弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）

(1)

弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1. 一个直角三角形绕它的一边所在直线旋转一周所得到的几何体一定是( )． A．圆锥 B．圆柱 C．圆锥或圆柱 D．以上都不对 2. （2015•杭州模拟）如图，扇形 AOB 中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D 为 AC 的中点，当弦 AC 沿扇形运动时，点 D 所经过的路程为（） A．3π B． C． D． 4π

3．如图所示，已知点 A、B、C、D 均在已知圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形 ABCD 的周长为 10cm，图中阴影部分的面积为( )． A．

3

2

B．

2 ₃

3 



C．

2 3

D．

4 3

第 3 题图第 4 题图第 5 题图

4．如图所示，Rt△ABC 中，∠BAC 是直角，AB＝AC＝2，以 AB 为直径的圆交 BC 于 D，则图中阴影部分的面积为( )． A．1 B．2 C．

1

4 



D．

2

4 



5．如图所示，在△ABC 中，BC＝4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 P 是⊙A 上一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是( )． A．

4

9 



B．

4

8

9 



C．

8

4

9 



D．

8

9 



6．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径 OB＝6cm，高 OC＝8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )． A．30cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．120cm2 二、填空题

7. 如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，_{AB } ₃，以 A 为圆心，AD 长为半径画弧交 BC 于点 E，将扇形 AED

(2)

第 6 题第 7 题

8．圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比为．

9．已知在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，把 Rt△ABC 绕直线 AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 S1，把 Rt△ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 S2，则 S1:S2等于________． 10．如图所示，有一圆心角为 120°、半径长为 6 cm 的扇形，若将 OA、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是． A B O 第10题图第11题图第12题图

11．矩形 ABCD 的边 AB＝8，AD＝6，现将矩形 ABCD 放在直线l上且沿着l向右做无滑动地翻滚，当它翻滚到类似于开始的位置 A1B1C1D1时(如图所示)，则顶点 A 所经过的路线长是________． 12．（_{2015•河池）如图，用一张半径为 24cm 的扇形纸板制作一顶圆} 锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是 . 三、解答题 13. 如图所示，圆锥的母线长为 4，底面圆半径为 1，若一小虫 P 从 A 点开始绕着圆锥表面爬行一圈到 SA 的中点 C，求小虫爬行的最短距离是多少? 14．现有一张边长为 20cm 的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗?说明你的做法并计算圆锥的表面积(结果精确到 0.1cm，

2

＝1.414)． A B C D E

(3)

15．如图所示，有一直径是 1m 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为 90°的扇形 ABC．求：(1)被剪掉阴影部分的面积；

(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少?(结果用根号表示)

16.（_{2015•福州模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 AC=2，∠B=30°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求：} （1）BC、AD 的长；

(4)

【答案与解析】一、选择题 1．【答案】D；【解析】绕直角边所在直线旋转一周所得到的几何体与绕斜边的不同． 2．【答案】C；【解析】∵_{D 为 AC 的中点，AC=AO=6，} ∴_OD⊥AC， ∴_{AD= AO，} ∴∠AOD=30°，OD=3 ，同理可得：∠_BOE=30°， ∴∠_{DOE=150°﹣60°=90°} ∴点D 所经过路径长为： = = ．故选_C． 3．【答案】B；【解析】如图，因为 AD∥BC，∠ADC＝120°，所以∠BCD＝60°，因为 AC 平分∠BCD，所以∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝30°，所以∠BAC＝90°，BC 为圆的直径，

所以 AD＝DC＝AB．设 BC 的中点为 O，连接 OA、OD，由题意可知点 A、D 三等分半圆，则∠AOD＝60°，且 OA＝OD＝AB＝AD＝CD，BC＝2AD，所以 AB+AD+CD+BC＝10，

所以半径为 2，则

2

3

AOD

S

扇形



S

扇



S

_







．第 3 题答案图第 5 题答案图 4.【答案】A；【解析】连接 AD，

1

2

ABC

S

阴影



S

 ． 5．【答案】B；

【解析】如图，连接 AD，因为 BC 为⊙A 切线、D 为切点，所以 AD⊥BC．又由∠BAC＝2∠EPF＝2×40°＝80°， ∴ 2

80

2

8

360

9

EAF

S

扇形











． ∴

1

8

4

8

2

9

ABC EAF

S

阴影



S

_



S

阴影

 

BC AD







 



．

(5)

【解析】在 Rt△COB 中，由 CO2 +BO2 ＝BC2 ，得 BC＝10cm，所以

1 2 6 10 60 (cm )

2

2 S

侧

 



 





．二、填空题 7．【答案】1 3；【解析】在 Rt△ABE 中，

2

( 3)

2

1

2 BE





 

AE

∴∠BAE=30°， ∴∠DAE=60°， ∴圆锥的侧面展开图的弧长为： = π， ∴圆锥的底面半径为 π÷2π= ． 8．【答案】2:1；【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为l， ∵ 圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴ 此半圆的周长(即侧面展开扇形的弧长)为

180

180 



l

．又∵ 此半圆的周长等于 2πr， ∴

180

2

180 

l





r

，



l



2 

r

，

l



2 r

，即

2

1 l

r



．即圆锥的母线长与底面半径比为 2:1． 9．【答案】2:3；【解析】如图所示，当以 AC 为轴旋转时，

S

₁





r

2



S

侧，AB 为底面圆半径，BC 为母线长 10，则 S1＝36π+60π＝96π．当以 AB 为轴旋转时，AC 为底面圆半径，BC 为母线长，

S

_侧





rl



80 

，所以

S

₂



S

_底



S

_侧



64 



80 



144 

，所以 S1:S2＝96π:144π＝2:3． 10．【答案】

4 2cm

；

(6)

【解析】扇弧长

120 6 4 cm

180 



_

_

，而扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面圆半径为 r，∴ 4π＝2πr，∴ r＝2cm．如图所示，AC＝2cm，OA＝6cm， Rt△OAC 中，OC＝

OA

2



AC

2



4 2

cm． 11．【答案】12π；【解析】分析题意，考虑 A 所经过的路线可分为三段孤长，如图所示，第一段是以 B 为圆心，AB 长为半径，圆心角∠ABE＝90°的弧长；第二段是以 F 为圆心，EF 长为半径，圆心角∠EFM＝90°的弧长；

第三段是以 N 为圆心，NA1长为半径，圆心角∠A1NM＝90°的孤长．EF＝10，NA1＝6．

则顶点 A 所经过的路线长＝

  

AE EM MA



₁



4 



5 



3 



12 

． 12.【答案】_{240π cm}2 . 【解析】这张扇形纸板的面积= ×2π×10×24=240π（cm2）．三、解答题 13.【答案与解析】将圆锥的侧面展开如图所示，取

SA

的中点C，连接AC．则AC是小虫爬行的最短路线． ∵

2

1

4

180 n



 



， ∴

n  °

90

，即



ASA

 °

90

． ∵ SA＝4，SC＝2， ∴

AC 

4

2



2



2 5

． ∴ 小虫爬行的最短距离为

2 5

． 14. 【答案与解析】用一张正方形纸片制成一个有底圆锥，方法有多种，但使其表面积尽可能大的只有一种，确定了扇形、圆、正方形三者之间的关系之后；就可通过计算求出扇形及圆的半径，并制成符合条件的圆锥．

(7)

(1)通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示． (2)通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线． (3)剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．其表面积的计算过程是：如上图所示，设扇形的半径为 Rcm，⊙O 的半径为 r cm，M、N 均为切点，连接 OM、ON．则有 OM⊥BC，ON⊥DC． ∵ OM＝ON＝r． ∴ 四边形 OMCN 为正方形． ∴ OC＝

2r

． ∵ AC＝AG+GO+OC，AC＝

2

AB＝

20 2

cm， ∴

R r

 

2 r



20 2

． ① ∵

EF



的弧长等于⊙O 的周长， ∴

1 2

2

4 



R





r

，即 R＝4r． ② 由①②得

20 2

4.41

5

2 r 



≈

， ∴

1

2 2

4 S

表



S

侧



S

底





R





r

． 2 2 2 2

5 

r

5 3.14 4.41 cm

305.3cm



 



≈

．故所做圆锥的表面积约为 305.3cm2 ． 15. 【答案与解析】（1）连接 BC． ∵ ∠BAC＝90°， ∴ BC 是⊙O 的直径，∴ BC＝1m． ∵ AB＝AC， ∴

2

2 AB AC



m．

(8)

∴

S

_阴



S

__O



S

_扇形_ABC 2 2 2 2 2

1 _m

1

2 _m

1 _m

2

4

2

8 

 











_{ }



_

_



 

_

_

．（2）设圆锥底面圆的半径为 r， ∴

2

90

2 ₂

180 r







． ∴

2 m

8 r 

． 16. 【答案与解析】解：（_{1）∵AB 是直径，} ∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），在_{Rt△ABC 中，∠B=30°，AC=2，} ∴AB=4， ∴_BC= ₌₂ ， ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D， ∴∠_DCA=∠BCD ∴ _{= ，} ∴_AD=BD，

∴在Rt△ABD 中，AD=BD= AB=2 ；（2）连接 OC，OD，

∵∠_B=30°，

∴∠_{AOC=∠2∠B=60°，} ∵OA=OB，

∴_S△AOC= S△ABC= × ×AC×BC= × ×2×2 = ，由（_{1）得∠AOD=90°，}

∴∠_COD=150°，

(9)