高中數學科差異化評量—高一第一學期第二次定期考

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高中數學科差異化評量—

高一第一學期第二次定期考

李政豐* 曾政清李吉彬* 蘇麗敏

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*國立竹南高中數學教師 **臺北市立建國高中數學教師 ***國立臺中一中數學教師 †臺北市立北一女中數學教師面臨十二年國民基本教育的實施，在高中教學現場第一線的數學教師們，受到的影響最大也最直接，特別是面對免試入學比例提升，同一學校內的學生，可能在數學上的先備知識與能力，甚至是對數學的學習興趣與熱情上皆有所差異；因此除了課堂上的教學模式、教學方法外，針對學生差異所設計的評量試題也是大家非常關注的一環節。特別是 99課綱已實施三年多，各校在這段期間，都已經有了新課綱數學定期考試題的出題經驗，包括有許多各校教師精心設計的題目，能使得高中數學的教與學皆有所精進_{。數學學科中心試題研發小組為擴充高中數學教學資源，} 廣邀全國各高中上網分享定期考試題，兩年來學科中心並依據學校持續隨機抽樣 20 所學校，邀請學者專家、第一線高中教師與種子教師，分年級與定期考挑選優良定期考試題，供教師們參考，透過拋磚引玉，讓各校試題能有良性交流與相互切磋的舞臺，並使得試題品質可以更上層樓。如今配合差異化教學的實施，命題教師更需要將各種學習表現學生的適度評量納入考慮。因此要_{命一份對所有同學難易適中並具有鑑別度的試題便成了一} 項既重要又有挑戰性的任務。特別是所_{需考量的因素變得更為多元，除命題範} 圍、配分方式、考試時間外，難易度、辨別度、平均成績…等等皆是考量的重點_{。考量各校的校情各有差異，及試卷的題型或難易度等的整體因素，試題研} 發小組乃將焦點擺放在試卷的整體設計上。結合原有各定期考所推薦基礎觀念的重要考題、新穎創意考題設計外，並配合現階段大學學測與指考數學考科的重要試題加入其中。配合敘述一致性，部分試題有作一些敘述的些微修改或選項的更動加以彙編。我們建議針對基礎及精熟級所占學生比例作適宜的選題組合，至於待加強級則可以考慮課堂上所使用各版本課本的例習題為主要的命題參考依據。　　本次所選出的參考試題大致為高一第一學期第二次定期考的範圍。

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2.2.2 多項式除法的運用　基礎級試題 2.2.2 多項式除法的運用精熟級試題　 1. 設 5 4 3 2 ( ) 9 16 17 10 f x x  x  x  x  x k , k 為實數，且 f(7) 5 ，則k________ __。參考答案：82 2. 設 4 3 2 ( ) 1 f x ax bx cx dx ，若 5 a c  , b d 3，則 f x( )除以 2 (x 1) 的餘式為。參考答案： 3x6 3. （單選）若 3 2 ( ) 2 2 f x x  x  x ，則多項式g x( ) f f x( ( ))除以x 所得的2 餘式為何？ (1) 3　(2) 5　(3) 7　(4) 0　(5) 2 參考答案：(5) 4. ( 多選 ) 已知以 mx n 除 3 2 ( ) f x ax bx cx d 的綜合除法算式如下，根據此算式可知： (1) a2　 (2) b7　 (3) g3　 (4) 1 2 h  ₍₅₎ 1 n  。參考答案： (1)(3)(5) 5. (多選)已知實係數多項式y f x( )的圖形通過三點：( 3, 1)  , (0, 5), (1, 7)，則下列敘述哪些正確？ (1) f x( )有無限多個 (2) f x( )的次數至少是二次 (3) f x( )除以x x( 1)(x3)的餘式是二次式 6. 老王在岸邊高處丟出一個救生圈，救生圈所經過的路徑為一拋物線（距離海平面的高度是時間的二次函數），已知在此次拋擲中，1 秒後救生圈距海平面的高度為5.013 公尺，2 秒後的高度為 3.987 公尺，4 秒後的高度為 1.818 公尺，試問老王丟出的剎那，救生圈距離海平面__________公尺。參考答案： 6

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2.2.2 多項式除法的運用　基礎級試題 2.2.2 多項式除法的運用精熟級試題　 (4) f x( )除以x x( 1)(x3)的餘式是 ( 5)( 7) ( 1)( 5) ( 3) 1 ( 1 5)( 1 7) (7 1)(7 5) x x x x           (5) 若f x( )為至多二次的多項式，則 ( 2) 1 f   _。參考答案： (1)(5) 7. 設三次函數y f x( )之圖形如下： 則 a b  __________。參考答案： 26₅ 2.3.1 方程式的根　基礎試題 2.3.1 方程式的根　精熟試題 8. (多選)設 a, b, c 皆為整數，判斷下列哪 些數絕對不可能是 4 3 2 3x ax bx cx 2 0的根？ (1) 1 (2) -3 (3) 1₂ (4) 1₃ (5) 2₃ 參考答案： (2)(3) 9. (多選)考慮多項式方程式 4 ₅ 2 _{6 0} x  x   ，下列敘述哪些正確？ (1) 1, 2之間有實根 (2) 有四個實根 (3) 有四個虛根 (4) 四根之和為 5 (5) 四根之積為 6。

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2.3.1 方程式的根　基礎試題 2.3.1 方程式的根　精熟試題 參考答案： (1)(2)(5) 10. 設實係數方程式 4 3 2 9x ax bx cx 1 0有四個相異有理根，則a b c  為__________。參考答案：10 11. 設 3 2 ( ) f x x ax bx c 為整係數多項式，若 f x( ) 0 的三根皆為有理數，且 ( 3) 0 f  ， f( 5) 0 ， f( ) 0  ， ( 17) 0 f  ，則係數b = 。 參考答案：26 12.（多選）已知 f x( )為實係數五次多項式，且 f( 1) 0,  f(0) 0, f(1) 0, (2) 0 f  _{，則下列有關實係數方程式} ( ) 0 f x  _{之敘述哪些正確？} (1) 1, 2 之間恰有一實根 (2) 0, 1 之間沒有實根 (3) 1 , 0 之間必有實根 (4) 1 , 0 之間可能存在五個相異實根 (5) 假設 1 , 2 之間存在五個實根，則 (5) 0 f  _{必定成立。} 參考答案：(3)(5) 13. ,  , 為 3 2 2x 4x kx 4 0 之三根，則 k_{__________。} 參考答案： -2 14. 已知方程式 2 (x1)(x   x 3) 2.01 0 恰有一實根 ，若n   ,  n 1 n為整數，則n__________。參考答案： -1 15. 設 f x( )與g x( )為實係數多項式，以 2 ₃ ₂ x  x 除 f x( )得餘式2x3，以 1 x 除g x( )得餘式8；且g(2) 5。 (1) 試求以x1除 f x( )g x( )的餘式。

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2.3.1 方程式的根　基礎試題 2.3.1 方程式的根　精熟試題 (2) 試證： f x g x( ) ( ) 0 在1 與 2 之間有實根。參考答案：(1) 13 (2) 略 16. 3 2 ( ) ( 1) ( 4) 4 f x x  k x  k x 之圖形與x軸恰交於一點P a( , 0)，其中a 為整數，試問： (1) a__________； (2) 此時k_{的範圍為__________。} 參考答案： (1) -1 (2) 4  k 4

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2.3.2 複數　基礎試題 2.3.2 複數　精熟試題 17. (多選)下列哪些選項是正確的？ (1)       1 2 5 10 i (2) 2 2 5 5     (3) 若a b ab , 皆為實數，則a b, 均為實數 (4) 若a b, 均為複數且2ai b 3i，則a 3, b2 (5) 若a b, 均為複數且 2 2 ₀ a b  ，則 0, 0 a b _。參考答案： (1)(2) 2.3.3 方程式的複數根　基礎試題 2.3.3 方程式的複數根　精熟試題 18. (單選)設 f x( )為實係數五次多項式，且 f(2 i) 0, f(1 2 ) 0 i  ；則函數 ( ) y  f x _的圖形與x軸有幾個交點？ (1) 3　(2) 2　(3) 1　(4) 0 　(5) 因f x( )的不同而異。參考答案：(3) 19. (多選)設實係數多項式 3 2 ( ) 2 5 f x  x bx cx ，且已知複數 1 2i   為方程式 f x( ) 0 的一根，試問下列敘述哪些正確？ (1) f(1 2 ) 0 i  (2) 2 ₂ ₅ x  x 為 f x( )的因式 (3) f( 1)  f( 2) 0  (4) y f x( )的圖形與x軸只有一個交點

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2.3.3 方程式的複數根　基礎試題 2.3.3 方程式的複數根　精熟試題 (5) y f x( )與yx的圖形只有三個交點參考答案： (2)(3)(4) 20. (多選)下列關於方程式之根的敘述哪些正確？ (1) 方程式 2 2x 2(1i x i)  0 有兩個相等實根 (2) 方程式x35₄x2 4x 5 0沒有有理根 (3) 方程式 4 2 6 5 0 x  x   有四個純虛根 (4) 方程式 5 4 3 2 1 0 x x x x   x 沒有正實根 (5) 方程式 6 2 x  只有一個正實根。參考答案：(1)(3)(4)(5) 21. (多選)關於整係數三次多項式 3 2 3 2 1 0 ( ) f x a x a x a x a 的敘述，下列哪些正確？ (1) 若2x4 f x( )，則2 a3, 4 a0 (2) 若 f(1  i) 2 3i，則 (1 ) 2 3 f   i i (3) 方程式 f x( ) 0 至少有一實根 (4) 方程式 2 ( ) 0 f x  至少有一實根 (5) 若 f(1 i) 0，則 f(2 i) 0。參考答案： (2)(3)(5) 22. ( 多選 ) 已知實係數四次多項式函數 4 3 2 ( ) f x ax bx cx dx e ，其 f x( ) 函數值正負如下表，且 f(5 3 ) 0 i  ，則下列敘述何者正確？ x ₀ ₁ ₂ ₃ _大 23. 已知實係數方程式 3 ₁₄ 2 ₀ x  x ax b  有兩個複數根為 c i_{ , 1 di} ，則三次函數 3 2 ( ) 14 f x  x  x ax b 的圖形與x軸的交點坐標為__________。

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2.3.3 方程式的複數根　基礎試題 2.3.3 方程式的複數根　精熟試題 於 4 ( ) f x 值－＋＋＋＋ (1) 2, 3 之間至少有一實根 (2) 0, 1 之間恰有一實根 (3) f x( ) 0 有四實根 (4) f x( ) 0 恰有一負根 (5) 5 3i 為 f x( ) 0 之根參考答案： (2)(4)(5) 參考答案：(12,0) 24. 若 k 為實數，且已知 2 ₍ ₎ ₍₃ _{) 0} x  k i x   i 有一實數解 ，則另一虛數解為 __________。參考答案：3 + i 25. 若 f x( )為實係數三次多項式函數，領導係數為1， f x( )除以x1的餘式為 5，且 f(2 i) 5， (1) 3 2 ( ) f x x ax bx c ，求序組 ( , , )a b c 。 (2) 若 3 2 ( ) 3 12 35 34 g x  x  x  x ，求 ( ) f x 與g x( )圖形相交時之x值為何？

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2.3.3 方程式的複數根　基礎試題 2.3.3 方程式的複數根　精熟試題 參考答案：(1) (-3,1,10) (2)  2, 4, 3₂ 26. (多選)設 4 3 2 ( ) 3 22 5 1 f x  x  x x  x ，下列敘述哪些正確？ (1) 方程式 f x( ) 0 在0 與 1 之間恰有一個有理根 (2) 方程式 f x( ) 0 在0 與 1 之間恰有一個無理根 (3) 方程式 f x( ) 0 恰有一個負根 (4) 方程式 f x( ) 0 有實根大於5 (5) 方程式y f x( )的圖形與x軸恰交兩點。參考答案： (1)(2)(3)(4) 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　基礎試題 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　精熟試題 27. (單選）已知四次多項式函數 f x( )的圖形如下圖。若實數a滿足 f a( ) 0 ，則下列何者可能為a值？ 28. 對任意實數x，不等式 2 (a2)x (a2)x 2 0 恆成立，a是實數，則a的範圍為__________。參考答案： 6  a 2

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2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　基礎試題 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　精熟試題 (1) _3 ₉₍₂₎ 3 1 9  　(3) 3₇ 　(4) 3 1 7 。參考答案： (3) 29. (單選)不等式(₍x_x_₁₎₍4)(_xx_₂₎5) 0的整數解共有多少個？ (1) 5 個　(2) 6 個　(3) 7 個　(4) 8 個　(5) 9 個。參考答案： (2) 30. (單選)設實係數多項式 3 2 ( ) f x x ax bx c ，下列何者可能為不等式 f x( ) 0 之解？ (1) x 或 21  x 3 (2) 1  且x 3 x2 (3) x 且1 x2 (4) x  （全體實數）參考答案： (3)

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2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　基礎試題 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　精熟試題 31. (多選)下圖為實係數三次函數 3 2 ( ) f x ax bx cx d 之圖形。若 ( ) y  f x 之圖形與x軸相交於( 1, 0) , (2, 0) , (4, 0)三點，則下列哪些選項是正確的？ (1) a0₍₂₎b0₍₃₎cd 0 (4) 不等式f x( ) 0 之解為  1 x 2或 4 x (5) 8a4b2c d 0 參考答案： (2)(3)(4)(5) 32. (多選)下列敘述哪些正確？　 (1) 不等式₍_x_₁₎₍_x__{2) 0}_ 與_xx_1₂0 有相同的解　 (2) 不等式 2 ₂ _{2 0} x  x  的解為 1 i x 1 i       　 (3) 設_{a b}_, 為整數， 2₃ 可能為方程式 3 2 2x ax bx 3 0的一個有理根　 (4) 實係數方程式 3 2 ( ) 2 1 0 f x ax  x bx  ，則此方程式至少一實根　 (5) 實係數多項式函數 f x( )與x軸有兩個交點，代表方程式 f x( ) 0 有2 個實根（k重根算k個根）。參考答案： (1)(4) 33. (多選) f x( )為實係數四次多項式，若 ( 2) 0 f i  ，且 f x( ) 0 的解為x 3 或x 1₂，則下列敘述哪些正確？ (1) y f x x( )( 1)之圖形與x軸有三個交點 (2) _f_{(3 ) 0}_x _ 之解為  1 x 1₆ (3) a b, 為任意實數，且 f a bi(  ) 1 ，

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2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　基礎試題 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　精熟試題則 f a bi(  ) 1 (4) f i( 2) 0 (5) y f x( )之圖形與x軸沒有交點。參考答案：(1)(2)(3) 34. (多選)下圖為四次多項函數y f x( )之圖形，此圖形與x軸的三個交點 , , A B C之x軸坐標依次為 4, 1, 3， 與 y 軸的交點坐標為D(0, 2)，且最高點E的坐標為( , )m n ，則下列敘述哪些正確？ (1) 方程式 f x( ) 0 有虛根 (2) 不等式 f x( ) 0 的解為   4 x 1 (3) 方程式 f x( ) x 0恰有2 個實根 (4) 多項式 f x( )除以(x m )的餘式為 n

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2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　基礎試題 2.4 多項式函數的圖形與多項式不等式　精熟試題 (5) 對於任意實數x而言， f x( )n恆成立。　　　　　　　　參考答案：(3)(4)(5)

高中數學科差異化評量—高一第一學期第二次定期考