與物體相連之彈簧的縱向振動

(1)

與物體相連之彈簧的縱向振動

捕要本文分部臨質點與波動觀種觀點，探討一端思定，另端與物體梧 i蜜之彈簧的縱向振動。結果單示一般物理教科書所給之簡撥振動頻率公式，，才能成立的。本文導出此物體與彈簧系統的駐波振動顛三容所必須滿足的…般性豆豆散芳程式，其解龍括此系統的華吉普頻率，與所有篇稿泛苦的頻率。議，彈護與物體的質量義上七甚小時，可視Jlt比之平方根為微量，高興色散方梅式做低~答展闕，求出其近似解的公式。果顯示在 1!t 微擎的二階近 1刀、， 1其實點與按動方式獲得的基音頻率，確實是賴 i穹的，但波動方式之解渴包括泛裔的頻率。 f 並非唯一可能之振動頻率， lbt彈實與物體組成之系統，還存在乎等其他較高之振動頓率，亦即泛嶺， lbt 一結論在將彈簧曬為可以傅建蹤誼之介質時，即可明顯看出 c 目的，是聽指出上讓費點與波動聽種觀點問之關勝，以攪{共 2月 i記系競縱向撥動之更深入了解，以作為高取與大學教學之參考。在探討詞題峙，本文偉設此可單

…--..

x 簧.中旁聽」系統權觀幅鎮離其靜力平衡態，而與物體相 i車之彈麓的縱向振動考譚一均勻之螺總摺彈簣，設其力常數

k

' 自然晨1寰主義 L' 釋、質量為 m' 截揮積為

A

0 lbt 彈簧平放於一無摩擦力的水平面上，其縱車嘉興 x 軸重金，如下攝一所示，彈藥一端悶定於 x 話 o '另攜位於 x

==

L '

M 的物體相連接。月1 _M 若將質蠶為 M 的特轍， I歸為一受彈賞力作用之質點，則可由牛頓第二運嘉定律求解其鐘聲，時知物體沿 x 輯之選動為嚮諧撥動。心般高中與大學普通物理教科番， i置常都 f躍投彈麓的體蠶可以忽略，時給出將體做簡諧振動的獨率 f 'P.主

f= 土 J上

2 n:

V 九f •• 、包畫，'，且 ra 圓、、

黨尚芳

觀立聾灣大學

物理系

主主橫鸝誼之雷積 A t草本改變擎永 j鑫維持為一定價。當彈簣措轍輯方向微蝠伸縮時，其應力 (即每單位頭積受到之力)與應變(即伸長暈與原來長度之上七)成正比，故以力 p ，自然長度 ι ，伸長最 LlL ' 及截面積 A 表示峙，此正比輯{系可表示為

F=y 坐

A

L

(2a)

J二式中 Y 為比例常數，可躍為彈簧沿雛

(2)

科學教育另刊第 240 期中華民闋九十年六是軸方 i晶體輯 f中捕時之有效楊氏係數。依虎克定律，力 F 與掙錢量，1 L 成正比，其比例常數部彈黨之力常數 k ' 故土武亦已1 寫成

ð.L

F=AY 一==

k

ð.

L

(2b)

即比飼常數 Y 可表示如下:

Y=k

L

A

(2c) 設;這位 x)代表位在 x 鐘之彈簧藏語站 x 方向的f立移，點三(

L

)即物體 M 之f立移。 x 笠I1

x

+

,1

x 之 IJ 、段，其自紫5美釋為

,1

x

' 阿拉f敢怒覺~f[6T用 f立移表示為

ð.ç 寸 (x+ Ax) 一位，主)

x 鍵之彈黨截國斯受來自其右方撞車接音5分沿 +x 方島之力為 F(x)' 聽說小段、在南鵲宮之鄰接部分，對其所施之作財力分別為腳 F( 約與 F(x+ ，1 x)

""

F(x) 。依楊氏係數之定義，閉式 (2a) ，可得以下關係:

ð.

ç

13

ð.

ç

F(x)=AY …一口 kL 一

Ax

(2d)

(一)均勻主義變下彈簧之振動頻率

在彈簧編輯體系統做微幅振動哼，者彈，到曬都是均勻的，民日糟糟，1ç

/

L1;互為常數，與 X 達標無闕，即

ð.

ç

…

ç(x) _

ÇM

Ax

x

L

(3a)

或

5(X)=qx

x

(3b)

，其草草薩拉x) 為f立移位x) 對時間之額分，故由式 (3b) 可得

扣)守x

(3c) 上式中之 ÇM 為物體擺動之還度 O 的彈簧

m

I L

' 故河和照上式，先求上起彈量實上f立於 x 到 x+ 在x 芳、段之動能，以積分求出其釋:穎，而得彈簧之聲能為 I ,.L m 兩 K可立斗 L '~. dx) 記 (x)V

'"

2

恥扣o

'L

=~(凸史叫)(泣

ι%

趴)河LL

x

2 2'L"L~'JO

mFFL31

、

二三手(一)一 m毛主

三D

'3' 6

思物體之溫度為 ι ，故物體之動能為 (3d)

成

J

I

…

2 K

(3e)

Jlt系統之位蛇，可辯力常數 k

f,

(L)

，或物體之位移丸，

U=j肉;

₍₄₎

綜合以上結果‘苟安日此彈簣，物體系統之總力學能為

E=Ks+KM+U

:1(M+ 史)ι 十 ~k;1

_{2 '}

_{3 '}

~ m

2

~

".

(5)

:當此系統曬於靜止平奮靜、峙，式 (4) 用揉用之位能為零，符其總力學能溶為嚀。上

M

+

m/3 、力常數為 k 子所具有之總力學能， Jlt蟬黨﹒物體系說?itx 方向之運動確為鶴諧擴動，其在長動頻率為

10 =土J~

,

2rc

V 且J

+m/3

₍₆₎

-4。一

(3)

比較(1)與 (6) 靄式之結果，可知一概教科書意見之鶴諧振動頻率公式，部式(1) ，其實是館設彈簧應變為均勻，間再錄音霄，僧露 m 時人之結果 e

(斗)~台 +x 方向傳遞之彈簧縱波的波速

，嘉措位村方向傳遞之正弦縱誤。骰投此波之振福海去。'渡長為 λ ， i皮速為 u ' 貝Ui皮之頻率f 可自 fλ u 之關係決定 o 在任一持對Jt ' 此波之投奔手可表示為

主(x)

;0

sin 竿忙的

A

n)

上式中長x) 站在 xß麗的彈簧截面站 x 方向之f立移(由平衡位置起算)。若由上式求上已f立移缸x) x 之微分後，再代入式 (2d) 之右禮，員。可得知在此醬面右闊的鄰按部分對其研施之力 F(x) 為

八é

._ U

FU):AY-ELzkL-Z

Lix

=生財。 cos墊付一的

A A (8的彈簽上位於 x 到 x

+.1

x

疫站f立移 ç (x)對待聞之二次微分之 (x) ，前彈簧之線質量驚度為 mlL ' 故此小段之費量為

m

.1

x/L

0 此小段的左、右閑 j嘍，受到之作用力分別為 -F(x)與 F(x+.1

x)

，故也牛頓第二蓮，可得此小路彈襲之 j舉動方程式為

llF

==

F(抖抖 -RX):(; 似的)恃

~p

在法竺~'(x)

Lix

L

(8ι) 與物體格達之彈養的縱向振動前 (7) 與侈品)調式可求出上式兩邊之苦頭分，盟郎

_F

d扣(牡仲

x

(8d)

LJF

.m 勻一一:一(-:r

y

kL; 村)

LJx

λ(8位)

綜合(8c) 、 (8d) 、 (8的三式之結果可得

kL= 竺 u

2

L

_仰的

即按連U

為

(9b)

上式中第三個等式係利用式。c)之閣探求，問 ρ 剖代表彈簧之體質量連三度。 (三)縱向駐波的指動頓率必須滿足的方

程式-色散方稅式

假設!f:七彈簧﹒物體系授以單一頻率 f f.故縱向駐波振動，則知其波長 λ u

/

f

0 形下，彈簧各融面時以頻率f做簡諧振動。器彈實位在 X 紅 O 之一端盟定不動，其 f立移恆，故在時要Ú t 峙，位於正處之彈黨截間，其瞬自 f立移可表示為訂仲x

鬥

21Cf

呵 λ

=l丸~ s幻1I狡1 …一…… x.s釗1ll.L.己lCTl

z

U

(l

Oa)

上式中之常數 C 為接蝠，且彈實各點之f立移均為零時，取童話時刻 t

=

0

0 出物體與彈黨f立於 x 認 L 之一端 j敢接，故物體亦必以頻率 f1ì故臨諧振動，真加運度

。M 及戶ff愛來自彈襲的作用力 FM '均與其位移

5 師，亦即 ç

(x=L)

，成正比。但E 作用於彈簧 X 且 L 端之力只知L) ，實際上乃是來自物體，與 FM 有作用力與反作揖力的臨 f系， ~p

(4)

科學教育月刊第 2 益。期中華民國九十年六月 FMt

… F(x=L)

,

一 F(x

=L) =M a

M 二

_-M(ûcjYç(x

=

L)

將(1 0的與 (2d) 關式之結果代入上式，

2Jif __ _/2Jif

-kL ﹒一一 cos(一… L)

u

=

-M(

2Jif

)2

sin(

2Jif

L)

U 、且，/ KH 仇" ,EA

rs-(1

la)

故式內的或 (9b)

,

2tifL

>. L _ _. /

2tifL

亡叫一一)tan(一一)

M

U

、_SF '。電_ZZ 唔，且 dsz 、 c=mIM' θ=(2π f

L!

u)

，貼上式可改 C

=tanθ

θ

(l

lc)

，若以 y 搞縱轍，。童話橫軸，曲線 y

=

c/

e 與 y

=

tane 相交之各點戶牙醫。或 f' 即王先(11 的之縛。此等解有無窮多'}正常 c=ml

M

<<1 時，均串現在 θ 訊問附近 (n 0， 1 ， 2， 3 ，"')'如置二所司令 3 y 蠶二 (四)縱向駐波之基音與泛音頻率設 m<<

M

' 罵自矗立或式 (11 的可看出品{吏。 =(21吭L!u)<<1 ' 布在此情形下，正切函數可腰間成下式:

sin()

()一 ((}3

/6)

+

((}5

1120)

tanθ= ……-::::::

cos(}

1 一份2

/2)+(tr /24)

_ (}3

2θ5 ::::::fj+ 一一+一一一

3

15

將此結果代入式(1 1b)

,

之近 1M 方程式為

竺怨。2+ 至1

lkf

3

(13的 () 2 之二次方程式，韶二~方恨之公式

(12)

。2 …… 3

_-

+

3"'1

+

4m/

3lkf

2

1 Am.

1

A 削今 =一{…仆仆仆」之)…一(~之)~

+...}

2 '

2 '3lkf/

8 '3lkf

化史(l一三位)

九f' 3凡f/

(1

3b)

故如視質量上仁 (mIM) 之平方接為數量參轍，貝司在成錯釁參數之二:階近 {J:}，下，

。平妝品)刊云云

(1

3c)

綜金(3由與 (9a) 兩式之結果，即可得駐波之基

五怒哀~M+km/3

(1

4)

上式之結果與式 (6) 相同，故不論是用質點或波動方式，在微盤參數之二階垃似下，爵的。正代表第糾結音之擴樂 (

n

=1

,

2 ,

3 ,

。 211:

=

n

:rr

+f.

U

(…1t /

2

~三f.

<1t

/2)

則告式(l lb)可得

(1

5)

-42

(5)

;立4θtanB 口吋(燃叫吋枷

an

(l

6a)

當 m<<M 時，上式顯示 tane 之值很小，自此 εm&;，績很小，故可將正切接i 數展揖拍得

z

手卜紡叫巾(伽

M

…+叫叫

ε

(l

6b)

如保留徵小最玉萃三(伽mlM) 的三賠，則由上式可得

1 勻勻

4m 、

5= 一{…nJT 十 .In-JT- 十一一-) 2 、 V

M

海之士(1…叮咚:-;)

nJT M

n-JT-M

曲式。a) 、(1 5)與(l 6c)可得第 n 率凡的近{J;J，驛站

(16c)

fn 才Jf

nJT

{l+云霄(1一法聶)}

若只謀留 (mIM) 的一次頃，立 n 很大時，之結果亦可表示為

叫平抖出

(1

i

+

十一γ …-I~ n1t ‘卜一十一0

~.

J

~

n

1t

，/主 J

nLJTL九r

Vm

3"U

(1 7的可見一館前言，此系統之泛音頻率，並非暴音頻率之聲數倍。與物競相連之彈簧的縱向振動 (五)彈簧之兩端閻定時，織向駐波之基奇與;乏音頻率彈簧之爾端若均固定，則可視之為物體 M 曬近於無窮大之情形，位此時彈黨蟬，實際上即為 i沾上結果在 M 撞近於無窮大之極限懼。故由式 (l 4H專輯率 /0 為零，即彈黨靜止不動，此解黯然可自可能之振動頻率中剔除;但串式 (17 的則可求得嵐清提下彈蜜之主基督與泛音頡，結果為

L=;而

( n

=

1 ,

2 ,

3 , . .• )

(l

7c)

由上式可望寄出此時彈盤上縱向駐波之泛音纜車，凹的之瞬 f系，

與物體相連之彈簧的縱向振動