 Has tin gs 和 Levi-tov 提出一种 递归方 法, 假 设已知 某一 步的 保角 映射 : ZN-1, z 平面再有一 个粒子粘附 在凝聚体上时, 看作其 表面增加一个面积为 λ0的泡状凸起, 在 w 平面内将一 个单位圆变化为一个带有面积为λN = λ0/ |dZN -1/dw |2凸起的圆, 用函数 λ N, θN( w ) 表示( 以角度 θN 随机分 布在单位圆上) , 保角映射 ZN( w ) 即递归为 ( 见示 意图 2) : ZN( w ) = ZN -1( λN, θN( w ) ) ( 6)
图 2 Hastings-Levitov 保角变换图, 保角映射 ZN将w 平面的单 位圆变化为 z 平面N 个粒子的凝聚体, 当单位圆经过 Υ变为带 凸起的圆时, 也即下一步的保角映射为 :ZN+1 = N( Υ( w ) ) , 其 中凸起的面积需经过文中所提的方法进行变化 图 3 显示的即 为一个用此 方法模拟得到 的凝聚体 形貌. 该递归方法很精巧, 但计算量太大, 运行很慢, 生长 一个 N 个粒子的凝聚体, 需要 N2量级的步骤( 见图 3) , 对计算工具要 求较 高.一种 改进 方法[ 6]采取 取样 的原 理, 即对电势和生长几率取样, 使用经典的 DLA 方法生 长, 但从一些特定的粒子数开始如第 N 步, 记录 M 个粒 子生长在凝聚体上的位置, 得到点集 zm, 映射到 w 平面 角度为:θm ≈2π( m/ M ), 得到保角映射 Z( θm) . 最近几年, 很多理论工作者都致力于应用这个理论 解析地分析 DLA 中一些长期争论的问题, 如证明 DLA 结构具有统一的分形维数和特征长度[ 6] .并将其应用于 模拟更多类似 DLA 生长 、Laplace 生长的 相关模型, 如 式( 5) 中所界定的 各种静电场 击穿现象, 得到 了一些很 有意 义的新观点, 取得具有开拓 意义的新结论 .明确了 DLA 生长过程 与 Laplacian 生长间 的区别 :DLA 是由 固定尺寸的粒 子一个接一个 的凝聚生长, 而 Laplacian 生长则是边界 点平行的向生 长区域推进, 以 Laplacian 场梯 度成比例的一层层生长.这 种区别是根本性的, 来 源于 不 同 的 生 长 动 力 学.同 时, 此 前 人 们 一 直 认 为 Laplacian 生长图 样是具有分形 维数的, 这是 因为传统 的数值模拟和实验 方法都没能 得到足够尺寸 的图样来 获取可信的维数值, 而使用保角映射的方法把 w 平面内 层状叠加的带有凸起单位圆转换为层状的 L aplacian 生 长, 可以模 拟出足够 大的 生长体 .据此, Barra 和 Davi-dovitch[ 20]等人首次提出这两种生长方式不属于同一个 普适类, 且确定 L aplacian 生长具 有比 DLA 更高 的维 数.George 和 H entsch el[ 21]更进一步提出了用两个参数 β ( 粒子的尺度) 和 C ( 每步生长新的一层对生长体的覆 盖程度) 来划分不同生长系统, 并构造了相图, 其中存在 两个区域———分形图样和非分形图样, 而 DLA 生长 ( β =0, C =0) 和 Laplacian 生长 ( β =2, C =1) 分属两 相.这样看来, 在解析 L aplacian 生长机制的基 础上, 理 清其与 DLA 之间的区别何在, 就有 可能得到系 统的解 析性微观理论来解释 DLA 生长的物理机制 .当然, 该理 论发展还处于初始阶段, 有待进一步完善改进 . 图 3 由 Hastings-Levitov 方法产生的凝聚体形态, 图样的轮廓 由单位圆的边界构成, 由放大图可看出凸起和粒子生长点
四
、 结论
DLA 这样一 种理论研 究的方 式, 是当我 们不 能得 到描述非平衡生长体系方程的解析解时, 尝试用简单的 算法描述这样的生长过程, 有时候这种方式比渐进的求 解数值解反而更具物理的直觉.且 20 年来, 尽管对 DLA 模型本身理论基础不明, 但这个模型本身为解释更多范 围内自然现象提供了新的方向, 也促进其他相关课题的 进展.当然, 对于 其内在的物理意义和理 论框架的探求 也是 DLA 模型一个急需解决的 瓶颈, 真正实现 理论和 模拟结果指导实验, 这将是分形物理学期待已久的重大 突破. (2004 年 3 月 20 日收到) 方 芳 研 究 生, 南 京 大学 固 体 微 结构 实 验 室, 江 苏 南 京 210093 刘俊明 教 授, 南 京 大 学 固 体 微 结 构 实 验 室, 江 苏 南 京 2100931 Wit t en T .A ., Sander L .M .Phys .Rev .Let t ., 1981 ;47 : 1400
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Diffusion Limited Aggregation Model F ang Fang①, Liu Jun-ming②
Laborat ory of Sol id St ate Micros tr uct ures , Physi cs Depar t men t , ① Grad uate st uden t , ② Pr ofessor , Nanjing University , Nanjing Ji angsu 210093
Key words diffusion-limited aggregation , fractal, Laplaci an growt h, con form al m ap ping
