空間向量

(1)

第十一章空間向量 P151 第一單元 1/1 0 30 0 30 1. Ans:(B)(C)(E) (A)要不共線三點 (D)無限好 2. Ans:(D) 如圖1 2 tan 1 tan 2 SO SO DO EO DO   EO       O在B的平分線上，同理O在C的平分線上 3. Ans:(A)(B)(E) (A)同上題 (B)BD AC =(AD AB )AC = AD AC AB AC =0 (C) 右圖中， 2 =10 3 3 3 BH  中線長 DH= 2 2 10 6 3 DB BH    (D) 取 AC 中點 MBM DM  中線長= 5 3 在BMD中，cos 1 3 BMD    所求=1 3 (E) 所求為MN 5 2(等腰BMD底邊上的高 ) 4. Ans:(1) 6 3 (2) 1 3  (3) 2 2 (4) 2 6 (1) 如圖 OM ON  正三角形中線長= 3 2 MN=正方形的邊長 =1 由餘弦 cos = 1 sin 6 3 3     (2) 如圖 PBPD 正三角形中線長= 3 2 BD  2餘弦 cos = 1 3   (3) 高= sin 2 2 OM   (4) 體積=1 2 2 2 1 3  2  6 5. Ans:(1) 3(2)1 2 2 (1)如圖，PQ E_OYZ,且QR OYPROY 0 3 OR=1 cos 30 2    (2) 0 3 3 1 tan 30 2 3 2 RS OR   

(2)

第十一章空間向量 P153 第二單元 1/1 1. Ans:(3,4,6) 令 2 2 2 2 2 2 52 ( , , ) 45 , , , 3, 4, 6 25 y z P x y z x z x y z x y z y z             _ _  ，由題意可知又均為正 2. Ans: D( 4, 3,13)  AB = (3,1, 4) AB/ /CD CD, 2ABCD =2AB = ( 6, 2,8)   D(4, 3,13) 3. Ans:如下 OG 1( 3  OA +OB +OC )=(14,3,13) 3 3 BD CD:  AB AC: 3 : 5OD =₈ 5 OB + 3 ₈OC =(21 15 19, , ) 4 4 4 BE CE: AB AC: 3 : 5OE = 3 2  OC 5 2  OB = (9, 0,1) 4. Ans:DM RQ, 以 H 為原點，定座標，用內積檢查可知 5. Ans:如下 (1) 2 2 2 2 1 1 3 1 , , >0 ( , ) ( , ,0) 2 2 ( 1) 1 x y BD CD AB x y x y x y        _        又均 (2) 令 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 6 ( , , ) 1 ( 1) 1 ( , , ) ( , , ) 2 6 3 1 1 3 ( ) ( ) 1 2 2 AB a b c A a b c AC a b c a b c AD a b c          _                 _ _ _ _ _    (3) E 為 C.D 中點為( ,3 3, 0) 4 4 BH HE : 2 : 1  OH=2 3  OE +1 3  OB =( ,1 3, 0) 2 6 6. Ans: 6 2 14 如圖 '(3,4, 5)A  PAPBPA'PB A B' 2 14 所求 6 2 14= 

(3)

第十一章空間向量 P155 第三單元 1/1 1. Ans: 1 37 設立座標 (6,0, 4) B(6,6, 3) D(0,0,3) cos DAB= 1 37 A 、、，由內積  2. Ans:(1)1 2 2a (2) 2 5 8a 如右圖，設立座標 ' ' 2 A D   右圖為原題意的相似形(伸縮 2 a 倍) (0,0, ) ( ,0,0) (0, ,0) ( , , ) 2 2 2 2 2 2 a a a a a a A B C D  、、、 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 a a a M  (1) AB AM=1 2 2a (2)  AM AN =5 2 8a 3. Ans:5 2 2 2

AD  AD    ABBCCD 1222 32   2 1 2 cos600   2 1 3 cos 600   2 2 3 cos 600=25 4. Ans:(1) 1 2  (2)3 (3) 3 2  (4) 3 2 (1) (2a b )//c (3, 1, 4) / /(2 , 1 ,2) 1 2 t t t         (2) a c (2, 1, 2) (2    t, 1 t,2)   0 t 3 (3) (a + tb )b 3 2 t    (4) 3 2 a t b  t 5. Ans:(1) ( , ,0)3 4 5 5 (2) 2 14 ( , ,3) 5 5  (3) 2 2 (1)令AD = tAB =(3t,4t,0)∴CD =AD AC = (3t1, 4t2, 2) AB 1 5 t   (2)OD =OA +AD = ( 2 14, ,3) 5 5  (3) 所求=CD 2 2 6. Ans: 最小值 7 34  ， 7 8  x ， 7 9   y ， 7 10  z 求式= 2 2 2 (x2) (y1) (z2) 6 [(x2,y1,z2) (3,1, 2)] 2 [(x2)2(y1)2(z2) ] 142   2 2 2 2 (5 6 1 4) 8 ( 2) ( 1) ( 2) 14 7 x  y  z      ，求式最小值為8 6 34 7   7 “=”成立時， 2 1 2 3 1 2 x y z   又3x y2z50，可得 7 8  x ， 7 9   y ， 7 10  z 7. Ans: (1) 35 (2)36 (1) 2 [( a, b, c) (1,3,5)] (a b c) (1 9  25) a 3 b5 c 35 (2) 1 4 9 2 1 4 9 [( , , ) ( a, b, c)] ( )(a b c) a b c   abc   2 1 4 9 (1 2 3) 36 a b c       

(4)

第十一章空間向量 P158~P159 第四單元 1/1 1. Ans: (1)1:(2):1 (2)2 (1) : : 98 99 : 97 99 : 97 98 1: ( 2) : 1 99 100 98 100 98 99 x y z    (2)令xt y,  2 ,t zt代入求式=2 2. Ans: ) 7 1 7 3 7 2 (   ，，令所求為 (2, 3,1) (2 , 3 , ) = 2 1 7 ta b  t  t t t，又ta b    t 所求= ) 7 1 7 3 7 2 (   ，， 3. Ans: ACD (D)第一列提出 2，再乘入第二行 4. Ans: (1)2 (2)0 (3)19110 (4) (ab)(bc)(ca)(a+b+c) (1)直接展開 (2)第一提公因式 5、第三列提公因式 7 後兩式相等 (3) 40 20 10 90 89 88 2001 2000 1999 1999 1 2 88 1 2 10 10 30  第一行加到第二、三行 1911 0 0 88 1 2 10 10 30    第二列 (-1)加到第一列第一列降階展開 19110 (4) 3 3 ( 1) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 0 1 0 a a a a b b b a b a c c c a c a        第一行加到二、三行  二三列提公因式，第一行降階展開 (ab)(bc)(ca)(a+b+c) 5. Ans:(A)(B) 2,3 1 (a+b+c) 1 = ( ) 1 1 a b c b c b c a a b c c a c a b a b    行 1加到1行第行提 1,0,0 2 2 2 (a b c a)( b c ab bc ca)         化成展開 2 2 2 2 2 2 (a b c a)( b c ab bc ca) 0 (a b) (b c) (c a) 0 a b c                    6. Ans: (1)t3或t6 (2) 2 3  AB = ( 4,8), AC = (t 1, 2t4) (1)1| 4 8 | 36 3 6 1 2 4 2 t t t or          (2) 4 8 | | 1 2 4 t t      =0 3 2 t    7. Ans:23 1 1, 1 2 2, 2 1 ( 2.5) 2 , 1 2 1 2 ₂ ₁ _, 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 5 4 1 1 1 | 2 3 5 4 1 2 2 2 3 5 4 1 a b c a b c a a a a PQR b b b b c c c c             第列加到第列消去第列倍數加到第列消去 1 2 1 2 1 2 1 23| 1 |=23 1 a a b b c c  8. Ans: 最大值 150，在c   (14 , 10 , 2) 時產生仿 P158 例題三，求式有最大值(2,3,1) (1,1, 2) 10 3   5 3 10 3 150 此時 ( , , ) (2,3,1) (1,1, 2) (14 , 10 , 2) , , 10 3 x y z c x y z              

(5)

第十一章空間向量 P60~P161 試題觀摩 1/2 1. Ans: 4 10 15 設立座標 (0, 0,0)O 、 (0, 0,6)A 、M(0,2,6)、 (3,6, 6)N ，可得cos 4 10 15 MON   2. Ans: (3)(4) (3) OAOB+OCOD=BA +DC=0

(4) OAOB=OA OB cosAOB、OCOD=OC OD cosCOD，由圖可知 (4)對 (5) OAOC= 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 3 2 2 2 AOC            3. Ans: ABCD (A) 如圖， AM CD且 BM CD，直線CD與平面 ABM 垂直 (B) AB CD =AB(ADAC )=ABADAB AC =0 (C) 1 1 0 0 cos cos 60 60 3 2

AMB AMB ADB

         (D) 即 0 60 AMB   (E) 3 <BA 2 BM  邊長 4. Ans: (1) 3 (2)24 2 設立座標 A(0,0,0) 、 (0,0, 6)E 、F'(4, 0,5)、 (0,8,0)D 、H'(0,8, 4) (1) 已知 3 點可求得平面EF H' '為x y4z24 G'(4,8, 3)GG'  6 3 3 (2) EFGH的面積= ' ' ' ' ' 1 ' 1 ' ' ' ' 24 2 2 2 EF H G H F EF EH F G G H           5. Ans: 6 5 設立座標AB 為x 軸、AD為y軸、AE 為z 軸 =P( , , )3 1 2 = ( )1 2 ( )2 2 5 4 2 3 x 2 3 6 所求到軸的距離   6. Ans: (1) 2 97 (2)z 3或z 3 (1) 1 1 2 3 1 97 | 98 99 100 | 6 2 2009 2010 2008   第行 (-1)加到2,3行第2行化成1,0,0降階展開 (2) 1| 2 0 0 | 1 3 3 3 6 1 3 0 x y z z z       7. Ans: (1)(4) 設立座標 E(0,0,0) 、 (0, 0,2)A 、 (2,0, 2)B 、 (0, 2, 2)D 、M(2, 0,1)、 (1, 0,0)N 、 (1,1,1)K 計算可知 8. Ans: (1)(3)(4) (1)(2) G為ABC的重心OG =1 3(  OA +OB +OC )， 由已知 OD=3OG O、G、 D三點共線且 OD3OG (3)左式 = (O D OA )＋ (O DO B )＋ (O DO C )= 2O D (4)重心必在 ABC的內部

(6)

第十一章空間向量 P60~P161 試題觀摩 2/2 9. Ans: AE 令A( 2, 2, 0)、B ( 2,2,0)、C ( 2, 2, 0) 、D( 2, 2, 0) BC 4， CD = 2 2 ，AB 2 2 A、B、C、D 位置如圖，且此正方形邊長為 2 2 ，由距離可推得答案為 AE 10.Ans: 3 8 如圖:MN即為公垂線長= 3 2 2 2 2 ( a 4 ) (a 3) MN 3       8 3 a   註:AM 2 33OAAMO為銳角垂足必在N OA上 11.Ans: 125 3 144 高=9 sin 600 9 3 5 10 底面積=1 12 16 96 2 5  5 25  體積= 125 3 144