韓雅倫厲家穎李書霈林瑋茹陳相安
高雄市立正興國民中學
摘要 現在社會每個人都隨身攜帶一隻于機，有事可隨時聯絡。從學校操場可以看到許多基地台，我們覺 得要如何佈置基地台，產生最大涵蓋面積，這個問題很有興趣。 楊博士行動通信技術的資料，我們從中獲益極大，我們從資料中了解通信的蜂巢結構，及頻率重複 使用的概念。頻率重複使用，其條件為兩兩相鄰細胞須使用不同頻率(同四色定理)而且使用相同頻率的細 胞距離需相等。 有那些頻率數可供重複使用，我們找到 3 、 4 、 7 、 9 、 12 、 13 、 16 、 19 、 21 、 25 、 27 、 28 、 31 、 36 、37 、 39 、 43 、 49
頻率數去重複使用，且滿足 D
=
-J
3N
R
0 由繪製的狀態圖中我們深深地感受到數學的深遷之美及規律的可愛。 關鍵詞:蜂巢細胞結構、立重盟盟 - - ...ι 軍、自IJ i弓 本件作品我們由幾何方向去探討生活中 行動基地台細胞結構問題。在作品發展中， 許多老師看過我們的作品並提出回響，例如 高師大賴鵬仁老師覺得七細胞重複使用型態 圖有問題、正興國中江盈柔老師告訴我們， 用相同的周長來比較正三、四、六邊形涵蓋 面積似乎不妥、許麗慧老師覺得原作品與五 色定理的相關敘述並不恰當，我們在期刊投 稿中審查委員也提出許多建議意見，這些寶 貴意見幫助我們完成作品，我們從中受益良多。
作品發表的日地，首先我們希望通信領 域方面的讀者也能提供我們更多的回響，再 來一般讀者對於行動通信第一個想法即是電 磁波的問題，其實在這個領域有訐多數學問 題值得再探討例如﹒細胞分裂時的使用型 態。作品中也有許多數學推廣的問題也希望 讀者能共同一起研究、分享。貳、研究動機
自古以來，人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂 巢的巧妙精準'無不讚揚有加。帕普斯說:'其 實蜂巢是盛裝蜂蜜的庫房，他是由訐多正六 邊形，一個接著一個，緊密地擺列，中間沒 有一點空隙 O 這種優美設計的最大優點是避 免雜物攪入，怕弄髒那些清潔產品。蜜蜂希 望有勻稱規則的圖案，也是需要等邊、等長 的圖形...鋪滿整個平面區域。蜜蜂憑著本 能智慧選擇了正六邊形 o J-
43 一科學教育月刊
第 257 期
中華民國九十二年四月
正 nj壘形!有角和
=
(n -
2 )
x
180
0三字每個內角度數為
=主二三 x
180
0n
現在社會每個人都隨身攜帶一隻手機， 有事可隨時聯絡。從學校操場可以看到許多 基地台，我們覺得要如何佈置基地台，產生 最大涵蓋面積，這個問題很有興趣，課本第 三單元「三角形與圓』主題 3"圓與正六邊形" 老師正在教此單元，老師也鼓勵我們去探討。 要鋪滿平面區域不留空 隙， 正 n 邊形內角的整數倍應為360
0 設 kf固正 n 邊形在平面上的一點接n-2
kx 一一一_x180
0=
360
0n
二、比較圓內正 n 邊形與面積關係 」 LABC=3 日。 LBAC=60。 正方 ifaIii積 A2=(ji
R)2 1 _/3 AC=τR ,BC='"'2
R 正三角斯面積 3_/3 A1 = - '-R2.1.3R2 4 2.5 1.5 面積 0.5 13 1 AD= 一-R,DE=-R 2 2 正六邊 ifaIi繭 3_/3 A3=-'-.
R2.2.6R2 2 正四邊形 正三角形 正六邊形n -
2
2k
4
kx 一一一 =2=>n= 一一一=2
+一一一n
k-2
k-2
因為 n為正整數
一ι 也須為正整數
k-2
因此 n=
3 ，4或 6 -44 一參、研究目的
一、探討基地台在發射距離同樣遠的電磁波 下如何佈置基地台，產生最大酒蓋面積。 二、對於無數多個的正六邊形細胞基地台， 在極少數量頻率下，如果兩兩細胞使用 不同頻率，探討使用相同頻率正六邊形 細胞距離關係。 三、如果兩兩相鄰細胞使用不同頻率，且相 同頻率細胞距離一定情況下，有那些頻 率數可供重複使用。 肆、研究器材設備 電腦、印表機、方格紙、直尺、塑膠墊。伍、研究過程與方式
一、為了研究正 n 邊形鋪滿平面的關係'我 們翻遍全校圖書館的藏書加上我們的智 慧我們終於找到其關係在"幾何的寶藏" 帕普斯說能鋪滿平面區域的正多邊形只 有正三、四、六邊形其根據為由上面我們很清楚發現，使用同樣多的 原料，正六邊形比正三角形、正方形真 有最大的面積，從而可以發射出最大的 通信涵蓋面積，也說明了基地台細胞的 佈置為何選擇了正六邊形的蜂巢結構。 三、我們費盡周章終於由東華大學楊慶隆博 士行動通信技術的資料找到基地台佈置 圖一峰巢結構。 天線覆蓋範聞 自點為墓地台 一座基地台有 3 支天線 cell 中文為細胞
..
(一)楊博士行動通信技術的資料，我們從中 獲益極大我們從資料中了解通信的蜂 巢結構，及頻率重複使用的概念。 1.首先我們知道對於無數多個的正六邊形細 胞，如果相鄰細胞頻率相同會發生干擾， 因此相鄰細胞頻率須不相同。問題是有幾 萬個細胞，可是可以使用的頻率數量不但 少而且要付非常貴的費用。那要如何解決 這個問題了? 想到了嗎?沒錯!頻率重複使用，其條件 為兩兩相鄰細胞須使用不同頻率(與四色定 理條件相同)而且使用相同頻率的細胞距離 需相等。2 現在我們要回饋給他的是 D= -J1三R 並非
D=mR
D:為使用相同頻率正六邊形細胞距離 R: 正六邊形中心點到頂點距離或細胞的邊 長。 下圖為楊博士行動通信技術的資料 四個順噸草屋複使用型態 因為R為正六邊形中心到頂點距離，子
式
勻， bR
弓 3 勻， LR
吋'，且+
勻，'，R
丹、 d 勻，D
的
士
博
楊
中 "(2R)"應為正六邊形中心點到邊長的高 H'叉 H= J3
R
2
師2 佛{2Hf =9R
2
+(2X乎可= 1凹2R
\.
D= J1三R
(二)楊博士於文章中討論 4/7/1 2/21 頻率重 複使用的問題，如果兩兩細胞使用不同 頻率，也可用 7 個頻率去重複使用。 1.這次楊博士使用一個神奇公式D= .J3N R' 我們決定檢驗一下公式而且
我們發現文中狀態圖有問題。 N: 為要使用頻率數 D: 為使用相同頻率正六邊形細胞距離 ﹒七細胞頻草重種使用型態 D,J3N
R D- 石;7 -1互 R 2. 你們有沒有發現前面七細胞頻率重複使用 狀態圖形怪怪的。沒錯!有問題，問題在 那裡? 一 45 一科學教育月刊 第 257 期 中華民國九十二年四月 如圖 3.2 正確的的細胞重複使用狀態圖，如下圍且
D
=-J
3N
R
=
J3;九
D=.j
(4.5R)2+h 2 81 3 _ + _ R 4 4 L一 121R N=7 (1)楊博士狀態圖中上方有三個空白細胞 位置，若依頻率重複使用規則，左上 2 空白會出現"6"頻率相鄰重複使用。 (2)若在圖上再插入一組七細胞時，則多 空出一細胞。 (3)請參考左圖正確狀態圖。 (三)由於楊博士於文章中並無討論12 個頻 率去重複使用情況，這任務就交給我們 處理。 我們對於無數多個的正六邊形細胞，如果兩 兩細胞細胞基地台使用不同頻率，也可用12 個頻率去重複使用。如下圖3.1 圖 3.1 圖 3.2 這次我們直接用肉眼就知道D=6R' 若用公式亦可得知D= J3可三R= 紋。
楊博士說無數多個的正六邊形細胞，如果兩 兩細胞細胞使用不同頻率，也可用21 個頻率 去 重 複 使 用D= J3石IR= 而3R
(四)楊博士於文章內容中提到已知4' 7 '
12 '
21 個頻率可重複使用，除了這四個 數外，到底還有那些數也可以使用? 這真是驚奇的發現了，雖然辛苦但好 美! 一 46 一1.首先不同 3 個頻率細胞也可重複使用，而 且同編號距離相同，信不信看下圖 A 0
(ps
老師說當初他滿腦四色定理，所以他沒想 到 3 也可以)D
=3R
=.J3石R
N=3
圖 A 2.我們將全体組員所繪出的符合頻率重複使用 狀態圖集中時，發現某一頻率與其相同頻率 出現的位置，恰好在以該細胞中心點與其邊 長為 D 正六邊形頂點上。圖B 為我們發展的 符合頻率重複使用數據的推算圖。 (1)以圖的中心點為準'依次向外發展我們共 畫了 7 層正六邊形。在第一層中 依頻率 重複使用相鄰須不同頻率的規則，是不存 在同頻率的細胞。 在第二層中，我們可 以發現有兩種距離形態，如圖B 中第一條線與第二條線。在第三層中，我們也可以
發現有兩種距離形態，如圖B 中第三條線 與第四條線，依此方法繼續推展O (2)下圖我們僅畫了 18 條線，若有興趣的讀 者可依照我們的方法繼續畫下去可找出 更多滿足細胞重複使用的數字。 (3)將每條線複製經旋轉 60 度時，你可以輕 鬆完成該頻率數的狀態圖我們文中的圖 就是依此畫出來的。 (4)下方表格距離的值，我們使用商高定理計 算得知再對應其所對應狀態圖，可以看出D=
-J
3N
R 的關係 o
第 1 條線N=3
D=
J9
R
第 2 條線N=4
D= Jl互 R
第 3 條線N=7
D=m R
第4 條線N=9
D= 拉于 R
第 5 條線N=12
D=
J36
R
第 6 條線N=13
D=
.J39
R
第7 條線 N~16D= 孔孟 R
第 8 條線N=19
D=
J57
R
第 9 條線N=21
D= 而三 R
第 10 條線N=25
D=m R
第 II 條線N=27
D=
.J8l
R
第 12 條線N=28
D=MR
第 13 條線N=31
D=m R
第 14 條線N=36
D= Jl百五 R
第 15 條線N=37
D
=.Jill
R
第 16 條線N=39
D
=.J11干 R
第 17 條線N=43
D= Jl豆豆 R
第 18 條線N=49
D= J14于 R
-
47 一科學教育月刊
第 257 期
中華民國九十二年四月
圖 B 3.我們發現不僅 4' 7 ' 12 '
21 個頻率可重複 使用，正確數據為 3 、 4 、 7 、 9 、 12 、 13 、 16 、 19 、 21 、 25 、 27 、 28 、 31 、 36 、 37 、39 、 43 、 49...太多了!
4.在我們作品發展中老師出一個怪問題他 說 5 應該也可以，他以非常嚴肅的語氣說 這是希伍德的五色定理，讓我們傷腦筋好 幾天。原因
(1)
N=5 的細胞頻率重複使用可以滿足兩兩 相鄰細胞須使用不同頻率的條件，我們也 完成其狀態圍，但狀態圖中使用相同頻率 細胞距離值並不相同，不滿足細胞頻率重 複使用條件。 (2)在我們發展推算團中(如圖 B)' 邊長均為 R 的細胞，任意兩兩不同細胞中點的距離值不存在 D
=
J15R 的這個距離值，也就
是說 N=5 的細胞狀態圈，無法滿足重複使 用條件。 5.N 細胞的狀態圖並不僅是只有一種。例如 N=9 時，狀態圖也有差在! 一 48 一D=~
f9
(五)現在有一鄉鎮都市，經評估通話使用量，因此決定每座微細胞正六邊形中心
點到頂點距離或細胞的邊長為500 公 尺，為避免同頻干擾相同頻率細胞須相 距 6 公里，請問讀者該城鎮應規劃為多 少頻率重複使用? D=6 公里=6000 公尺 N=頻率重複使用數R=500 公尺
因為D
=
.J
3NR
6000 =
.J
3N
x
500
:. N
=
48
N=48
'拘』就學詰城鎮可用書I[為 48 頻率 重複使用狀態 “48"也是一個頻率重複使用數字，讀者 請依照我們發展的推算圖(如圖B) 在多畫一層叉可找到 48 、 49 、 52 、 57 、 64 共五個頻率可重複使用數。陸、研究結果
一、正六邊形比正三角形、正方形具有最大 的面積域，從而可以發射出最大的通信 涵蓋面積。也說明了基地台細胞的佈置 為何選擇了正六邊形的蜂巢結構。 二、如果兩兩細胞使用不同頻率，若用4 個 頻率去重複使用於無數多個的正六邊形細胞基地台。 D= J1三R 並非 D=mR
D: 為使用相同頻率正六邊形細胞距離。 三、對於無數多個的正六邊形細胞，如果兩 兩細胞使用不同頻率，可用于中7 、 9 、 12 、 13 、 16 、 19 、 21 、 25 、 27 、 28 、 31 、 36 、 37 、 39 、 43 、 49...個頻率重複使 用。驗證公式 D= --J3N
R
N: 為要使用頻率數非常正確。 3 個頻率去重 4 個頻率去重 複使用 複使用D=·hN
R
D=
J9
R
D=m
R
7 個頻率去重 12 個頻率去重 複使用 複使用...
D=mR
D=
J36
R
....R
菜、討論 有那些頻率數一定可滿足頻率重複使用 條件? 一、我們發現"平方數"除l 以外 4 、 9 、 16 、 鈞、....這些頻率數均可頻率重複使用， 而且繪製的狀態圖將外圍的細胞中點連 線均可形成"菱形"。 三、我們也發現6N+l 例如 7 、 13 、 19 、鈞、 一 49 一科學教育月刊 第 257 期 中華民國九十二年四月 31 、...這些頻率數均可頻率重複使用， 而且繪製的狀態圖將外圍的細胞中點連 線昀可形成"正六邊形"。 三、其中 "25"，"的"頻率數將外圍的細胞中點 連線，可形成"菱形"或"正六邊形"。 捌、結論 我們從這次研究中探索到蜂巢結構行動 網路頻率重複使用的狀態圖，對於以後的研 究我們認為可以嘗試幾個方向。 一、已知 3 、 4 、 7 、 9 、 12 、 13 、 16 、 19 、 21 、 25 、 27 、 28 、 31 、 36 、 37 、 39 、 43 、 49... 個頻率去重複使用，可重複使用滿足
