Maple 在微積分的應用
Calculus with Maple
傳統的工程數學學習過程中,人工的計算只是讓我們初步了解基本的做法,而遇到繁雜的題目就 毫無頭緒,本專題主要是針對微積分的題目以 Maple 的語法來建立方程式並快速的求解,更利 用作圖(2D,3D 以及動畫)使我們更清楚題目以及解答之數學意義,同學的學習意願可大幅提 升,甚至可透過互動的可點擊數學( Clickable Math.)之介面了解解題的步驟。本研究將教科書 [1,2]中的例題與習題以 Maple 重新詮釋,把指令架構出來進而解決工程數學上的問題,並將結 果透過 Web 平台 http://web.nuu.edu.tw/~chuang/maple/calculus 顯示出來,同學們可利用此架構好 的數學模組視情況任意更改所需之函數或方程式,即可求得相對應的解答及圖形,此 e 化教學平 台相信可以輔助同學在工程數學的學習過程中更加了解題目的全貌。 關鍵字:Maple 語法、可點擊數學、e 化教學平台
1、前言
Maplesoft 是全球領先的工程、科學研究和數學計算 的高性能軟體開發商,其產品 Maple 是目前世界上 最為通用的數學和工程計算軟體之一,在數學和科 學領域享有盛譽,有「數學家的軟體」之稱,它體 現了「Given great tools, people can do great things」 的理念,以及管理數據、模擬和結果。包括 MIT, Stanford, Oxford, the NASA Jet PropulsionLaboratory, the U.S. Department of Energy 等,他們 使用 Maple 解決各種複雜的數學問題和創建豐富的 技術文檔,提高了教學和研究的工作質量。Maple 智能文件環境提供革命性的介面,如圖所示,更可 任意修改其參數及微分方程式,即解決任意技術學 科中的數學問題,用戶可在易於使用的智能文件環 境中完成科學計算、建模仿真、可視化、程序設計、 技術文件生成、報告演示等。 Maple 其核心功能可以讓用戶能夠直接使用傳統數 學符號進行輸入,也可以定製個性化的界面。對於 數值計算有額外的支持,能夠擴展到任意精準度, 同時亦支持符號演算。Maple 在 15 版之後提供了雲 端的功能,能讓使用者在 Maple 雲端文件庫中進行 全文資料檢索,裡面有數以千計的文件在此處進行 分享與交換。如果你不排斥數學,可是又對於繁雜 的計算感到麻煩,Maple 提供了另一個學習數學的 親切環境。
2、文獻探討
2.1 Derivatives 導數
在這一章中,我們研究一種特殊類型的極限,稱為 導數,發生時,我們想找到一條切線的斜率,或速 度,或任何瞬時變化率。2.2 Integrals 積分
在第二章我們使用的切線和速度問題介紹的導 數,是微積分的中心思想。在大致相同的方式,本 章開始討論面積和距離的問題並使用它們來制訂 定積分的想法,這是積分的基本概念。第 7 章中, 我們將看到如何使用積分解決許多問題,如體積, 長度的曲線,作用在水壩上的力,質量中心。 有積分和微分之間的連接。微積分基本定理關乎積 分的導數,我們將在這一章看到,它極大地簡化了許多問題的解決方法。
2.3 Series 級數
無窮級數是無窮多個項的總和。(本章中,我們的 目標之一是定義一個無窮的總和究竟是什麼意思) 在微積分裡,它們的重要性源於牛頓的理念中無窮 級數的表示函數。例如,他通常在尋找區域整合了 函數,首先表達它作為一個級數,然後整合級數裡 的每一項。 我們將在 8.7 節中追求他的想法,為了整合這樣的 函數{exp(-x^2)}。(回想一下,我們以前是無法 做到這一點。) 許多函數中出現的數學物理和化學 方法,如 Bessel 函數,被定義為總和級數,所以 重要的是要熟悉收斂的無限序列和級數的基本概 念。 物理學家們也以另一種方式使用級數,我們將在 8.8 節中看到。在不同的研究領域,如光學、狹義 相對論和電磁學,他們分析現象透過替換前幾個系 列中的函數表示它。2.4 Partial Derivatives 偏導數
到目前為止,我們已經處理一個單變量的函數的微 積分。但在現實世界中,物理量往往取決於兩個或 兩個以上的變量,因此在本章中,我們將注意力轉 向幾個變量的函數和延伸微分學的基本思路等功 能。2.4 Multiple Integrals 多重積分
在本章中,我們將這一概念延伸到雙重和三重積 分的兩個或三個變量的函數的定積分。這些想法隨 後被用來計算體積,表面積,質量,和更一般性的 區域的質心,超過我們在第 7 章能夠考慮的。我們 將會看到,極坐標在計算二重積分的某些類型很有 用。以類似的方式,我們將介紹兩個新的坐標系統 在三維空間中的圓柱坐標系和球面坐標,大大簡化 了計算三重積分在某些經常發生的固體區域。3、實驗方法
3.1 次方定理
1(x )
nnx
xd
dx
3.2 積法則
[f(x) g(x)]
f(x)
[g(x)]
(x)
[f(x)]
d
dx
d
d
g
dx
dx
3.3 替代法則
令 u=g(x),則 '(g(x)) g (x) dx
(u) du
f
f
3.4 麥克勞林級數
( ) 0 ' " 2(0)
(x)
x
!
(0)
(0)
(0)
x
x
...
1!
2!
n n nf
f
n
f
f
f
3.5 偏微分表示法
x x 1 1 x y y 2 2 yIf z=f(x,y) ,we write
f
z
1. f (x,y)=f =
=
f(x,y)=
=f =D f=D f
x
x
x
f
z
2. f (x,y)=f =
=
f(x,y)=
=f =D f=D f
y
y
y
3.6 富比尼定理
b d d b a c c a Rf
R={(x,y)| a
x
b ,c
y
d},
f(x,y)dA=
f(x,y)dydx=
f(x,y)dxdy
若 在矩形上為連續
4、結果與討論
在這次的專題裡,我們學習到了如何使用 Maple 來 求解微積分,除了另闢學習微積分的道路外,也更 加了解微積分的原理及解題的過程。有一位組員 說,數學一直是他頭痛的科目,所以當他開始接觸 到微積分時,如預料般的被打的體無完膚;而現在 他說學到了如何使用 Maple 來求解微積分,對他真 的是一大幫助,除了省掉計算的時間外,它還能詳 細的列出計算步驟,就算有不懂的地方,也能跟著 解題步驟一步一步的學習,這功能對於讀不懂微積 分的人或者是微積分剛入門的人來說是再適合也 不過了,我們相信就算是更難的工程數學也難不倒 我們了,畢竟一定也有指令能使我們輕鬆的解出答 案;我們充分學習到微積分也可以很簡單,透過 Maple,我們不再需要花費大量的時間和精神去算 出答案,只需要使用 Maple 並且輸入指令,它就會 幫我們輕鬆算出我們想要的答案來,不管再複雜都 可以輕鬆搞定,而且 Maple 還有繪圖功能,能讓我 們更了解題目再問什麼及解答所代表的數學意義。 因為參與了專題,跟著老師學習,除了學習使用 Maple 解微積分,就連 Dropbox 現在也略知一二, 這收穫真得很大,並不需要太多的時間,卻可以得 到如此龐大的利益,這是最棒的地方,這都要感謝 老師的指導以及同學們之間的協助。5、參考文獻
[1]Essential Calculus, Early Transcendentals,James Stewart
[2]Maple Computer Guide, E.Kreyszig and E. J. Norminton, 8th Edition, John Wiley & Song, Inc. [3]維基百科-Maple