2-1-2數列與級數-級數

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(1)1-2 級數【目標】首先能了解級數的意義，並能應用等差﹑等比級數的總和公式，求此類有限級數的有限項和。再者能了解『Σ』符號的意義，『Σ』符號的指標的變換，以及『Σ』 n. n. n. k 1. k 1. k 1. 的基本性質的操作；進而能利用  k ﹐  k 2 ﹐  k 3 的總和公式求相關的級數和。【定義】 1. 級數：將幾個數連續相加的算式稱為級數一般而言，將 a1 , a2 , , an 依序以加號「  」連接，即 a1  a2   an ，就是級數，它共有 n 項，其中第 k 項是 ak , k  1, 2, , n 。若此級數逐項加總所得之和等於 S ，就記為 a1  a2   an  S 。註： (1) 雖然若干個數以加號『  』連接就是一個級數，但如 1  2  3  4  5  6 也是一個級數，因為 1  2  3  4  5  6  1  (2)  3  (4)  5  (6) ，它的第 1 項是 1 ，第 2 項是 2 ，…，第 6 項是  6 ，而其和為 3 。 (2) 一般求數列的第 n 項要靠觀察與猜測，並證明之。 (3) 若 S n  a1  a2    an ，則 a1  S1 ， an  S n  S n 1 (n  2) 。 2. 等差級數(Arithmetic Series)：當 a1 , a2 , , an 是等差數列時，級數 a1  a2   an 稱為等差級數，若公差為 d ，則 an  a1  (n  1)d 。 3. 等差級數的和：設等差級數 a1  a2    an 的公差 d ，則其和 S . n(a1  an ) n(2a1  (n  1)d )  。 2 2. 證明：已知 S n  a1  a2    an ，則 S n  a n  a n 1    a1 ，將兩式相加得 2S n  (a1  an )  (a2  an 1 )    (a n  a1 )  2S n  (2a1  (n  1)d ) (2a1  (n  1)d )n 。  Sn  2 4. 等比級數(Geometric Series)：當 a1 , a2 , , an 是等比數列時，級數 a1  a2   an 稱為等比級數。註：一般討論等比數列時，規定任一項都不為零，公比也不為零。. 19.

(2) 5. 等比級數的和：設等比級數 a1  a2    an 的公比(common ratio) r  1 ， , 當r  1時 na1  則其和 S n   a1 (1  r n ) 。 , 當r  1時   1 r 證明：當 r  1 時， S n  a1  a1    a1  na1 ，當 r  1 時， S n  a1  a1r    a1r n1 ，. rSn . a1r  a1r 2    a1r n ，. 將兩式相減得 (1  r )S n  a1  a1r n  S n  6..  符號：. a1 (1  r n ) 。 1 r. n. 上限. k 1. 足標  下限. 定義  ak  a1  a2    an ，即「.  (一般項)  」之型式。. 註： (1) 上限及下限代表的是固定整數。 (2) 足標表示的是整數變數，一般項通常用足標中的變數表示。 (3) 注意各項中那些符號是不變的，那些符號隨著項數作有規律的改變，或從多少改變至多少，請注意上標、下標、足標、一般項等。 (4) 級數 a1  a2 .  an 的第 k 項是 ak , k  1, 2,. n. , n ，此級數可記為  ak ， k 1. 其中的 k 稱為指標。指標符號也可以用其他字母，如 i, j, l 等。 (5) 其中「  」讀作 sigma 或 summation，它是加總的意思。  下面的 k  1 ，表示 k 的起始值是 1 ，上面的 n 表示 k 的終了值是 n ，合起來就是 k  1,2,3,, n 分別代入，並累加。 7. 足標的變換：級數 a1  a2 .  an 的第 k 項是 ak , k  1, 2,. n. , n ，此級數可記為  ak ，其中 k 1. 的 k 稱為指標。指標符號也可以用其他字母，如 i, j, l 等。 n. 例如：  ai  a1  a2  i 1. n.  an   ak ， k 1. n.  k 1. ak . n 1.  k 0. n. ak 1 ，.  k 1. ak . n 1. a. k 1. 。. k 2. 【應用】 1. 單利：若本金為 p ，每期利率為 x (常用百分比表示)，則 n 期後的本利和為 p(1  nx) 。 2. 複利：若本金為 p ，每期利率為 x ，則 n 期後的本利和為 p(1  x) n 。註： 1. 單利即為等差級數的類型；複利即為等比級數的類型。 2. 一般利用所借的錢與所還的前相同來討論即可。. 20.

(3) 【性質】 1. 設 a, b  0 ，則. ab 2  ab  1 1 ，  2 a b. 即算術平均數大於或等於幾何平均數，且幾何平均數大於或等於調和平均數。 2. 若數列  a n  為一個等差數列，則 S n , S 2 n  S n , S 3n  S 2 n 亦為等差數列。 3. 若數列  a n  為一個等比數列，則 S n , S 2 n  S n , S 3n  S 2 n 亦為等比數列。【問題】 1. 試將下列級數以Σ符號表示： (1)等差級數 3  7  11   95 。(2)等比級數 7  7  2  7  22   7  210 。 (3) 1 2  2  3  3  4   n(n  1) 。解答： (1) 首項為 3 ，公差為 4 ，第 k 項為 3  (k  1)  4  4k  1 。設 95  1  4n ，則 n  24 ，共 24 項，故 3  7  11 . 24.  95   (4k  1) 。 k 1. (2) 首項為 7 ，公比為 2 ，第 k 項為 7  2k 1 ，共 11項， 11.  7  210   7  2 k 1 。. 故 7  7  2  7  22 . k 1. (3) 第 k 項為 k (k  1), k  1, 2, 故 1 2  2  3  3  4 . , n， n.  n( n  1)   k ( k  1) 。 k 1. 2. 下列以Σ符號表示的級數﹐寫出它的展開式： n i 。(3)  j ( j  2) 。 i 1 i  1 j 1 5. 6. (1)  (2k  1) 。(2)  k 1. 2. 解答： 6. (1)  (2k  1)  1  3  5  7  9  11 。 k 1. i 1 2 3 4 5      。 2 5 10 17 26 i 1 i  1 5. (2)  n. (3) . j 1. 3. 4. 5. 6. 7.. 2. j ( j  2)  3  8  15 .  n(n  2) 。. 數列一定會有規律嗎？數列  3,5,7,  的一般項為何？若數列  1,2,3,  有規律，則其一般項為何？數列  1,2,3,28,  是否為有規律的數列？如何表示數列，才能有唯一的數列發生？. 21.

(4) 【性質】 1.  符號的基本性質： n. (1).  c  nc ，其中 c 為常數。 k 1 n. (2). k 1 n. (3). n. n. k 1. k 1.  (ak  bk )   ak   bk 。  ca k 1. n. k.  c ak ，其中 c 為常數。 k 1. 註：乘法與除法不能拆開個別算。 n. (1). n. n.  (a b )  ( a )( b ) 。 k 1. k k. k 1. k. k 1. k. n. n. a (2)  k  k 1 bk. a k 1 n. k. 。. b k 1. k. 證明： n項 n. (1)  c  c  c  k 1 n.  c  nc 。. (2)  (ak  bk )  (a1  b1 )  (a2  b2 ) .  (an  bn ). k 1.  (a1  a2  n.  an )  (b1  b2 . (3)  cak  ca1  ca2  k 1. n. n. k 1. k 1.  bn )   ak   bk 。.  can  c (a1  a2 . 22. n.  an )  c  ak 。 k 1.

(5) 2. 基本求和公式：. n(n  1) 。 2 k 1 n n(n  1)(2n  1) (2)  k 2  12  22  32    n 2  。 6 k 1 n n(n  1) 2 (3)  k 3  13  23  33    n3  ( ) 。 2 k 1 註：用以上公式可以計算出下列形式的級數 n. (1).  k  1  2  3   n . n.  (ak k 1. 3. n. n. n. n. k 1. k 1. k 1. k 1.  bk 2  ck  d ) a k 3  b k 2  c k  d 1 。. 證明： (1) 設 S  1  2  3   n ，則 S  n  (n 1)  (n  2)   1 ，相加得 2S  (n  1)  (n  1)  (n  1)   (n  1) ， n(n  1) 故 2S  n(n  1) ，即 S  。 2 (2) 已知 ( x  1) 3  x 3  3x 2  3 x  1 ，令 x  1代入，得 23  13  3 12  3 1  1 令 x  2 代入，得 33  23  3  2 2  3  2  1  令 x  n 代入，得 (n  1) 3  n 3  3  n 2  3  n  1 將上述式子全部相加， n. n. n. n. k 1 2. k 1. k 1. 得 (n  1) 3  13  3 k 2  3 k  1，化簡後得  k 2  k 1. (3) 已知 ( x  1)  x  4 x  6 x  4 x  1 ，令 x  1代入，得 2 4  14  4 13  6 12  4 1  1 令 x  2 代入，得 34  2 4  4  23  6  2 2  4  2  1  令 x  n 代入，得 (n  1) 4  n 4  4  n 3  6  n 2  4  n  1 將上述式子全部相加， 4. 4. 3. n. n. n. n. k 1. k 1. k 1. k 1. 得 (n  1) 4  14  4 k 3  6 k 2  4 k  1 ， n. 化簡後得  k 3  [ k 1. 3.. n(n  1) 2 ] 。 2.  指標的變換： n 1. n. n 1. k 0. k 1. k 2.  ak 1   ak   ak 1  a1  a2    an 。註： Σ符號中指標的起始值通常是 1 ，但也可以是其它整數。. 23. n(n  1)(2n  1) 。 6.

(6) 【問題】 n. n. n. k 1. k 1. 1. 試問  (ak  bk )  ( ak )  ( bk ) 是否成立？ k 1. n. n. a 2. 試問  k  k 1 bk. a k 1 n. k. b. n. k 1 n. k 1. i 1. 是否成立？. k. n. n. n. n. n. n. n. 2. k 1. n 1. k 1. k 1. k 1. k 1. k n. n 1. 3. 試問  a k ，  ai ，  a n ，  a n ，  1 ，  k ，  n ，  a k ，  a n ，  a n 各表示何種意義？ 10. 4. 求級數  (k 3  2k 2  3k  4) 的和。 k 1. 解答： 10. 10. 10. 10. 10. k 1. k 1. k 1. k 1. k 1. 3 2 3 2  (k  2k  3k  4)   k  2  k  3  k   4. 1 2 3  102 112  10 11  21  10 11  40 4 6 2  3025  770  165  40  2380 。 n. 5. 求  k (k  1) 的和。 k 1. 解答： n n 1  k (k  1)   k (k  1)  [(k  2)  (k  1)] 3 k 1 k 1 n 1   [k (k  1)(k  2)  (k  1)k (k  1)] k 1 3 n 1 n  [  k (k  1)(k  2)   (k  1)k (k  1)] 3 k 1 k 1 n 1 1 n  [  k (k  1)(k  2)   k (k  1)(k  2)] 3 k 1 k 0 1 1  [n(n  1)(n  2)  0 1  2]  n(n  1)(n  2) 。 3 3 n 1 仿此，也可得  k (k  1)(k  2)  n(n  1)(n  2)(n  3) 。 4 k 1. 亦可證明如下： n. n. k 1 n. k 1. n. n. k 1. k 1.  k (k  1)   (k 2  k )   k 2   k  6.. n.  k (k  1)(k  2)   (k k 1. 3. n(n  1)(n  2) 。 3.  3k 2  2k ). k 1 n. n(n  1)(n  2)(n  3) 。 4 k 1 k 1 k 1 註：可由此推出一般情形的公式。 n. n.   k 3  3 k 2  2 k . 24.

(7) 1 的和。 k 1 k ( k  1) n. 7. 求級數 . 解答：分項對消法(前後對消法)： n n n 1 (k  1)  k 1 1 1 n 。   (  )  1     k 1 n 1 n 1 k 1 k ( k  1) k 1 k ( k  1) k 1 k 註： n n   1 1 1 n 1 1 1 1  1 ，但  (  ， (  )    )     k  1 k 1 k k 1 k  1 k  1 k 1 k k 1 k  1 k 1 k k 1 k 因為沒有個別收斂時，不能隨便拆開。 8. 分項對消法(前後對消法)： n 1  k 1 k ( k  1)(k  2) 1 n (k  2)  k   2 k 1 k (k  1)(k  2) n  1 1 1      (k  1)(k  2)  k 1 2  k (k  1). .  11 1   。 2  2 (n  1)(n  2) . n. 9..  (k  1)! k. k 1. . n.  ( k !  (k  1)!)  (1!  2!)  ( 2!  3!)  ( 3!  4!)  1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. k 1. 1. (. 1 1  ) n! ( n  1)!. 1 ． (n  1)! 1 的和。 k 1 k ( k  1) n. 10.利用Σ指標的變換，求級數 . 解答： n n n 1 (k  1)  k 1 1 1 n 。   (  )  1     k 1 n 1 n 1 k 1 k ( k  1) k 1 k ( k  1) k 1 k n n 1 1 1 n 1 註：  (  ， )    k  1 k 1 k k 1 k  1 k 1 k   1 1 1  1 但 (  ， )    k  1 k 1 k k 1 k  1 k 1 k 因為沒有個別收斂時，不能隨便拆開。. 25.

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