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# 水庫沉滓運移模擬邊界條件之影響分析

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## 學

(2)

### Modeling for Reservoirs

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master in

Civil Engineering August 2012

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

(3)

### 致謝

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In respect of sediment issue in reservoirs, the transport of sediment mainly involves with coarse particles in upstream that forms delta and fine articles in reservoirs that result in transport of density current. From numerical modeling view point, the accuracy of simulated results of sediment transport is often influenced by the bed-load boundary condition in upstream and resuspension mechanism of the riverbed boundary. This research adopts Hsieh’s (2003) two-dimensional (RESED2D) and Zhong’s (2012) three-dimensional (RESED3D) mobile-bed models to discuss the effect of upstream and riverbed boundary conditions on sediment transport. To examine the effect of boundary conditions of sediment transport modeling for reservoirs, this study first simulated experimental and on-site case with 2D model for discussion of inflow boundary condition’s effect on the change of riverbed. Then, the experimental cases were simulated with use of 3D model for discussion of the effect of riverbed boundary on delivery of concentration. Finally, with a hypothetical inflow concentration profile, the 3D model was applied to the Shi-men Reservoir to show its applicability.

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2.3.3 河床載通量 ... 12 2.3.4 懸浮載源 ... 13 2.3.5 作用層源 ... 14 2.3.6 作用層厚度 ... 15 2.4 邊界條件... 15 2.4.1 水理部分 ... 15 2.4.2 動床部分 ... 16  第三章 數值架構 ... 19 3.1 水理部分... 19 3.1.1 求解架構 ... 19 3.1.2 數值方法 ... 22 3.2 沉滓運移部分 ... 24 3.2.1 求解架構 ... 24 3.2.2 數值差分 ... 26 第四章 河床載入砂邊界條件的影響分析... 32 4.1 沖刷案例 ... 32  4.2 淤積案例 ... 33 4.3 沖淤平衡案例 ... 34

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5.1 淤積案例 ... 54 5.2 沖刷案例 ... 55 第六章 模式在石門水庫的應用 ... 59 6.1 石門水庫上游段二維模擬 ... 59 6.2 石門水庫三維模擬 ... 61 第七章 結論 ... 70 7.1 結論 ... 70 7.2 建議 ... 70 參考文獻 ... 72

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B 渠道寬度； C 懸浮沉滓濃度； 懸浮沉滓水深平均濃度； 近底床沉滓平衡濃度； 近底床沉滓濃度； Chezy 糙度係數； 摩擦係數； 懸浮沉滓中值粒徑； 水深； 河床沉滓代表粒徑； 編號第m 組沉滓之粒徑； 懸浮載向下通量； 懸浮沉滓代表粒徑； 無因次顆粒粒徑； 作用層厚度； 均方根誤差； 懸浮載向上通量； 福祿數； 、 主要與側方向受密度差異量影響之移流作用力； 重力加速度； 正常水深： 高含砂效應下，最大差異發生處之水深； C  , C Cc c  2 / f c Cg c  50 dDb Dm Ds Dms D*m Dp Erms Es Er Ff f   gHm H

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、 、 方向轉換係數； 多項式流變關係之水深平均層流阻力係數； 粗糙高度； 卡門係數(Von Kármán’s) 沉滓代表粒徑總數目； 曼寧糙度係數； 動量方程式之壓力項： 孔隙率； 總流量； 單寬流量： 方向某一粒徑m 之河床載通量： 彎道任一點之曲率半徑： 彎道左岸之曲率半徑： 水力半徑； 彎道中心線曲率半徑； 渠道坡降； 某一粒徑m 之懸浮載源； 砂比重； 作用層源； 水面坡降； 某一粒徑m 水流挾砂能力； 輸送參數； 、 、 有效剪應力項； 1 h h2   l Ks k    MnP  pQqm bi qi RL Rh Rc r  0 Sm s Sg sE Sw S  *m Sk T  11 T T12 T22

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###  

i j k   ab

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### 第一章 緒論

1.1 研究動機與方向 沖淤是河川中常見的重要現象。天然河道的沖刷受水文、地文、河 床質及水理特性等自然因素的影響。在河道中，通常因坡陡湍急，使得 河床載對沖淤行為影響甚小。然而水庫的沉滓運移，大量的入砂以及迴 水效應使流速減慢，導致落淤嚴重時，則河床載勢必不可忽略。每年颱 風帶來的大量降雨對台灣地區而言雖為必要且珍貴的水資源，但降雨挾 帶大量泥砂入庫減少水庫庫容以及於壩址附近形成渾水潭影響取水口 與淨水廠的正常運作，亦為急需解決的問題。 然而面對一欲解決之工程問題，一般常用物理模型試驗或數值模擬 來協助瞭解這些物理現象。設置物理模型試驗為科學家常用之方法，其 為參考原型並依比例縮尺建造一模型並進行物理試驗。試驗結果可信度 雖高，然而其設置所需經費龐大、試驗時間長以及大量消費人力與空間 的問題，再加上模型試驗存在尺度效應(scale effect)、邊界與量測儀器產 生之誤差，使得物理模型在應用上常有相當的限制和困難。數值模擬乃 利用數學模式獲得欲知的物理現象，在某些物理假設條件下，仍可獲得 相當合理之精確度與可靠性。相較於物理模型試驗，數值模擬具有較經 濟及高效率之優點，或具有再利用性，因此許多科學家不斷致力於數值 模擬之發展。 對於河川、湖泊及海洋等大範圍之流場分析，一維與二維模式已廣 泛應用在實務上，其相對於三維模式具有計算快速及容易收歛的優點。 但是當流場在深度方向的分佈為欲探討之問題時，垂向的資訊則相對重 要而不可忽略。相較於全三維模式，擬似三維模式則具有計算快速和容 易收歛的優點，且亦能獲得物理量深度方向分佈的資訊，適合水利工程 實務上的應用。 而粗顆粒形成的河床載一直以來量測不易而缺乏現地數據。故本研

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rodi(1988)、Van Rijn(1990)等及 Ziegler and Nisbet(1995)等，較適用於河 床載所佔比例不高的情況，或可用於探討凝聚性沉滓的相關案例。Bell and Sutherland(1983)發展之河床載模式，較適用於粗顆粒沉滓模擬及懸 浮相對不重要的情況。CHARIMA(1990)、Spasojevic and Holly(1990)、 MIKE-11(1992)、NETSTARS(1996)等模式以河床載及懸浮載分開計算的 方式，可模擬懸浮載濃度分佈及底床沖淤的情況外，並可合理模擬非平 衡輸砂的問題。

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TABS2(1985)、Celik and Rodi (1988)、Spasojevic and Holly (1990)、Ziegler and Nisbet (1995)等，可以用來描述物理變量在側方向(水平二維)或深度 方向(垂直二維)的變化情形，在河川寬深比一般均很大的情況下，河川 沉滓運移模擬應以深度平均之水平二維模式為較佳。 近來許多三維模式開始應用在大型流場如河川、湖泊及海洋的模 擬，相較於二維模式，其能直接提供水深方向的資訊。然而三維模式仍 需要花費不少的時間來模擬，因此有許多擬似三維模式的研究提出 (Lardner and Cekirge, 1988；Jin and Kranenburg, 1993；Wang, 1994； Blanckaert and de Vriend 2003；Hung et al., 2008；Lin and Huang, 2008； Herzfeld et al., 2010；Zhang et al., 2011)，除了能降低計算成本，在一些 假設條件下，亦能提供合理的三維流速分布資訊。

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### 第二章 理論基礎

狀，模式在水平方向採用正交曲線座標系統，如圖2.1 所示；而在垂直

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2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( v) ( v ) ( uv) ( vw) uv h v h u h t h h z h h h h h h                        2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( v ) ( u v) ( v w) u v h v h u h h h z h h h h h h                                   12 2 11 1 1 22 2 12 1 2 23 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) c h h p f u h h h h h h h z h h h h                                  (2.3) z 方向： 在一般淺水的天然水道，垂直方向之動量方程式可用靜水壓分佈來 簡化， 0 p g z    (2.4) 而垂直方向之流速可透過連續方程式求得，以減少模式之計算量。 以上諸式中，、 、z為三維正交曲線座標方向，其中、 為水 平方向，z為水深方向；下標1、2、3 分別代表物理量在、 、z方向 代號；h1h2分別為、 方向之轉換係數；uvw分別為、、z 方向流速；g為重力加速度；t 為時間； 為層流剪應力；( ) 表時間平 均；( ) 表時間平均瞬時擾動量；fc(=2 sin )為科氏力係數； 為地球 自轉角速度； 為緯度；  為密度；p為壓力。 2.1.2 水平二維部分 將 2.1.1 節之三維水理控制方程式(2.1)、(2.2)、(2.3)利用萊布尼茲 法則對深度方向積分，加上運動邊界條件及動力邊界條件，並取深度平 均值，可得水平二維水理控制方程式。 連續方程式 1 2 ( 2 ) ( 1 ) 0 d hh h ud hvd t

### 

   (2.5) 動量方程式 ξ 方向：

(24)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 s c z h h u u u v u uv v g f v t h h h h h h h                         1 1 2 1 2 12 11 11 12 22 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 2 s b h h h T T T T T dh h dh dh d                             (2.6) η 方向： 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 s c z h h v v v u v uv u g f u t h h h h h h h                 2 2 1 2 1 12 22 22 12 11 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 2 s b h h h T T T T T dh h dh dh d                             (2.7) 式中， 2 2 11 ( 11 ) s b z z T

### 

 u u dz (2.8) 2 2 22 ( 22 ) s b z z T

### 

 v vdz (2.9) 12 ( 12 ) s b z z T

### 

 uvu v dz  (2.10) 以上諸式中，d 為水深；zs為水面高程；zb為底床高程； 為 i 方si 向水面剪應力； 為 i 方向底床剪應力；bi ( )表水深平均；( ) 表物理量 之空間微變量(例：u u u  )；下標 sb分別為水面及底床代號；T

(25)

2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 h h h h h uv uv uv vv v h hh hh hh hh h                       13 ( 1 1) 1 ( ) s b c f v Horizontal Diffusion in d d               (2.11) η 方向： 2 2 2 1 1 1 v v v v v v v u v u v u v v t hhhhhh                                     2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 h h h h h uv uv uv uu u h hh hh hh hh h                       23 ( 2 2) 1 ( ) s b c f u Horizontal Diffusion in d d                (2.12) 式中， 1 1 2 2 u u v v w t h h h h z                                (2.13) b z z d    (2.14) d t d t         (2.15) 1 zb d d d              (2.16) 1 zb d d d              (2.17) 1 z d    (2.18) 2 1 2 11 12 22 1 2 1 ( Horizontal Diffusion in ) T h 2T h T h dh h                    2 12 11 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 T 1 T u H 1 H h H u dh dh h h h h h                                 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 H v h H h v H h u h h h h h h h h h                                2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 H H H h u v u h v h h h h h h h h h                                     (2.19)

(26)

1 2 1 22 12 11 1 2 1 ( Horizontal Diffusion in ) T h 2T h T h dh h                    2 22 12 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 T 1 T v H 1 H h H v dh dh h h h h h                              2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 H u h H h v H h u h h h h h h h h h                                2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 H H H h v v u h u h h h h h h h h h                                      (2.20) ； 為水平黏滯係數H   l t； 為層流黏滯係數；l  為紊流黏滯係數t * / 6 u d

 (Falconer 1980)；u*為剪力速度； 為von Karman’s 係數(約等

2.2 動床控制方程式

(27)

### 

  C sVsHfh w   sm   pp ESEb zqb1m 2 m b qm s S

(28)

2 11 1 1 1 2 1 2 H u v h u h h h               (2.24) 2 22 2 2 1 2 1 2 H v u h v h h h               (2.25) 12 2 1 1 2 2 1 2 H h v h u u v h h h h

### 

                 (2.26) 2.3.2 底床剪應力 底床剪應力採用French (1986)之經驗式 2 1 2.5ln 30 1 2.72 b b b s z u u k                (2.27) 2 2 2.5ln 30 1 2.72 b b b s z v v k                (2.28) 式中，ubvb分別為、 方向之近底床流速；z1為近底床流速之 格網與底床間垂直距離；ks為粗糙高度。 2.3.3 河床載通量qb 凝聚性泥砂之通量可假定為零，而非凝聚性沉滓之河床載通量，模式 中採用van Rijn(1984a)之輸砂經驗式計算(以

(29)

###  

q D (2.30) 由於水流在渠道中運行時，河床載源之變化將受到:(1)縱向與橫向之 底 床 坡 降S0S0 ；(2)縱向及橫向之流速u 、 v 的影響；模式採用 Struiksma(1985)之公式，對某一粒徑之河床載通量進行修正(張氏，2005)

### 

沉滓運移角度； 底床剪應力之方向；fs  沉滓之形狀因子， 1 fs  ；2 2 2 2 50 ( ) ( 1) u v c s D      Shields parameter。 2.3.4 懸浮載源 S 針對非凝聚性之泥砂而言，懸浮載源可定義為懸浮載向下通量與底 床質向上通量之間交互作用的結果。對某一特定粒徑k 而言，受到重力 作用而沉降至底床，其向下之通量可表示為下式:

(30)

k k k d f d S  

### 

w C (2.35) 其中負號代表通量向下，反之為向上之通量； [3.25 0.55ln( k )] k f d k w C C u   (Lin 1984)；Ck  顆粒 k 的深度平均濃度；wfk 顆粒k 的沉降速度，其計 算方式依照粒徑大小採用不同關係式(Van Rijn 1984b)如下

### 

2 0.5 ( 1) 1 ( 100 ) 18 0.01( 1) 10 1 1 (100 1000 ) 1.1 1 ( 1000 ) k k k k f k k k k s gD D m s gD w m D m D s gD D m

### 

                       (2.36) 在水中未設有結構物的渠道中，底床質向上之通量主要是由於水流 剪力對底床之作用，使底床質揚起成為懸浮質，即一般沖刷及束縮沖刷 之現象。其向上通量可表示為: k k k e l k e S

###  

w C (2.37) 上式 1.5 0.3 0.015 k k k k e D T C a D  (Van Rijn 1984b)；a 砂丘高度之一半；wlk  顆粒k 躍起之速度。 顆粒躍起速度定義為河床質發生跳躍(saltation)離開底床瞬間時的垂 直速度，採用Hu and Hui(1996)提出之經驗公式: 3.2 4.5log 1.2 3.1 1.2 k l w u           (2.38) 式中 ( ) b s gDk       2.3.5 作用層源 Sf 作用層示意圖如圖2.4。作用層源之產生乃肇因於母層(active stratum)

(31)

n n

m em b b

### z

(2.40) 式中C 為一數值參數，模式暫取為em 20。 當河床表面接近護甲條件時，作用層厚度接近零，在這種情況下， 可用Borah 等(1982)所提出護甲層之厚度，予以修正: 1 1 ( )+ 1 n n m m b b K k m k D E C z z p

     

### 

(2.41) 式中，Dm  不產生移動的最小顆粒粒徑。 另外，作用層在淤積期間可定義為: 1 ( 1 ) n n n n m m b b E E zz (2.42) 2.4 邊界條件 2.4.1 水理部分 水平二維水理模式考量三種邊界條件設定，分別為渠道入流、渠道 出流與固體邊界。一般而言，渠道入流邊界條件設定為單位寬度入流 量，渠道出流邊界條件則採用水位高程設定。在固體邊界處，沿固體邊 界法線方向採不透水邊界條件；而沿固體邊界切線方向可分為滑移與非

(32)

滑移邊界條件。 垂直水理模式考量渠道入流、渠道出流、自由液面及底床邊界條 件。在渠道入流及渠道出流處假設均勻流邊界條件。自由液面採風剪力 邊界條件 s V u d       、 V s v d       ；而底床則採用底床剪力邊界條件 b V u d       、 V b v d       。 2.4.2 動床部分 本研究底床濃度為 所在高程，如圖 2.4 所示。計算過程中底床 若為濃度捲昇過程，底床平衡濃度 計算結果會大於上層水體濃度， 因此直接採用下式： (2.43) 若為濃度落淤過程， 會小於上層水體濃度，可判斷為落淤情況

(van Rijn,1985)，此時則採用 Neumann 邊界條件：

(2.44) = 0.015D Tk1.5 Dk0.3 (Van Rijn 1984b) ；a砂丘高度之一半；      顆粒 躍起之速度。  如此模式便可合理模擬捲昇與落淤兩種情況的濃度剖面。 b z , a e C , a a e CC , a e C 0 a C    , a e C lk wk

(33)

(34)

(35)

### 第三章 數值架構

3.1 水理部分 水理部分之整體架構基於水平垂直分離演算概念，首先由水平二維模 式求解水面高程以及水深平均流速，其中之有效剪力項依靠三維流場計 算而得到。三維流場係經流速差異量方程式求解後，與二維模式疊代收 斂。以下分別就水理部分之求解架構與數值差分方法做說明。 3.1.1 求解架構 水深平均控制方程式 本研究基於隱式雙階分割操作之觀念，將深度平均動量方程式分割

(propagation-step)，分別求得 與 時刻之流場，並利用隱式數值 方 法 求 解 。 延 散 步 驟 求 解 移 流 項(advection terms)和擴散項(diffusion terms)，傳播步驟求解壓力項、底床剪應力項和連續方程式。水理控制方 程式先就時間部分離散如下： 延散步驟: (3.1) 傳播步驟: (3.2) (3.3) 式中， 表示速度向量； 表示擴散及延散項； 表示 時 刻之未知變數； ； 表示 時刻之已知變數； 表示在 1/ 2 nn1 1 2 1 1 2 2 0 1 ( ) n n n n n V V V V T t            1 2 1 1 0 ( ) n n n b b V V g z D t D           1 0 n V     V T n1 (n 1) t 1 n n t tt    n n tn1/ 2

(36)

### 

   1 1/2 2 1/2 2 1 1 2 1/2 1/2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) n n n n n f B B l n n n n n c u u v u u K D D D u v              1 1/2 1 1 1 2 0 2 0 ( ) n n n n n b z D v v g g D D d d t h h                           

### 

   1 1/2 2 1/2 2 1 1 2 1/2 1/2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) n n n n n f B B l n n n n n c v u v V v K D D D u v                 

(37)

(3.8) 針對 時刻的水深值 做線性化處理，且僅保留一階項，(3.8) 式可改寫成: (3.9) 式中， ; ; ; ; ; ; ; 。 垂直部分 在垂直水理模式方面，考量數值計算的穩定性，一樣以隱示法求 解，如此將(2.11)與(2.12)式改寫為: ξ 方向： 1 1 1 2 1 1 2 1 2 n n V u h h u u u u uv uv u M t h h h h h d                                 (3.10) 1 1 1 1 2 ( 2 ) ( 1 ) 0 n n n n D D h h h uD h vD t               1 n(Dn1) 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0 n n D D D D h h D D t                         2 1 1 n h g t D C h     1 2 2 n h g t D C h     1 1 2 2 2 1 1 0 1 0 n n n b z h u tgh D D tgh d d C C h C h                               

### 

  1 1 1 1 1 2 2 0 2 0 n n n b z h v tgh D D tgh d d C C h C h                               

### 

  1 1 n D   2 2Dn 1/2 1/2 2 2 2 1/2 1/2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) 1 8 ( ) ( ) ( ) n n f B B l n n n n n t C u v t t K C D D D u v                    1 n n D DD   

(38)

η 方向： 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n V v h h v v v v uv uv v M t h z h h h h d                                      (3.11) 式中， 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 ( ) n s b u c h u u u u v u v u v u uv M f v d h h h h h h h                                          2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) n V h h vv v w Horizontal Diffusion in h h h h dh                    (3.12) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) n s b v c h v v v v u v u v u v uv M f u d h h h h h h h                                           2 1 1 1 2 1 2 2 2 ( ) n V h h uu u w Horizontal Diffusion in h h h h dh                    (3.13) 式中， 為垂向黏滯係數。 V 3.1.2 數值方法 在數值差分方法選用的考量上，利用顯式數值方法求解時，演算時 間間隔將會受到很大的限制，在模擬天然明渠水流問題時將耗費冗長的 演算時間與龐大的電腦計算量，在應用上有其困難存在。為解決這個問 題，本研究採用隱式數值方法求解。 本模式採用控制體積(control volume)法的觀念來離散控制方程 式，控制體積法的基本概念如圖 3.2 所示，其中(a)圖為實際區域，(b) 圖為計算區域，E、W、N、S 表相鄰格點，e、w、n、s 表控制面。模 式計算之變數則放置在交錯網格(staggered grid)上，如圖 3.3。在控制方 程式中，除了移流項採用一階精度混合型上風法(hybrid scheme) (D.B. Spalding 1972)差分外，所有空間差分均採用二階精度的中央差分法。另 外，時間項則採用簡單的前向差分方法。 中央差分法可表示成

(39)

e w p Ψ Ψ Ψ Δ          (3.14) n s p Ψ Ψ Ψ Δ          (3.15) 式中， Ψe0.5 ( ΨEΨP) 0.5 ( Ψi1,jΨi j, )； , 1, 0.5 ( ) 0.5 ( ) w P W i j i j Ψ ΨΨ ΨΨΨn 0.5 ( ΨNΨP) 0.5 ( Ψi j, 1Ψi j, )； , , 1 0.5 ( ) 0.5 ( ) s P S i j i j Ψ ΨΨ ΨΨ Ψ 可表為 uvh1h2dzszb ij分別代表水平格網上任一點之縱向及橫向位置。 混合型上風法為上風法(upwind scheme)與中央差分法組合而成，當 移流效應重要時，採用上風法；移流效應不重要時，則採用中央差分法。 至於移流效應重要性的判斷，則採用格網雷諾數(mesh Reynolds number)

Rx、Ry作為判斷的因子，當|Rx|或|Ry|大於 2 時，代表移流效應重要，差 分方法採用能反映方向性的上風法；|Rx|或|Ry|小於等於 2 時，移流效應 可視為不重要，差分方法採用中央差分法。 混合型上風法應用於本研究移流項的處理可表成 , 1 1 1 1 1 , 1, , , 1, 1 1 0.5 (1 ) (1 ) i j n n n n n n n i j i j i j i j i j x x u Φ Φ Φ Φ u Φ hhΔ  Δ                                  (3.16) , 1 1 1 1 1 , , 1 , , , 1 2 2 0.5 (1 ) (1 ) i j n n n n n n n i j i j i j i j i j y y v Φ Φ Φ Φ v Φ hhΔ  Δ                              (3.17) 其中 0 2 1 2 1 2 x x x x R R R           ； 2 0 1 2 1 2 y y y y R R R           (3.18) 上列諸式中， , 1, / i j n i j x u h Δ R     ； , 2, / i j n i j y v h Δ R     ； 為流體動力黏滯係數 (dynamic viscosity)；Φ可表成uv 。 垂直水理模式亦採用控制體積法的觀念離散控制方程式，如圖 3.4

(40)

(41)

(42)

(3.28) 當達到收斂條件時，疊代得以結束；一般而言，疊代2 至 3 次即可 達到誤差小於 之精度。 3.2.2 數值差分 採用混合型上風法與中央差分法： (3.29) 其中 (3.30) 與式(3.18)相似，其中 為垂向之格網雷諾數，用 以判斷垂向濃度移流所適用的差分方法。 式(3.26)以中央差分法離散： 1 1 1 lsn l ns   s 8 1 10  1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) n n n n n n P P T P P B z z T P P B C C C C C C t                1 1 1 1 (1 ) (1 ) n n n n fh T P P B z z T P P B w C C C C D                       1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) ( ) n n n n n n sV T sV B sV T B T P P B T B T B T P P B P B C C C C C C D D                                            1 1 ( fh T) ( fh B) * n n P c T B w w C M D            0 1 1 z        2 2 2 z z z R R R     , , / ( / 0) n z i j k R  z   * * * 2 2 * * 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n n c sH e w sH n s e w n s h h h h M C C C C h hh hh h                                   * * * * * 2 2 1 1 ( n n )[( ) ( ) ] ( n 2 n n ) e w sH e sH w sH E P W h h C C C C C h   h       

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