1-3-3數列與級數-數學歸納法

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(1)3-3 數列與級數-數學歸納法【定義】數學歸納法：證明 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。 1. 證 n = 1 時，證明 P1 成立。(起始性) 2. 設 n = k 時，設 Pn 成立證 n = k + 1 時， Pk +1 成立。(連續性) 由上可得證 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。第二數學歸納法：證明 Pn 這個性質對所有 n ∈ N 都成立。 1. 證明： n = 1 時命題 P1 成立。 2. 證明：設 n ≤ k 時， Pn 成立，證 n = k + 1 時， Pk +1 成立。雙基歸納法：欲證明 Pn 成立。 1. 證明： n = 1, n = 2 時命題 P1 , P2 都成立。 2. 證明：設 n = k , n = k + 1 時， Pk , Pk +1 都成立，證 n = k + 2 時， Pk + 2 成立。註： 1. 數學歸納法的重點在於觀察、歸納、猜測、證明。 2. 有時候不一定從 n = 1 開始。 3. 數學歸納法是數學上重要而基本的方法，被用來證與自然數有關的命題。 4. 使用數學歸納法證題時，起始性和連續性兩個步驟一定要都證明，缺一不可。【問題】試舉例說明數學歸納法的形式中的每一個步驟是缺一不可的。【定理】白努力不等式： (1 + r ) n ≥ (1 + nr ), ∀r ≥ −2, n ∈ N 。【定義】遞迴關係：依據題設條件構造一個數列 < a n > ，然後建立相鄰幾項之間的遞迴關係式(亦稱遞迴方程式)，接著解遞迴關係式，求出一般項 a n 。註：一般將遞迴數列化成特殊型式(等差類型或等比類型)以找出第 n 項的一般式。若非此種類型，則較難求。【方法】 1. a n +1 = a n + f (n) ：遞迴相加求 a n 。 2. a n +1 = a n × f (n) ：遞迴相乘求 a n 。 3. a n +1 = αa n + k ：化成 (a n +1 − β ) = α (a n − β ) 。 4. 階差數列：前後兩項相減找規則。 5. a n + 2 = c1 a n +1 + c 2 a n ：解特徵方程式 x 2 = c1 x + c 2 ， (1)若有兩相異根，則 a n = αx1 + βx 2 ，再代入基本條件解 α , β 。 n. n. (2)若有重根，則 a n = αx1 + nβx 2 ，再代入基本條件解 α , β 。【問題】 n. n. 25.

(2) 1. 費氏(Fibonacci)數列：設有一對剛出生的小兔子，若任一對小兔子出生兩個月後就能生小兔子，且每對成兔每個月恰好生一對小兔子， an 表第 n 個月兔子的總對數，試著用圖形化看看並觀察之？試求出此數列 < an > 的遞迴關係式？是否可以求出一般項 an ？ ⎧ F = Fn −1 + Fn − 2 , n ≥ 3 定義如 ⎨ n ⎩ F1 = 1, F2 = 1 n n 1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤ ⎟ ⎥, n ≥ 1 ⎟ −⎜ ⎢⎜ 且可求得 Fn = 5 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥ ⎦ ⎣ 註：用雙基歸納法或直接解特徵方程式或生成函數方法。 2. 河內(Hanoi)塔：相傳在河內的一座寺廟中立著三根金棒，有 64 個大小都不同的銀圈，從上而下由小到大依序套在同一根金棒上。造物主命僧侶把 64 個銀圈全部移到另外一根金棒上，並且規定：每一次只能移動一個銀圈，在移動過程中，較大的銀圈不可套在較小的銀圈上。當銀圈全數搬完，世界末日將降臨，忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。試問搬完 64 個金盤最少需多少次？(A： 2 64 − 1 ). 26.

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