三階段學習環在數學領域之教學應用

三階段學習環在數學領域之教學應用--

以圓周率為例

許育彰

國 立 臺 灣 海 洋 大 學 師 資培 育 中 心

壹、緒論

三 階 段 學 習 環 是 20 世 紀 60 年 代 初 期，由 美 國「 科 學 課 程 改 進 研 究 」（science curriculum improvement study，簡 稱 SCIS） 首 次 開 發 出 來 的 一 種 科 學 教 學 模 式 ， 最 初 稱 為 「 探 索 － 發 明 － 發 現 」（Exploration- Invention-Discovery ）（ Karplus & Their, 1967），後 來 有 一 些 學 者 將 其 稱 為「 探 索 － 概 念 介 紹 － 概 念 應 用 」 (Exploration- Concept Introduction-Concept Application) （Karplus, 1977）， 但 是 到了 1980 年 代後 期，Lawson 等 人（Lawson, 1988; Lawson, Abraham, & Renner, 1989）在 建 構 主 義 思 潮 的 影 響 下 ， 認 為 概 念 是 要 靠 學 生 自 己 去 建 構 形 成 ， 而 不 是 單 方 面 由 教 師 可 以 直 接 介 紹 給 學 生 ， 因 而 特 將 此 三 個 階 段 改 稱 為 「 探 索 － 術 語 介 紹 － 概 念 應 用 」 (Exploration-Term Introduction-Concept Application)。此種 說 法 一 經提 出，隨 即受 到 學 界 普 遍 的 認 同 與 採 用 。 許 多 實 徵 研 究 更 具 體 顯 示 ， 三 階 段 學 習 環 教 學 模 式 不 僅 能 使 學 生 對 科 學 概 念 有 較 佳 之 理 解 及 記 憶 外 ， 而 且 還 能 夠 發 展 學 生 的 科 學 思 維 與 過 程 技 能 ， 提 高 其 推 理 能 力 及 參 與 科 學 活 動 的 積 極 性 。（Lawson,

Abraham, & Renner, 1989; Musheno & Lawson, 1999; Gerber, Cavallo, & Marek, 2001; 譚 幫 換、胡 緒，2011）。儘 管 如 此 ， 三 階 段 學 習 環 在 自 然 科 學 領 域 以 外 的 教 學 應 用 ， 則 仍 屬 少 見 。 本 文 一 方 面 基 於 介 紹 與 推 廣 Lawson 三 階 段 學 習 環 的 教 學 模 式 ， 而 另 一 方 面 也 基 於 嘗 試 探 討 該 模 式 在 數 學 領 域 的 教 學 應 用 ， 所 以 不 揣 淺 陋 ， 特 以 國 小 高 年 級 數 學 「 圓 周 率 」 這 一 單 元 為 例 ， 說 明 這 種 移 植 式 之 教 學 應 用 的 可 能 性 。

貳、三階段學習環的內涵

Lawson 等 人 （ Lawson, Abraham, & Renner, 1989）認為，教師在介紹新概念或 新 術 語 之 前 ， 讓 學 生 先 用 他 們 自 己 的 步 調 和 既 有 概 念 （preconceptions ） 進 行 探 索 （exploration）是一件非常重要的事。在此 前 提 下 ， 他 們 主 張 在 一 般 傳 統 二 階 段 教 學 模式（指「講述告知－應用練習」）的前面， 多 增 加 一 個 「 探 索 」 階 段 ， 將 有 助 於 學 生 對 新 概 念 或 新 術 語 的 理 解 與 學 習 ， 因 而 提 出 「 探 索 － 術 語 介 紹 － 概 念 應 用 」 三 階 段 的學習環教學模式，如圖 1 所示。玆簡要 介紹 Lawson 三階段學習環的內涵如下：

圖 1、Lawson 三 階 段 學習 環 教 學 模式

一、探索階段

這 個 階 段 主 要 是 以 學 生 為 中 心 的 探 索 活 動 。 教 師 在 學 生 進 行 探 索 之 前 ， 只 是 簡 單 地 賦 予 一 項 任 務 ， 抑 或 是 提 出 一 個 問 題 ， 然 後 再 鼓 勵 學 生 通 過 自 己 的 探 索 活 動 （ 諸 如 ： 觀 察 、 測 量 、 預 測 、 解 釋 、 建 構 模 型 等 ） 來 達 成 任 務 或 是 求 出 問 題 的 答 案 。 學 生 在 探 索 活 動 中 可 能 會 獲 得 一 些 結 果 ， 但 也 可 能 一 無 所 獲 ， 而 這 些 都 不 是 探 索 階 段 的 主 要 考 量 ； 相 反 的 ， 這 個 階 段 最 重 要 的 考 量 則 是 要 儘 量 地 想 辦 法 讓 學 生 獲 得 探 索 的 經 歷 與 體 驗 。

二、術語介紹階段

在 這 一 階 段 ， 教 師 發 揮 了 主 導 的 作 用 ， 舉 凡 新 概 念 的 說 明 、 術 語 的 介 紹 、 原 理 的 證 明 、 以 及 公 式 的 推 導 等 等 ， 主 要 都 由 教 師 來 做 主 導 。 儘 管 這 一 階 段 的 教 學 方 式 與 一 般 傳 統 的 講 述 教 學 有 些 近 似 ， 但 是 由 於 此 時 的 學 生 多 了 前 一 階 段 的 探 索 經 驗 （ 諸 如 ： 觀 察 、 測 量 、 預 測 、 解 釋 、 建 構 模 型 等 ），因 而 使 得 他 們 在 相 關 概 念 的 學 習 上 ， 會 比 一 般 傳 統 的 講 述 教 學 來 得 完 整 且 深 入 。

三、概念應用階段

這 是 再 次 以 學 生 為 中 心 的 概 念 應 用 與 擴 展 階 段 ， 是 學 生 將 前 一 階 段 剛 剛 獲 得 的 概 念 應 用 到 新 的 問 題 情 境 ， 從 而 實 現 對 新 概 念 的 鞏 固 和 擴 展 的 教 學 階 段 。 此 一 階 段 的 教 學 考 量 ， 不 僅 是 為 尚 未 充 份 掌 握 新 概 念 的 學 生 ， 提 供 一 些 額 外 的 時 間 來 鞏 固 概 念 ， 同 時 也 是 為 已 經 掌 握 新 概 念 的 學 生 ， 提 供 一 個 可 以 應 用 與 擴 展 概 念 的 大 好 機 會 。

參、數學教學的應用

一、學習環教學前的準備工作

在 以 Lawson 三階 段 學 習 環教 學 模 式 進 行 「 圓 周 率 」 的 教 學 之 前 ， 教 師 應 該 事 先 做 好 以 下 的 準 備 工 作 ， 然 後 才 能 從 容 地 展 開 教 學 活 動 。 玆 分 述 如 下 ： (一 ) 場 地 佈 置 ： 請 學 生 依 據 組 別 ， 將 教 室 裡 的 課 桌 椅 重 新 編 排 過 （ 六 張 課 桌 可 以 拼 成 一 張 大 桌 子 ）， 裨 便 學 生 操 作 及 探 索 。 (二 ) 任 務 編 組 ： 建 議 採 異 質 性 編 組 方 式 進 行 編 組 ， 並 賦 予 每 位 學 生 一 項 探 索 的 任 務 ， 諸 如：操 作 手、記 錄 手、計 算 手，等 等 。 2.術 語 介 紹 3.概 念 應 用 1.探 索

(三 ) 待 測 物 品 ： 為 每 組 學 生 準 備 數 個 有 一 定 厚 度 （ 便 於 繞 繩 和 滾 動 ）、 但 大 小 不 同 的 圓 形 物 品 ， 諸 如 ： 壹 圓 硬 幣 、 拾 圓 硬 幣 、 伍 拾 圓 硬 幣 、 光 碟 片 、 飛 盤 、 水 桶 、 垃 圾 桶 蓋 ， 等 等 。 (四 ) 測 量 器 具 ： 發 給 每 組 學 生 一 條 棉 線 和 一 把 直 尺 （ 或 一 個 布 捲 尺 ）。 (五 ) 探 索 紀 錄 ： 提 供 每 組 學 生 一 張 「 圓 的 探 索 記 錄 單 」 及 一 部 電 子 計 算 機 。

二、學習環教學活動設計

(一 ) 探 索 教 學 活 動 設 計 本 階 段 的 教 學 活 動 設 計 ， 旨 在 營 造 一 個 利 於 學 生 探 索 體 驗 的 學 習 情 境 ， 好 讓 學 生 能 夠 直 觀 感 受 圓 的 周 長 及 其 直 徑的倍數關係（或謂比率關係），並且 從 中 累 積 動 手 操 作 技 能 及 其 他 感 性 的 經 驗 。 而 為 了 讓 整 個 探 索 教 學 活 動 進 行 更 為 順 暢 ， 教 師 可 在 學 生 探 索 的 過 程中，適時地提出如下的問題。 1. 探 索前 的 提 問 在 探 索 活 動 啟 動 之 前，教 師 可 先 確 認 學 生 對 於 「 圓 周 長 」 及 「 直 徑 」 的 認 知 情 形 ， 然 後 再 提 問 ： Q1：你 們 組知 道 圓 形 物（ 諸 如：硬 幣 、 光 碟 片 ） 的 周 長 要 如 何 測 量 嗎 ？ 學 生 的 方 法 可 能 有 ： 用 棉 線 繞 圓 形 物 一 周 或 將 圓 形 物 滾 一 周 （ 二 者 皆 是 化 曲 線 為 直 線 ）， 然 後 再 用 直 尺 測 量 棉 線 或 圓 形 物 滾 過 軌 跡 的 長 度 。 Q2： 你 們 組 知 道 圓 形 物 (諸 如 ： 硬 幣、光 碟 片)的 直 徑 要 如何 測 量 嗎 ？ 學 生 的 方 法 可 能 有 ： 直 接 以 直 尺 測 量 、 描 在 紙 上 再 以 直 尺 測 量 、 或 利 用 直 尺 再 搭 配 兩 個 直 角 三 角 形 的 板 子 夾 擊 測 量 ， 如 下 圖 所 示 。 2. 探 索中 的 提 問 當 確 定 每 組 學 生 知 道 如 何 測 量 圓 形 物 的 周 長 及 直 徑 之 後，接 著，教 師 才 可 以 放 手 讓 學 生 進 行 探 索 活 動，並 且 從 中 鼓 勵 他 們 盡 力 完 成 表 1 的 探 索登 錄 欄（ 指 周 長 C 與 直 徑 D 欄 ） 及數 據 處理 欄 （ 指 C＋D、 C－D、C×D、C÷D 欄 ）。其 中值 得 一 提 的 是，表 1「 圓 的 探 索 記錄 單 」 之 設 計，旨 在 培 養 學 生 成 為 一 位 真 正 懂 得 思 考 的 「 探 究 者 」， 而 非 唯 命 是 從 的 「 操 作 工 」（ 李 繼 軍 ， 2011）。 過 程 中 ，教 師 可 以 提問 ： Q3： 你們組還有其他測量圓周長的方 法嗎？若有，哪種方法比較準確？ Q4：你 們 組 還 有 其 他 測量 直 徑 的 方法 嗎 ？ 若 有 ， 哪 種 方 法 比 較 準 確 ？

表 1、 圓 的探 索 記 錄 單 周 長 C 直 徑 D C＋ D C－ D C×D C÷D 1. 壹 圓 硬 幣 2. 拾 圓 硬 幣 3. 伍 拾 圓 硬 幣 4. 光 碟 片 5. 飛 盤 6. 水 桶 7. 垃 圾 桶 蓋 3. 探 索後 的 提 問 當 學 生 完 成 表 1「 圓 的 探 索 記 錄 單 」後，他 們 不 僅 獲 得 了 圓 周 長 與 直 徑 的 感 性 認 識，而 且 從 填 寫「 探 索 登 錄 欄 」及「 數 據 處 理 欄 」的 過 程 中，相 信 他 們 也 會 有 某 種 程 度 的 發 現 。 此 時 ， 教 師 便 可 以 提 問 ： Q5：從 表 1 的 探 索 登 錄欄 中，你們組 有 什 麼 發 現 呢 ？ 學 生 的 發 現 可 能 是 ： 圓 的 周 長 愈 大 ， 其 直 徑 也 跟 著 愈 大 ， 如 下 圖 所 示 。 Q6：從 表 1 的 數 據 處 理欄 中，你們組 有 什 麼 發 現 呢 ？ 學 生 的 發 現 可 能 是：C÷D 欄 的 數 值 （ 圓 周 長 與 直 徑 之 比 率 ） 比 較 一 致 ， 大 約 為 3， 而 其他 欄 （ 指 C＋ D、C－ D、C×D 欄 ）的 數 值 ， 則 呈 現 紛 亂 的 狀 態 。 Q7：你 們 組 認 為 圓 的 周長 和 直 徑 的比 率 會 是 一 個 定 值 嗎 ？ 學 生 的 回 答 可 能 是 ： 會 ， 比 率 是 3（ 不 知 道 圓 周 率 的 學 生 ） 或 比 率 是 3.14 （ 已 知 道 圓 周 率 的 學 生 ）。 (二 ) 術 語 介 紹 教 學 活 動 設 計 站 在 第 一 階 段 「 圓 的 探 索 活 動 」 的 經 驗 基 礎 上 ， 教 師 在 術 語 介 紹 階 段 可 以 進 行 如 下 的 教 學 ： 1. 介 紹及 界 定 新 的術 語。例 如：圓 的 外 緣 長 度 是 為 「 圓 周 長 」； 橫 跨 圓 柱 或 圓 盤 剖 面 之 最 長 線 段 稱 為「 直 徑 」； 在 同 一 圓 上 任 取 兩 條 直 徑 的 交 點 是 為 「 圓 心 」； 圓 心 至 圓 形 邊 緣 的 長 度 稱 為 「 半 徑 」； 圓 周 長 與

直 徑 之 比 率 是 為「 圓 周 率 」，等 等。 2. 澄 清某 些 矇 矓、不 完 整 的 概念。例 如：圓 周 率 為 什 麼 不 是 整 數 3，而 是 比 3 還 要 大 一 點 的 數 呢 ？ 此 時，教 師 可 利 用 下 圖 予 以 說 明（ 提 示：設 圓 的 直 徑 為 1，則 正六 邊 形 與 正 方 形 的 周 長 分 別 為3 與 4）。 3. 推 導公 式 與 演 算例 題。教 師 可利 用 「 乘 除 互 逆 」的 基 本 性 質，將 圓 周 長 和 直 徑 的 比 率 式 子（ 即 圓 周 長 ÷ 直 徑 ＝ 圓 周 率 ）轉 變 成 圓 的 周 長 公 式 （ 即 圓 周 長 ＝ 直 徑 ×圓 周 率 ， 或 是 圓 周 長 ＝2×半徑×圓 周 率 ），並 實 際 舉 幾 道 例 題 做 演 算 示 範，抑 或 讓 學 生 做 練 習 。 (三 ) 概 念 應 用 教 學 活 動 設 計 為 了 進 一 步 鞏 固 及 擴 展 學 生 圓 周 率 的 概 念 ， 使 他 們 能 靈 活 應 用 圓 周 長 公 式 ， 所 以 在 術 語 介 紹 教 學 活 動 之 後 ， 教 師 宜 再 提 供 一 些 「 真 實 性 的 問 題 」（authentic problem） 或 是「 非 例 行 性 的 問 題 」（no-routine problem）， 供 學 生 做 進 階 的 應 用 練 習 。 參 考 的 例 子 如 下 ： Ex1 ： 本 校 活 動 中 心 兩 側 迴 廊 的 圓 柱 ， 其 直 徑 有 多 少 公 分 ？ 學 生 的 回 答 可 能 是 ： 先 以 繩 子 量 出 圓 柱 的 周 長 ， 然 後 再 代 入 圓 周 長 公 式（C＝3.14×D），求 出 圓 柱 的 直 徑 。 Ex2 ： 位 於 臺 北 大 直 的 美 麗 華 摩 天 輪 ， 總 高 度 達 到 100 公 尺， 直 徑 約 70 公 尺 。請 你 算 一 算， 一 “ 觀 景 廂 ” 在 空 中 旋 轉 一 圈 ， 大 約 移 動 了 多 少 公 尺 ？ 學 生 的 回 答 可 能 是 ：C＝ 3.14× 70≒220（ 公 尺 ）。 Ex3： 下 圖 ， 大 輪 子 與 小 輪 子 緊 貼 並 依 相 反 方 向 旋 轉 ， 且 已 知 大 輪 子 的 半 徑 為 50 ㎝， 小 輪 子 的 半 徑 為 25 ㎝ 。請 問 ： 當 大輪 子 旋 轉2 圈 時， 小 輪 子 會 旋轉 幾 圈 呢 ？ （ 假 設 兩 個 輪 子 在 旋 轉 過 程 中 沒 有 發 生 滑 動 的 情 形 ）

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學 生 的 回 答 可 能 是 ： 大 輪 子 旋 轉 2 圈 的 長 度÷小輪 子 旋轉 1 圈 的 長 度 ＝ （2×3.14×50×2） ÷ （1×3.14×25×2）＝4（ 圈 ）。

肆、結語

學 習 數 學 是 許 多 學 生 共 同 的 夢 魘 ， 原 因 在 於 一 般 傳 統 的 數 學 教 學 由 於 過 度 地 強 調 形 式 語 言 ， 致 使 教 學 的 內 容 常 常 與 生 活 無 關 ， 長 此 以 往 ， 學 生 學 習 數 學 自 然 而 然 成 了 一 件 枯 燥 、 甚 至 令 人 畏 懼 的 苦 差 事 。 本 文 為 了 改 善 學 生 對 數 學 的 負 面 觀 感 （ 諸 如：太 過 抽 象、與 生 活 脫 節 等 等 ），協 助 學 生 建 構 正 確 的 數 學 概 念 ， 嘗 試 從 自 然 科 學 領 域 移 植 引 進 了 Lawson 三 階段 學 習 環教 學 模 式。大 體 而 言，Lawson 三 階 段 學 習環 教 學 模 式 與 一 般 傳 統 教 學 的 最 大 不 同 點 在 於 ， 前 者 比 後 者 多 了 一 個 「 探 索 」 的 教 學 階 段 ， 學 生 從 探 索 活 動 中 可 獲 取 一 些 實 做 經 驗 與 過 程 技 能，包 括 觀 察、測 量、預 測 、 解 釋 及 建 構 模 型 等 ， 而 這 些 實 做 經 驗 與 過 程 技 能 ， 對 後 續 概 念 的 學 習 與 應 用 ， 著 實 起 了 關 鍵 的 作 用 。 職 是 之 故 ， 為 了 彌 補 一 般 傳 統 數 學 教 學 的 不 足 ， 數 學 教 師 或 可 針 對 較 複 雜 、 較 抽 象 的 概 念 ， 採 用 Lawson 三 階 段 學 習 環 教 學 模 式 進 行 教 學 。

參考文獻

李 繼 軍 （2011）。 如 何 引 導 學 生 從 “ 操 作 工 ” 到 “ 探 究 者 ” — 以 “ 圓 的 周 長 ” 為 例 ， 談 學 習 方 式 的 改 進 。 中 小 學 教 學 研 究 ，3，23-24。 譚 幫 換、胡 緒（2011）。試 論 探 究 教 學 的 “ 學 習 環 ” 模 式 。 教 育 與 教 學 研 究 ，25 （7），38-40。

Gerber, B. L. Cavallo, A. L. ＆ Marek E. A. (2001). Relationship among informal learning environments, teaching procedures, and scientific reasoning abilities. International

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Lawson, A., Abraham, M. & Renner, J. (1989). A Theory of Instruction:

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Musheno, B. V., & Lawson, A. E. (1999). Effects of learning cycle and traditional text on comprehension of science concepts by students at differing reasoning levels. Journal

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25㎝

50㎝