高中數學課程中有關
摘的教學設計
「邏輯」
黃振乾
國立虎尾高級中學
要 根據教育部公布修訂中的高中數學新課科標添草案巾,將「邏輯」單元移入附錶中。有關「邏輯」 單元的教學,雖然課科計畫更動,但是對於學生邏輯推理能力的培養,卻是不容忽視。幸者認為可以在 課程的單元中,適時的引進何關邏輯的教學。本丈行在介紹如何在不同的市元巾,引進有關邏輯的教學, 筆者分別就有關充分、必要、充要條件之建立,原命題、逆羊毛題與對偶命題的關係等之邏輯概念作說明。 關鍵詞:課程、邏輯、教學活動壹、目 IJ 昌
最近教育部公布預言 j 於 94 年開始實施 的高中數學新課程標准草案中,將「邏輯」 單元移入附錄中。看到這個改變,加上筆者 自葉東進, 1994) 在其執筆的民國 62 年版高 ill 數學實驗教材引言部分,就提到: 「邏輯」乃是討論思考法則的學問。在 一般數學或其他學科中, I 簡易的邏輯」是一 這幾年在高中任教,有一些關於邏輯教學的 個基本的工具,同學並不需要先熟讀 「邏輯 經驗想提出一些對邏輯教學的看法 O 現正使用的高中數學新課程,是於民國 88 年: 7 月開始實施,取代國立編譯館印行的 部編本 O 在此次的課程修訂中將「邏輯」單 元又加了進來( 62 年版有邏輯單元,而原 72 年實施的古巴編本並沒有「邏輯」單元)。加進 來的「邏輯」單元與集合基本概念、函數基 本概念成為第→冊第 A章。 「邏輯」這個單元是不是要列入正式課 程內,本來就是見仁見智的問題 O 也因為女[] 此主會在教材修訂時被移進移出。雖然如 學 J '再來學習數學或其他學科如物理、化 學、經濟學等等,但是對於邏輯的最簡易基 本部分卻一定要弄得清清楚楚,並逐漸熟習 其用法 O 因此有關「邏輯」教學,並不是列入正 式教材時就該教,而不正式列入教材就可以 不教。但我們老師對於「邏輯」單元的教學 該持何種態度呢? 88 年龍騰版教科書的主 編余文卿(1999
)指出: 新課程(按:指 88 年版)在開頭介紹邏 輯、集合與函數三個數學基本概念,為使銜 此, I 邏輯」單元的教與學,卻是 3 個值得我 接國中課程能夠川貝利,特別通過平面幾何知 們去重視的問題,怎麼說呢?因為邏輯推理 能力的培養,對於高中生科學基本論證能 力,有不小的影響力。誠如項武義教授呵! 識引出邏輯中的充分與必要條件。因此「邏 輯」單元在高中數學裹,應該扮演的是推理 工具的角色,而且也是從學生所熟悉的教學-
32 一概念引進「邏輯」教學。 因此我們老師應該也要有這樣的體認, 而不是像有一些高中其學校月考考題,問學
生 I 若 3 =-2 則 3 是偶數,此命題是封為
真? J 諸如此類的問題,大玩邏輯遊戲,甚 至要求學生背真值表,這樣不僅失去邏輯教 學的真義,甚至使學生失去學習的興趣,這 應不是作為老師的我們所樂見。葉東進( 1994
)就指出 數學的性質與定理就彷彿是一部機器, 而邏輯推理能力就是連接這些機器零件的螺 絲釘,乍看雖不起眼,卻是缺少不了它。 邏輯推理能力並不只應用於數學或是其 它科學上,在日常生活有時也常會碰到這類 問題,比如說今年四、五月間爆發的 SARS 疫情,衛生署強調「感染 SARS 一定會發 燒 J' 是否我們的學生也能正確推得「若不發 燒就代表沒有感染 SARSJ
,這種在日常生活 中應具備的邏輯推理能力?作為老師的我 們,是否已經給學生足夠的判斷知識?這是 個值得關注的問題。根據林褔來(1994
)針 對我國高二學生所作研究顯示:有 47.8%認 為老師說「如果 F雨,我就不參加郊遊」與 「如果不下雨,就會參加郊遊」意思一樣, 顯見我們對於培養學生的邏輯推理能力的教 學,還要更加強與努力。而利用數學課程中 的邏輯思考訓練,來加強學生邏輯推理能 力,使學生具備能在數學上、←→般科學 k甚 至在日常生活中,能使用的邏輯思考論證能 力,是一個極重要的管道,也是數學教育在 今天應該可以扮演的重要角色。誠如學者(林 褔來、鄭英豪, 199 7)指出: 就教育國民使有能力進行論辨的目標而 言,暸解對偶命題等價,以進行邏輯論證' 這件事在現今的時空環境中,更具有符合社 會發展的教育意義。 但若是於正式教材中,不用一個獨立的 單元來介紹邏輯,如何在教學中讓學生了解 命題的充分、必要及充要條件呢?又如何讓 學生知道原命題、逆命題與對偶命題的邏輯 關係?並讓學生學習操作反證法與歸謬證法 以論證事件,這些學生應具備的邏輯概念。 這應是 A 個值得我們高中老師去研究的方 向,從這幾年的教學經驗中,我深深覺得, 其實不管課程是否加入「輯邏」這個單元, 邏輯的概念是可以在訐多單元中適時的引 進,與學生→起討論,而這樣引進的教學方 式,更可以讓學生養成隨時檢視她(他)們 正進行的學習或者是解題,是否符合邏輯推 理程序?最重要的是於解題時避免發生錯 誤 O 以下是筆者在教學過程中,引進邏輯概 念在教學上的→些方式及例子。貳、教學單元中,引進邏輯概念的教學
一、有關充分條件、必要條件、充要條 件的教學討論:例:求正 +4x-5
>
0 之解。
耐受而言對於這 J 題的求解,學生要正確寫出本題的答案為 x> 1 或 x
<-5
,應該
不是件很難的事。但不妨在學生已經知道這 個解之後,可以再進一步與學生討論:問題卜試問:若正+4x-5
>
0
'貝IJ
X>
1
或 x< -5 是否成立? 問題 2 、試問:若 x> 1 或 x<-5
'則 33 一x
2+4x-5>0 是否成立?
問題 3 、試問:若 x>1
'貝 I)x>
1 或 x<-5
是否成立? 問題 4 、試問:若 x> 1 或 x<-5
'貝I)x> 1
是否成立? 問題 5 、試問:若 x2+
4x -
5> 0
'貝I)X> 1
是否成立? 問題 6 、試問:若 x>1
'貝I)x
2+4x-5
>
0
是否成立? (一)第一階段的討論:有關「若 P 則 QJ 真假的討論 為什麼會作這樣延伸的討論?起因於筆 者這幾年教學過程中,對學在的觀察發現, 以現今教材而言,學生在高﹒開始學完邏輯 的基本概念後,不少學生會有邏輯已經學完 了,若在二次不等式的單元中,出現「試問:若 x
2-.t- 4x-5>0 則 x> 1 是盃成立? J 這
樣的討論,學生往往不知所措,這樣的反應 緣白於學位,並沒有將她(他)所學的邏輯 概念,轉化為她(他)的邏輯推開能力。正 因為如此當我們老師上到這個單元時,若能 再跟學生作說明:1.
x
2+4x-5
>
0 之解為 x> 1 或 x<-5 其
來源是:γ x
2+4x-5=
(x-l)(x+5)
".x
>
1 或 x<-5能使正 +4x-5
>
0
所以x>
1 或 x<-5二今 x
2+
4x - 5
>
0
(
1 )
又欲使 x
2+4x-5>0 需要
x-I>
0
,
x
+
5
>
0 或是x-I
<
0
,
x
+
5
<
0 成立。所以:x
2+
4x -
5>
0:::::>
x>
1 或 x<-5...
(2) 綜合 (1)(2) 可得:x
2+
4x -
5>
0
~
x>
1 或 x<-5
所以問題卜問題2 為 2. 因為 x> 1 或 x <-5 只要有一個成立即 叫成立'所以: 若已知 x> 1 則 x> 1 或 x <-5 是成立 的。故:x>
1 二今 x> 1 或 x<-5
。 因為 x> 1 或 x<-5
'所以 x 可能在x>
1 的區域,也有可能在x< -5 之區 域,所以: x>l 或 x<
-5 *>
x
>
1
0 3. 結合以上1. 2 的討論我們可以作以 F 兩個 結論.(I) 正 +4x-5
>
0
~
x>
1 或
x<-5
手主>x
>
1
0故 x
2+4x-5
>
0 手三>
x
>
1
國此問題 5 為假。(2)
x
>
1 :::::>
x
>
1 或x
<
-5
~
x
2+
4x -
5
>
0
。
故 x>
1:::::>
x
2+
4x -
5>
0
因此問題 6 為頁。 以上的討論是較仔細的驗證「若 P 則 QJ 的真假,其目的是讓學生養成隨時檢視其解 題過程中,命題的邏輯關係是否等價?若學 生能經由思考直接判斷真假,當然最好。雖 然以現在的課程安排方式,學生已經於第一 冊第 3 章上完邏輯概念,但就好像學完開車 並已經考過駕照,要上路仍需要再磨練一 番, 1"能輕鬆上路。同樣的,老師也要試著 利用不同的情境,讓學生親自利用她(他) 34 一所學的邏輯概念去處理問題方面讓學生 知道邏輯不是在考邏輯 J 出現的,而是吋以 應用在任何單元的,並呵藉由實際演練中, 體會判斷命題真假的方法, t仁昌己 F 判斷技巧 更為重要。若教材修訂後學生沒有 t 過邏輯 概念,以這樣的方式開始「若 P 則 QJ 是否 為真的教學,反而很顯得不刻意,也讓學生 知道要隨時在解題過程中,思考 iP~QJ
ip<=QJ
ip<=今 QJ 是吉為1'4 ?有一 r 這樣的 基礎,即可進行第二階段的討論,有關充分、 必要、充要概念的討論。 (二)第二階段的討論:充分、必要、 充要概念的建立 在上←→個階段中,已將問題l 辛辛問題 6 作過直觀的討論,在這個階段裡,我們可以 引進充分條件、必要條件、充要條件的討論O 經由上﹒個階段的討論,學生已經知道若x> 1
'則正 +4x
- 5> 0
'因此我們可以
跟學生說明: 因為 x> 1 這個條件已經充分到使計 +4x-5
>
0 成立,所以 x> 1 為
正 +4x-5>
0 之充分條件。同樣的若x>
1 或 x <-5 成立則正 +4x-5
>
0 成
立,我們也可以說 x> 1 或 x <-5 局 正 +4x-5 之充分條件。但是因若x
2+4x- 5>
0
'則 x> 1 不→定成立,原因是正 +4x-5
>
0 也有可能 x <-5 。也就
是說 x
2+4x-5
>
0
'則 x> 1 不必要 J 定
得成立,所以 x> 1 不是正 +4x-5
>
0 的
必要條件。但 x
2+
4x -5> 0
'則 x <-5 或
x>
1 必成立,因此 x <-5 或 x> 1 為x
2+
4x -5>
0 之必要條件。綜合上述我們
口J知道計 +4x-5
>
0 為 x> 1 或 x <-5 之
充要條件。 其實命題是古充分、必要?都有其可理 解的中文意涵,因此最好能鼓勵學在以理解 為主,這樣既輕鬆交能隨時應用。 (三)結論 卜 ~P 則 Q 是否為真的探討,比去記住充分 條件、必要條件、充要條件這些名詞還重 要。當然這些名詞的概念學生-定要具 備,但這是要學生能靈活的判斷 p 三 Q 、 P<=Q 、 P<:=>
Q 是否為真之後的後續教學。 2 、其實在任何單元,老師都應該可以在教學 中提供延伸的討論。若是沒有在特定的單 元IfJ 教過邏輯,我們也可以在訐多單元開 始進行有關邏輯的教學。如此, 平方面可 以便學生完成此單元的學習之外,更重要 的是,能使學生更靈活的作邏輯的推理, 也讓學魚於解題過程中知道隨時去檢視命 題間的充分、必要及充要條件,這才是邏 輯教學的最主要目的,也才能使學午在解 題過程中,避免出現不必要的錯誤。 二、有關原命題、逆命題與對偶命題的教學
如何與學生建立原命題與對偶命 題的等價關條?如何引進逆命題的討 論? 其實這些概念可以在日常生活中來引 進,並不合定要在數學課稟,若是擔任導師 的工作,甚至可以在班會中,利用一、兩堂 課作有關之教學設計來與學生討論,而使用-
35 一的題材應該可以利用日常于泊中的例于,而 不需直接使用數學的例子,因為這些命題的 關係'其實就是在口常生活中就可以應用到 的。例如在今年 SARS 時期,報紙常刊有關 SARS 的新聞,我就曾在班會巾利用新聞 t 提到﹒「得 SARS 的患者,必會發燒」這樣的 個話題,來作為教學的題材,來跟學生談 談!早命題、逆命題及對偶命題,以這樣的時 機、這樣的方式,來進行邏輯教學來可 以引起學生的學習興趣,二來也可以讓學 1+. 體認到邏輯的推理是很生活化的,而且相當 重要。以 F 是我提出的題材,我利用命題 作為原命題,慢慢引入其他三個命題,而這 與學生息息相關的常識,往往使她(他)們 馬 t進入狀況,而且很快的了解了原命題與 對偶命題的等價關係'這時我接著引進原命 題、逆命題、西命題、對偶命題的這些名詞, 才t討論之間的關係、與具假。這樣自 H 常生 活中的例子出發,慢慢的即可引進有關數學 的例 F' 並進一步介紹反證法與歸謬證法 等,這樣的方式其中-、兩節可以於班會中 實施,接著就可以在數學課進行後續的探討。
命題一:得 SARS 的患者,必會發燒
命題二:若患者發燒則一定得 SARS 命題三:不得 SA悶,必不發燒 命題四:不發燒貝I) 一定不得 SARS參、養成學生隨時檢驗邏輯等價關係
之必要性
在邏輯單元的考試巾,常出現這樣的題目:
x>
2 則 x>
3
'是否為真?
x>
3 則
x> 2
'是古為其?當然,大部分學生都了- 36
解前→個命題為假,但下一個命題卻是真 的。 升空而言學生均有這樣的判斷能力,但 是在解題過程中卻不時發生錯誤,為什麼會 有這樣的情形,我舉 f固例子來作說明:例:若 I(x) = 的 +b , x ε R' α, b 為
常數,已知 l 三 l(l) 至 2
'
3 至 1(2) 豆 4 ,
求 1(3) 的最大值與最小值。 以卡是不少學生的解法,最後卻發生答 案錯誤的情形:...
1 三((1)三 2 ".1 三 α +b 三 2...(1)
...
3 歪 /(2) 三 4 ".4 三 2α +b 三 6...(2)
山 (1 )叫得 2 歪 α -b 三一 1...
(3)
(2)+(3)口問 2 三 α 三 5 故-5 三 -a 三 -2.. ..科) 交 1 ~三 α +b~三 2......(1)
(1)+(4)吋得 -4 三 b 三 O 文... 2:::;
α 三三5".2
三 3α+b
三三15
故得 2 豆 1(3) 三 15 ...即 1(3) 的最大值15
'最小值 2...但正確答案卻是 6 三 1(3) 豆 11
即 1(3) 的
最大值 11 '最小值 6 為什麼會發生這樣的情形?我們仔細作 ﹒些探討:滿足 l 豆 1(1) 主 2 , 3 豆 1(2) 三 4 的點 (a
,
b )
,
只在 l 三三 α +b 三三 2'
4 豆 2α +b 三 6 的範圍裡'如圖(一)的斜
線區域(即平行四邊形 AECF' 包含邊) ,但
學生在其運算過程中,卻為了計算需要而不小心得到 2 豆 α 三 5
'
-4 豆 b 三 O 這個結
果,其範圍如圖(一)的橫線區域(即長方形 ABCD' 包含邊)。要得到 1(3) 即要得到
3α +b 的最大值與最小值,我們可以使用的點(
a
,
b
)只能是斜線區域內(包含邊)的 點(a
,
b
),但學生卻誤用了橫線區域內(包 含邊)的點(a
,
b )
,當然得到錯誤的結果。y
--7 心而 3 圖(一) 學生於計算過程中常出現這樣的問題卻 不自知,最大的徵結在於學生不太考慮她 (他)在計算過程中,已經將符合已知條件 的命題 P 推到命題 Q' 而命題 Q 有IJ推不出去 命題 p ,這又回到邏輯的是在等價的問題上 了 O 因此,我們實在有責任隨時以」些例子 跟學生介紹這個問題,讓學生在不斷的學習 中培養隨時檢視她(他)們的解題過程。 接著我們在來看另一種情形,若正 =4 則 x=2 ' 是否為真?幾于大部分學生均能 知道這是錯的,因為正確答案應為 x=+2 或x=-2
' 學生會因為考邏輯而作詳細的判 斷,但在解題時卻往往忽略了。我們來看另 →個例于: X 句/ 丹、 d例 :α= 阱,1)
,
b
=
(2,3) 且 α 'b 向量
M-3
4E-一叫一
3吋
LV
案恥題
求
答
←
解
出 有 生 。 解 只 學ω
生卻般
為 學 案 一角
多
答
看
夾蠻但請
第一步 :α·b=1αII
b
I
cos60。
2 k d = F I H ( 1 )
第二步:平方(2k+3的仇叫×j
(2)
13
‘
1 第三步:解二次方程式得到 k 三 8 士一二二3
若是沒有養成在解超過程中,隨時檢視計算'回
13‘ 1
過程,即很可能馬上付至IJ k 三 8 士一之二這樣3
的答案,但卻不知去檢查。以本題為例,在 第二步中學生將第一步的結果加以平方:其 結果分析如下民仙
一川
~(2k+3)2=(仇叭
但
(2k+3)2 =(k 2
+叫吋巾
l昀似叭
)x
2扯k+吋3=FZT dExj
因此由(川)2=(bM× j 所得到
的 k ,當然不是符合原始條件的 k 0