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行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

快速質量及體積守恆特徵法及其在對流問題之運用(2/3)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2115-M-110-007- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學應用數學系(所) 計畫主持人： 黃杰森 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 95 年 5 月 5 日

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

計畫名計畫名稱:快速質量及體積守恆特徵法及其在對流問題之運用(2/3) 計畫編號：NSC 942115M110 007 -執行期限：94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日 主持人： 黃杰森 國立中山大學應用數學系(所) 一、中文摘要 混和特徵法的優點為可使用大的時間間隔，及使數值擾動最小及局部質量守恆，然而 這個回溯區域的計算往往因數值方法而使體積無法守恆，而導致錯誤的物理量的結果 （如濃度等），而我們計畫發展一個簡單的數值方法來保證局部質量及體積守恆的計 算方法。並且將此方法加快收斂速度並推廣到雙面流及可壓縮流。 關鍵詞：

混和特徵法

Abstract

The characteristics-mixed method minimizes numerical dispersion, uses

long time steps, and conserves mass locally. Since traceback regions are approximated, their volume may be incorrect, resulting in inaccurate concentration densities and reaction dynamics. We present a simple scheme that conserves both mass and volume locally, and a conservative implementation of boundary conditions and wells. We should furthermore derive a fast convergence algorithm and apply the scheme to a two-phase flow and a compressible flow.

Keywords: characteristics-mixed method 二、緣由與目的 在目前的醫療科技中，有許多用到放射性物質，例如放射性治療及化學治療，當主 要的放射源已經蛻變時，這個放射源就已經沒有效用而必須被放棄，接踵而來的便是這 些所謂核子廢料(nuclear-waste)的儲存問題。 在許多國家，這些核廢料目前都先被存放在鋼桶或銅桶內在埋至於地下的儲存槽。 然而這些核廢料再接下來的一萬年內仍具有高度的放射線，而甚至持續有害達 10 萬年。 由於有害的年限相當長久，所以這些核廢料終究會外洩。因而積極的研究這些核廢料外 洩的問題變成了重要的課題。所以的發展相關的數值方法以達到數值模擬的準確性為非 常重要任務。 由於這些核污染模擬所需追蹤的年限相當長久，因為即使是 0.01﹪的誤差都可能 造成錯估核污染的範圍而造成不可彌補的缺失，所以尋求一個有效率及高準確度的數值 方法是相當重要的。 三、結果與討論

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MMOC 是由 Jim Douglas Jr. Russell 在 1970 年代首先提出的。與其他的數值方法相較之 下，MMOC 可取較大的時間區間，使得計算量相對地減少，可較快得到所需之數值結果。 然而在多孔媒體上的流體的問題在此數值方法上卻有著質量不守恆的問題。為了解決這 個問題，Douglas 、 Furtado 與 Pereira 在 1997 年時[1]提出了一個新的方法，叫做 MMOCAA(modified method of characteristics with adjusted advection)， 這個方法解決了 數值上質量不守恆的問題並且保留了 MMOC 中可取較大時間的優點。Douglas、 Perrira 與 Huang[3]首先證明了 MMOCAA 在一個維度上之收斂性，之後 Huang[7]在 2000 年又證 明了 MMOCAA 在多維度上的收斂性。

然而，MMOCAA 中局部質量不守恆的缺失仍未解決。在 1999 年時，Douglas、Pereira 與 Yeh[6]提出了一個局部質量守恆的數值方法：A Locally Conservative

Eulerian-Lagrangian method(LCELM)， 這個方法進一步的改進了 MMOCAA 局部質量不 守恆的缺點。同年，Huang 及 Spagnuolo [8]將此方法應用在核污染之模擬上，此結果更 驗證了 LCELM 此種數值方法可以比之前的方法更準確地預測核污染的範圍。2001 年時 Huang 及 Douglas[2]又更進一步地證明了 LCELM 之收斂性。

以往在此方面的數值方法，都不討論其體積守恆的問題，從以往的經驗我們知道一 個體積不守恆的方法(不論是 Eulerian-Lagrangian Localized Adjoint method(ELLAM), Characteristic-Mixed Methods(CMM), Modified Method of Characteristics with Adjusted Advection(MMOCAA), or Locally Conservative Eulerian-Lagrangian Method(LCELM))都 會有 Over-shoot 的問題,而導致一個高達 62%誤差的數值結果。這樣的結果使得這些 Characteristic Method 的優勢大打折扣,我們透過微調的方法使得不僅質量得到守恆，進 而體積也守恆。我們得到令人鼓舞的數值結果，首先這個新方法(Volume Conservationg Characteristic-Mixed Method)(VCCMM)保持了可使用 big time step 的優勢(v.s. Godunov Scheme)如此可以節省計算成本，並降低 Numerical-diffusion，並更重要的是 VCCMM 具 有質量及體積守恆的優點，如同 Godunov Scheme 一般。

在既有的方法上，我們有兩個加速收斂的方向。一為利用 trace forwarding of well 來使用更大的 time step，另一為使用 direct method 替代 iterative method。我們在這兩 個方向上都得到據體的成果。在 injection well 處使用 trace forwarding scheme 可以讓 我們使用高達 14 倍的 time step。在使用 layer volume conservation 的方法，使我們可以 摒棄 iterative scheme 而使用 direct scheme。這些加速法使得運用這個 VCCMM 在雙面 流及可壓縮流上更有效率。

四、計畫成果自評

本次計畫原本設定的目標圓滿達成，我們成功的發展了一個新方法快速 VCCM(Fast VCCMM)，此方法保持了可使用超長 time step 的優勢如此可以節省計算成本，並降低 Numerical-diffusion，並更重要的是 Fast VCCMM 具有質量及體積守恆的優點，如同 Godunov Scheme 一般。我們並於九十五年一月前往美國參加 AMS national meeting，報 告最新的成果。

目前我們正在進行 FAST VCCMM 法在 reaction-diffusion equation 之應用。 由於 reaction 項與時間有關，所以在每個離散時間點都須重新計算 trace back region，而我們新的方法便可運用在這種例子。

接下來有幾個方向去進行。首先，我們希望能利用 Fast VCCM 在 two phase flow problem，因為我們必須經常重新計算 Darcy's velocity 而此一重新計算便會改變其 trace back region，所以一個快速有效的方法便非常重要。

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至目前為止，我們僅能討論 imcompressible fluid 的問題，如果能將此一方法推廣到 compressible fluid 將更具意義。

五、參考文獻

[1]J. Douglas, Jr., F. Furtado, and F. Pereira, On the numerical simulation of waterflooding of

heterogeneous petroleum reservoirs. Computational Geosciences, 1 (1997), 155-190.

[2]J. Douglas, Jr., C.-S. Huang, The convergence of a locally conservative

Eulerian-Lagrangian finite difference method for a semilinear parabolic equation, BIT, 41 (2001) 480-489

[3]J. Douglas, Jr., C.-S. Huang, and F. Pereira. The modified method of characteristics with

adjusted advection. Numer. Math., 83 (1999) , page 353–369.

[4]J. Douglas, Jr., C.-S. Huang, and F. Pereira, The modified method of characteristics with

adjusted advection for an immiscible displacement problem. In Advances in Computational Mathematics, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol.~202, pages 53--73, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel, Hong Kong, 1999. Z. Chen, Y. Li, C. A. Micchelli, and Y. Xu, eds.

[5]J. Douglas, Jr, C.-S. Huang, and Anna M. Spagnuolo, “Fractally Fractured Porous Media

and Nuclear Contamination.” Computational and Applied Mathematics, 21 (2002) 409-428. [NSYSU]

[6]J. Douglas, Jr., F. Pereira and L.-M. Yeh, A locally conservative Eulerian-Lagrangian

method and its application to nonlinear transport in porous media, Computational Geosciences, 4 (2000) 1-40

[7]C.-S. Huang, “Convergence analysis of a mass-conserving approximation of immiscible

displacement by a modified method of characteristics with adjusted advection.” Computational Geosciences, 4 (2000), 165-184.

[8]C.-S. Huang, and Anna M. Spagnuolo, “Implementation and Computation of the Locally

Conservative Eulerian-Lagrangian Method Applied to Nuclear Contaminant Transport.” Lecture Notes in Physics, (2000), Vol. 552, 79-189.