《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（提高）

(1)

《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固（提高）

【学习目标】 1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法： (

m n

，

为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (

_{m n}

_，

为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (

_n

为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法： (

a

≠0,

m n

，

为正整数，并且

m n



). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：

a

0



1 

a



0 .



即任何不等于零的数的零次方等于 1.

(2)

6.负指数幂：

1

n n

a



_

(

_a



₀

，

n

为正整数).任何不等于 0 的数的－

n

次幂，等于这个数的

n

次幂的倒数. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . 即

mc

mb

ma

c

b

a

m

(



)





₍

m

,

a

,

b

,

c

_{都是单项式).} 3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .即



a b m n



 







am an bm bn



_. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：



x a x b



 







x

2





a b x ab







. 要点三、乘法公式 1.平方差公式：

(

a b a b



)(

 

)

a

2



b

2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，

a b

，

既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：





2 ₂ ₂

2 a b





a



ab b



_；

₍

_a

_

_b

₎

2

_

_a

2

_

₂

_ab

_

_b

2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；

(3)

因式分解要彻底，一次一次又一次. 【典型例题】类型一、幂的运算 1、已知

_x

2m

_

₅

，求 6

1

5

m

x



_的值．【思路点拨】由于已知 2m

x

的值，所以逆用幂的乘方把 6m

x

变为

(

x

2m

)

3，再代入计算．【答案与解析】解：∵

_x

2m

_

5

， ∴

1

6

5

1 (

2

)

3

5

1

5

3

5 20

5

m m

x

 

x

    

_．【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】（1）已知

a



2 ,

24

b



9 ,

6

c



5

12，比较

a b c

, ,

的大小. （2）比较

3 , 9 , 27

30 20 10大小。【答案】解：（1）

2

24



 

2

4 6



16 , 5

6 12



 

5

2 6



25

6，所以

b a c

 

；（2）

3

30



 

3

2 15



9 , 27

15 10



 

3

3 10



9

15，所以

3

30



27

10



9

20 提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为 12；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为 3. 类型二、整式的乘除法运算 2、（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2_{+2mx 1}_{﹣ ）（x}m_+3nx+2_{）化简以后是一个四次多项式，并且} 不含二次项，请分别求出 m，n 的值，并求出一次项系数．【答案与解析】解：（mx2_{+2mx 1}_{﹣ ）（x}m_+3nx+2_）=mxm+2_+3mnx3_+2mx2_+2mxm+1_+6mnx2_{+4mx x}_﹣ m_﹣_{3nx 2}_{﹣ ，} 因为该多项式是四次多项式，所以 m+2=4，解得：m=2，原式=2x4₊_（6n+4）x3₊_（3+12n）x2₊_{（8 3n}_{﹣ ）x 2}_﹣ ∵多项式不含二次项 3+12n=0 ∴ ，

(4)

解得：n= ，所以一次项系数 8 3n=8.75﹣ ．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以 x 的最高指数 m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为 0，即可解答．举一反三：【变式】若



x m x









_



1 ₃





_

的乘积中不含

x

的一次项，则

m

等于______．【答案】



1 ₃

；类型三、乘法公式 3、计算：(1)



a b c d a b c d

  

 

  



；(2)



2 x



3 y



1  

 

2 x

3 y



5 

．【思路点拨】（1）中可以将两因式变成

a b



与

c d



的和差.（2）中可将两因式变成

2 3y



与

2 x



3

的和差. 【答案与解析】解：(1)原式



[(

a b

  

) (

c d

)][(

a b

  

) (

c d

)] (



a b



)

2

 

(

c d

)

2 2

₂

2 2

₂

2

a

ab b

c

cd d







 



． (2)原式



[(2 3 ) (2



y



x



3)][(2 3 ) (2



y



x



3)]





2 3



y

 

2



2 x



3 

2



9 y

2



4 x

2



12 y



12 x



5

. 【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．举一反三：【变式】计算：

3(2

2



1)(2

4



1)(2

8

 

1) 1

．【答案】解：

3(2

2



1)(2

4



1)(2

8

  

1) 1 (2

2



1)(2

2



1)(2

4



1)(2

8

 

1) 1

4 4 8

(2

1)(2

1) 1







 

8 8 16 16

(2

1)(2

1) 1 2

1 1 2





  

  

_． 4、已知

_x

2

_

_y

2

_

_z

2

_

₂

_x

_

₄

_y

_

₆

_z

_

_{14 0}

_

_{，求代数式}

₍

_{x y z}

_{ }

₎

2012_的值.

(5)

【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出

x y z

, ,

. 【答案与解析】解：

x

2



y

2



z

2



2 x



4 y



6 z



14 0





 

2

 

2



2

1

2

3

0 x





y



 

z



所以

x



1,

y

 

2,

z



3

所以

(

x y z

 

)

2012



0

2012



0

. 【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案. 举一反三：【变式】配方

a b

2 2



a

2



b

2

 

1 4

ab

，求

a b



＝________. 【答案】解：原式＝

a b

2 2



2 ab

 

1 a

2



2 ab b



2





ab



1  

2



a b





2



0

所以

a b ab



,



1

，解得

a b

  

1

所以

a b

 

±2

. 5、求证：无论

_{x y}

_，

为何有理数，多项式

_x

2

_

_y

2

_

₂

_x

_

₆

_y

_

₁₆

的值恒为正数．【答案与解析】解：原式＝



x



1  

2



y



3 

2

 

6 0

所以多项式的值恒为正数. 【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负. 举一反三：【变式】证明:不论

_{a b}

_,

为何值 , 多项式 2 2 2 2

₃

₅

4 a b

a

b

ab



的值一定小于 0. 【答案】证明： 2 2 2 2

₃

₅

4 a b

a

b

ab



＝ 2 2 2 2

[(

1) (

2 ) 4]

4 a b

ab

a

b

ab





 



＝



(

ab

₂



1)

2





a b





2



4

(6)

∵

(

ab

2 +1 )

2

_≥0

,

(

a+b

)

2

≥0

∴

(

1)

2

0

2 ab







,

_

_

2

0 a b

 



∴ 原式一定小于 0. 类型四、因式分解 6、分解因式：（1）



_x

2

_

₂

 

2

_

_x

2

_{ }

₂



₂

（2）



x

2



4 x



2



x

2



4 x



20

（3）

4 a

2



4 ab b



2



6 a



3 b



4

【答案与解析】解：（1）原式





x

2

 

2 2

 

x

2

  

2 1





x



2  

x



2  

x



1  

x



1 

（2）原式＝



x

2



4 x



2



(

x

2



4 ) 20

x







x

2



4 x



5

 

x

2



4 x



4







x



5  

x



1  

x



2 

2 （3）原式＝



2 a b





2



3 2



a b

  



4 

2 a b

 

4 2

 

a b

 

1 

【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题. 举一反三：【变式】（2015 秋罗山县期末）下面是某同学对多项式（• x2_﹣_4x+2_）（x2_﹣_4x+6_{）+4 进行因式分解的过} 程．解：设 x2_﹣_4x=y_，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） =y2_+8y+16_{（第二步）} =（y+4）2_{（第三步）} =（x2_﹣_4x+4_）2_{（第四步）} （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　　．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2_{﹣ ）（x}_2x 2_﹣_2x+2_{）+1 进行因式分解．} 【答案与解析】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；

(7)

（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2_﹣_4x+4_）2₌_{（x 2}_{﹣ ）}4_；故答案为：不彻底，（x 2﹣ ）4_；（3）（x2_{﹣ ）（x}_2x 2_﹣_2x+2_）+1 =（x2_{﹣ ）}_2x 2₊₂_（x2_{﹣ ）+1}_2x =（x2_﹣_2x+1_）2 =（x 1﹣ ）4_．